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系统抽样


系统抽样

复习回顾:

简单随机抽样的概念
一般地,设一个总体的个体数为 N,如果通过逐个不放 回地抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体 被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样。
? ?

适用范围:总体中个体数较少的情况,抽取的 样本容量也较小时。

抽签法抽取样本的步骤:
简记为:编号;制签;搅匀;抽签;取个体。

用随机数表法抽取样本的步骤:

简记为:编号;选数;读数;取个体。

知识回顾
抽签法 和____________. 随机数表法 1、简单随机抽样包括________ 2、在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可 能性是( C )。 A.与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最大

B.与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最小
C.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性相等

D.与第几次抽样无关,与抽取几个样本无关

知识探究(一):简单随机抽样的基本思想

思考1:某中学高一年级有12个班,每 班50人,为了了解高一年级学生对老师 教学的意见,教务处打算从年级600名 学生中抽取60名进行问卷调查,那么年 级每个同学被抽到的概率是多少? 思考2:你能用简单随机抽样对上述问题 进行抽样吗?具体如何操作?

思考3:联想到学校每学期选派学生评 教评学时的做法,你还有什么方法对上 述问题进行抽样?你的抽样方法有何优 点?体现了代表性和公平性吗? 思考4:如果从600件产品中抽取60件进 行质量检查,按照上述思路抽样应如何 操作?

第一步,将这600件产品编号为1,2, 3,?,600. 第二步,将总体平均分成60部分,每 一部分含10个个体. 第三步,在第1部分中用简单随机抽样 抽取一个号码(如8号).

第四步,从该号码起,每隔10个号码取 一个号码,就得到一个容量为60的样本. (如8,18,28,?,598)

思考5:上述抽样方法称为系统抽样, 一般地,怎样理解系统抽样的含义?
系统抽样:
当总体的个体数较多时,采用简单随机抽样 太麻烦,这时将总体平均分成几个部分,然 后按照预先定出的规则,从每个部分中抽取 一个个体,得到所需的样本,这样的抽样方 法称为系统抽样(等距抽样)。

系统抽样的特点:
(1)用系统抽样抽取样本时,每个个体被抽到 n 的可能性是相等的, 个体被抽取的概率等于 N (2)系统抽样适用于总体中个体数较多,抽取 样本容量也较大时; (3)系统抽样是不放回抽样。

知识探究(二):系统抽样的操作步骤
思考1:用系统抽样从总体中抽取样本 时,首先要做的工作是什么? 将总体中的所有个体编号.

思考2:如果用系统抽样从605件产品中 抽取60件进行质量检查,由于605件产品 不能均衡分成60部分,对此应如何处理? 先从总体中随机剔除5个个体,再均衡 分成60部分.

思考3:用系统抽样从含有N个个体的总 体中抽取一个容量为n的样本,要平均 分成多少段,每段各有多少个号码? 思考4:如果N不能被n整除怎么办? 从总体中随机剔除N除以n的余数个个体 后再分段.

思考5:将含有N个个体的总体平均分成 n段,每段的号码个数称为分段间隔, 那么分段间隔k的值如何确定?

总体中的个体数N除以样本容量n所得 的商.

思考6:用系统抽样抽取样本时,每段 各取一个号码,其中第1段的个体编号 怎样抽取?以后各段的个体编号怎样 抽取? 用简单随机抽样抽取第1段的个体编 号.在抽取第1段的号码之前,自定义规 则确定以后各段的个体编号,通常是将 第1段抽取的号码依次累加间隔k.

思考7:一般地,用系统抽样从含有N个 个体的总体中抽取一个容量为n的样本, 其操作步骤如何?

系统抽样的步骤:
(1)采用随机的方式将总体中的个体编号;
(2)将整个的编号按一定的间隔(设为K)分段,当 N n (N为总体中的个体数,n为样本容量)是整数 N N k ? ;当 时, 不是整数时,从总体中剔除一些 n n 个体,使剩下的总体中个体的个数 N ' 能被n整除,这 N' 时, k ? ,并将剩下的总体重新编号; n (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号 ;

l

(4)将编号为 l , l ? k , l ? 2k ,..., l ? (n ? 1)k 的个体抽出。 简记为:编号;分段;在第一段确定起始号;加 间隔获取样本。

思考8:系统抽样与简单随机抽样比较,有何优、缺点? 点评:(1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施, 可节约抽样成本;

(2)系统抽样的效果会受个体编号的影响,而简单 随机抽样的效果不受个体编号的影响;系统抽样所得 样本的代表性和具体的编号有关,而简单随机抽样所得 样本的代表性与个体的编号无关.如果编号的个体特征 随编号的变化呈现一定的周期性,可能会使系统抽样的 代表性很差.例如学号按照男生单号女生双号的方法编 排,那么,用系统抽样的方法抽取的样本就可能会是全 部男生或全部女生.
(3)系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广.

思考9:在数字化时代,各种各样的统 计数字和图表充斥着媒体,由于数字给 人的印象直观、具体,所以让数据说话 是许多广告的常用手法.下列广告中的 数据可靠吗?

“??瘦体减肥灵真的灵,其减肥的有 效率为75%.”
“现代研究证明,99%以上的人皮肤感 染有螨虫??.”

“??美丽润肤膏,含有多种中药成分, 可以彻底清除脸部皱纹,只需10天,就 能让你的肌肤得到改善.”

理论迁移

例1 某中学有高一学生322名,为 了了解学生的身体状况,要抽取一个容 量为40的样本,用系统抽样法如何抽样?

第一步,随机剔除2名学生,把余下的 320名学生编号为1,2,3,?320.
第二步,把总体分成40个部分,每个 部分有8个个体. 第三步,在第1部分用抽签法确定起始 编号. 第四步,从该号码起,每间隔8个号码 抽取1个号码,就可得到一个容量为40 的样本.

练习:
1、某工厂生产产品,用传送带将产品送放下一 道工序,质检人员每隔十分钟在传送带的某一个 位置取一件检验,则这种抽样方法是( C )。 A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样 D.其他 2、采用系统抽样的方法,从个体数为1003的 总体中抽取一个容量50的样本,则在抽样过程 中,被剔除的个体数为( 3 ),抽样间隔为 ( )。 20

3、为了解1200名学生对学校某项教改试验的 意见,打算从中抽取一个容量为30的样本, 考虑采用系统抽样,则分段的间隔k为( A ) A、40 B、30 C、20 D、12 4、为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生 的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取一个 容量为50的样本,那么总体中应随机剔除的 个体数目( A ) A、 2 B、4 C、 5 D、 6

5、用系统抽样的方法从个体数为1003的总体中抽取一个容 量为50的样本,在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性 为( ) A、1/1000 B、1/1003 C、50/1003 D、50/1000

C

6、从N个编号中抽取n个号码入样,用系统的方法抽样,则 抽样的间隔为( ) A、N/n B、n C、[N/n] D、[N/n]+1 说明:[N/n]表示N/n的整数部分。

C

7、从已编号为1-50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随 机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔 一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能为( ) A、5,10,15,20,25 B、3,13,23,33,43 C、1,2,3,4,5 D、2,4,6,16,32

B

8、 ※(2004年福建省高考卷)一个总体中有100个个体,随 机编号为0,1,2,…99,依编号顺序平分成10个小组, 组号依次为1,2,3,…,10。现用系统抽样方法抽取 一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号 码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的 个位数字相同。若m=6,则在第7组中抽取的号码为

63

解析:依编号顺序平均分成的10个小组分 别为0~9, 10~19, 20~29, 30~39, 40~49,50~59,60~69,70~79,80~89,90~99.因第 7组抽取的号码个位数字应是3,所以抽取的号码 是63.这个样本的号码依次是 6,18,29,30,41,52,63,74,85,96这10个号.

小结作业

1.系统抽样也是等概率抽样,即每个 个体被抽到的概率是相等的,从而保 证了抽样的公平性. 2.系统抽样适合于总体的个体数较多的 情形,操作上分四个步骤进行,除了剔 除余数个体和确定起始号需要随机抽样 外,其余样本号码由事先定下的规则自 动生成,从而使得系统抽样操作简单、 方便.

两种抽样方法比较
抽签法

抽样 简单随 方法 机抽样

随机数表法

系统抽样

共同 (1)抽样过程中每个个体被抽到的概率相等;(2) 点 都要先编号 各自 从总体中逐一抽取 特点 相互 联系 适用 总体中的个体数较少 范围 先均分,再按事先确定的规 则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单 随机抽样 总体中的个体数较多

分层抽样

问题 一个单位的职工500人,其中不到35岁的有 125人,35到49岁的有280人,50岁以上的有95 人。为了了解这个单位职工与身体状况有关的某 项指标,要从中抽取一个容量为100的样本。由 于职工年龄与这项指标有关,试问:应用什么方 法抽取?能在500人中任意取100个吗?能将100 个份额均分到这三部分中吗? 分析:考察对象的特点是由具有明显差异的几部分组成。 当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使 样本更充分地反映总体的情况,常将总体分成几 个部分,然后按照各部分所占的比例进行抽样, 这种抽样叫做“分层抽样”,其中所分成的各部 分叫做“层”。

分层抽样
问题 一个单位的职工500人,其中不到35岁的有125人, 35到49岁的有280人,50岁以上的有95人。为了了解这个 单位职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取一个容 量为100的样本。由于职工年龄与这项指标有关,试问: 应用什么方法抽取?能在500人中任意取100个吗?能将 100个份额均分到这三部分中吗?

解:(1)确定样本容量与总体的个体数之比100:500=1:5。

(2)利用抽样比确定各年龄段应抽取的个体数, 125 280 95 ,即25,56,19。 依次为 , ,
(3)利用简单随机抽样或系统抽样的方法,从各 年龄段分别抽取25,56,19人,然后合在一起,就 是所抽取的样本。
5 5 5

强调两点:
(1)分层抽样是等概率抽样,它也是公平的。用分 层抽样从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本 时,在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等 为n/N。 (2)分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样 的基础上的,由于它充分利用了已知信息,因此它 获取的样本更具代表性,在实用中更为广泛。

分层抽样的抽取步骤:
(1)总体与样本容量确定抽取的比例。 ( 2 )由分层情况,确定各层抽取的样本数。 (3)各层的抽取数之和应等于样本容量。 (4)对于不能取整的数,求其近似值。

4.三种抽样方法的比较

练习 :

一个电视台在因特网上就观众对其 某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查 的总人数为12000人,其中持各种态度的人 数如下所示: 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱

2400

4200

3800

1600

打算从中抽取60人进行详细调查,如何抽取?

在下列问题中,各采用什么抽样方 法抽取样本较合适?
1、从20台电脑中抽取4台进行质量检测;

简单抽样
2、从2004名同学中,抽取一个容量为20的样本

系统抽样
3、某中学有180名教工,其中业务人员136名, 管理人员20名,后勤人员24名,从中抽取一个 容量为15的样本。

分层抽样


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