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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[10]


上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[10]

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上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[10]
一、填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一 律得零分。 1、已知集合 A={(x,y)|y=sinx, x ? (0,2π )},B={(x,y)|y= a , a ? R},则集合 A∩B 的子集个数量多 有 个.
1 2

2、若函数 f ( x ) = 2 log

x 的值域是[-1,1],则函数 f

?1

( x ) 的值域为

.

? x ? 2, y ? 2 3、(文)若 ? ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是 ? x? y?2

.

? x ? cos ? 1 (? ? R ) , (理)将曲线 ? 上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍, 纵坐标缩小到原来的 倍后, 2 ? y ? sin ?

得到的曲线的焦点坐标为

. .

4、 在等差数列 ?a n ? 中, 中若 a 1 ? 0 ,S n 为前 n 项之和, S 7 ? S 17 , S n 为最小时的 n 的值为 且 则 5、函数 f ( x ) ? sin 2 x ? 4 sin x cos x 的图象上相邻二条对称轴之间的距离是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6、设 e 1 和 e 2 是互相垂直的单位向量,且 a ? 3e1 ? 2 e 2 , b ? ? 3e1 ? 4 e 2 ,则 a ? b =
3

. .

7、若复数 z 满足 z ? 1 ? z ? 1 ? 2 ,则 z ? i ? 1 的最小值是

.

8、在正三棱锥 S - ABC 中, D 为 AB 中点,且 SD 与 BC 所成角为 45 ? ,则 SD 与底面所成角的正弦值 为 .
2 2 2 2

9、一动圆与两圆(x+4) +y =25 和(x-4) +y =4 都外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程是 10、 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x ) 在(0,+∞)上是增函数,若 x ? [ 成立,则实数 a 的取值范围是 .
1 2

.

,1]时,不等式 f ( ax ? 1) ? f ( x ? 2 ) 恒

11、在三位数中,如果十位数字比个位和百位数字都小,则称这个三位数为凹数,如 402,745 等,那么各数 位无重复数字的三位凹数共有 个.

12、对于正整数 n 和 m(m<n)定义 n m ! =(n-m)(n-2m)(n-3m)┈(n-km)其中 k 是满足 n>km 的最大整数,则
18 4 ! 20 6 !

=________.

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且 只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的 代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 sin B sin A 13、在 ? ABC 中, < 是 A>B 成立的( ) a b

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A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

14、甲命题:平面 α ? 平面 β ,平面 β ? 平面 γ ,则平面 α //平面 γ ;乙命题:平面 α 上不共线的三 点到平面 β 的距离相等,则 α //β .则( A.甲真乙真 B.甲真乙假 C.甲假乙真 ) D.甲假乙假 ) y y

15、函数 y ? log a (| x | ? 1)( a ? 1) 的图象大致是( y y

O A.

x

O B.

x

-1 O 1 C.

x

-1

O 1 D. )

x

16、已知 a,b,c ? R,若 A.a,b,c 同号

b c b c ? ? 1 ,且 ? ? ? 2 ,则下列结论成立的是( a a a a

B.b,c 同号,a 与它们异号 D.a,b,c 的符号都不能确定

C.b,c 同号,a 不能确定

三、解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 2 2 已知 sin θ (1+ctgθ )+cos θ (1+tgθ )=2, ? ? (0,2π ),求 tan ? 的值

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18、 (本题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 的底面是边长为 a 的正三角形,侧面 ABB 1 A1 是菱形且垂直于底面,
? A1 AB =60°,M 是 A1 B1 的中点.

(1)求证:BM ? AC; (2)求二面角 B ? B1C 1 ? A1 的正切值; (3)求三棱锥 M ? A1CB 的体积.

19、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。 已知点 F(1,0),直线 l :x=2,设动点 P 到直线 l 的距离为 d,已知|PF|= (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 PF ? OF =
1 3

2 2

d且

2 3

?d ?

3 2

.

,求向量 OP 与 OF 的夹角。

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20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 某工厂去年某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,固定成本为 8 元.今年,工厂 第一次投入 100 万元(科技成本) ,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元(科技成本) ,预计产量年递 增 10 万只,第 n 次投入后,每只产品的固定成本为 g ( n ) ?
k n ?1

(k>0,k 为常数, n ? Z 且 n≥0) ,

若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年利润为 f (n ) 万元. (1)求 k 的值,并求出 f (n ) 的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

21、 (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分。 已知函数 f ( x ) ? 3 x ? bx ? 1 是偶函数, g ( x ) ? 5 x ? c 是奇函数,正数数列 ?a n ? 满足
2

a n ? 1, f ( a n ? a n ? 1 ) ? g ( a n ? 1 a n ? a n ) ? 1

2

(1) 求 ?a n ? 的通项公式; (2)若 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,求 lim S n .
n? ?

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22、 (本题满分 18 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分。 3 1 直角梯形 ABCD 中∠DAB=90°,AD∥BC,AB=2,AD= ,BC= .椭圆 C 以 A、B 为焦点且经过点 D. 2 2 (1)建立适当坐标系,求椭圆 C 的方程; (2) (文)是否存在直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,且线段 MN 的中点为 C,若存在,求 l 与直线 AB 的 夹角,若不存在,说明理由. (理)若点 E 满足 EC ?
1 2

AB ,问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点且

| ME |?| NE | ,若存在,求出直线 l 与 AB 夹角的范围,若不存在,说明理由.

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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[10] 参考答案
1、4 2、[
3 3 2 2

, 2]
4x 9
2

3、[2,6] , (±
4y 55
2

15 2

,0) 4、12

5、

?
4

6、-1
15 2

7、1 8、 13、C

9、

-

=1(x>0)

10、[-2,0]

11、240 12、

14、D

15、B

16、A

17、 tan ? ? 1 18、 (1)略 (2)所求二面角的正切值是 2 (3) V ?
x
2

1 16

a

3

19、(1)所求的点 P 轨迹方程为

2

? y ?1(
2

1 2

? x?

4 3

)

(2)向量 OP 与 OF 的夹角为 arccos 20、 (1)由 g ( n ) ?
k n ?1

2 11

11

,当 n=0 时,由题意,可得 k=8,
8 n ?1

所以 f ( n ) ? (100 ? 10 n ) (10 ?
8 n ?1 9 n ?1

) ? 100 n .

(2)由 f ( n ) ? (100 ? 10 n )(10 ?
n ? 10 n ?1

) ? 100 n ? 1 000 ? 80

(

) ? 1 000 ? 80 ( n ? 1 ?

) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520 .

当且仅当 n ? 1 ?

9 n ?1
2

,即 n=8 时取等号,所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元
g ( x) ? 5 x

21、解: (1) f ( x ) ? 3 x ? 1

( a n ?1 ? a n )( 3 a n ?1 ? 2 a n ) ? 0 ,
1 1? 2 3

a n ?1 an

?

2

2 n ?1 , an ? ( ) 3 3

(2) lim s n ?
n? ?

?3

22、解析: (1)如图,以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系, ? A(-1,0) B(1,0) , ∴ 椭圆 C 的方程是:
x
2

4

?

y

2

3

?1
3 2

(2) (文)存在,l 与 AB 的夹角是 arctan

. (理)l 与 AB 的夹角的范围是 ( 0 , arctan

1 2

].


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