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2014上海交大附中高二数学下学期期末试卷


2014 上海交大附中高二数学下学期期末试卷(含答案沪教版) (满分 150 分,120 分钟完成,答案一律写在答题纸上) 一、填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,满分 56 分) 1. 设复数满足 ,则 ______ ______。 2. 三个平面最多把空间分割成 8 个部分。 3. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2、圆心角为 180?的扇形,则这个圆锥的体积 是 。 4. 如图,在正三棱柱中, ,异面直线与所成角 的大小为 ,该三棱柱的体积为 。 5. 的展开式中的常数项是 60 。 6. 8 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有 512 种。 7. 将三个 1、三个 2、三个 3 填入 3×3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数 字,则不同的填写方法共有 12 种。 8. 用 4 种颜色给一个正四面体的 4 个顶点染色,若同一条棱的两个端点不能用 相同的颜色,那么不同的染色方法共有_____24________种。 9. 从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为 , 则 8 。 10. 用 0、1、2、3、4、5 组成一个无重复数字的五位数,这个数是偶数的概率 为 。 11. 设复数,,在复平面上所对应点在 直线上,则 = 。 12. 如图是一个正方体的表面展开图,A、B、C 均为棱的中点,D 是顶点, 则在正方体中,异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 。 13. 在直三棱柱中, 底面 ABC 为直角三角形, , . 已知G与E分别为和的中点, D与F分别为线段和上的动点(不包括端点). 若,则线段的长度的最小值 为 。 【解】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为 z轴,则(),,, ()。所以,。因为,所以,由此推出 。又, ,从而有 。 14. 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向 自由运动,则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积 是 . [解] 如答 12 图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面 //平 面,与小球相切于点,则小球球心为正四面体的中心,,垂足为的中心. 因 , 故,从而. 记此时小球与面的切点为,连接,则 . 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况,易知小球在面上最靠 近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答 12 图 2.记正四面体

的棱长为,过作于. 因,有,故小三角形的边长. 小球与面不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴影部分) . 又,,所以 . 由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为. 二、选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,满分 20 分) 15. 已知为异面直线, 平面 , 平面 .平面 α 与 β 外的直线满足 ,则(D ) A . ,且 B . ,且 C.与相交,且交线垂直于 D.与相交,且交线平行于 16. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在 容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器 的厚度,则球的体积为 ( A ) A. B. C. D. 17. 三个人乘同一列火车,火车有 10 节车厢,则至少有 2 人上了同一车厢的概 率为 ( B ) A. B. C. D. 18. 除以 100 的余数是 (C ) A.1 B.79 C. 21 D. 81 解: = =4 即除以 100 的余数为 21。 三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分 12’+14’+14’+16’+18’=74’) 19. 如图,AB 是底面半径为 1 的圆柱的一条母线,O 为下底面中心,BC 是下底 面的一条切线。 (1)求证:OB⊥AC; (2)若 AC 与圆柱下底面所成的角为 30° ,OA=2。求三棱锥 A-BOC 的体积。 解:(1)连结 OB,由圆的切线性质有 OB⊥BC,而 BC 是 AC 在底面⊙O 上的射影,∴OB⊥平面 ABC,∴OB⊥AC。 (2)在 RtΔOA B 中,AB=. 又∵∠ACB 就是 AC 与底面⊙O 所成角, , 20. 如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 8,侧棱长为 6,D 为 AC 中点。 (1)求证:直线 AB1∥平面 C1DB; (2)求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值。 证明:(1)连 B C 交于 E,连 DE, 则 DE∥, 而 DE 面 C DB, 面 C DB, ∴

(2)由(1)知∠DEB 为异面直线所成的角,在 。 21. 已知:对于任意的多项式与任意复数 z, 整除。利用上述定理解决下列问 题: (1)在复数范围内分解因式:; (2)求所有满足整除的正整数 n 构成的集合 A。 解:(1)令解得两个根,这里 所以 (2)记。有两个根,这里, 22. 设(是正整数),利用赋值法解决下列问题: (1)求; (2)为偶数时,求; (3)是 3 的倍数时,求。 解:令, (1),所以 (2), 所以 (3)记,则。当时,,当时,, 记,, , , 则 从上到下各式分别乘以,求得 。即 23. 宇宙深处有一颗美丽的行星,这个行星是一个半径为 r(r>0)的球。人们在 行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的 A 点落在北 纬 60° ,东经 30° ;B 点落在东经 30° 的赤道上;C 点落在北纬 60° ,东经 90° 。 在赤道上有点 P 满足 PB 两点间的球面距离等于 AB 两点间的球面距离。 (1)求 AC 两点间的球面距离; (2)求 P 点的经度; (3)求 AP 两点间的球面距离。 解:设球心为 O,北纬 60° 圈所对应的圆心为 O’, (1)那么 OO’= 。O’A=O’C= 。又因为∠AO’C=60°。 所以 AC= 。那么∠AOC= () 两点间的球面距离为() (2)PB 两点间的球面距离等于 AB 两点间的球面距离,所以 PB=AB。 可知∠POB=∠AOB=60° , 又 P 点在赤道上。所以 P 点的经度为东经 90° 或西经 30° 。 (3)显然 P 点的两种可能对应的 AP 间的球面距离相等。不妨 P 所在的经度为

东经 90° 。 由条件可知 O’A 平行 OB 且等于 OB 的一半, 延长 BA 与 OO’交于 D 点, 那么。 而 O’C 平行 OP 且等于 OP 的一半,所以 D、P、C 共线且。 可知 AC∥BP,所以 A、B、C、P 共面。


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