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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[5]


上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[5]

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上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[5]
一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一 律得零分。
x 1、已知集合 A= ?x y ? lg( x ? 2 )? ,B= y y ? 2 ,则 A ? B=

?

?



2、若 sin ? = 2

5 5

,则 cos 2 ? =

。 。
x

3、方程 lg x - 2lgx - 3 ? 0 的解是
5

4、已知函数 f(x)的图象与函数 y ? 3 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(9)= 5、复数 z ? 的共轭复数 z = 。 3 ? 4i 6、在数列 ?a n ? 中 a 1 = -13,且 3a n =3a n ?1 -2,则当前 n 项和 s n 取最小值时 n 的值是





7.集合 A ? ? 2, 4, 6, 8,10? , B ? ?1, 3, 5, 7, 9? ,在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取一元素 n,则 所取两数 m>n 的概率是_
7

。 。
3 2 4

8、在△ABC 中三边之比 a:b:c=2:3: 19 ,则△ABC 中最大角=

9、 (理)在 (1 ? ax ) 的展开式 中, x 的系数 是 x 和 x 的系数的等差中项 ,若实数 a ? 1 ,那么 a ? 。 (文)某工程由下列工序组成,则工程总时数为 天。

1 1 1 , , ,…中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按原来次序排列的 2 4 8 1 a1 数列),使它所有项的和为 ,则此子数列的通项公式为 。 7 a2 a3 11、在 R 上定义运算△:x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 。 a a a

10、试在无穷等比数列

12、已知数列 ?a n ? , a n

a8 a9 a 10 ... ... . .. ... ... 二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且 只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的 代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、若复数 z ? cos ? ? i sin ? 所对应的点在第四象限,则 ? 所在的象限是( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 14、函数 y=cos 2x 的图象的一个对称中心是( ) ? ? ? 0 0 0 (A)( , ) (B) ( , ) (C) (- , ) (D) (0,0)
图所示.记 A ( m , n ) 表示第 m 行,第 n 列的项,则 A (10 ,8 ) = 。 ...
2 4 2

? 2 ? ( ) ,把数列 ?a n ? 的各项排成三角形状,如 a 7
1 3 n

4

5

6

15、函数 y= 2 ? 2 (
x



(A)在(- ? ,+ ? )上单调递增。 (B)在 ?? ? ,1? 上是减函数,在 ?1,? ? ? 上是增函数。

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(C)在 ?? ? ,1? 上是增函数,在 ?1 ? ? ? 上是减函数。

(D)在 ?? ? , 0 ? 上是减函数,在上 ?0,? ? ? 是增函数。 16、某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了 a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回 b 千米( b ? a ) , 再前进 c 千米,则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、(本题满分 12 分) 1 设 z 为虚数,且满足 ? 1 ? z ? ? 2,求 z 。 z

18、(本题满分 13 分)

已知向量 a ? ?2 sin x , cos x ? , b ? 3 cos x , 2 cos x ,定义函数 f(x)= a ? b ? 1 。 (1)求函数 f(x)的最小正周期。 (2)x ? R 时求函数 f(x)的最大值及此时的 x 值。

?

?

19、(本题满分 13 分) 在不等边△ABC 中,设 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin A , sin B , sin C 依次成等 cos A cos B cos C 差数列,给定数列 , , . a b c (1)试根据下列选项作出判断,并在括号内填上你认为是正确选项的代号( ). A.是等比数列而不是等差数列 B.是等差数列而不是等比数列 C.既是等比数列也是等差数列 D.既非等比数列也非等差数列 (2)证明你的判断.
2 2 2

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20、(本题满分 14 分) 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池又向居民小区 不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6 t 吨,( 0 ? t ? 24 ) (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内,有几小时出现 供水紧张现象。

21、(本题满分 16 分) x , 方程 f ( x ) ? x 唯一解,已知 f ( x n ) ? x n ?1 ( n ? N * ), 且 f ( x1 ) ? 1 . 设有 f ( x ) ? a ( x ? 2) 1004 (1)求数列{xn}的通项公式; (2)若 a n ?
4 ? 4013 x n xn , 且 bn ? a n ?1 ? a n
2 2

( n ? N ) ,求和:Sn=b1+b2+…+bn;
*
*

2 a n ?1 a n
m 2008

(3)是否存在最小整数 m,使得对任意 n∈N ,有 f ( x n ) ? 说明理由.

成立,若存在,求出 m 的值,若不存在,

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22、(本题满分 18 分)
? f ( x ) ( x ? 0) 2 设函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为实数),F(x)= ? ?? f ( x ) ( x ? 0) (1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) ? 0 成立,求 F(x)表达式。 (2)在(1)的条件下,当 x ? ?? 2 , 2 ? 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。 (3)(理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。

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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[5] 参考答案
1、 ?x x ? 2? 7、0.6 13、A 8、 2、
2?
3 5

3、 0 .1或1000

4、2

5、

3 5

?

4 5 1
n

i

6、20 11、 (?
1 3 , ) 2 2
b a ?b
2 2

3 14、B 15、B 16、C

9、(理) 1 ? 2 10 (文)

10、 a n ?
1 z

8

1 53 12、 2 ? ( ) 3
)i ,

17、解:设 z ? a ? bi , ( a , b ? R 且 a ? 0 , b ? 0 ) ,则 z ? 由已知得 z ?
1 z ? R ,∴ b ? b a ?b
2 2
2 2

?a?

a a ?b
2 2

? (b ?

=0,∴ a ? b ? 1 ,∴ z =1。

2 18、解:f(x)= a ? b -1=2 3 sinx×cosx+2cos x-1= 3 sin2x+cos2x=2sin(2x+

?
6

),

(1)T=

2?

?

= ? ,(2)f(x)=2sin(2x+

?
6

),∴当 2x+

?
6

=

?
2

+2k ? (k ? Z),即 x=

?
6

+k ? (k ? Z)时,

f(x)取最大值为 2,∴当 x=

?
6

+k ? (k ? Z)时 f(x) max =2 。
2

19、解:(1)B (2)因为 sin 所以 2 b ? a ? c .又
2 2 2

A 、 sin B 、 sin C 成等差数列,所以 2 sin B ? sin
3
2 2

2

A ? sin C ,
2
2 2

cos B b
c o sC c

?

a ?c ?b
2 2

2



cos A a

2 abc
c o sA a

?

b ?c ?a
2 2

2



cos C c

2 abc

?

a ?b ?c
2



2 abc

显然
c o sA a

2 c o sB

?

b c o sB b

?

c o sA

?

a c o sC c
2

?

,即



cos B b



cos C c

成等差数列.若其为等比数列,有

,所以 tan A ? tan B ? tan C , A ? B ? C ,与题设矛盾

20、解:(1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨,则 y ? 400 ? 60 t ? 120 6 t ;
2 2 令 6 t = x ;则 x ? 6 t ,即 y ? 400 ? 10 x ? 120 x ? 10 ( x ? 6 ) ? 40 ;

∴当 x ? 6 ,即 t ? 6 时, y min ? 40 ,即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨。 (2)依题意 400 ? 10 x ? 120 x ? 80 ,得 x ? 12 x ? 32 ? 0 ,解得, 4 ? x ? 8 ,即 8 32 32 8 4 ? 6t ? 8 , ? t ? ? ? 8 ,所以每天约有 8 小时供水紧张。 ;由 3 3 3 3 1 2x 21、解:(1)因方程 f(x)=x 有唯一解,可求 a= 从而得到 f ( x ) ? . 2 x?2 2 x1 1 1 2 f ( x1 ) ? ,即 ? ? x1 ? 1004 x1 ? 2 1004 2007
2 2

又由已知 f ( x n ) ? x n ? 1;

2 xn xn ? 2

? x n ?1
1 2

xn ? 0 ?

1 x n ?1

?

1 xn

?

1 2

数列{ 故
1 xn

1 xn

}是首项为
1 ? ( n ? 1) ?

1 x1

,公差为
?

的等差数列, ,

=

1 2

2 ? ( n ? 1) x1 2 x1

x1

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所以数列{xn}的通项公式为 x n ?

2 x1 ( n ? 1) x1 ? 2

?

2 n ? 2006
1 2n ? 1

.
? 1 2n ? 1 ). ? Sn ? n ?1? 1 2n ? 1

(2)将 xn 代入 an 可求得 an=2n-1,所以 b n ? 1 ? ( (3)? f ( x n ) ? x n ?1 ?
? 只要 m ?( 2
m 2008 对 n ? N 恒成立,
*

2008 n ? 2007 n ? 2007 1 ? 2007 m 2 ? ,? m ? 2 ,故存在最小的正整数 m=3. 即要 2008 2008

) max 即可 , 而 (

2

) max ?

1

?

2 2008

.

2 2 2 22、解:(1)? f(-1)=0 ∴ b ? a ? 1 由 f(x) ? 0 恒成立 知△=b -4a=(a+1) -4a=(a-1) ? 0 ( x ? 0) ? ( x ? 1) 2 ∴a=1 从而 f(x)=x +2x+1 ∴F(x)= ? , 2 ( x ? 0) ? ? ( x ? 1) 2 2

(2)由(1)可知 f(x)=x +2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1,由于 g(x)在 ?? 2 , 2 ? 上是单调函数,知
? 2 ,得 k ? -2 或 k ? 6 , 2 2 (3)? f(x)是偶函数,∴f(x)=f(x),而 a>0∴ f ( x ) 在 ?0 , ?? ? 上为增函数

-

2?k

? ? 2 或-

2?k

对于 F(x),当 x>0 时-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x),当 x<0 时-x>0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x), ∴F(x)是奇函数且 F(x)在 ?0,? ? ? 上为增函数, ? m>0,n<0,由 m>-n>0 知 F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。


上海市华师大二附中高三数学综合练习8

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(n) } 的前 n 项的和 Tn . 2n 上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3] 参考答案 1. {1, 2} 2.充分不必要 3. 7. (??,1] 8. 5 .9. ( ...

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