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北京市2013届高三最新文科数学模拟试题分类汇编9:圆锥曲线


北京 2013 届高三最新文科模拟试题分类汇编 9:圆锥曲线
一、选择题 错误!未指定书签。 . (2013 北京海淀二模数学文科试题及答案) 双曲线 C 的左右焦点分别为

F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点.设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C

的离心率为
A. 2
【答案】

( D. 2 ? 3



B. 1 ? 2 B.

C. 1 ? 3

错误!未指定书签。 . (2013 届北京丰台区一模文科)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点与抛物 a2 2
( )

线 y 2 ? 8x 的焦点重合,则该椭圆的离心率是

A.

3 2

B.

2 3 3

C.

2 2

D.

6 3

【答案】D 错误!未指定书签。 . (2013 届北京门头沟区一模文科数学)点 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆上的

一点,过焦点 F2 作 ?F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 M 点,则点 M 的轨迹是 A.抛物线 y
Q P M





B.椭圆

C.双曲线

D.圆

F1

O

F2

x

【答案】D 错误!未指定书签。 . (2013 北京丰台二模数学文科试题及答案)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2 3 (



A.

13 2

B. C.

13 3

C.

10 2

D.

10 3

【答案】

错误!未指定书签。 . (2013 届北京大兴区一模文科)抛物线 y =

x2 (- 2 ≤ x ≤ 2) 绕 y 轴旋转

一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面 恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 A.1 B.2 C. 2 2 D. 4 ( )

【答案】B
2 错误!未指定书签。 . (2013 届北京海滨一模文)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上

的动点,点 M 为其准线上的动点,当 ?FPM 为等边三角形时,其面积为 A. 2 3
【答案】D





B.4

C.6

D. 4 3

共 30 分)
二、填空题 错误!未指定书签。(2013 北京昌平二模数学文科试题及答案)双曲线 x .
2

?

y2 ? 1(b ? 0) 的一 b2

条渐近线方程为 y ? 3x ,则 b ? __________.
【答案】

3
x2 y 2 ? ? 1 的离心 a 2 b2

错误!未指定书签。(2013 北京顺义二模数学文科试题及答案)已知双曲线 .

率为

x2 y 2 2 6 ? ? 1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_____;渐近线 ,顶点与椭圆 8 5 3

方程为_________.
【答案】

(?2 2,0), 15 x ? 3 y ? 0
2

错误!未指定书签。(2013 北京东城高三二模数学文科)过抛物线 y .

= 4 x 焦点的直线交抛物线

于 A , B 两点,若 AB ? 10 ,则 AB 的中点 P 到 y 轴的距离等于___.
【答案】4;

x2 ? y2 ? 1 3 错误! 未指定书签。 . (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习文科数学) 以双曲线
的右焦点为焦点,顶点在原点的抛物线的标准方程是_______.
【答案】

y 2 ? 8x

错误!未指定书签。(2013 届北京大兴区一模文科)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的 .

离心率为

3 ,实轴长为 4,则双曲线的方程是_________ 2
x2 y 2 ? ?1 4 5

【答案】

错误!未指定书签。(2013 北京房山二模数学文科试题及答案)抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点坐标 .

为 F ( ,0) ,则抛物线 C 的方程为___,若点 P 在抛物线 C 上运动,点 Q 在直线 x ? y ? 5 ? 0 上运动,则 PQ 的最小值等于____.
【答案】

1 2

y 2 ? 2 x,

9 2 4
2 o

错误!未指定书签。(北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题)设抛物线 y = 4x 的焦点为 .

F,其准线与 x 轴的交点为 Q,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若∠AQB=90 ,则直线 l 的方程为_____________________.
【答案】 x ? 1 错误!未指定书签。(2013 届北京西城区一模文科)抛物线 y .
2

? 2x 的准线方程是______;该抛
5 ,则 x0 ? ______. 2

物线的焦点为 F ,点 M ( x0 , y0 ) 在此抛物线上,且 MF ?
【答案】 x ? ? 三、解答题

1 ,2 ; 2

错误!未指定书签。(2013 北京海淀二模数学文科试题及答案)(本小题满分丨 4 分) .

已知椭圆 C: 四个顶点.

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2,一内角为 60? 的菱形的 a 2 b2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若直线 y ? kx 交椭圆 C 于 A,B 两点,在直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上存在点 P,使得 Δ PAB 为等边三角形,求 k 的值.

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 b 【答案】解:(I)因为椭圆 C : a 的四个顶点恰好是一边长为 2,一内角

为 60 的菱形的四个顶点,

?

x2 ? y2 ? 1 所以 a ? 3, b ? 1 ,椭圆 C 的方程为 3
(II)设 A( x1 , y1 ), 则 B( ? x1 , ? y1 ), 当直线 AB 的斜率为 0 时, AB 的垂直平分线就是 y 轴,

y 轴与直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的交点为 P(0,3) ,
? 又因为 | AB |? 3,| PO |? 3 ,所以 ?PAO ? 60 ,

所以 ?PAB 是等边三角形,所以直线 AB 的方程为 y ? 0 当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设 AB 的方程为 y ? kx

所以

? x2 2 ? ? y ?1 ?3 ? y ? kx ?
| x1 |?

2 2 ,化简得 (3k ? 1) x ? 3

所以

3 3 3k 2 ? 3 | AO |? 1 ? k 2 ? 3k 2 ? 1 ,则 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

1 y?? x k ,它与直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的交点记为 P( x0 , y0 ) 设 AB 的垂直平分线为
3k ? ? x0 ? k ? 1 ? y ? ?x ? 3 ? ? ? 9k 2 ? 9 1 ? ? y ? ?3 | PO |? ?y ? ? k x 0 (k ? 1)2 k ? 1 ,则 ? 所以 ? ,解得 ?
因为 ?PAB 为等边三角形, 所以应有 | PO |? 3 | AO |

9k 2 ? 9 3k 2 ? 3 ? 3 2 3k 2 ? 1 ,解得 k ? 0 (舍), k ? ?1 代入得到 (k ? 1) 此时直线 AB 的方程为 y ? ?x |
综上,直线 AB 的方程为 y ? ?x 或 y ? 0

错误!未指定书签。(2013 届北京丰台区一模文科)已知椭圆 C: .

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右 a 2 b2

焦点为 F(2,0),且过点 P(2, 2 ).直线 l 过点 F 且交椭圆 C 于 A、B 两点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M( , 0 ),求直线 l 的方程.

1 2

【答案】已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F(2,0),且过点(2, 2 ).直线 l a 2 b2

过点 F 且交椭圆 C 于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M( , 0 ),求直线 l 的方程.

1 2

解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 4 x2 y 2 ? 2 2 ? ? 1, ,解得 a ? 8 , b ? 4 ,所以椭圆 C 的方程为 ?4 2 8 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
(Ⅱ)当斜率不存在时,不符合题意, 当斜率存在时设直线 l 的方程为 y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点为 N(x0,y0),

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 由? 8 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 8 ? 0 , 4 ? y ? k ( x ? 2) ?
因为 ? ? 64k ? 4(1 ? 2k )(8k ? 8) ? 32(k ? 1) ? 0 ,
4 2 2 2

所以 x1 ? x2 ?

8k 2 , 1 ? 2k 2

?2k x1 ? x2 4k 2 ? 所以 x0 ? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? , 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k
因为线段 AB 的垂直平分线过点 M(

1 , 0 ), 2

所以 kMN ? k ? ?1 ,即

y0 x0 ? 1 2

? k ? ?1,所以 ?

2k 2 4k 2 1 ?? ? , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

解得, k ? ?

2 , 2

所以直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 y ? 2 ? 0

错误!未指定书签。(2013 届北京西城区一模文科)如图,已知椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F , 4 3

过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别 交于 D, E 两点. (Ⅰ)若点 G 的横坐标为 ?

1 ,求直线 AB 的斜率; 4

(Ⅱ)记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为 S2 .试问:是否存在直线 AB , 使得 S1 ? S2 ?说明理由.

【答案】(Ⅰ)解:依题意,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y ? k ( x ? 1)

将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 4 3 ?8k 2 4k 2 ? 3

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? x2 ?

x1 ? x2 ?4k 2 ? 2 故点 G 的横坐标为 . 2 4k ? 3
依题意,得

?4k 2 1 ?? , 2 4k ? 3 4
1 2

解得 k ? ?

(Ⅱ)解:假设存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ,显然直线 AB 不能与 x , y 轴垂直.

?4k 2 3k , 2 ) 由(Ⅰ)可得 G ( 2 4k ? 3 4 k ? 3
因为 DG ? AB ,

3k 4k 2 ? 3 ? k ? ?1, 所以 ?4k 2 ? xD 4k 2 ? 3
解得 xD ?

?k 2 ?k 2 , 0) , 即 D( 2 4k 2 ? 3 4k ? 3

因为 △ GFD ∽△ OED , 所以 S1 ? S2 ? | GD | ? | OD | 所以

(

?k 2 ?4k 2 2 3k 2 ?k 2 ? 2 ) ?( 2 ) ? , 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k 2 ? 3
2

整理得 8k ? 9 ? 0 因为此方程无解, 所以不存在直线 AB ,使得 S1 ? S2

x2 ? y 2 ? 1,其短轴 错误!未指定书签。(2013 北京丰台二模数学文科试题及答案)已知椭圆 C: . 4
的端点分别为 A,B(如图),直线 AM,BM 分别与椭圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M (m,

1 ) 满足 2

m ? 0 ,且 m ? ? 3 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标; (Ⅲ)证明直线 EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关.

【答案】解:(Ⅰ)依题意知 a ? 2 , c ?

3 ,?e ? 3 ;
2

(Ⅱ)? A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

1 ),且 m ? 0 , 2

? 直线 AM 的斜率为 k1= ?

1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , 2m 2m 2m

3 ? 直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

? x 2 ? y 2 ? 1, 4m ? ? ? 由? 4 得 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 ,? x ? 0, x ? 2 , ? E ? 4m , m 2 ? 1 ? , 2 m ?1 ? m ?1 m ?1 ? ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?
2

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 , ? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

2 12m , ? F ? 12m , 9 ? m ? ; 2 ? 2 ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?

(Ⅲ)据已知, m ? 0, m2 ? 3 ,
m2 ? 1 9 ? m2 2 ? 2 2 ? 直线 EF 的斜率 k ? 1 ? m2 9 ? m2 ? (m ? 3)(m ? 3) ? ? m ? 3 , 4m 4m 12m ?4m(m2 ? 3) ? 2 2 1? m 9 ? m

? 直线 EF 的方程为

y?

m2 ? 1 m2 ? 3 ? 4m ? ?? ?x? 2 ?, 2 m ?1 4m ? m ?1 ?

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关

错误! 未指定书签。 北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题) . ( 设椭圆 C:

x2 y 2 =1(a>b>0) ? a 2 b2

的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为

1 ,左焦点 F1 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离等于 2

长半轴长. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的中垂线与 x 轴相 交于点 P(m,O),求实数 m 的取值范围.

【答案】

错误! 未指定书签。 . (2013 届北京东城区一模数学文科) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 a 2 b2

两个焦点分别为 F , F2 ,离心率为 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

2 ,且过点 (2, 2) . 2

(Ⅱ) M , N , P , Q 是椭圆 C 上的四个不同的点,两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和 PQ

分别过点 F , F2 ,且这两条直线互相垂直,求证: 1

1 1 为定值. ? | MN | | PQ |

【答案】(共 13 分)

(Ⅰ)解:由已知 e ?

c 2 , ? a 2

b2 a 2 ? c 2 1 ? 1 ? e2 ? . 所以 2 ? 2 a a 2
所以 a ? 2b .
2 2

所以 C :

x2 y2 ? 2 ? 1 ,即 x2 ? 2 y 2 ? 2b2 . 2b 2 b

因为椭圆 C 过点 (2, 2) , 得b ? 4 , a ? 8.
2 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆 C 的焦点坐标为 F1 (?2,0) , F2 (2,0) . 根据题意, 可设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 由于直线 MN 与直线 PQ 互相垂直,则直线 PQ 的方程为 y ? ? 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

1 ( x ? 2) . k

? y ? k ( x ? 2), ? 由方程组 ? x 2 y 2 消y得 ?1 ? ? 4 ?8

(2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 .
?8k 2 8k 2 ? 8 , x1 x2 ? 2 则 x1 ? x2 ? . 2k 2 ? 1 2k ? 1
2 2 所以 MN ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 =

4 2(1 ? k 2 ) . 2k 2 ? 1

4 2(1 ? k 2 ) 同理可得 PQ ? . k2 ? 2
所以

1 1 2k 2 ? 1 k2 ? 2 3k 2 ? 3 3 2 ? . ? ? ? ? 2 2 2 | MN | | PQ | 4 2(1 ? k ) 4 2(1 ? k ) 4 2(1 ? k ) 8

错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2013 北 京 顺 义 二 模 数 学 文 科 试 题 及 答 案 ) 已 知 椭 圆

G:

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F1 , F2 为椭圆 G 的两个焦点,点 P 在椭圆 2 a b 2

G 上,且 ?PF1F2 的周长为 4 ? 4 2 .
(Ⅰ)求椭圆 G 的方程 (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 G 相交于 A 、B 两点,若 OA ? OB ( O 为坐标原点),求证:直线 l 与 圆x ? y ?
2 2

??? ?

??? ?

8 相切. 3

【答案】解(Ⅰ)由已知得,

c 2 ? 且 2a ? 2c ? 4 ? 4 2. 解得 a ? 2 2, c ? 2 a 2
x2 y2 ? ? 14 8 4

又 b ? a ? c ? 4 所以椭圆 G 的方程为
2 2 2

(Ⅱ) 证 明 : 有 题 意 可 知 , 直 线 l 不 过 坐 标 原 点 , 设 A, B 的 坐 标 分 别 为

( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( y1 ? y2 )
(ⅰ)当直线 l ? x 轴时,直线 l 的方程为 x ? m( m ? 0) 且 ?2 2 ? m ? 2 2

m2 m2 则 x1 ? m, y1 ? 4 ? , x ? m, y2 ? ? 4 ? 2 2 2
??? ??? ? ? ? OA ? OB

m2 )?0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? m ? (4 ? 2
2

解得 m

??

2 6 3

故直线 l 的方程为

x??
2 6 3

2 6 3

因此,点 O (0, 0) 到直线 l 的距离为 d ?

又圆 x ? y ?
2 2

8 2 6 ?d 的圆心为 O (0, 0) ,半径 r ? 3 3

所以直线 l 与圆 x ? y ?
2 2

8 相切 3

(ⅱ)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? n

? y ? kx ? n ? 由 ? x2 y2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4knx ? 2n2 ? 8 ? 0 ? 14 ? ? 4 ?8

?4kn 2n 2 ? 8 ? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
y1 y2 ? (kx1 ? n)(kx2 ? n) ? k x1 x2 ? nk( x1 ? x2 ) ? n ?
2 2

n 2 ? 8k 2 1 ? 2k 2

??? ??? ? ? ? OA ? OB

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 故

2n 2 ? 8 n 2 ? 8k 2 ? ?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

即 3n2 ? 8k 2 ? 8 ? 0, 3n2 ? 8k 2 ? 8 ① 又圆 x ? y ?
2 2

8 2 6 的圆心为 O (0, 0) ,半径 r ? 3 3

? n ? n2 3n 2 ?d ? ? ? ? 圆心 O 到直线 l 的距离为 d ? ② ? 2 1 ? k 2 3(1 ? k 2 ) 1? k2 ? 1? k ?

n

2

2

将①式带入②式得

2 6 8k 2 ? 8 8 ?r d ? ? 吗 所以 d ? 2 3 3(1 ? k ) 3
2
2 2

因此,直线 l 与圆 x ? y ?

8 相切 3
x2 y2 ? ? 1 和点 P(4,0) ,垂直 4 3

错误!未指定书签。(2013 届房山区一模文科数学)已知椭圆 C : .

于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)证明直线 AE 与 x 轴相交于定点.
【答案】(Ⅰ)由题意知:

a2 =4, b2 =3,
; 离心率 e =

所以 c =a ? b =1
2 2 2

所以,焦点坐标为 ( ? 1,0)

c 1 = a 2

(Ⅱ)由题意知:直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y =k (x ? 4)

B( x1 ,


y1 ) , E( x2 ,

y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) ,
得 (3+4k 2 )x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0

? y ? k (x ? 4) ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12

则 x1 +x2 =

32k 2 64k 2 ? 12 , x1 x2 = 3+4k 2 3+4k 2

(1)

直线 AE 的方程为 y ? y2 =

y2 +y1 (x ? x2 ) , x2 ? x1
(2)

令 y =0 ,得 x=x2 ?

y2 (x2 ? x1 ) y1 +y2

又 y1 =k (x1 ? 4) , y2 =k (x2 ? 4) 代入(2)式,得 x= 把(1)代入(3)式,整理得 x =1 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 (1,0)

2x1x 2 ? 4(x1 +x2 ) (3) x1 +x2 ? 8

错误! 未指定书签。 . (2013 北京昌平二模数学文科试题及答案) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的离心率为

6 , 且过点 (0,1) . 3

(I)求此椭圆的方程; (II)已知定点 E (?1,0) ,直线 y ? kx ? 2 与此椭圆交于 C 、 D 两点.是否存在实数 k ,使得 以线段 CD 为直径的圆过 E 点.如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.

?c 6 ? ? ?a 2 ? 3 3 ?a ? x2 y2 ? , 解得,b 2 ? 1 . 所以椭圆方程为 ? ?1 【答案】解:(1)根据题意, ?b ? 1 ? 3 1 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?c 2 ? 2 ? ? ? ?
(II)将 y ? kx ? 2 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 ,由直线与椭圆有两个交点,
2 2 2 2 所以 ? ? (12k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 0 ,解得 k ? 1 .
2

设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

12k 9 , x1 ? x2 ? ,若以 CD 为直径的圆 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

过 E 点,则 EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y 2 ? 0 ,

而 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) = k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ,所以

( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? k 2 ?1) x1x2 ? (2k ?1)( x1 ? x2 ) ? 5 (
? 9(k 2 ? 1) 12k (2k ? 1) ? ?5 ? 0, 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

7 2 ,满足 k ? 1 . 6 7 所以存在 k ? , 使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点 6
解得 k ?
错误! 未指定书签。 . (2013 北京朝阳二模数学文科试题) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的 a 2 b2

右焦点 F (1,0) ,长轴的左、右端点分别为 A , A2 ,且 FA ? FA2 ? ?1 . 1 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过焦点 F 斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,弦 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D . 试问椭圆 C 上是否存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形?若存在,试求点

???? ???? ?

E 到 y 轴的距离;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)依题设 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,则 FA 1

????

???? ? (?a ?1,0) , FA2 ? (a ?1,0) .
x2 ? y2 ? 1 2

由 FA ? FA2 ? ?1,解得 a ? 2 ,所以 b ? 1 .所以椭圆 C 的方程为 1
2 2

???? ????

(Ⅱ)依题直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

由?

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 ? 2k ? 1? x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 . 2 2 ?x ? 2 y ? 2

设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,弦 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ?

?k 4k 2 2(k 2 ? 1) 2k 2 , x1 x2 ? , x0 ? , y0 ? , 所 以 2 2 2 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

M(

2k 2 ?k , 2 ). 2 2k ? 1 2k ? 1 1 2k 2 ? ? (x ? 2 ) , 2k 2 ? 1 k 2k ? 1 k

直线 MD 的方程为 y ?

令 y ? 0 ,得 xD ?

k2 k2 ,0) . ,则 D( 2 2k 2 ? 1 2k ? 1 3k 2 ?2k , 2 ). 2 2k ? 1 2k ? 1

若四边形 ADBE 为菱形,则 xE ? xD ? 2x0 , yE ? yD ? 2 y0 .所以 E (

若点 E 在椭圆 C 上,则 (

3k 2 2 ?2k ) ? 2( 2 )2 ? 2 . 2 2k ? 1 2k ? 1

整理得 k ? 2 ,解得 k ?
4

2

2 .所以椭圆 C 上存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形.

此时点 E 到 y 的距离为

12 ? 3 2 7

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 北 京 市 朝 阳 区 2013 届 高 三 第 一 次 综 合 练 习 文 科 数 学 ) 已 知 椭 圆 .

C:

x2 y 2 3 . ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 A(2,0) ,离心率为 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 B (1, 0) 且斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,直线 AE , AF 分别交直线 x ? 3 于 M , N 两点,线段 MN 的中点为 P .记直线 PB 的斜率为 k ? ,求证:

k ? k ? 为定值.
?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 3 ?c 【答案】解:(Ⅰ)依题得 ? ? 解得 a 2 ? 4 , b 2 ? 1 . , 2 ?a ?a ? 2. ?
所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)根据已知可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 . 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0

8k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 ? 2 设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? . 4k 2 ? 1 4k ? 1
直线 AE , AF 的方程分别为: y ?

y1 y2 ( x ? 2), y ? ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

令 x ? 3, 则 M (3,

y1 y 1 y y ), N (3, 2 ) ,所以 P(3, ( 1 ? 2 )) . x1 ? 2 x2 ? 2 2 x1 ? 2 x2 ? 2 k k ( x1 ? 1)( x2 ? 2) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? 4 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

所以 k ? k ? ?

?

k 2 2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

8k 2 ? 8 ? 24k 2 ? 16k 2 ? 4 k2 4k 2 ? 1 ? ? 2 4 4k ? 4 ? 16k 2 ? 16k 2 ? 4 4k 2 ? 1
? k 2 ?4 1 ? 2 ?? 4 4k 4

错误!未指定书签。(2013 届北京大兴区一模文科)已知动点 P 到点 A(-2,0)与点 B(2,0)的斜 .

率之积为 ? ,点 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ,BQ 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,直线 BM 与椭 圆的交点为 D.求线段 MN 长度的最小值.

1 4

【答案】解:(Ⅰ)设 P ( x, y ) ,由题意知

k AP ? k BP ? ?

y y 1 1 ? ? ? ( x ? ?2) ,即 4 x?2 x?2 4

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2) 化简得曲线 C 方程为: 4
(Ⅱ)思路一 满足题意的直线 AQ 的斜率显然存在且不为零,设其方程为 y ? k ( x ? 2) ,

?1 ?1 ( x ? 2) , ,所以,设直线 QB 方程为 y ? 4 4k ?1 ) ,易求 M 点坐标为 M (4,6k ) 当 x ? 4 时得 N 点坐标为 N (4, 2k
由(Ⅰ)知 k QB ? k ? 所以 | MN |? 6k ?

1 1 1 = | 6k | ? ? 2 | 6k | ? ?2 3, | 2k | 2k | 2k |

当且仅当 k ? ?

3 时,线段 MN 的长度有最小值 2 3 . 6

思路二:满足题意的直线 AQ 的斜率显然存在且不为零,设其方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? x2 ? ? y2 ?1 联立方程: ? 4 ? y ? k ( x ? 2) ?
2 2 2 2 消元得 (4k ? 1) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 ,

设 Q( x0 , y 0 ) , M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) , 由韦达定理得: ? 2 ? x 0 ?

16k 2 ? 4 , 4k 2 ? 1

所以 x 0 ? 所以 Q(

4k ? 8k 2 ? 2 ,代入直线方程得 y 0 ? , 2 4k 2 ? 1 4k ? 1

2 ? 8k 2 4k , ) ,又 B(2,0) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

4k ?0 2 1 所以直线 BQ 的斜率为 , 1 ? 4k 2 ?? 4k 2 ? 8k ?2 1 ? 4k 2

以下同思路一

思路三:设 Q( x0 , y 0 ) ,则直线 AQ 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) x0 ? 2

直线 BQ 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) x0 ? 2

当 x ? 4 ,得 yM ? 当 x ? 4 ,得 y N ? 则 MN ?

6 y0 6 y0 ) ,即 M (4, x0 ? 2 x0 ? 2 2 y0 2 y0 ) ,即 N (4, x0 ? 2 x0 ? 2

6 y0 2 y0 2x ? 8 ? ? 2 y0 ? 20 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4
2 x0 ? 8 2 ) x0 2 ? 4

MN ? 4 y0 2 ? (
2

又 x0 2 ? 4 y0 2 ? 4 所以 MN ?
2

4( x0 ? 4) 2 4 ? x0 2

利用导数,或变形为二次函数求其最小值.
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 2013 届 北 京 海 滨 一 模 文 ) 已 知 圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? .

7 ,若椭圆 3

C:

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右顶点为圆 M 的圆心,离心率为 . 2 a b 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)已知直线 l : y ? kx ,若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , H 两点(其中点 G 在线段 AB 上),且 AG ? BH ,求 k 的值.

【答案】解:(I)设椭圆的焦距为 2c ,

c 2 ? 2 ,所以 c ? 1 因为 a ? 2 , a
所以 b ? 1

x2 ? y2 ? 1 C: 2 所以椭圆
(II)设 A (

x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

? y ? kx ? 2 2 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 由直线
2 2 所以 (1 ? 2k ) x ? 2 ? 0 ,

x ? x2 ? 0 , 则 1

x1 x2 ? ?

2 1 ? 2k 2

8 8(1 ? k 2 ) AB ? (1 ? k ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 所以
2

d?
点 M ( 2,0 )到直线 l 的距离

2k 1? k2

GH ? 2


7 2k 2 ? 3 1? k2

y 显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 轴,矛盾,
因为

AG ? BH

,所以

AB ? GH
H

8(1 ? k 2 ) 7 2k 2 ? 4( ? ) 2 3 1? k2 所以 1 ? 2k
2 解得 k ? 1 ,即 k ? ?1

B G A

错误! 未指定书签。 . (2013 北京东城高三二模数学文科) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 a 2 b2

离心率 e ?

3 4 5 ,原点到过点 A( a, 0) , B(0, ?b) 的直线的距离是 . 2 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? 1 (k ? 0) 交椭圆 C 于不同的两点 E , F ,且 E , F 都在以 B 为圆心 的圆上,求 k 的值.
【答案】(共 13 分)解(Ⅰ) 因为

c 3 2 2 2 ? , a ? b ? c ,所以 a ? 2b . a 2

因为原点到直线 AB :

x y ab 4 5 ? ? 1 的距离 d ? ,解得 a ? 4 , b ? 2 . ? 2 2 a b 5 a ?b

故所求椭圆 C 的方程为

x2 y ? ? 1. 16 4

2

? y ? kx ? 1, ? (Ⅱ) 由 题 意 ? x 2 y 2 消 去 y , 整 理 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ? 12 ? 0 . ?1 ? ? ?16 4
? ? 0.
设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , EF 的中点是 M ( xM , yM ) , 则 xM ?

可知

x1 ? x2 ?4k 1 ? , yM ? kxM ? 1 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

所以 k BM ?

yM ? 2 1 ?? . xM k

所以 xM ? kyM ? 2k ? 0 . 又因为 k ? 0 ,



?4k k ? ? 2k ? 0 . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2

所以 k ?

1 2 .所以 k ? ? 8 4

错误! 未指定书签。 2013 北京房山二模数学文科试题及答案) . ( 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2

的焦点坐标为 (? 2 ,0) ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆的方程;

6 .直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 P , Q 两点. 3

(Ⅱ)是否存在实数 k ,使得以 PQ 为直径的圆过点 D(? 1, 存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)由 e ?

0) ?若存在,求出 k 的值;若不

6 c ? , c ? 2 , a 2 ? b2 ? c 2 3 a

得a ?

3 , b ? 1,

所以椭圆方程是:

x2 ? y2 ? 1 3

(Ⅱ)设 P( x1 ,

y1 ) , Q( x2 ,

y2 )

则 y1 ? kx1 ? 2 , y 2 ? kx2 ? 2

将 y ? kx ? 2 代入 则 x1 ? x2 ? ?

x2 ? y 2 ? 1 ,整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*) 3

12k 9 , x1 x2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ??? ???? ? ??? ???? ? 以 PQ 为直径的圆过 D(? 1, 0) ,则 PD ? QD ,即 PD ? QD ? 0
??? ???? ? PD ? QD ? ( x1 ? 1,
y1 ) ? ( x2 ? 1, y2 ) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2

? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? y1 y2 ? 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 5

?

?12k ? 14 ?0 3k 2 ? 1

解得 k ?

7 7 , 此 时 (*) 方 程 ? ? 0 , 所 以 存 在 k ? , 使 得 以 PQ 为 直 径 的 圆 过 点 6 6

D(? 1, 0)
错误!未指定书签。(2013 届北京门头沟区一模文科数学)已知椭圆与双曲线 x .
2

? y 2 ? 1 有相

同的焦点,且离心率为 (I)求椭圆的标准方程;

2 . 2

(II)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A、 两点,O 为坐标原点,若 AP ? 2PB ,求 ?AOB 的 B 面积.

x2 y2 【答案】解:(I)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , a ? b ? 0 , a b
由c ?

2 ,可得 a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2
x2 y2 ? ?1 4 2

既所求方程为

(II)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由 AP ? 2PB 有

? ? x1 ? 2x2 ? ?1 ? y1 ? 2( y2 ? 1)

设直线方程为 y ? kx ? 1 ,代入椭圆方程整理,得

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 2 ? 0
解得

x?

? 2k ? 8k 2 ? 2 2k 2 ? 1



x1 ?

? 2k ? 8k 2 ? 2 ? 2k ? 8k 2 ? 2 , x2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ? 2k ? 8k 2 ? 2 ? 2k ? 8k 2 ? 2 ? ? 2? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1



解得

k2 ?

1 14

又 ?AOB 的面积 S ?

1 1 2 8k 2 ? 2 126 | OP | ? | x1 ? x2 |? ? ? 2 2 2 2k ? 1 8
126 8

答: ?AOB 的面积是

错误!未指定书签。(2013 届北京市延庆县一模数学文)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的 .

中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为

1 .过 F1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,且 2

?ABF2 的周长为 8 .过定点 M (0,3) 的直线 l1 与椭圆 C 交于 G, H 两点(点 G 在点 M , H
之间). (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l1 的斜率 k ? 0 ,在 x 轴上是否存在点 P (m,0) ,使得以 PG 、 PH 为邻边的平 行四边形为菱形.如果存在,求出 m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.

【答案】

解:(Ⅰ)设椭圆的方程为

x2 y2 c 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率 e ? ? , 2 a 2 a b

?ABF2 的周长为 | AF1 | ? | AF2 | ? | AF1 | ? | AF2 |? 4a ? 8 ,
解得 a ? 2, c ? 1 ,则 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)直线 l1 的方程为 y ? kx ? 3(k ? 0) ,

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 由? 4 ,消去 y 并整理得 (3 ? 4k ) x ? 24kx ? 24 ? 0 (*) 3 ? y ? kx ? 3 ?

? ? (24k ) 2 ? 4 ? 24 ? (3 ? 4k 2 ) ? 0 ,解得 k ?

6 , 2

设椭圆的弦 GH 的中点为 N ( x0 , y 0 ) ,则“在 x 轴上是否存在点 P (m,0) ,使得以 PG 、

PH 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 为 菱 形 .” 等 价 于 “ 在 x 轴 上 是 否 存 在 点 P(m,0) , 使 得

PN ? l1 ”
24k , 3 ? 4k 2 x ? x2 12k 9 所以 x0 ? 1 , ? y 0 ? kx0 ? 3 ? ? ?? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
设 G ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y 2 ) ,由韦达定理得, x1 ? x2 ? ?

? N (?

9 12k 9 , , ) , k PN ? ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 12k ? m(3 ? 4k 2 ) 9 3k 6 ? k ? ?1 ,解得 m ? ? (k ? ) 2 2 2 3 ? 4k 12k ? m(3 ? 4k )
3(2k ? 3 )(2k ? 3 ) 3( 6 ? 3 )(2k ? 3 ) ? ? 0 ,所以, (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4k 2 ) 2
3k 6 6 6 6 , (k ? ) 在定义域 ( ,??) 单调递增, m( ) ? ? 2 2 2 2 6 3 ? 4k 6 ,??) 6
2

所以, ?

m?(k ) ?

函数 m ? ?

所以满足条件的点 P (m,0) 存在, m 的取值范围为 ( ?

错误!未指定书签。(2013 北京西城高三二模数学文科)如图,椭圆 C : x .

?

y2 ? 1 (0 ? m ? 1) m

的左顶点为 A , M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称. (Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 ) ,求 m 的值; 5 5

(Ⅱ)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

【答案】

(Ⅰ)解:依题意, M 是线段 AP 的中点, 因为 A(?1, 0) , P( ,

9 4 3 ), 5 5

所以 点 M 的坐标为 ( ,

2 2 3 ) 5 5
4 12 4 ? ? 1 , 解得 m ? 25 25m 7


由点 M 在椭圆 C 上, 所以

2 y0 ? 1 ,且 ?1 ? x0 ? 1. (Ⅱ)解:设 M ( x0 , y0 ) ,则 x ? m 2 0

因为 M 是线段 AP 的中点, 所以 P(2x0 ? 1, 2 y0 ) 因为 OP ? OM ,所以 x0 (2 x0 ? 1) ? 2 y02 ? 0 . 由 ①,② 消 去 ②
2 2 x0 ? x0 m? 2 2 x0 ? 2

y0

,











m ? 1?

1 6 2( x0 ? 2) ? ?8 x0 ? 2

?

1 3 , ? 2 4

当且仅当 x0 ? ?2 ? 3 时,上式等号成立. 所以 m 的取值范围是 (0,

1 3 ? ] 2 4


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