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2014年浙江省高职考数学试卷


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2014 年浙江省高等职业技术教育招生考试
数学试卷
(满分 120 分,考试时间 120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 18 小题,每小题 2 分,共 36 分) 1.已知集合 M={a,b,c,d},则含有元素 a 的所有真子集个数有( A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个

2.已知函数 f(x+1)= 2 -1,则 f(2)=(
x





A.-1 B.1 C.2 D.3 3.“a+b=0”是“a·b=0”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 4.下列不等式(组)解集为 x x<0 的是(

?

?



A.

x x -3< -3 2 3
2

B. ?

? x-2<0 ?2-3x>1

C. x -2x>0

D. x- 1 <2 )

5.下列函数在区间(0, +∞ )上为减函数的是( A.y=3x-1 C. g ( x ) ? ( ) B.f(x)= log 2 x

6.若 ? 是第二象限角,则 ? -7 ? 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7.已知向量 a ? (2, ?1) , b ? (0,3) ,则 a ? 2b ? ( A. (2, ?7) B. 53 C.7 D. 29 ) )

1 2

x

D. h( x) ? sin x

8.在等比数列 {an } 中,若 a2 ? 3, a4 ? 27 ,则 a5 ? (

A. ?81 B.81 C. 81 或 ?81 D.3 或 ?3 9.抛掷一枚骰子,落地后面朝上的点数为偶数的概率等于( A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 10.已知角 ? 终边上一点 P(4, ?3) ,则 cos ? ? ( A. ? )

)

3 5

B.

4 5

C. ?

3 4

D.

5 4
)

11. cos 78 ? cos18 ? sin18 ? sin102 ? (

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A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2
)

12.已知两点 M (?2,5), N (4, ?1) ,则直线 MN 的斜率 k ? ( A.1 B. ?1 13.倾斜角为 A. x ? ?3 C.

? ,x 轴上截距为 ?3 的直线方程为( 2
B. y ? ?3 C. x ? y ? ?3

1 2

D. ?

1 2

)

D. x ? y ? ?3 )

14.函数 y ? sin 2 x ? cos 2x 的最小值和最小正周期分别为( A.1 和 2 ? B. 0 和 2 ? C. 1 和 ? D. 0 和 ?

15.直线 l: x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的位置关系是( A.相交切不过圆心 B.相切 C.相离 D.相交且过圆心 16.双曲线

)

x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e=( 4 9
3 2
2

)

A.

2 3

B.

C.

13 2

D.

13 (www.zjdkdz.com 浙江单考单招网) 3
)

17.将抛物线 y ? ?4x 绕顶点按逆时针方向旋转角 ? ,所得抛物线方程为( A. y ? 4 x
2

B. y ? ?4x
2

C. x ? 4 y
2

D. x ? ?4 y
2

18.在空间中,下列结论正确的是( ) A.空间三点确定一个平面 B.过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C.如果一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与此平面平行 D.三个平面最多可将空间分成八块 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 19.若 0 ? x ? 4 ,则当且仅当 x ? 时, x(4 ? x) 的最大值为 种

20.从 8 位女生和 5 位男生中,选 3 位女生和 2 位男生参加学校舞蹈队,共有 不同选法. 21.计算: log4 8 ? . .

22.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, S7 ? 35 ,则等差数列 {an } 的公差 d ? 23.函数 f ( x) ? ?2 x ? 5x ? 3 图象的顶点坐标是
2

. .

24.已知圆柱的底面半径 r ? 2 ,高 h ? 3 ,则其轴截面的面积为
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25.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与两坐标轴所围成的三角形面积 S ? 26.在闭区间 [0, 2?] 上,满足等式 sin x ? cos1 ,则 x ? 三、解答题(本大题共 8 小题,共 60 分) 解得应写出文字说明及演算步骤. 27.(6 分)在△ABC 中,已知 b ? 4, c ? 5 ,A 为钝角,且 sin A ? .

.

4 ,求 a. 5

28.(6 分)求过点 P(0,5) ,且与直线 l : 3x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程. 29.(7 分)化简: (1 ? x)5 ? ( x ? 1)5 . 30.(8 分)已知 tan ? ?

3 2 , tan ? ? ,且 ? , ? 为锐角,求 ? ? ? . 7 5

31.(8 分)已知圆 C: x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 4 ? 0 和直线 l: x ? y ? 5 ? 0 ,求直线 l 上到圆 C 距离最小的点的坐标,并求最小距离. 32.(7 分)(1)画出底面边长为 4cm,高为 2cm 的正四棱锥 P ? ABCD 的示意图;(3 分) (2)由所作的正四棱锥 P ? ABCD ,求二面角 P ? AB ? C 的度数.(4 分) 33.(8 分)已知函数 f ( x) ? ?

1) ?5,(0≤x≤ .(www.zjdkdz.com 浙江单考单招网) (x ? 1 ) ? f ( x ? 1) ? 3,

(1)求 f (2), f (5) 的值;(4 分) (2)当 x ? N 时, f (1), f (2), f (3), f (4), ?构成一数列,求其通项公式.(4 分)
*

34.(10 分)两边靠墙的角落有一个区域,边界线正好是椭圆轨迹的部分,如图所示.现要设 计一个长方形花坛,要求其不靠墙的顶点正好落在椭圆的轨迹上. (1)根据所给条件,求出椭圆的标准方程;(3 分) (2)求长方形面积 S 与边长 x 的函数关系式;(3 分) (3)求当边长 x 为多少时,面积 S 有最大值,并求其最大值.(4 分)

第 34 题图 MZJ3

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2014 年浙江省高等职业技术教育招生考试
数学试卷答案
一、单项选择题 1.C【解析】含有元素 a 的所有真子集为:{a}、{a,b}、{a,c}、{a,d}、{a,b,c}、{a,b,d}、 {a,c,d},共 7 个. 2.B【解析】f(2)= f(1+1)= 2 -1=1. 3.D【解析】a+b=0 ? / a·b=0,a·b=0 ? / a+b=0,故选 D. 4. 【解析】 A 选项中, 不等式的解集为 x x<0 ; B 选项中, 不等式组的解集为 ? x x< ? ; C 选项中,不等式的解集为 x x>2或x<0 ;D 选项中,不等式的解集为 x -1<x<3 . 5.C【解析】A 选项中,y=3x-1 在(0,+∞ )上为增函数;B 选项中,f(x)= log 2 x 在 (0,+∞ )上为增函数;D 选项中, h( x) ? sin x 在(0,+∞ )上有增有减;C 选项中,
1

?

?

? ?

1? 3?

?

?

?

?

1 g ( x) ? ( ) x 在(0, +∞ )上为减函数. 2 6.D【解析】? -7? ? ? ? ? ? ?? ,所以 ? ? ? 与 ? -7? 终边相同,? 是第二象限角,? 终 边顺时针旋转 180°得到 ? ? ? ,在第四象限,故 ?-7 ? 是第四象限角.
7.B【解析】 a ? 2b ? (2, ?7) , a ? 2b ? 8.C【解析】

22 ? (?7) 2 ? 53 .

a4 ? q 2 ? 9, q ? ?3, a5 ? a4 q ? ?81. a2
1 ? 0.5 . 2

9.A【解析】所求概率 P ?

10.B【解析】由余弦函数的定义可知 cos ? ? 11.D【解析】

4 4 ? (?3)
2 2

?

4 . 5

cos 78 ? cos18 ? sin18 ? sin102 ?
? cos(78 ? 18 ) ?

cos 78 ? cos18 ? sin18 ? sin 78 =

1 . 2 5 ? (?1) ? ?1 . 12.B【解析】 k ? ?2 ? 4 ? 13.A【解析】倾斜角为 ,直线垂直于 x 轴,x 轴上截距为 ?3 ,直线方程为 x ? ?3 . 2 1 ? cos 2 x 1 1 ? cos 2 x ? cos 2 x ? ,最小正周期 T ? ? ,最小值为 0. 14.D【解析】 y ? 2 2 2
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15.D 【 解 析 】 圆 的 方 程 化 为 标 准 方 程 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 , 圆 心 到 直 线 的 距 离

d?

?1 ? 4 ? 3 5

? 0 ,即直线与圆相交且过圆心.
c 13 . ? a 2

16.C【解析】由双曲线的方程可知 a ? 2, b ? 3, c ?

22 ? 32 ? 13 , e ?

17.A【解析】抛物线 y 2 ? ?4x 绕顶点按逆时针方向旋转角 ? 后形状不变,焦点位置由 x 轴负半轴变为 x 轴正半轴.所得抛物线方程为 y 2 ? 4 x . 18.D【解析】空间不共线的三点才可以确定一个平面;过直线外一点有无数条直线与已知 直线垂直;如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与此平面平行,C 中缺少了条件直线不在平面内. 二、填空题 19.2【解析】 x (4 ? x)≤(

x?4? x 2 ) 当且仅当 x ? 4 ? x , x ? 2 时, x(4 ? x) 取最大值. 2

3 2 20.560【解析】 C8 ? C5 ? 560 .

3 3 3 【解析】 log4 8 ? log 22 2 ? .(www.zjdkdz.com 浙江单考单招网) 2 2 7?6 d ? 35, d ? 1 . 22.1【解析】 S7 ? 2 ? 7 ? 2 5 49 5 2 49 5 49 2 23. ( , ) 【解析】 f ( x) ? ?2 x ? 5x ? 3 ? ?2( x ? ) ? ,顶点坐标为 ( , ) . 4 8 4 8 4 8 24.12【解析】圆柱的轴截面为长为 4,宽为 3 的长方形, S ? 3 ? 2 ? 2 ? 12 . 1 1 25. 【解析】直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与两坐标轴交点为 (0, ) , (1, 0) ,直线与两坐标轴所 4 2 1 1 1 围成的三角形面积 S ? ? ?1 ? . 2 2 4 ? ? ? ? ? 26. ? 1 或 ? 1 【解析】0 ? 1 ? , 在闭区间 [0, 2?] 上,sin( ? 1) ? sin( ? 1) ? cos1 . 2 2 2 2 2
21. 三、解答题
2 27. 【 解 】 A 为 钝 角 , cos A ? 0 , cos A ? ? 1 ? sin A ? ?

3 ,由余弦定理 5

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bcco s,可得 A a ? 65 .
28.【解】设所求直线方程为 3x ? y ? C ? 0 ,将 P 点坐标代入可得 C ? 5 ,所以所求直 线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 29.【解】 (1 ? x) ? ( x ? 1) ?
5 5

?[C5k (? x)k ] ? ? (C5k xk )
k ?0 k ?0

5

5

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0 2 2 4 4 ? 2(C5 ? C5 x ? C5 x ) ? 10x4 ? 20x2 ? 2 .

30.【解】 tan(? ? ? ) ?

? tan ? ? tan ? ? 1 , ? , ? 为锐角,所以 ? ? ? ? . 4 1 ? tan ? tan ?

31. 【解】圆 C: ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 32 ,过圆心 (2, ?3) 垂直于直线 l 的直线方程为

y ? ?x ?1 ,
联立方程组 ?

? y ? ? x ?1 , 可得直线 l 上到圆 C 距离最小的点的坐标为 (?3, 2) .圆心到直线 ?x ? y ? 5 ? 0
10 ? 5 2 ,最小距离为 d ? r ? 5 2 ? 3 . 2

l 的距离 d ?

32.【解】(1)如图所示:

第 32 题(1)图 MZJ1 (2)如图所示,取 AB 中点 M,底面中心 O, PM ? AB, BC∥OM , OM ? AB , ?PMO 即为 二面角 P ? AB ? C 的平面角,由题意可得 tan ?PMO ? 数为 45°. (www.zjdkdz.com 浙江单考单招网)

2 ? 1 ,即二面角 P ? AB ? C 的度 2

第 32 题(2)图 MZJ2 33.【解】(1) f (2) ? 8, f (5) ? f (2) ? 3 ? 3 ? 17 . (2) f (1) ? 5, f ( x) ? f ( x ? 1) ? 3 , f ( x ) 构成的数列为首项为 5,公差为 3 的等差数列.

f ( x) ? 5 ? 3( x ? 1) ? 3x ? 2 ( x ? N* ).

34.【解】(1)由图形可知椭圆焦点在 x 轴, a ? 2, b ? 1 ,标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

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x2 x2 (2)不妨设长方形的长为 x, 则长方形的宽 y ? 1 ? , 长方形面积 S ? x 1 ? (0 ? x ? 2) 4 4
(3) S ? x 1 ?

x2 ? x4 ? 4 x2 2 ,令 t ? x , f (t ) ? ?t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 4 ,t ? 2 时, f (t ) ? 4 4
?4 ? 4 ? 2 ?1. 4

取最大值,即当 x2 ? 2, x ? 0, x ? 2 时, Smax ?

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