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3.2《一元二次不等式及其解法》课件


第三章

不等式

3.2 一元二次不等式及其解法

本节主要讲解一元二次不等式的解法。利用网络公司的收费问题 引入新课,比较新颖。问题探究一利用三个二次的关系讲解一元二 次不等式解法。表格演示直观具体强调图像和求根的重要性和数形 结合的数学思想,利用2个例题和1个变式加以巩固,并总结解一元

二次

不等式的步骤问题探究二借助一元二次不等式的解法研究分式
不等式和高次不等式的解法 ,用2个例题和2个变式加以巩固 . 问题探 究三是不等式的恒成立问题,通过例5强调了借助图象和讨论参数两 个要点,并且例5是含参问题,需要对参数进行分类讨论,渗透分类 讨论的数学思想。恒成立问题也是高考的一个热点。

两个网络服务公司(Internet Serice Provider)的资费标准:
电信:每小时收费1.5元

网通:用户上网的第一小时内收费1.7元,第二小时内收费1.6元,
以后每小时减少0.1元.(若用户一次上网时间超过17小时,按17 小时计算)? <不妨设该同学一次上网不超过17小时>

一次上网在多长时间以内能够保证选择电信比选择网通所需 费用少?

分析:假设一次上网x小时,
则电信公司的收取费用为1.5x 根据题意知,网通收费1.7 ,1.6,1.5 ,1.4,…… 1.7,1.6,1.5,1.4,…… 是以1.7为首项, ∵ 以-0.1为公差的等差数列
x(35 ? x) x( x ? 1) ∴网通公司的收取费用为1.7 x ? (?0.1) ? 20 2

如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少,则

x (35 ? x ) 2 1 .5 x ? x ? 5x ? 0 整理得 20
这是什么?

考察下面含未知数x的不等式: 15x2+30x-1>0 和 3x2+6x-1≤0. 这两个不等式有两个共同特点: (1)含有一个未知数x; (2)未知数的最高次数为2. 一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式, 叫做一元二次不等式。

一元二次不等式f(x)>0,或f(x)<0 (a≠0)的解集,就是分别使二 次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合。

一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集,就是使二次函数f(x)为零时
自变量x的取值的集合。 因此二次函数,一元二次方程,一元二次不等式之间有非常 密切的联系。

一元二次不等式的解法 我们来考察它与其所对的二次 2 y ? x ? 5x 的关系: 函数
(1)当 x (2)当 x (3)当

y
y>0,x轴 上方

?0
?0

或x 或

? 5 时,y ? 0

x

x ? 5 时,y ? 0
时, y

O



● 5

0? x?5

?0
y<0,x轴 下方

y=0,x 轴上

思考:
那么一元二次不等式 x ? 5 x ? 0 怎样去求解呢?
2

下结论:
结合图像知不等式 x ? 5 x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 5} .
2

推广:
2 那么对于一般的不等式 ax ? bx ? c ? 0

或 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 又怎样去寻求解集呢?

一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 △>0

△=0
y x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= ? 2a {x|x≠ ?
b } 2a

△<0
y

y x1 O

ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

O 没有实根

x

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 {x|x1< x <x2 } (a>0)的解集

R Φ

Φ

求解一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框图: 开始
将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c>0(a>0)

△=b2-ac
____? 是 求方程ax2+bx+c=0的 两个根x1、x2 是 x1=x2? 否 原不等式的解集为 {x|______}(x1<x2) 结束

△≥0

否 方程ax2+bx+c=0 没有实数根 原不等式解集为R

x≠— b

2a

原不等式的解集为 {x|______}

x< x1或x> x2

例1、(1)解不等式4x2-4x +1>0
解: (1)因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 } 解:(2)由于4x2-4x+1 =(2x-1)2≥0

(2)解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解:整理,得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0

方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф

变式、解不等式-2x2+3x+5>0
解:整理,得 2x2-3x-5<0 因为△= 9+40 = 49>0 方程 2x2-3x-5=0 的解是x1=2.5,x2=-1 故原不等式的解集为{ x| -1<x<2.5}

解一元二次不等式的步骤: ? 化标准:将不等式化成标准形式(右边为0、最高次的系数为正); ? 考虑判别式:计算判别式的值,若值为正,则求出相应方程的两根; ? 下结论:注意结果要写成集合或者区间的形式

例2、求函数 f ( x ) ?

2 x 2 ? x ? 3 ? log 3 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的定义域。

解:由函数f(x)的解析式有意义得
?2 x 2 ? x ? 3 ≥ 0 ? 2 ? 3 ? 2x ? x ? 0

?(2 x ? 3)( x ? 1) ≥ 0 即 ? ? ( x ? 3)( x ? 1) ? 0

解得

3 ? ? x ≤ ? 或x ≥ 1 2 ? ? ? ?1 ? x ? 3

因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3).

分式不等式和高次不等式解法

例3、

变式、解下列不等式: 4-x ≤0; 2x+3

解:

4-x x-4 ≤0? ≥0. 2x+3 2x+3 3 ?{x|x≥4 或 x<-2}.

? ??x-4??2x+3?≥0 ?? ? ?2x+3≠0

3 ∴原不等式的解集为{x|x<-2或 x≥4}.

3x-1 变式 4、不等式 ≥1 的解集是( 2-x 3 A.{x|4≤x≤2} 3 C.{x|4≤x<2}

C

)

3 B.{x|x≤4或 x>2} D.{x|x<2}

解:

3x-1 4x-3 不等式 ≥1,化为: ≥0, 2-x 2-x

3 ∴4≤x<2.

例 4、解不等式:(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)≤0.

解:设 y=(x+2)(x+1)(x-1)(x-2), 则 y=0 的根分别是-2,-1,1,2, 将其分别标在数轴上,并画出如图所示的示意图:

所以原不等式的解集是{x|-2≤x≤-1,或 1≤x≤2}.

? 16 变式、解不等式 2 ?0 x ? 4x ? 3 可化为不等式组

x

2

{

x

2

? 16 ? 0

x ? 4x ? 3 ? 0
2



{

x

2

? 16 ? 0

x2 ? 4x ? 3 ? 0

不等式恒成立的问题
例5、 函数 f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R,求k的取值范围.

分析:令u= kx2-6kx+k+8,函数f (x) 的定义域为R
对任意的x,u= kx2-6kx+k+8的值恒大于0 函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方

例5、 函数 f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R,求k的取值范围.
解:∵ f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R, ∴k≥0 当k=0时,f(x)=lg8 满足条件. 当k>0时,∴只要△<0 即△=(6k)2-4k(k+8) =32k2-32k< 0 ∴ 0< k < 1 u

O

x

∴f(x)的定义域为R时, k的取值范围为0≤k<1.

变式、已知不等式 ax2+(a-1)x+a-1<0 对于所有的实数 x 都 成立,求 a 的取值范围.
解:若 a=0,则原不等式为-x-1<0, 即 x>-1,不合题意.故 a≠0. 令 f(x)=ax2+(a-1)x+a-1,

∵原不等式对任意 x∈R 都成立. ∴二次函数 f(x)的图象在 x 轴的下方. ∴a<0 且 Δ=(a-1)2-4a(a-1)<0.
? ?a<0 即? ? ??a-1??3a+1?>0

1 ,∴a<-3.

1 故 a 的取值范围为(-∞,-3).

1、三个二次的关系,注意结合图像; 2、解一元二次不等式的步骤;

3、解分式不等式和高次不等式的方法;
4、解含有参数的不等式对参数的讨论;

5、不等式中的恒成立问题

课后练习

课后习题

谢谢欣赏!


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