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高三文科数学一轮复习数列5-3


命题要点:?1?等比数列的定义及通项公式?′11 年 4 考,′10 年 3 考?;?2?等比 数列的性质?′11 年 2 考, ′10 年 2 考?; ?3?等比数列的前 n 项和?′11 年 3 考, ′10 年 2 考?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}前 7 项的和 为( ). 满分:60 分)

A.63 B.64 C.127 D.128 解析 设数列{an}的公比为 q(q>0),前 n 项和为 Sn,由 a1=1,a5=16,得 q4 a1?1-q7? a5 =a =16,所以 q=2,从而得 S7= =127. 1-q 1 答案 C 2.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( A.64 B.81 C.128 D.243 解析 设数列{an}的公比为 q,则 q= a2+a3 =2, a1+a2 ).

∴由 a1+a1q=3 得 a1=1,∴a7=1×27-1=64. 答案 A 3.(2011· 辽宁)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( A.2 B.4 C.8 解析 由 答案 B 4.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6= ( A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 ). D.16 an+1an+2 2 16n+1 知 q>0,又 =q = 16n =16,∴q=4. anan+1 ).

anan+1=a2q=16n>0 n

6 解析 (a1a2a3)×(a7a8a9)=a5=50,∴a4a5a6=a3=5 2. 5

答案 A 1 5.(2012· 日照模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·n-2-5,则实数 t 的值为 5 ( 4 A.4 B.5 C.5 解析 1 D.5 ).

1 1 4 ∵a1=S1=5t-5,a2=S2-S1=5t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数列

?4 ? ?1 1? 知?5t?2=?5t-5?×4t,显然 t≠0,所以 t=5. ? ? ? ? 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6. 已知等比数列{an}的通项公式是 an=24-n, 其前 n 项和为 Sn, S5=________. 则 解析 由 an=24-n 知 a1=23=8,a2=22=4. ? ?1? ? 8?1-?2?5? ? ? ? ? 31 a2 1 ∴公比 q=a =2,∴S5= 1 =2. 1 1-2 答案 31 2

7.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公 式 an=________. 解析 由题意知 a1+4a1+16a1=21,解得 a1=1,所以数列{an}的通项公式 an= 4n-1. 答案 4n-1 8.(2011· 广州一模)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=6,S4=30,则 S6 =________. 解析 ∵{an}是等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列,即 6,24,S6-30

成等比数列,∴242=6×(S6-30), ∴S6=126. 答案 126 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8.

(1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, ?a1+d=2, 则由已知得? ∴a1=0,d=2. ?a1+4d=8. ∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q2=a4, ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. b1?1-qn? 1×?1-2n? n ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = =2 -1. 1-q 1-2 1 1 10.(12 分)(2011· 新课标全国)已知等比数列{an}中,a1=3,公比 q=3. 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= 2 ; (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 1? 1? 1 ?1-3n? 1- n 3? 3 ? 1-an 1 ?1? 1 (1)证明 因为 an=3×?3?n-1=3n,Sn= 1 = 2 ,所以 Sn= 2 . ? ? 1-3 (2)解 bn =log3a1 +log3a2 +…+log3an =-(1+2+…+n)=- n?n+1? 2 .所以{bn}

n?n+1? 的通项公式为 bn=- 2 . B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2012· 兰州模拟)已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2·3=2a1,且 a 5 a4 与 2a7 的等差中项为4,则 S5=( A.35 B.33 C.31 D.29 ). 满分:40 分)

解析 设数列{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知,a2·3=a1·4=2a1,即 a4 a a =2.

5 5 由 a4 与 2a7 的等差中项为4知,a4+2a7=2×4, 5 1? a7 1 1 ? 1 ? ∴a7=2?2×4-a4?=4.∴q3=a =8,即 q=2. ? 4 1? ? 16?1-25? ? ? 1 ∴a4=a1q3=a1×8=2,∴a1=16,∴S5= 1 =31. 1-2 答案 C 1 2.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根组成以2为首项的等比数列,则 m n =( 3 A. 2 2 C.3 ). 3 2 B. 或 2 3 D.以上都不对

解析 设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根,不妨设 a<c 1 <d<b,则 a· b=c· d=2,a=2,故 b=4,根据等比数列的性质,得到:c=1,d 9 9 m 3 m =2,则 m=a+b=2,n=c+d=3,或 m=c+d=3,n=a+b=2,则 n =2或 n = 2 3. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(2011· 福州二模)在等比数列{an}中,若 a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99 +a100=________. 解析 因为{an}是等比数列,所以 a9+a10,a19+a20,…,a99+a100 成等比数列, b9 从而得 a99+a100=a8. b9 答案 a8 4.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+…+x100=1,则 lg(x101+x102+…+x200)=________.

xn+1 解析 由 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*)得 lg xn+1-lg xn=1,∴ x =10,∴数列{xn} n 是公比为 10 的等比数列,∴xn+100=xn· 100,∴x101+x102+…+x200=10100(x1+ 10 x2+x3+…+x100)=10100,∴lg(x101+x102+…+x200)=lg 10100=100. 答案 100 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由已知有 a1+a2=4a1+2,解得 a2=3a1+2=5,

故 b1=a2-2a1=3. 又 an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an, 于是 an+2-2an+1=2(an+1-2an),即 bn+1=2bn. 因此数列{bn}是首项为 3,公比为 2 的等比数列. (2)解 由(1)知等比数列{bn}中 b1=3,公比 q=2,

an+1 an 3 所以 an+1-2an=3×2n-1,于是 n+1-2n=4, 2
?an? 1 3 因此数列?2n?是首项为2,公差为4的等差数列, ? ?

an 1 3 3 1 2n=2+(n-1)×4=4n-4, 所以 an=(3n-1)·n-2. 2 6. 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, (12 数列{bn}中, 1=a1, n=an-an-1(n≥2), b b 且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)证明 ∵an+Sn=n,①

∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, an+1-1 1 ∴ = ,∴{an-1}是等比数列. an-1 2

∵首项 c1=a1-1,又 a1+a1=1. 1 1 1 ∴a1=2,∴c1=-2,公比 q=2. 又 cn=an-1, 1 1 ∴{cn}是以-2为首项,公比为2的等比数列. (2)解 ? 1? ?1? ?1? ? 由(1)可知 cn=?-2?·2?n-1=-?2?n, ? ?? ? ? ?

?1? ∴an=cn+1=1-?2?n. ? ? ?1? ? ?1? ? ∴当 n≥2 时,bn=an-an-1=1-?2?n-?1-?2?n-1? ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ?1? =?2?n-1-?2?n=?2?n. ? ? ? ? ? ? 1 ?1? 又 b1=a1=2代入上式也符合,∴bn=?2?n. ? ?


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