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【师说】2015高考雄关漫道新课标数学文全程复习构想练习:选修4-1-1 相似三角形的判定及有关性质 含解析


一、填空题

1.如图,在△ABC 中,DE∥BC,DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E,AD∶ AB=1∶3.若 DE=2,则 BC=__________. AD DE 1 2 解析:∵DE∥BC,∴ AB =BC ,即3=BC. 解得 BC=6. 答案:6

2.如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,延

长 AE 交 BC BF 于 F,则FC=__________. 解析:如图,过 D 作 DG∥BC 交 AF 于 G,

∵E 是 BD 的中点,∴DG=BF. DG AD 1 又∵DG∥BC,∴ FC = AC=2. BF DG 1 ∴FC= FC =2. 1 答案:2

3.如图,在△ABC 中,M、N 分别是 AB、BC 的中点,AN、CM 交于点 O, 那么△MON 与△AOC 面积的比是__________. 解析:∵M、N 分别是 AB、BC 的中点, 1 ∴MN∥AC,MN=2AC. ∴△MNO∽△CAO. S△MON ?MN?2 ?1?2 1 ∴ =? ? =? ? = . S△COA ? AC ? ?2? 4 答案:1∶4
1

4.如图,在△ABC 中,D 为 AC 边上一点,∠DBC=∠A,BC= 6,AC= 3,则 CD=__________. 解析:∵∠DBC=∠A,∠C=∠C, ∴△CDB∽△CBA. BC CD 6 CD ∴AC= BC ,即 3 = . 6 ∴CD=2. 答案:2

5.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90° ,且 AB=6,AC=4,AD=12. 则 BE=__________. 解析:由于∠B=∠D. ∴∠AEB=∠C,从而得△ABE∽△ADC. AB AE ∴AD=AC 解得 AE=2,故 BE= AB2-AE2=4 2. 答案:4 2

6.如图所示,在?ABCD 中,BC=24,E、F 为 BD 的三等分点,则 BM= __________;DN=__________. 解析:∵AD∥BC,BE=EF=FD, BM BE 1 ∴ AD =DE=2. ∵AD=BC=24,∴BM=12. ∵AD∥BC, DN FD 1 ∴BM= FB =2. 1 ∴DN=2BM=6. 答案:12 6

7.如图,Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,CD=6,且 AD∶BD=3∶2, 则斜边 AB 上的中线 CE 的长为__________.
2

解析:∵∠ACB=90° ,CD⊥AB, ∴CD2=AD· BD. 设 AD=3x,那么 BD=2x,AB=5x, ∵CD=6,∴6x2=62. ∴x= 6,AB=5x=5 6. ∵CE 是斜边 AB 上的中线, 1 5 ∴CE=2AB=2 6. 5 答案:2 6

8.如图,D、E 两点分别在 AC、AB 上,且 DE 与 BC 不平行,请填上一个 你认为适合的条件:________________,使得△ADE∽△ABC.

解析:∵∠A=∠A,由两角对应相等,两三角形相似,可添加∠1=∠B 或 AE AD ∠2=∠AED.由两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似,可添加AC= AB . AE AD 答案:∠1=∠B 或∠2=∠E 或AC= AB .

9.如图,在△ABC 中,D 为 BC 边的中点,E 为 AD 上的一点,延长 BE 交 AE 1 AF AC 于点 F,若AD=4,则AC的值为__________. 解析:过点 A 作 AG∥BC,交 BF 延长线于点 G. AE 1 AE 1 由AD=4,得ED=3, AG AE 1 由△AGE∽△DBE,得BD=ED=3. AG 1 由 D 为 BC 中点,知 BC=2BD,故BC =6. AF AG 1 AF 1 ∵△AGF∽△CBF,∴FC=BC =6.故AC=7. 1 答案:7

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10.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,且 BC∶AC=2∶3, 则 BD∶AD=__________. BC2 BD 4 2 2 解析:由射影定理知 AC =AD· AB,BC =BD· AB,∴AC2=AD=9. 4 答案:9 三、解答题 11. (2014· 苏北模拟)如图 1, 在 Rt△ABC 中, ∠BAC=90° , AD⊥BC 于点 D, 点 O 是 AC 边上一点,连接 BO 交 AD 于 F,OE⊥OB 交 BC 边于点 E.

图1 图2 (1)求证:△ABF∽△COE; AC OF (2)当 O 为 AC 边中点, AB=2 时,如图 2,求OE的值; AC OF (3)当 O 为 AC 边中点, AB=n 时,请直接写出OE的值. 解析:(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90° , ∵∠BAC=90° ,∴∠BAF=∠C. ∵OE⊥OB,∴∠BOA+∠COE=90° , ∵∠BOA+∠ABF=90° ,∴∠ABF=∠COE. ∴△ABF∽△COE; (2)方法一:作 OG⊥AC,交 AD 的延长线于 G. ∵AC=2AB,O 是 AC 边的中点, ∴AB=OC=OA. 由(1)有△ABF∽△COE, ∴△ABF≌△COE,∴BF=OE. ∵∠BAD+∠DAC=90° , ∠DAB+∠ABD=90° ,∴∠DAC=∠ABD, 又∠BAC=∠AOG=90° ,AB=OA. ∴△ABC≌△OAG,∴OG=AC=2AB. ∵OG⊥OA,∴AB∥OG,∴△ABF∽△GOF, OF OG OF OF OG ∴ BF = AB ,OE= BF = AB =2. 方法二: ∵∠BAC=90° ,AC=2AB,AD⊥BC 于 D, ∴Rt△BAD∽Rt△BCA. AD AC ∴BD=AB =2. 设 AB=1,则 AC=2,BC= 5,BO= 2,
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2 1 ∴AD=5 5,BD=5 5. ∵∠BDF=∠BOE=90° ,∴△BDF∽△BOE, BD BO ∴DF=OE. 由(1)知 BF=OE,设 OE=BF=x, 1 5 5 2 ∴ DF = x ,∴x= 10DF. 1 1 2 在△DFB 中 x2=5+10x2,∴x= 3 . 1 2 ∴OF=OB-BF= 2-3 2=3 2, 2 2 OF 3 ∴OE=1 =2. 3 2 OF (3)OE=n. 12.已知在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,过点 C 任作一直线与 AB、AD 分 别交于点 F、E. AE 2AF (1)如图①,DG∥CF 交 AB 于点 G,当 D 是 BC 的中点时,求证:ED= FB .

BD 1 AE 3AF (2)如图②,当DC=2时,求证:ED=2FB.

BD m AE AF (3)如图,当DC= n 时,猜想:ED与FB之间是否存在着一定的数量关系?若 存在,请写出它们之间的关系式,并给出证明过程;若不存在,请说明理由. 解析:(1)∵DG∥CF,BD=DC, 1 ∴BG=FG=2BF. AE AF AE AF 2AF ∵FE∥DG,∴ED=FG.∴ED=1 = BF . 2BF

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AE AF (2)过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点,∴ED=FG. BD 1 又DC=2, 2 ∴DC=2BD=3BC. FG DC 2 ∵DG∥FC,∴ BF = BC =3. 2 AE AF 3AF ∴FG=3BF,∴ED=2 =2BF. 3BF BD m AE m+n AF (3)当DC= n 时,有等式:ED= n · FB.

证明如下:如题图,过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点. AE AF ∴ED=FG. BD m BC m+n 又∵DC= n ,∴DC= n . BF BC m+n ∵DG∥FC,∴FG=DC= n . m+n AF n AE AF ∴FG= BF.∴ = = · . ED n n BF m+n BF m+n

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