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高一数学同步辅导讲义(专题讲解)


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高一寒假数学同步辅导讲义( 高一寒假数学同步辅导讲义(专题讲解)
集合与简易逻辑专题讲解 第一章 集合与简易逻辑专题讲解
集合的概念、 一 、 集合的概念、运算与不等式 1.在解题过程中,要善于理解和识别集合语言(即符号和图形语言) ,并会用集合语言 准确地叙述。 2.

特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、? 与 ? 、 ? 的区别,元素与集合间的 从属关系用∈、 ? 表示,集合与集合之间的包含与相等的关系用 ? 、 ? 、 ? 、 ? 、=表示. 3 . 给 定 两 个 集 合 A , B , 它 们 的 运 算 意 义 为 : A ∩ B= x x ∈ A且x ∈ B , A ∪ B= x x ∈ A或x ∈ B ,CSA= x x ∈ S , 且x ? A .这些运算都是同逻辑连词“且”与“或”紧 密相连的, “且”表示两条件要同时成立, “或”表示两条件中要至少有一个成立.理解好这 些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用关系:Cs(A ∪B)=(CsA)∩(CsB) s(A∩B)=(CsA)∪(CsB) ,C ,与此有关问题的运用韦恩图有示 更直观.见表 1—9. 4.集合 M= {a1 , a 2 , … , a n }的子集个数为 2n,真子集个数为 2n-1,非空子集个数为 2n
—1

{

}

{

}

{

}

,非空真子集个数为 2n-2. 含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具, 同时也为研究

集合与命题间的逻辑关系提供了具体的数学模型. 表1 命题 集合 关键字 词 或 并集∪ 或 且 交集∩ 且 否定┐ 补集 C 非 蕴涵 ? 子集 ? 若……则…… 等价 ? 相等= 当且仅当必须且 只须

自反性 对称性

A∪A=A A∪B=B∪A

A∩A=A A∩B=B∩A

CU(CU)A=A CBA=CAB

A ? A 真子集无

A=A A=A 若 A=B 则 B=A

传递性

若 A ? B, ? C B 则 A?C (A ∪ B) ∪ C=A ∪(B∪C) (A ∩ B) ∩ C=A ∩(B∩C)

若 A=B,B=C, A=C

结合律

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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 分配律 (A∪B)∪C=(A∩C)∪(B∪C) (A∩B) ∪C=(A∪C)∩(B∩C) 摩根律 CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)

【例 1】 已知集合 M= y y = x + 1, x ∈ R , N= y y = x + 1, x ∈ R , M∩N= 则 (
2

{

}

{

}



A. (0,1) (1,2) C. y y = 1或y = 2

B. {(0,1), (1,2)} D. y y ≥ 1

{

}

{

} { } { }

,因此 M,N 分析 集合 M、N 是用描述法表示的,元素是实数 y 而不是实数对(x,y) 分别表示函数 y=x2+1(x∈R) ,y=x+1(x∈R)的值域,求 M∩N 即求两函数值域的交集.
2 解 M= y y = x + 1, x ∈ R = y y ≥ 1 ,N= y y = x + 1, x ∈ R = y y ∈ R .

{

}{

}

∴M∩N= y y ≥ 1 ∩ y y ∈ R = y y ≥ 1 ,故选 D.

{

} {

}{

}

? y = x 2 + 1 ?x = 0 ?x = 1 得? 或? 从而选 B 错 说明(1)本题求 M∩N.经常发生解方程组 ? ?y = 1 ?y = 2 ?y = x ?1
误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元 素是什么,事实上 M,N 的元素是数而不是点,因此 M、N 是数集而不是点集. (2)集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分

{x y = x
的.

2

+ 1, x ∈ R , y y = x 2 + 1, x ∈ R , ( x, y ) y = x 2 + 1, x ∈ R 这三个集合是不同

} {

} {

}

【例 2】给出下面元素与集合或集合之间的关系: (1)0 ? {0} ; (2)0∈ {0} ; (3)Φ ∈ {Φ}; (4)a∈ {a}; (5)Φ= {0} ; (6) {0} ∈Φ; (7)Φ∈ {0} ; (8)Φ ? {0} ,其中正 确的是( ) B. (2) (5) (1) (4) D. (3) (7) (2) (4)

A. (3) (8) (2) (4) C. (3) (6) (2) (4)

分析 依次判断每个关系是否正确,同时用排除法筛选. 解 (1)应为 0∈ {0} ; (3) (2) (4)正确,排除 B,再看(6) (8)哪个正确,由 (7) Φ是 {0} 的子集,因此(8)正确,故选 A. 说明 0 与 {0} 只有一种关系:0∈ {0} ;R 与 {R};Φ与 {0} 也只有一种关系:Φ ? {0} . 【例 3】 已知集合 A= x x 2 + ( m + 2) x + 1 = 0, x ∈ R ,若 A∩R+=Φ,则实数 m 的取

{

}

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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 值范围是__________. 分析 从方程观点看,集合 A 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2+(m+2)x+1=0 的解集, 而 x=0 不是方程的解,所以由 A∩R+=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由 判别式转化为关于 m 的不等式,并解出 m 的范围.
+ 2 所以该方程只有两个负根或无实数根, 解 由 A∩R =Φ又方程 x +(m+2)x+1=0 无零根,

?? = (m + 2) 2 ? 4 ≥ 0 即? ?? (m + 2) < 0.
或△=(m+2)2-4<0. 解得 m≥0 或-4<m<0,即 m>-4. 说明 此题容易发生的错误是由 A∩R+=Φ只片面地推出方程只有两个负根(因为两根 之积为 1,因此方程无零根) ,而把 A=Φ漏掉,因此要全面正确理解和识别集合语言. 【例 4】 已知集合 A= x x 2 ? 3 x + 2 = 0 ,B= x x 2 ? ax + a ? 1 = 0 ,且 A∪B=A, 则 a 值为__________. 分析 由 A∪B=A ? B ? A 而推出 B 有四种可能,进而求出 a 的值. 解 ∵A∪B=A, ∴B ? A, ∵A= { ,2} ,∴B=Φ或 B= { } 或 B= {2}或 B= { ,2} . 1 1 1 若 B=?, 则令△<0 得 a∈?; B= { } , 若 1 则令△=0 得 a=2, 此时 1 是方程的根; B= {2}, 若 则令△=0 得 a=2,此时 2 不是方程的根. ∴a∈? ;若 B= { ,2} ,则令△>0 得 a∈R 且 a≠2,把 x=1 代入方程得 a∈R,把 x=2 1 代入方程得 a=3,综上 a 的值为 2 或 3. ,因为 a()可能等于 1,与集合元素的互异性矛盾,另 说明 本题不能直接写出 B=() 外还要考虑到集合 B 有可能是空集,还有可能是单元素集的情况. 【例 5】 命题甲:方程 x2+mx+1=0 有两个根异负根;命题乙:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,这两个命题有且只有一个成立,求 m 的取值范围. 使命题乙成立的 m 的集合而为 B, 有且只有一个 分析 使命题甲成立的 m 的集合为 A, 命题成立是求 A∩CRB 与 CRA∩B 的并集. 解 因使命题甲成立的条件是△ 1=m2 -4>0,且-m<0,所以解得 m>2,即集合 A= m m > 2 ;因使命题乙成立的条件是△2=16(m-2)2-16<0,所以解得 1<m<3,即集 合 B= m 1 < m < 3 .若命题甲、乙有且只有一个成立,则 m∈A∩CRB 或 m∈CRA∩B,而 A ∩ CRB=

{

}

{

}

{

}

{

}

{m m > 2}



{m m ≤ 1或m ≥ 3} = {m m ≥ 3}
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, CRA ∩ B=

{m m > 2}



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{m 1 < m < 3}= {m 1 < m ≤ 2},所以综上所求 m 的范围是 {m 1 < m ≤ 2或m ≥ 3}.
说明(1)本题体现了集合语言、集合思想的重要作用; (2)用集合语言来表示 m 的满 说明 园即准备又简明.

二、 一元二次方程实根的分布 【例 1】关于 x 的方程 3x2-5x+a=0,实数 a 在什么范围内,一个根大于-2,而小于 0, 】 另一个根大于 1,而小于 3? 解 由题意,a 应满足条件

? f ( ? 2) = 3 × ( ? 2) 2 ? 5 × ( ? 2) + a > 0 ? ? f ( 0) = a < 0 ? ? f (1) = 3 ? 5 + a < 0 ? f (3) = 3 × 3 2 ? 5 × 3 + a > 0 ?
解得-12<a<0. 【例 2】关于 x 的方程 2x2+3x-5m=0,有两个小于 1 的实根,求实根 m 的取值范围. 解 二次函数图像是开口向上的抛物线,对称轴 x=-

3 ,在 x=1 的左侧.这样抛物线与 4

x 轴有两个交点的横坐标都小于 1,所以应满足的条件是:

? f (1) = 2 + 3 ? 5m > 0 ? ?? = 9 ? 40m ≥ 0
解得-

9 ≤m<1. 40

【例 3】关于 x 的方程 x2―2tx+t2―1=0 的两个根介于―2 和 4 之间,求实数 t 的取值范 围. 解 由题意可知,t 需满足

? f (?2) = t 2 + 4t + 3 > 0 ? 2 ? f (4) = t ? 8t + 15 > 0 ? ?? = 4t 2 ? 4(t 2 ? 1) = 4 > 0 ? ?? 2 < ? b = t < 4 ? 2a ?
解得 -1<t<3. 说明 讨论二次方程实根的分布,常有以下一些结论(设方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a>0) 两实根为 x1,x2) : (1)若 m<x1<n<p<x2<q,则方程系数应同时满足下列不等式组:

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? f (m) = am 2 bm + c > 0 ? 2 ? f (n) = an + bn + c < 0 ? 2 ? f ( p ) = ap + bp + c < 0 ? f (q ) = aq 2 + bq + c > 0 ?
特别地,当方程 f(x)=0 有一正根,一负根,即 x1<0,x2>0,则应用 f(0)=c<0;若方 程 f(x)=0 有一个根大于 k,一个根小于 k,则应有 f(k)<0. (2)若二次方程 f(x)=0 的两面根在区间(m,n)内,则应同时满足

? f ( m) > 0 ? f ( n) > 0 ? ? ?? ≥ 0 ? ?m < ? b < n ? 2a ?
特别地,若 f(x)=0 两根都大于 k 时,则有

? ? f (k ) > 0, ? ?? ≥ 0, ? b ?? > k. ? 2a
三、 四种命题与充要条件 1.所谓命题,是指可以判断其真假的陈述语句,一个陈述语句所叙述的事情符合事实, 我们称它为真命题,反之,一个陈述语句所叙述的事情违反事实,我们称它为假命题. 2.命题有四种形式,即原命题、逆命题、否命题、逆否命题,其中原命题与逆否命题 是等价的,逆命题与否命题是等价的。 3.充分条件和必要条件是用来区分命题的条件 A 与结论 B 之间的关系的数学概念,若 A ? B,则称 A 是 B 成立的充分条件;若 B ? A,则称 A 是 B 成立的必要条件;若 A ? B 成立的充要条件. 4.由于互为逆否的两个命题是等价的,因此 A ? B 与┐B ? ┐A 等价,可由┐B ? ┐ A 得 A 是 B 成立的充分条件;又 B ? A 与┐A ? ┐B 等价,可由┐A ? ┐B 得出 A 是 B 的成 立的必要条件. 5.充要条件的概念对证明问题的方法——综合法、分析法起着指导性作用,综合法的 特点是由因导果,即由命题的条件出发,寻找命题结论成立的充分条件;分析法的特点是执 果索因,即由命题的结论出发,寻找结论成立的充分条件. 6.判断充要条件问题时,要按以下步骤进行: (1)明确命题中的条件 A 是什么,结论 B 是什么; (2)由条件 A 推导结论 B;若 A ? B,则 A 不是 B 成立的充分条件,若 A ? B, A 是 B 成立的充分条件; (3)由结论 B 推条件 A,若 B ? A,则 A 是 B 成立的必要条件,
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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 若 B ? A,则 A 不是 B 成立的必要条件. 7. “有且仅有”“当且仅当”“须且只须”等用语都是指既有充分性又有必要性的. , , 【例 1】 ┐A 是命题 A 的否命题, 如果 B 是┐A 的必要非充分条件, 那么┐B 是 A 的______ 条件. 分析 此题就是要判断┐B ? A 和 A ? ┐B 是否成立,根据必要条件概念及互为逆否的 两个命题等价来处理。 解 由 B 的┐A 的必要条件,则有┐A ? B,且 B ? ┐A,由互为逆否等价,得┐B ? A 且 A ? ┐B,因此┐B 是 A 的充分而非必要条件. 即原命题与逆否命题同真同假.逆命题与 说明 解本题须掌握命题的四种形式及其关系, 否命题同真同假. 【例 2】若下列三个方程:x2+4ax―4a+3=0,x2+(a―1)x+a2=0,x2+2ax―2a=0 中至少有 一个方程有实根,试求实数 a 的取值范围. 分析 若直接求,须分三大类七种情况,其过程不仅繁杂,而且极易出错,故不宜采用. 考虑到“三个方程中至少有一个方程有实根”的否命题为“三个方程都无实根”. 设原命题的否命题的范围为 A,则原命题所求 a 的范围即为 CRA. 解 若三个方程都无实根 △1=(4a)2―4(―4a+3)<0 ―

3 1 <a< 2 2 1 3

?

△2=(a―1)2―4a2<0 △3=(2a)2―4(―2a)<0

?

a<-1 或 a> -2<a<1

3 ? A=(― ,―1) 2

3? ? ? CRA= ? ? ∞,? ? ∪ [? 1,+∞ ) . 2? ?
∴三个方程中至少一个方程有实根的 a 的范围为 ? ? ∞,? ? ∪ [? 1,+∞ ) . 2

? ?

3? ?

说明 由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化,它们之间存在着密切的联系, 所以当一个命题正面入手困难的时候, 可以考虑其反面, 利用等价转化的思想促使命题转化.

巩固练习
一、选择题: 选择题 (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1. 下列命题正确的是( ) A. C.

2 11 ∈ {实数集}
2 11 ? x | x ≤ 3 5

B.

2 11 ? x | x ≤ 3 5

{

} }

{

}

D.

{2 11} ? x | x ≤ 3 5

{

2.在①1 ? {0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2} ? {0,1,2};
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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 ④、 φ A、1 个 ) D、4 个

{0}上述四个关系中,错误的个数是( B、2 个 C、3 个

3.已知全集 U = {x | ?2 ≤ x ≤ 1} , A = {x | ?2 < x < 1} ,

B = {x | x 2 + x ? 2 = 0} , C = {x | ?2 ≤ x < 1} ,则(
A、 C ? A B、 C ? CU A C、 CU B = C

) D、 CU A = B

4.已知集合 M = {x | x ≤ 1} , P = {x | x > t} ,若 M ∩ P ≠ φ ,则实数 t 应该满足的条件是 ( ) A、 t > 1 B、 t ≥ 1 5.下列说法正确的是( ) A、任一集合必有真子集; B、任一集合必有两个子集; C、 t < 1 D、 t ≤ 1

C、若 A ∩ B = φ ,则 A、B 之中至少有一个为空集; D、若 A ∩ B = B ,则 B ? A 。 6.已知集合 P= y | y = ? x 2 + 2, x ∈ R ,Q= { y | y = ? x + 2, x ∈ R} ,那么 P ∩ Q 等于 A、 (0,2)(1,1) , C、 {1,2} 7.若 | x |< B、 {(0,2 )(1,1)} , D、

{

}

{ y | y ≤ 2}


1 1 和 | x |> 同时成立,则 x 的取值范围是( 2 3 1 1 1 1 A、 ? < x < ? B、 < x < 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 C、 < x < 或 ? < x < ? D? < x < 3 2 2 3 3 2
) B、{ x |-2< x <1} D、R )

8.不等式 3? | ?2 x ? 1 |> 0 的解集是( A、{ x | x <-2 或 x >1} C、{ x | ? 1 < x < 2 }
2

9.方程 mx + 2 x + 1 = 0 至少有一个负根,则( A、 0 < m < 1 或 m < 0 C、 m < 1
2

B、 0 < m < 1 D、 m ≤ 1 )

10. x ? 3 x + 2 > 0 ”是“ x < 1 或 x > 4 ”的( “ A、充分不必要条件 C、充要条件
2

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
2

11.当 a < 0 时,关于 x 的不等式 x ? 4ax ? 5a > 0 的解集是(
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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 A、{ x | x > 5a 或 x < ? a } C、{ x | ? a < x < 5a }
2

B、{ x | x < 5a 或 x > ? a } D、{ x | 5a < x < ? a } )

12.不等式 ax + ax ? 4 < 0 的解集为 R,则 a 的取值范围是( A、 ? 16 ≤ a < 0 B、 a > ?16 C、 ? 16 < a ≤ 0 D、 a < 0 填空题: 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知集合 A={ a , b ,2},B={2, b ,2 a }且, A = B ,则 a = 14.已知全集 U = R,不等式
2

x+4 ≥ 0 的解集 A,则 CU A = 3? x

15.不等式 x( x + 4)(3 ? x) > 0 的解集是 16.有下列四个命题: ①、命题“若 xy = 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③、命题“若 m ≤1,则 x ? 2 x + m = 0 有实根”的逆否命题;
2

④、命题“若 A ∩ B = B ,则 A ? B ”的逆否命题。 其中是真命题的是 (填上你认为正确命题的序号) 。

三、解答题: 解答题 (本大题共 4 小题, 36 分) 17.若 A = {x | x 2 ? 5 x + 6 = 0}, B = {x | ax ? 6 = 0} ,且 A ∪ B = A ,求由实数 a 组成的 集合。

18. 用反证法证明: a 、 、 ∈ R , x = a ? 2b + 1 ,y = b 2 ? 2c + 1 ,z = c ? 2a + 1 , 若 b c 且
2 2

则 x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 0。
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19.解下列关于 x 的不等式: ①、 (1 + x )(1? | x |) > 0 ②、 ( x + a )( ax ? 3a ) ≤ 0

20. 已知集合 P = {x |

2 + 1 ≤ x ≤ 3} , M = {x | x 2 ? (a + 1) x + a ≤ 0} ,

N = { y | y = x 2 ? 2 x , x ∈ P} ,且 M ∪ N = N ,求实数 a 的取值范围。

21.我校高中部先后举行了数理化三科竞赛,学生中至少参加一科竞赛的有:数学 807 人, 物理 739 人,化学 437 人,至少参加其中两科的有:数学与物理 593 人,数学与化学 371 人,物理与化学 267 人,三科都参加的有 213 人,试计算参加竞赛的学生总数。

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参考答案
一、选择题: 选择题 题号 答案 二、填空题: 填空题 13、0 或 1 D 2 B 3 D 4 C 5 D 6 D 7 C 8 B 9 D 10 B 11 B 12 C

1 4

14、 {x | x < ?4 或 x ≥ 3} 16、①、②、③

15、 {x | x < ?4 或 0 < x < 3} 三、解答题: 解答题 17. 解: 当 a=0 时, B = {x | ax ? 6 = 0} = φ 当 a ≠ 0 时, B = {x | ax ? 6 = 0} = ? ?

?6? ?a ?

∵ A = {x | x 2 ? 5 x + 6 = 0} = {2,3} ,且 A ∪ B = A , ∴B ? A ∴

6 6 =2 或 =3 a a

∴a=3 或 a=3 综上述实数 a 组成的集合为{0,2,3}。 18. 证明: 假设 x 、 y 、 z 均小于 0,即:

x = a 2 ? 2b + 1 < 0 ----① ; y = b 2 ? 2c + 1 < 0 ----② ; z = c 2 ? 2a + 1 < 0 ----③;
①+②+③得 x + y + z = ( a ? 1) 2 + (b ? 1) 2 + (c ? 1) 2 < 0 , 这与 (a ? 1) 2 + (b ? 1) 2 + (c ? 1) 2 ≥ 0 矛盾, 则假设不成立, ∴ x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 0。 19.解下列关于 x 的不等式: ①、 (1 + x )(1? | x |) > 0 。

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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 解: {x | x < 1 且 x ≠ ?1} ②、 ( x + a )( ax ? 3a ) ≤ 0 解:原不等式化为: a ( x + a )( x ? 3) ≤ 0 ①、当 a = 0 时, ②、当 a > 0 时, 其解集为: R 其解集为: {x | ? a ≤ x ≤ 3}

③、当 ? 3 < a < 0 时, 其解集为: {x | x ≤ ? a 或 x ≥ 3} ④、当 a < ?3 时, ⑤、当 a = ?3 时, 20. 解:依题意, 集合 P = {x | 其解集为: {x | x ≤ 3 或 x ≥ ? a} 其解集为: R

2 + 1 ≤ x ≤ 3} , M = {x | x 2 ? (a + 1) x + a ≤ 0} ,

N = { y | y = x 2 ? 2 x , x ∈ P} = { y | 1 ≤ y ≤ 3} ,
由M ∪ N = N 知M ? N , ∴实数 a 的取值范围 J 1 ≤ a ≤ 3 。 21.由公式或如图填数字计算 Card(A ∪ B ∪ C)= Card(A)+ Card(B)+ Card(C)- Card(A ∩ B) - Card(A ∩ C) - Card(C ∩ B)+ Card(A ∩ B ∩ C)=965

数数

380 213 54 158

物物

化数

第二章 函数专题讲解 函数
一 复合函数
尽管复合函数在课本上只作了简单的介绍, 但是复合函数的概念及性质在历年的高考试

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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 题中多有涉及,因此有必要对复合函数进行研究. 所谓的复合函数, 就是由几个基本函数复合而成的函数,例如 y=loga(3x2+5x-2)可看作 由函数 u=3x2+5x-2 与对数函数 y=logau 复合而成的函数,其中,x 是自变量,y 是函数, 而 u 为中间变量. 一般地,如果有两个函数,y=f(u),u= ? (x),前者的自变量为 u,函数 y,后者自变量 为 x,函数为 u,如果将 u= ? (x)代入 y=f(u)中就得到 y=f[ ? (x)],这个以 x 为自变量,y 为 函数的函数称为复合函数,其中 u 为中间变量. 【例 1】 设 g(x)=

x2 ?1 2 (x≠0) ,且 f[g(x)]=2x4-3x2+1,求 f( )的值. 2 3 x x2 ?1 x2 ?1 ,有 f( )=2x4-3x2+1. x2 x2

解法 1 先求出 f(x),由 f[g(x)]=2x2-3x2+1,g(x)=

用换元法,令

x2 ?1 1 x2 ?1 2 =t,则 x2= ,于是 f( )=2x4-3x+1 变成 f(t)= - 2 2 1? t x x (1 ? t ) 2

3 +1. 1? t
所以 f(

2 )= 3

2 2 - +1=10 2 2 2 1? (1 ? ) 3 3

2 x2 ?1 2 解法 2 当 g(x)= 时, = ,x2=3, 2 3 3 x
于是 f(

2 )=2·32-3·3+1=10. 3 2 2 ,构造出 f( ),进而求出其值. 3 3

说明 解法 1 中应用了换元法.一般来说,在复合函数中通过换元可使函数表达式化简 为需要的形式。解法 2 可看人是构造法. 通过取 g(x)= 【例 2】已知 f(3)=3x-2,求 f 1[f(x)]. 解
1


由 已 知 y=3x - 2 , 解 得 x=

[f(x)]=

f ( x) + 2 (3 x ? 2) + 2 = =x. 3 3


y+2 x+2 — — , 于 是 f 1(x)= ,从而 f 3 3

说明 对于形如 f 1[f(x)]的函数是先求逆(即先求反函数)然后再复合. 【例 3】讨论函数 y=loga(3x2+5x-2)的单调性.

1 或 x<―2,则函数定义域(―∞,- 3 1 5 49 5 2)∪( ,+∞) ,设 u=3x2+5x―2=3(x+ )2- ,则 u 在(―∞,― )上是减函数, 3 6 12 6
解 先求函数定义域,由 3x2+5x-2>0,得 x>

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在(―

5 ,+∞)上是增函数. 6 1 , 3

(―∞, ―2) 上是减函数, ( 在 当 a>1 时, 是 u 的增函数, y=loga(3x2+5x―2)在 y 故 +∞)上是增函数, (为什么不为(―∞,―

5 )等) 6

当 0<a<1 时,y 是 u 的减函数,故 y=loga(3x2+5x-2)在(―∞,―2)上是增函数, 在(

1 ,+∞)上是减函数. 3
说明 研究复合函数常引进中间变量,例如讨论复合函数单调性时,常考查自变量 x

增大时,中间变量 u 怎样变化,进一步考查中间变量 u 增大(或减小)时,函数 y 怎样变化. “同增异减”是其中规律.请你再体会其真谛. 【例 4】 求函数 y=log 1 (x2-6x+17)的值域.
2

解 此函数是对数函数 y=log 1 u 与二次函数 u=x2-6x+17=(x-3)2+8 的复合.很明显.u≥
2

8,不等式两边取以 为 (? ∞,?3] .

1 为底的对数得 log 1 ≤log 1 8=-3,故函数 y=log 1 (x2-6x+17)的值域 2 2 2 2

【例 5】 已知函数 f(x)=x+1, ? (x)= x ,g(x)=2x,
?1 求函数 ? g [ f ( x)] 的定义域.

{

}



应先求出函数 ? g ?1 [ f ( x)] 的解析式,然后再求其定义域.
— —

{

}

首先求 g 1(x). 由 g(x)=2x 得 g 1(x)=log2x, 于是 g 1[f(x)]=log2[f(x)]=log2(x+1),又 ? (x)=


x ,

所以 ? g ?1 [ f ( x)] = g [ f ( x )] = log 2 ( x + 1) 。
?1

{

}

函数自变量的取值必须满足 ?

?x + 1 > 0 ? x > ?1 即? 得 x≥0 ?log 2 ( x + 1) ≥ 0 ?x + 1 ≥ 1

故函数 ? g ?1 [ f ( x )] 的定义域为 x≥0. 【例 6】 已知函数 f(x)=x2-x+k 满足 log2f(a)=2,f(log2a)=k(a>1,且 a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及相应的 x 值; (2)求 x 的取值范围,使 f(log2x)>f(1),且 log2f(x)=2<f(1) 同时成立. 解 (1)先求出函数 f(x)的解析式。由 log2f(a)=2 得 f(a)= 4,于是 f(a)=a2-a+k=4 由 f(log2a)=k,得
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{

}

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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 (log2a)2-(log2a)+k=k 由式②得 log2a=0 或 log2a=1,故 a=2,a=1(舍去).将 a=2 代入式①中,得 4―2+k= 4,k=2,于是 f(x)=x2―x+2. f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x- 小值为 1

1 2 3 1 ) +1 . 当 log2x= ,即 x= 2 时,f(log2x)的最 2 4 2

3 . 4

2 ? f (log 2 x) > f (1) ?(log 2 x) ? (log 2 x) + 2 > 2 ? (2)由 ? 有? 2 ?log 2 f ( x) < f (1) ?log 2 ( x ? x + 2) < 2 ?

即?

?log 2 x > 1或 log 2 x < 0
2 ?0 < x ? x + 2 < 4

从而 ?

? x > 2或0 < x < 1 解得 0<x<1. ?? 1 < x < 2

【例 7】 已知 f(x)=x2+c,且 f[f(x)]=f(x2+1). (1)设 g(x)=f[f(x)],求 g(x)的解析式; (2)设 ? (x)=g(x)-λf(x),求实数λ,使 ? (x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1, 0)上单调递增. 解(1)g(x)=f[f(x)]=[f(x)]2+c=(x2+c)2+c=x45+2cx2+c2+c. 又 f(x2+1)=x4+2x2+c+1,由 g(x)=f(x2+1), 有 x4+2cx2+c2+c=x4+2x2+c+1 由待定系数法,得 c=1,故 g(x)=x4+2x2+2; (2) ? (x)=g(x)-λf(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ

2?λ 2 (2 ? λ ) 2 =(x + ) +2-λ- . 2 4
2



x∈(―1,0)时,x 增大,x2―1 减小,? (x)=(x2―1)2―3 递增;x∈(-∞,―1)时,

2?λ =―1,即λ= 4 时, ? (x)=(x2―1)―3. 2

? (x)=(x2―1)2―3 递减.
【例 8】 已知函数 f(x2―3)=loga (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)≥loga2x,求 x 的范围. (3)求 f 1(x)<0,求 x 的取值范围. 解(1)先求出 f(x)的解析式,由已知自变量 x 需满足 令 x2-3=u,则 f(u)=loga <3=.
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x 2 (a>0,且 a≠1) 6 ? x2

x 2 >0,即 0<x2<6,换元, 6 ? x2

u +3 3 + x (-3<x ( -3<u<3=,将 u 改写在 x,则 f(x)=loga 3?u 3? x

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3? x 3+ x 3+ x =loga = -loga = -f(x),所以 f(x)为奇函数. 3+ x 3? x 3? x 3+ x ≥loga2x,(0<x<3=. (2)若 f(x)≥loga2x,则 loga 3? x
于是 f(-x)=loga

?3 + x ≥ 2 x ?2 x 2 ? 5 x + 3 ≥ 0 3 ? 当 a>1 时, ? 3 ? x 即? 解得 ≤x<3 或 0<x<1; 2 ?0 < x < 3 ?0 < x < 3 ? ?3 + x ≥ 2 x ?2 x 2 ? 5 x + 3 ≤ 0 3 ? 当 0<a<1 时, ? 3 ? x 即? 解得 1≤x≤ . 2 ?0 < x < 3 ?0 < x < 3 ?
(3)由 y=f(x)=loga

3(a y ? 1) 3+ x (-3<x<3=解得 x,得 x (-3<x<3= a y +1 3? x

于是 f 1(x)=



3(a x ? 1) — (-3<f 1(x)<3). ax +1

3(a x ? 1) 若 f (x)<0,则-3<( <0, ax +1
—1



? x 3(a x ? 1) ?a > 0 >-3 从而 ? 即 0<ax<1. x ax +1 ?a < 1 ? 3(a x ? 1) <0 ax +1

所以,当 a>1 时,x<0,当 0<a<1 时,x>0.

二 抽象函数
函数部分有一类比较抽象的习题,它给定函数 f(x)的某些性质,要证明它的其他性质, 或利用这些性质解一些不等式或者方程,学生很感棘手.其实这些题目的设计,一般都有一 个基本函数做“模特” ,如能正确分析估猜这个模特函数,联想这个函数的其他性质来思考 解题方法,那么这类难题就可转化为简易问题为处理。 【例 1】设 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f(

x )=f(x)-f(y). y

(1)求证 f(1)=0; (2)求不等式 f(x+1)=f( (3)求证 f(xn)=nf(x). 我们先看该题的解题过程.

1 )≤f(7)的解集; x?5

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(1)证 令 x=y=1,则 f( )=f(1)-f(1)=0,从而 f(1)=0.

1 1

(2)解 ∵f(

x )=f(x)-f(y), y
1 )―f(7)等价于 f[(x+1)(x―5)]≤f(7). x?5

∴不等式 f(x+1)―f(

又∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数. ∴ (x+1)(x―5)≤7, x+1>0, x―5>0. 解之,得 x∈ x 5 < x ≤ 6 . (3)证 ∵f(xy)=f(

{

}

x 1 )=f(x)-f( ) 1 y y

=f(x)-f(1)+f(y)=f(x)+f(y) ∴f(xn)=f(x·x·x…x)=nf(x). n个 从以上例题中的条件:f(x)的定义在(0,+∞)上的增函数,且 f(

x )=f(x)-f(y); y

欲证结论 f(1)=0,f(xn)=nf(x)可猜测 f(x)的模特函数是对对函数 y=logax(a>1).至少可以说, 对数函数 y=logax(a>1)具有这些基本性质,函数 f(x)是 y=logax(a>1)是这些性质存在 的充分条件,而回忆对数函数的性质 logaxn=nlogax 是作为 loga(xy)=logax+logay 这一性质为 推论而得出的,因此这题的难点,证 f(xn)=nf(x)(n∈N)可由证 f(xy)=f(x)+f(y)起步,从而化解 了这题的难点. 【例 2】 定义在实数集 R 上的函数 f(x), 对任意 x, y∈R, 都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· f(y), 且 f(0)≠0. (1)求证:f(0)=1; (2)求证 y=f(x)是偶函数; *(3)若顾虑在正常数 c,使 f(

c )=0 2

①求证:对任意 x∈R,有 f(x+c)=-f(x)成立. ②试问函数 f(x)是否为周期函数?如果是,指出它的一个周期;如果不是,说明理由. 分析 该题的难点在(3).但从题给条件 x,y∈R 总有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)看似 像三角函数的和化为积。不规则由同种函数之和化成同种函数之积。故可猜 f(x)=cosx.而

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f(0)=1 及 f(x)为偶函数又坚信了 f(x)的模特是 cosx,那么 f(

c )=0 中 c=π,cosx 的周期 2π 2

正是欲证题中常数 2c,既然探出周期 2c,证题的思路就豁然了. (旨在得 f(0)代入 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),得 2f(0)=2f2(0),∵f(0) 证 (1)令 x=y=0, ≠0,∴f(0)=1. (2)令 x=0, (旨在得 f(-x))得 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y f(-y)=f(y) 它是偶函数. *(3)① ∵f(

c c c )=0.(旨在得 f(x0+c))令 x=x0+ ,y= 2 2 2 c 则 f(x0+c)+f(x0+ ). (为什么?) 2
解 ②令 x=x0+c,y=c(佛旨在得 f(x0+2c)) 得 f(x0+2c)+f(x0)=2f(x0+c)f(c)=-2f(x0)·f(c)

∴f(x0+2c)=-f(x0)[2f(c)+1] 又令 x=y=

c c c 得 f(c)+f(0)=2f( )f( )=0. 2 2 2

∴f(c)=-f(0)=-1. 这样(*)式变为 f(x0+2c)=-f(x0)(-1)=f(x0). 因此 f(x)是周期函数,2c 是它的一个周期. 从以上两个例子可以看出,利用“模特函数”解起,可以先从题设条件及欲证结论多方 面猜想函数 f(x)的模特,以此模特函数为桥梁,联想这模特函数推证出欲证性质的过程,找 出证明抽象函数 f(x)其他性质的方法, 这种解题方法是在不允许用具体函数代替的基础上将 具体函数高度抽象化后的结晶, 因此解这类题要求学生的思维性灵活而深刻, 要求学生善于 透过表象和外部联系, 揭露事物的本质和规律, 深入地思考问题, 系统地、 一般地理解问题、 预见事物发展的过程, 因此 “模特函数” 解题法是培养学生思维灵活性和深刻性的良好教材. 说明 三角函数及周期函数的概念将在高一下册中学习,本例第(3)问暂不作要求. 【例 3】函数 y=f(x)定义在 R 上,当 x>0 时,f(x)>1,对任意 m、n∈R,有 f(m+n)=f(m+n)=f(m)·f(n),当 m≠n 时,f(m)≠f(n). (1)证明 f(x)在 R 上是增函数. (2)若 f(2)=9,解方程[f(x)]2+

1 f(x+3)-1=f(1). 9

,从而 f(0)=1,又由 f(2)=9, 分析 根据题给条件可猜测 f(x)的模特函数是 y=ax(a>1) 可见 a=3,即 f(x)之一为 3x,欲解(2)的方程时,需求出 f(3)及 f(1),从而易得如下解法. 解 (1)为证 f(x)在 R 上是增函数,先设 m=n=0 代入 f(m+n)=f(m)·f(n), 得 f(0)=f2(0). ∴f(0)=0 或 f(0)=1. 但由题意知 f(0)≠0 ,否则 f(x+0)=f(x)·f(0)=0,f(x)≡0. 其次 f(x)=f(

x x 2 x + )=f ( )>0,∴f(x)>0. 2 2 2
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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 设 n<m,则 f(m)=f(n-n+m)=f(n)·f(m-n), ∵m-n>0,∴f(m-n)>1. ∴

f ( m) =f(m-n)>1, f (n)

f(m)>f(n),故为增函数. (2)∵ f(2)=9. ∴f(1+14)=f(1)f(1)=9. f(1)=3. f(3)+f(2)f(1)=9×3=27. 原方程变[f(x)]2+

1 ·f(3)f(x)-1=3,f2(x)+3f(x)-4=0, 9

f(x)=1 或 f(x)=-4(舍去)由 f(x)=1,得解为 x=0. 【例 4】设函数 f(x)是奇函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=-2.且当 x >0 时,f(x)<0.求 f(x)在[-3,]上的最大值与最小值. 分析 模特函数是 f(x)=-2x,欲求函数 f(x)在[-3,3]上的最值,只要证明函数 f(x)在 R 上递减即可. 解 设 x1>x2>0,∵f(x1)=f(x2+x1-x2)=f(x2)+f(x1-x2), ∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2), ∵x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0. 因而 f(x1)<f(x2),即是说 f(x)在(0,+∞)上为减函数. 由于 R 上的奇函数必过原点,又根据奇函数的对称性,f(x)在(-∞,0)上也是减函 数. ∴ f(x)在 R 上减函数,当然在[-3,3]上为减函数. 而 f(3)=f(1)+f(1)+f(1)=-6, f(-3)=6. 故最小值为-6,最大值为 6。 三 分类讨论在研究函数问题中的运用 分类讨论是中学数学中应用十分广泛的数学思想方法,其实质是一种选择划分的思想。 从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,分解时要保证不重、 不漏,通过对各个部分的解决而使问题得到解决的一种求解思路. 在运用分类讨论时, 应该认真体会为什么要讨论, 讨论什么和怎么讨论这三个基本问题. 在函数问题研究中,分类讨论思想的运用主要体现在以下两个方面: (1)表示函数关系的解析式中含有参数时,对这种函数性质的研究; (2)对含字母系数的指数方程或对数方程求解时. 【例 1】求函数 f(x)=

log a x 2 ?1 x ?x

(a>0,a≠1)的定义域.

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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 分析 在确定函数 f(x)的定义域时,必须涉及 x 的不等式 logax2≥1 的求解,也要涉及函 数 g(x)=logax 的增减性.讨论 g(x)的增减性,应把 a 的取值范围分两部分:a>1;0<a<1. 解 要使函数有意义,x 需满足
2 2 ? ? ?log a x ? 1 ≥ 0 ?log a x ≥ 1 ?? ? ?x ?x ≠ 0 ?x ≠ x ? ?

?x ≠ 0 ? 2 当 a>1 时,得 ? x ≥ 0 ?x < 0 ?

即 x≤- a .

?x ≠ 0 ? 当 0<a<1 时,得 ? x 2 ≥ 0 , 即- a ≤x<0. ?x < 0 ?
∴ f(x)的定义域当 0<a<1 时,为 ? a ,0 ; 当 a>1 时,为 ? ∞,? a

[

)

(

]

说明 这里确定函数 g(x)=logax 的增减性是分类讨论的原因,应讨论 a,把 a 的取值范 围分成两类(0,1)(1,+∞). , 【例 2】 已知函数 f(x)=x2―2ax+3a2―1 (a>0,0≤x≤1) , (1)求函数 f(x)的最大值或最小值; (2)若 f(x)的最小值是-

7 ,求其最大值. 8

分析 若由 f(x)=(x-a)2+2a2-1 就认为 f(x)的最小值是 2a2-1,最大值不存在,是不正 确的,因为这里的函数的定义域是[0,1],而不是(-∞,+∞) ,而且这里的二次函数 f(x) 图象的对称轴(x=a)的位置是可变的. 因此,应该讨论直线 x=a 相对于区间[0,1]的可能变化. 解 (1)f(x)=x2-2ax+3a2-1=(x-a)2+2a2+1, ∵a>0,当 a≥1 时,由于 f(x)在[0,1]上是减函数,故 f(x)的最大值为 f(0)=3a2-1,f(x) 的最小值为 f(1)=3a2-2a; 当 0<a<1 时,f(x)的最小值为 f(a)=2a2-1,f(x)的最大值为 f(0),f(1)中的较大者. 下面讨论 f(0 ),f(1)的大小关系: 若 f(1)>f(0),则 3a2-2a>3a2-1,即 a< ∴ 当 0<a< 当

1 , 2

1 时,f(x)的最大值为 f(1)=3a2-3a; 2

1 ≤a<1,f(x)的最大值为 f(0)=3a2-1. 2

?a ≥ 1 ?0 < a < 1 ? ? (2)由 ? 2 7 或? 2 7 ?3a ? 2a = ? 8 ?2a ? 1 = ? 8 ? ?
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解得 a=

1 . 4 1 1 1 1 1 5 由于 0< < ,故此时 f(x)的最大值为 f( )=3( )2―2( )=― 4 2 4 4 4 16
说明 (1)对中对 a 作了二次划分,其层次是

?a ≥ 0 ? 1 ? ? ?0 < a < 2 a>0 ? ? ?0 < a < 1? 1 ? ≤ a <1 ? ?2 ? ?
前者以 1 为标准,后者以( )为标准,这种分类讨论的方法叫二级分类,每一级都要求 不重、不漏,且两级还不能混淆.当然,若事先作点分析也事以一次分三类作讨论. 0<a<

1 1 , ≤a<1,a≥1. 2 2

【例 3】 已知 f(x)是函数 y=0.32x+3 的反函数,且 f(a),f(2a)都有意义,试比较 f(2a)与 2f(a)的大小,并说明理由. 故 2f(a)=2log0.09(a-3). 比较 (2a 分析 不难得到 f(x)=log0.09(x-3), f(2a)=log0.09(2a-3), -3)与(a-3)2 的大小,必须对 a 作出分类讨论,而 a 的取值范围由 f(a),f(2a)都有意义决 定. 解 由已知可得 f(x)=log0.09(x-3) (x>3) 又由 f(a),f(2a)有意义知

?a ? 3 > 0 ? a>3, ? ?2 a ? 3 > 0
而?

?(a ? 3) 2 ≥ 2a ? 3 ?(a ? 2)(a ? 6) ≥ 0 ?? ? a≥6, ?a > 3 ?a > 0 ?(a ? 3) 2 ≥ 2a ? 3 ?(a ? 2)(a ? 6) < 0 ?? ? 3<a<6, ? ?a > 3 ?a > 3

∴当 3<a<6 时,0<(a-3)2<2a-3; 当 a≥6 时,(a-3)2≥2a-3>0. 由于函数 y=log0.09x 在(0,+∞)上是减函数, ∴当 3<a<6 时, 0.09(a-3)2>log0.09(2a-3), 2log0.09(a-3)>log0.09(2a-3), 2f(a) log 即 即 >f(2a);当 a≥6 时,log0.09(a-3)2≥log0.09(2a-3),即 2f(a)≤f(2a). 说明 本题中 f(a),f(2a)有意义的条件是多余的,写出来是为了强化对“怎么对 a 进行 讨论”的认识.

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巩固练习
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题四个选项中,选出一个正 选择题 确答案) ,则 A 中元素 1、 已知集合 A={自然数的平方},映射 f 的对应法则是“除以 3 的余数” 的象的集合是 ( ) {1, A、{0,1,2} B、{1,2,3} C、{0,1} D、{1,2} 2、 关于集合 A 到集合 B 的映射,下面的说法错误是 ( ) A、 A 中的每一个元素在 B 中都有象 B、 A 中的两个不同元素在 B 中的象必不同 C、 B 中的元素在 A 中可以没有原象 D、 B 中的某元素在 A 中的原象可能不止一个 3、给出 4 个命题: (1)函数是其定义域到值域的映射(2) f ( x ) = 函数(3)函数 y = 2 x ( x ∈ N ) 的图象是一条直线(4) f ( x) = 同一个函数。其中正确的有 A 、1 个 B 、 2个 ( ) C 、3 个

x?3 + 2? x 是

x2 与 f ( x) = x 是 x

D 、4 个
( )

4、下列图形中,不可能是函数 y = f ( x ) 的图象的是

A

B

C (

D )

5、 设函数 f ( x ) 是( ? ∞,+∞ )上的减函数,又若 a ∈ R ,则

A、f ( a ) > f ( 2 a ) C 、f ( a 2 + a ) < f ( a )

B、f ( a 2 ) < f ( a ) D、f (a 2 + 1) < f (a )

6 、 设 ( a, b ) ,( c, d ) 都 是 函 数 f (x ) 的 单 调 区 间 , 且

x1 ∈ (a, b), x 2 ∈ (c, d ), x1 < x 2 , 则f ( x1 )与f ( x 2 ) 的大小关系是 A、f ( x1 ) < f ( x 2 ) C、f ( x1 ) = f ( x 2 ) B、f ( x1 ) > f ( x 2 )
D 、不能确定





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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 7、 函数 y = x ( x < 0) 的反函数是
2





A、y = x ( x > 0) C 、y = ? x
8、 函数 f ( x ) = ax + b 与它的反函数 f
?1

B、y = ? x ( x > 0) D、y = ? ? x ( x < 0)
( x) 是同一个函数,则有 B、a = ?1, b = 0
( )

A、a = 1, b = 0 C、a = ±1, b = 0

D、a = 1, b = 0或a = ?1, b ∈ R
?1

9、 若 y = f (x ) 有反函数,则在同一直角坐标系中, y = f (x ) 与 x = f 象具有性质( )

( y ) 的图

A 、关于直线 y = x 对称
C 、表示同一曲线

B 、关于 y 轴对称
D 、关于原点对称

10、 若函数 f ( x ) = x 2 + 2( a ? 1) x + 2 在区间( ? ∞,4 )上是减函数,则实数 a 的取 值范围是( )

A、a ≤ ?3 C、a ≤ 5

B、a ≥ ?3 D、a ≥ 3

11、 函数 f ( x ) = 2 x 2 ? mx + 3 ,当 x ∈ [ ?2,+∞) 时是增函数,当 x ∈ ( ?∞,?2] 时是 减函数,则 f (1) 等于( )

A、 -3 C、 7
12、 已知 f ( x )

B、13 D 、由 m 而定的常数

1+ x A、 1? x x2 +1 C、 2 x ?1

x +1 1 , 则f ?1 ( ) 的解析式是 x ?1 x





x +1 B、 x ?1 x2 ?1 D、 2 x +1

二、

填空题( 填空题(本大题 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) )

?0, x < 0 ? 13、已知函数 f ( x) = ?π , x = 0 则 f [ f (?3)] = _____ 。 ? x + 1, x > 0 ?
3 2 14、设 f ( x ), g ( x ) 都是定义在 R 上的函数,并且满足 f ( x ) + 2 g ( ? x ) = x + x ,则

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f (?2) + 2 g (2) = ______ 。
15、若函数 y = ?

b 在(0, + ∞ )上是减函数,则 b 的取值范围是 _______ 。 x
?1

16、已知函数 y = f ( x ) 有反函数 y = f 三、

( x) ,则 f ?1 [ f (m)] = _____ 。

解答题: (本大题共 6 小题;共 74 分) (12 分)

17、已知 f ( x ? 1) = x 2 ? 4 x ,解方程 f ( x + 1) = 0

18、已知函数 y = f (x) 的定义域是 0 ≤ x ≤ 1 。 (13 分) 求:① f ( x 2 ) 定义域 ② f ( x + a) ( a > 0 ) ③ f ( x + a ) + f ( x ? a ) ( a > 0) 的

? 2 ?3 x ? 2 x 19、 已知函数 f ( x ) = ? ?? 2 x 2 + 3 ?
分)

, 求使 f ( x ) < 2 的 x 值的集合。 (12

20、已知函数 y =

1 1 x + a和y = bx ? 互为反函数,求 a, b 的值。 2 3

(12 分)

21、已知 f ( x ) 是定义在[-1,1]上的增函数,且 f ( x ? 1) < f ( x 2 ? 1) ,求 x 的取值范 围。 (12 分)

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22、已知 A = [1, b](b > 1) ,对于 f ( x ) = 的取值范围。 (13 分)

1 ( x ? 1) 2 +1,若 x ∈ A 时, f ( x) ∈ A ,试求 b 2

参考答案: 参考答案: 一、选择题 二、填空题

1.C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.D 7.B 8.D 9.C 10.A 11.B 12.A 13、 π + 1 14、-4 15、 b < 0 16、 m

三、解答题: 17、

x = ±2
② x ∈ [ ? a,1 ? a ]

18、 ① x ∈ [?1,1] ③a >

1 时定义域为 Φ ; 2 1 0 < a ≤ 时定义域为 [a,1 ? a ] 2

19、 {x x < ?

2 2 1+ 7 或 <x< } 2 2 3

1 ? ?a = 20、 ? 6 ?b = 2 ?
21、 1 < x ≤ 22、 1 < b ≤ 3

2

数列专题讲解 第三章 数列
函数方程思想在研究数列问题中的运用 函数作为高中数学最重要的内容,几乎贯穿中学数学的始终,数列作为特殊的函数,与 函数有着千丝万缕的联系: 数列的通项公式及前 n 项和公式都是关于 n 的函数,当 d≠0 时,等差数列的通项是关 于 n 的一次函数, n 项和是关于 n 的一元二次函数; 前 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 都与指数函数有关。 在解决数学问题的过程中, 把变量之间的制约关系用函数关系反映出来, 便形成了函数
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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 思想;把众多待求量通过列方程、解方程来确定,便形成了方程思想,函数与方程之间的辩 证思维便形成了函数方程思想。 因此,我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。 ,其中 S 3 =S 11 ,问此数列前几项和最大? [例](1)首项为正数的等差数列{a n } 例 (2)等差数列{a n }中,S 10 =100,S 20 =300,求 S 30 。 (3)等差数列的公差不为 0,a 3 =15,a 2 ,a 5 ,a 14 成等比数列,求 S n 。 分析 (1)等差数列前 n 项和 S n =

d 2 d n +(a 1 - )n(d≠0)是关于 n 的二次函数且常数 2 2

项为 0,故可设 S n =An 2 +B n ,运用配方法求最值; (2)由 S n =An 2 +B n 及 S 10 =100,S 20 =300,求出 A、B 后再求 S 30 。 (3)求 S n 的关键,在于求 a n ,由 a n =dn+(a 1 -d)(d≠0)知,它是关于 n 的一次函数,故可 设 a n = An+B,由条件列出方程组求 A、B。 解(1)设 S n = An +B n (A≠0) , ∵S 3 =S 11 , ∴9A+3B=121A+11B,即 14A+B=0。 又∵S n = An 2 +B n =A(n+ ∴当 n=-
2

B B2 )2 - , 2A 4A

B =7 时,S n 有最大值 S 7 。 2A

另解由 S 3 =S 11 ,得 a 4 +a 5 +a 6 +a 7 +a 8 +a 9 +a 10 +a 11 =0, 又∵a 4 + a 11 = a 5 + a 10 = a 6 + a 9 = a 7 +a 8 , ∴4(a 7 +a 8 )=0, a 7 +a 8 =0. 由于 a 1 >0,据题意知 a 7 =-a 8 >0,a 8 <0 因此,前 7 项和最大。 (2)设 S m =An 2 +Bn(A≠0) ∵S 10 =100,S 20 =300, 100A+10B=100, A=

1 , 2
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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 ∴ 400A+20B=300. ∴S 30 =900× B=5.

1 +30×5=600。 2

另解 ∵S 10 =100,S 20 =300,又 S 10 ,S 20 -S 10 ,S 30 -S 20 成等差数列。 ∴S 30 -S 20 =2(S 20 -S 10 )-S 10 ∴S 30 =600 (3)设 a n =An+B(A≠0) ∵a 3 =15,a 5 =a 2 ·a 14 , ∴ 3A+B=15 (5A+B) 2 =(2A+B)·(14A+B). A=2, ∴ B=-1.. ∴S n =(2×1-1)+(2×2-1)+…+(2×n-1) =2×(1+2+…+n)-n =n(n+1)-n=n 2 . 评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式,前 n 项和公式,从而把数列问题转化为 函数解决,体现了函数的思想和方法的应用。 a n =2n-1
2

二 求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的核心之一, 它如同函数中的解析式一样, 有解析式便可研究其 性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项及前 n 项和等,看来,求数列的通项往往是 解题的突破口、关键点,现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。 1. 观察法 观察法就是观察数列特征, 横向看各项之间的关系结构, 纵向看各项与项数 n 的内在联 系,从而归纳出数列的通项公式。 【例1】 写出下面各数列的一个通项公式 (1)

1 4 9 16 , , , …; 2 5 10 17,

(2)1,- ,

1 1 1 1 ,? , …; 3 7 15 31,

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(3)

3 7 15 31 …; , , , 4 8 16 32,

(4)21,203,2005,20007,…; (5)0.2,0.22,0.222,0.2222,…; (6)1,0,1,0,…; (7)1,

3 1 5 1 7 , , , , ,… 2 3 4 5 6

2 2 2 2 解(1)注意各项的分子分别是 1 ,2 ,3 ,4 ,…,分母比分子大 1,

∴数列的通项公式为 a n =

n2 . n2 +1

(2)奇数项为正,偶然项为负,各项分母可看作 2 1 -1=1,2 2 -1=3,2 3 -1=7,2 4 -1=15, 2 5 -1=31,…,各项分子均为 1。 ∴数列的通项公式为 a n =(-1) n ·

1 2 ?1
n

(3)各项的分母分别是 2 2 ,2 3 ,2 4 ,2 5 ,…分子比分母小 1。

∴数列的通项公式为 a n =

2 n +1 ? 1 2 n +1

(4)各项可看作 21=2×10+1203=2×100+32005=2×1000+5 20007=2×10000+7, ∴数列的通项公式为 a n =2×10 n +(2n-1). (5) 把 各 项 适 当 变 形 0.2=2 × 0.1=

2 2 1 2 2 ×0.9= ×(1 - ),0.22=2 × 0.11= ×0.99= ×(1 - 9 9 10 9 9 1 2 1 2 1 ),0.222= ×(1- ),0.222= ×(1- ),…, 100 9 1000 9 10000 2 1 ∴数列的通项公式为 a n = ·(1- n ) 。 9 10
(6)奇数项皆为 1,偶然项为 0, ∴数列的通项公式为 a n =

1 + (?1) n ?1 2 3 1 1 1 5 1 1 1 7 1 = +1, = +0, = +1, = +0, = +1,…,∴数 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

(7)各项可看作 1=1+0,

列的通项公式为 a n =

1 1 + (?1) n + . n 2

评析 用观察法写数列的通项公式,一般考虑如下几点:
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n ?1

(1) 观察数列各项符号变化,考虑通项公式中是否有(-1) 或者(-1)

n

部分,如

本例中(2)(6)(7)也有所涉及。 , , (2) 分解分子分母的因数(式) ,考虑其变化规律与序号的关系,应注意根据某些变化规 律较明显的项, “猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项,同时要特别注 意等差,等比关系,如本例(2)(3)(4)等。 , , (3) 考虑分子、分母与一些特殊数列如 2 ,3 ,n ,n 等的关系,如本例(1)(2) , , (3)等。
n n 2 3

2. 已知 S n 求 a n 或已知 S n 与 a n 的关系求 a n 已知数列{a n }的前 n 项和 S n 求 a n 时,要注意运用 a n 和 S n 的关系,即 S 1 ,n=1 an = S n -S n ?1 ,n≥2.

【例 2】已知下列各数列{a n }的前 n 项和 S n 的公式,求{a n }的通项公式。 (1) S n =10 n -1; (2)S n =10 n +1; (3)S n =n 2 +1. 解(1)当 n=1 时,a 1 =S 1 =9, 当 n≥2 时,a n = S n -S n ?1 =(10 n -1)-(10 n ?1 -1)=10 n -10 n ?1 =9·10 n ?1 , 且 n=1 时,a 1 =9 也适合上式,∴a n =9·10 n ?1 (n ∈ Ν ). (2)当 n=1 时,a 1 =S 1 =10 1 +1=11, 当 n≥2 时,a n = S n -S n ?1 =(10 n +1)-(10 n ?1 +1)=9·10 n ?1 , 而 n=1 时,a 1 =11,不适合上式, ∴a n 11,n=1 9·10 n ?1 ,n≥2. (3)当 n=1 时,a 1 =S 1 =2,
2 2 当 n≥2 时,a n = S n -S n ?1 =(n +1)-[(n-1) +1]=2n-1,
?

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而 n=1 时,a 1 =2 不适合上式,

2, n=1, ∴a n = 2n-1,n≥2.

评析 已知{a n }的前 n 项和 S n 求 a n 时应注意以下三点: (1) 应重视分类类讨论的应用, 要先分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论, 特别注意由 S n -S n ?1 = a n 推导的通项 a n 中的 n≥2。 (2) 由 S n -S n ?1 = a n ,推得的 a n 且当 n=1 时,a 1 也适合“a n 式” ,则需统一“合写” 。 (3) 由 S n -S n ?1 = a n 推得的 a n ,当 n=1 时,a 1 不适合“a n 式” ,则数列的通项应分段 表示( “分号”,即 a n = ) S 1 ,n=1, 如本例中(2)(3) , 。请观察本例

中(1)与(2)的差异及联系。 S n -S n ?1 , n≥2

【例 3】 已知数列的前 n 项之和为 S n , 满足条件 lgS n +(n-1)lgb=lg(b n +1 +n-2),其中 b>0,且 b ≠1 (2)若对 n ∈ Ν ,n≥4 时,恒有 a n +1 >a n ,试求 b 的取值范围。 ,(1)求数列{a n }的通项公式;
n +1 n ?1 2 解(1)由已知得 lgS n = lg(b +n-2)-lgb =lg(b +
?

∴S n = b 2 +

n?2 . b n?1

n?2 ), b n?1

当 n=1 时,a 1 =S 1 =b 2 -1; 当 n≥2 时,a n = S n -S n ?1 = b 2 +

n?2 n ?3 -(b 2 + n ? 2 ) n ?1 b b (1 ? b)n + 3b ? 2 = 。 b n ?1

b 2 -1,n=1, ∴a n =

(1 ? b)n + 3b ? 2 , n≥2 b n ?1
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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 (2)∵a n +1 >a n , n≥4, ∴

(1 ? b)(n + 1) + 3b ? 2 (1 ? b)n + 3b ? 2 - >0. bn b n ?1

∴(n-3)b 2 -2(n-2)b+(n-1) >0,(以 b 为“主元”整理) 即(b-1)[(n-3)b-(n-1)] >0, ∵1<1+

2 ≤1+2=3, n ?3 n ?1 2 ∴b<1 或 b> =1+ . n ?3 n ?3

∴0<b<1 或 b>3.

【例 4】 (1)在数列{a n }中,已知 S n =3+2a n ,求 a n .
2 2S n (2)在数列{a n }中,已知 a 1 =1, a n = ( n≥2),求 a n . 2S n ? 1

解(1)∵a n = S n -S n ?1 =(3+2 a n )-(3+2a n ?1 ), ∴a n =2a n ?1 , 得

an =2(n≥2); a n ?1

∴{a n }是 a 1 =S 1 =-3 且 q=2 的等比数列, ∴a n =a 1 ·q n ?1 =-3·2 n ?1 (n≥1). (2)∵a n = S n -S n ?1 =
2 2S n , 2S n ? 1



1 1 - =2(n≥2). Sn S n?1

又 a 1 = S 1 =1, 则

1 =1, S1 1 1 }是以 =1 为首项,2 为公差的等差数列。 Sn S1

∴数列{

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1 1 = +(n-1) ·2=2n-1, S n S1
1 . 2n ? 1

∴S n =

当 n=1 时,a 1 = S 1 =1, 当 n≥2 时,a n = S n -S n ?1 =

1 1 2 - =- 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

而 n=1 时,a 1 = S 1 =1 不适合上式, 1,n=1, ∴a n = -

2 , n≥2. (2n ? 1)(2n ? 3)

3. 累差法 若数列{a n }满足 a n +1 -a n =f(n)(n ∈ Ν ),其中{f(n)}是易求和数列,那么可用累差法求 (请你复习求等差数列通项公式的部分) an 。 【例 5】求数列 1,3,7,13,21,…的一个通项公式。 解 ∵a 2 -a 1 =3-1=2, a 3 -a 2 =7-3=4, a 4 -a 3 =13-7=6, … a n -a n ?1 =2(n-1) 以上 n-1 个等式左右两边分别相加,得 a n -a 1 =2[1+2+3+…+(n-1)]=(n-1)n, ∴a n =n 2 -n+1. 且 n=1 时,a 1 =1 适合上式。 ∴a n =n 2 -n+1.
2 评析 我们应验证 n=1 时 a 1 =1 适合 a n =n -n+1 式,这是什么原因。
?

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4. 累商法 若数列{a n }满足

a n +1 ? =f(n)( n ∈ Ν ),其中数列{f(n)}前 n 项积可求,则可用累商法求 a n . an
n +1 a n ,求通项 a n 。 n

【例 6】在数列{a n }中,a 1 =2,a n +1 = 解 ∵a 1 =2,a n +1 = ∴

n +1 an , n

a2 2 = , a1 1

a3 3 = , a2 2
……

an n = 。 a n ?1 n ? 1
以上 n-1 个等式左右两边分别相乘得

an =n, a n =2n. an
且 n=1 时,a 1 =2 也适合上式。 ∴a n =2n . 5. 构造法 直接求通项 a n 较难求,可以通过整理变形等,从中构造出一个等差或等比数列,从而 将问题转化为较易求解的问题,进一步求出通项 a n 。 【例 7】各项非零的数列{a n } ,首项 a 1 =1,且 2S n =2a n S n -a n ,n≥2,求数列的通项 a n 。 解 ∵a 1 =1,2S n =2a n S n -a n , n≥2,又 a n = S n -S n ?1 . ∴2S n =2S n -2 S n S n ?1 -S n + S n ?1 , ∴
2 2 2 2

1 1 - =2 (n≥2) (怎么得到的?) Sn S n?1 1 1 }是以 =1 为首项,以 2 为公差的等差数列, Sn Sn
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∴数列{

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1 1 =1+(n-1) ·2=2n-1, S n = . Sn 2n ? 1 1 1 ?2 - = 2n ? 1 2n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3)
(n≥2)

∴a n = S n -S n ?1 =

又 a 1 =S 1 =1,不适合上式, 1,n=1, ∴a n =

?2 , n≥2 (2n ? 1)(2n ? 3)
有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧(如例 7 即前面的例 4(2);当然 ) 了,有些题可能有多种解法。

【例 8】已知数列{a n }中的项满足

a 1 =b a n +1 =ca n +d

求{a n }的通项公式。

解(1)c=0 时,a n =

b,n=1 d,n≥2 (必须首先考虑到)

(1) c=1 时,a n =b+(n-1)d. (2) 当 c≠0,c≠1 时可有如下几种方法求 a n 。 解法 1(递推法) ∵a 1 =b 及 a n +1 = ca n +d, ( ∴a n = ca n ?1 +d=c(ca n ? 2 +d)+d=c 2 a n ? 2 +cd+d =…=c
n ?1

a 1 +c n ? 2 d+c n ?3 d+…+cd+d

=c c ?1 b+( c n ? 2 d+ c n ?3 +…+c+1)d = c c ?1 b+

c n?1 bc n + (d ? b)c n ?1 ? d d= c ?1 c ?1

解法 2(构造法)∵a n +1 =ca n +d, ∴a n +1 +x= ca n +x+d=c(a n +

x+d ), c

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d+x d d+x ,得 x= ,(令 x= 有什么目的) c c ?1 c d d d d d =c(a n + ),即数列{a n + }是首项为 a 1 + =b+ ,公比为 c 的等 ∴a n +1 + c ?1 c ?1 c ?1 c ?1 c ?1
令 x= 比数列, ∴a n +

d d c ?1 =(b+ ) ·c , c ?1 c ?1

bc n + (d ? b)c n ? 1 ? d 整理得 a n = 。 c ?1
评析 构造法解决问题希大家尽量掌握,这对于提高我们的数学素质大有帮助。 注意 求数列通项公式的问题是最为常见的试题,特别要注意已知 S n 求 a n 的问题。

三 数列求和 数列求和是数列部分的重要内容,求和问题也是很常见的试题,对于等差数列,等比数 列的求和主要是运用公式;某些既不是等差数,也不是等比数列的求和问题,一般有以下四 种常用求和技巧和方法。 1.公式法 公式法 能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和, 立方和公式寻求和的方 法。 【例 1】数列{a n }的通项 a n =n 2 -n,求前 n 项和 S n 。 解 S n =(1 2 -1)+(2 2 -2)+…+(n 2 -n) =(1 2 +2 2 +…+n 2 )-(1+2+…+n) =

n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) - 6 2 n(n + 1)(n ? 1) = 。 3 n(n + 1) ; 2

说明 请大家注意应用常见数列的求和公式。 (1) 1+2+3+…+n=

(2) 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ; (3) 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 = 2.倒序求和法 倒序求和法 3.错项求和法 错项求和法 【例 2】求和 S n =

n(n + 1)(2n + 1) 等。 6

1 3 5 2n ? 1 + + +…+ 。 2 4 8 2n

请你独立完成,相信你会有更深的体会。
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答案 S n =3- 4.裂拆项法 裂拆项法

2n + 3 。 2n
n

【例 3】在数列{a n }中,a n =10 +2n-1,求 S n 解 S n =(10 +2×1-1)+(10 +2×2-1)+…(10 +2n-1)
1 2 n =(10 +10 +…+10 )+2×(1+2+…+n)-n 1 2
n

10(10 n ? 1) = +n(n+1)-n 10 ? 1
=

10 (10 n -1)+n 2 . 9

注意 把通项进行合理地分拆与组合,转化为易求和的数列的求和问题。 练习: 练习:求数列 1,1+2,1+2+3,…的前 n 项的和。 答案 S n =

n(n + 1)(n + 2) 。 6

【例 4】已知数列{a n } , :

1 1

1 1 1 , ,… ,…,求它的前 n 项和。 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + 3 + …+ n

分析 我们先看通项 a n = 成两项之差如何? 解∵a n =

1 1 = ,然后想什么办法求 S n 呢?将通项分裂 1 + 2 + 3 + …+ n n(n + 1)

1 1 1 =2( ? ) , n(n + 1) n n +1

(为什么呢?)

∴S n =a 1 +a 2 +a 3 +…+a n =2[(1-

1 1 1 1 1 1 1 )+( - )+( - )+…+( ? )] 2 2 3 3 4 n n +1 1 2n =2(1- )= 。 (成功了! ) n +1 n +1

评析 如果数列的通项公式可转化为 f(n+1)-f(n)形式,常采用裂项求和的方法,特别地, 当数列的通项公式是关于 n 的分式形式时,可尝试采用此法。 常用的裂项技巧如:

1 1 1 1 = ( ? ) ; n( n + k ) k n n + k

1

n+k + n

=

1 ( n + k - n )等。 k

使用裂项法时要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项;你是否注意到由于 数列{a n }中每一项 a n 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数
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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项。

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高一数学三角函数同步辅导讲义

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高一数学三角函数同步辅导讲义

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高一数学同步辅导第5讲

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高一数学第四章三角函数同步辅导讲义(2)

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高一数学同步辅导第2讲

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高一数学第四章三角函数同步辅导讲义

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