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2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明 1 演绎推理课件 新人教B版选修2-2


第二章 推理与证明
2.1 演绎推理

内容: 1、什么是演绎推理?

2、什么是三段论? 3、合情推理与演绎推理有哪些区别? 4、能举出一些在生活和学习中有关演绎 推理的例子。
应用: 1、计算

2、用三段论的形式写出演绎推理
3、证明

本课主要学习演绎推理.从

小故事出发,调动学生学 习的积极性,让学生初步感受演绎推理的过程 ;重点是 了解演绎推理的含义 , 能利用“三段论”进行简单的 推理 . 难点是掌握演绎推理的基本方法 . 另外 , 从问题 入手,引导学生思考探究 ,在得到演绎推理相关概念的 同时又与合情推理做了对比 , 这样学生的理解和记忆 将会更深刻,既突出了重点又突破了难点. 为了巩固新知识,探究了 3 个例题,例题设置难 易适度,每个例题后有针对性的变式训练 ,便于学生巩 固和掌握 . 另外题型涉及到用演绎推理的概念、一般 模式去求解问题 , 培养学生分析问题和解决问题的能 力。通过设置难易不同的必做和选做作业,对不同的 学生进行因材施教。

歌德是18世纪德国的一位著名的文艺大师.有 一位与其文艺思想相左的文艺批评家,生性古怪, 态度傲慢 .— 天 , 歌德与他“狭路相逢” , 不期而 遇.这位文艺批评家见歌德迎面走来,不仅没有有 礼貌地打招呼 , 反而目中无人 , 高傲地往前直走 , 并卖弄聪明地大声说:“我从来不给傻子让路!” 面对这十分尴尬的情景 , 歌德镇定自若、笑容可 掬,谦恭地闪避一旁,并机智而礼貌地答道:“呵呵 , 我可恰恰相反 .” 故作聪明的文艺批评家顿时怔 然,讨了个没趣,只得默然离去. 在这故事里 , 无论是文艺批评家还是歌德 , 各自 都只说了一句 , 而且话语非常简练 , 极为深刻 , 话中 有理 , 语中有刺 . 他们的对话 , 体现了演绎推理的三 段论法.

(一)复习回顾:合情推理
? .归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是 由特殊到特殊的推理. ? .一般过程:从具体问题出发 观察、分析、比较、 联想 归纳、类比 提出猜想. ? .合情推理的结论不一定成立.

合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观 察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出 猜想的推理,我们把它们统称为合情推理。 通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的应用
数学研究中,得到一个新结论之前,合情推 理常常能帮助我们猜测和发现结论。
证明一个数学结论之前,合情推理常常能为 我们提供证明的思路和方向

大前提 1.所有的金属都能导电, 小前提 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 结论 2.一切奇数都不能被2整除,
因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 因为tan 三角函数, 所以是tan 周期函数 大前提 小前提 结论

4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.

1、演绎推理:由一般到特殊的推理。
所有金属都能导电 铜是金属
铜能导电

太阳系大行星以椭圆 冥王星是太阳 轨道绕太阳运行 系的大行星

冥王星以椭圆形 轨道绕太阳运行

奇数都不能被2整除

2007是奇数

2007不能被2整除

观察上述例子有什么特点?

大前提
所有金属都能导电

小前提
铜是金属

结论
铜能导电

太阳系大行星以椭圆 冥王星是太阳 轨道绕太阳运行 系的大行星

冥王星以椭圆形 轨道绕太阳运行

奇数都不能被2整除

2007是奇数

2007不能被2整除

进一步观察上述例子有几部分组成?各有 什么特点?

演绎推理的定义:
从一般性的原理出发,推出某个特殊 情况下的结论,这种推理称为演绎推理.

演绎推理的模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式;

M……P(M是P) S……M (S是M) S……P (S是P)

大前提---已知的一般原理; 小前提---所研究的特殊对象; 结论---据一般原理,对特殊

对象做出的判断.

用集合的观点来理解:三段论推理的依据
若集合 M 的所有元 素都具有性质 P , S是M的一个子集 ,那么 S 中所有元 素也都具有性质 P 。

P S
M

所有的金属(M)都能够导电(P) M……P 铜(S)是金属(M) S……M S……P 铜(S)能够导电(P)

演绎推理的结论一定正确吗?

(1)因为指数函数 y ? a 是增函数,
x



?1? y ?? ? ? 2?

x

是指数函数,
x

所以

?1? y ?? ? ? 2?

是增函数。

错因:大前提是错误的,所以结论是 错误的。

(2)如图:在△ABC中,AC>BC,CD是AB边上 的高,求证∠ACD>∠BCD。
证明: 在△ABC中, C

因为CD⊥AB,AC>BC
所以AD>BD, 于是∠ACD>∠ BCD。

A

D

B

错因:偷换概念

(3)因为金属铜、铁、铝能够导电 (大前提),而金是金属(小前 提),所以金能导电(结论)

?错因:推理形式错误。
因为演绎推理是从一般到特殊的推理 ,铜、铁、铝 是特殊事例,从特殊到 特殊的推理不是演绎推理。

( 3)

在演绎推理中,只要前提和推

理形式是正确的,结论必定正确。 大前提 小前提 结论
所有金属都能导电 铜是金属

铜能导电

太阳系大行星以椭 圆轨道绕太阳运行

冥王星是太阳 系的大行星

冥王星以椭圆形 轨道绕太阳运行

奇数都不能被2整除

2007是奇数

2007不能被2整除

小明是一名高二年级的学生,17岁,迷恋上网络,沉迷于 虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用,便向亲戚要钱 ,但这仍然满足不了需求,于是就产生了歹念,强行向路人

抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了 50元,这应
该不会很严重吧??如果你是法官,你会如何判决呢?

大前提:刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的,使

用暴力、胁迫或其他方法,强行劫取公私财物的行
为。其刑事责任年龄起点为14周岁,对财物的数额 没有要求。

小前提:小明超过14周岁,强行向路人抢取钱财50元。
结论:小明犯了抢劫罪。

演绎推理的特点:
1 .演绎推理的前提是一般性原理,演绎所得的 的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实,结 论完全蕴含于前提之中,因此演绎推理是由一般 到特殊的推理; 2 、在演绎推理中,前提于结论之间存在着必然 的联系,只要前提和推理形式是正确的,结论必 定正确。因此演绎推理是数学中严格的证明工具 。 3 、在演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较 少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证 作用,有助于科学论证和系统化。

合情推理与演绎推理的区别
合情推理

演绎推理
归纳推理 类比推理

区 别

推理 形式 推理 结论

由部分到整体、个 别到一般的推理。

由特殊到特殊 的推理。

由一般到特殊的 推理。

结论不一定正确,有待进一步证明。

在大前提、小前提 和推理形式都正确 的前提下,得到的 结论一定正确。

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。

推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理)

类比 三段论 (特殊到一般) (特殊到特殊)(一般到特殊) 归纳

例1 :已知lg2 ? m, 计算lg0.8
解 : (1) lga n ? n lga(a ? 0),
lg8 ? lg2 ,
3

大前提 小前提 大前提 小前提 结论

所以lg8 ? 3 lg2 结论 a ( 2) lg ? lg a ? lg b(a ? 0, b ? 0), b 8 lg 0.8 ? lg , 10 所以lg0.8 ? lg8 ? 1 ? 3 lg2 ? 1 ? 3m ? 1.

1、下面说法正确的有( C )
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理; (2)演绎推理得到的结论一定是正确的; (3)演绎推理一般模式是“三段论”形式; (4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提 和推理形式有关。

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

例2:用三段论的形式写出下列演绎推理。 (1)三角形内角和180°,等边三角形内角和180°

( 2) 0.33 2 是有理数。

?

(1)分析:省略了小前提:等边三角形是三角形” 。解(1)三角形内角和180°,(大前提) 等边三角形是三角形。(小前提) 所以等边三角形内角和是180°。(结论) (2)分析:省略了大前提:“所有的循环小数 ? 都是有理数。” 小前提: 0.33 2是循环小数。 ? 结论 :0.33 2 是有理数。

2、下列几种推理过程是演绎推理的是( A ) A、5和 2 2 可以比较大小; B、由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质;

C、东升高中高二级有15个班,1班有51人,2班有53
人,3班有52人,由此推测各班都超过50人;

D、预测股票走势图。

大前提:增函数的定义; 例3:证明函数 f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。 证明:任取 x1 , x2 ? (??,1),且x1 ? x2 ,
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? x12 ? 2x1 ) ? (? x2 ? 2x2 )

? ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ? 2). 因为x1 ? x2 , 所以x2 ? x1 ? 0;
因为x1 , x2 ? 1, 所以x2 ? x1 ? 2 ? 0. 因此, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 ).

小前提 所以f ( x) ? ? x 2 ? 2 x在(??,1)满足增函数定义,
于是,根据增函数的定 义可知,

结论 函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。

例 3:证明函数f(x)=-x2a,b +2x)内若 在(-∞,1)是增函数。 大前提:在某个区间( f ' ( x) ? 0,那么

证明:因为 ( x) ? ? x 2 ? 2x, 所以 函数f y=f(x) 在这个区间内单调递增;
f ( x) ? ?2 x ? 2 ? ?2( x ? 1),
'

又因为x ? (??,1),即x ? 1, 所以x ? 1 ? 0, 从而 ? 2( x ? 1) ? 0,即f ' ( x) ? 0,

小前提 所以f ( x) ? ? x 2 ? 2 x在(??,1)有f ' ( x) ? 0.
由函数的单调性与其导 数的关系知:

结论

函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。

在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E 是垂足,用演绎推理“三段论”格式证AB的中点 M到D,E的距离相等.
(1)因为有一个内角是直角的三 证明:
C E D

角形是直角三角形, 大前提 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900 所以△ABD是直角三角形 结论 同理△ABE是直角三角形

小前提

A

M

B

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提 M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 小前提
1 所以 DM= AB 2 1 同理 EM= AB 2
结论

所以 DM = EM

演绎推理概念; 1、 演绎推理的一般模式——三段论. 2、 合情推理与演绎推理的区别与联系. 3、演绎推理错误的主要原因是: ①大前提不成立;②小前提不符合大前提的条件; ③推理形式错误.
4、演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重 要思维过程.但数学结论、证明思路等的发 现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜想.

必做题:

1 .有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数, 整数是有理数,则整数是真分数”,结论显然是错误的,是 因为 ( B ) A .大前提错误 B .小前提错误 D .非以上错误 C .推理形式错误 2 .有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行 于平面内所有直线;已知直线 b ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? , 直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ” 的结论显然是错误的, 这是因为 ( A ) A .大前提错误 B .小前提错误 D .非以上错误 C .推理形式错误

必做题:

3 .用三段论的形式写出下列演绎推理: (1)若两角是对顶角,则此两角相等, 所以若 ?1 ? ? 2 , 则此两角不是对顶角; (2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对 角线相等;

(3) 0.33 2 是有理数. 4 .用三段论证明:在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AB ? DC , 则 ?B ? ?C .

?

必做题答案:

3 .(1)若两角是对顶角则两角相等(大前提), ?1 和 ? 2 不相等(小前提), ?1 和 ? 2 不是对顶角(结论). (2)每一个矩形的对角线相等(大前提), 正方形是矩形(小前提), 正方形的对角线相等(结论). (3)所有的循环小数都是有理数(大前提),

0.33 2 是循环小数(小前提), 0.33 2 是有理数(结论).
?

?

必做题答案: 4.证明:作 DE//AD 交 BC 于点 E, 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 又因为 AD ∥ BE , AB ∥ DE , 所以四边形 ABED 是平行四边形. 因为平行四边形对边相等, 又因为 ABED 是平行四边形, 所以 AB ? DE . 因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等, 又因为 AB ? DE , AB ? DC , 所以 DE ? DC . 因为等腰三角形两底角是相等的, 又因为△ DEC 等腰三角形, 所以 ?DEC =?C . 因为平行线的同位角相等, 又因为 ?DEC 与 ? B 是平行线 AB 和 DE 的同位角, 所以 ?DEC =?B . 因为等于同角的两个角是相等的, 又因为 ?DEC =?C , ?DEC =?B , 所以 ?B ? ?C .

A B
E

D

C


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