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2013解题能力展示复赛中年级组(含解析)


2013“数学解题能力展示”网络评选活动 复赛试卷 小学中年级组(2013 年 2 月 2 日)
一、填空题(每题 8 分,共 32 分) 1.计算: 2013 ? (25 ? 52 ? 46 ? 15) ? 10= ________. 2.小明碰到了三个人,其中一位是牧师、一位是骗子、一位是疯子.牧师只说真话,骗子只说假话, 疯子有时说真话,有时说假话.第一位说:“我是疯子.”第二位说:“你胡说,你才不是疯子呢!”第三位说: “别说了,我是疯子.”那么,这三个人中第________位是疯子. 3.红色礼盒 5 元 1 个,内有陀螺 3 个;黄色礼盒 9 元 1 个,内有陀螺 5 个,蕾蕾用 600 元买了 72 个 礼盒,这些礼盒打开后,可以得到________个陀螺. 4.将 1-9 填入 3× 3 的表格中,要求同一行右面的数比左面的数大;同一列下面的数比上面的数大,其 中 1、4、9 已经填好,那么其余 6 个整数有________种不同的填法.
1 4 9

二、填空题(每题 10 分,共 40 分) 5.如图 1“L”形的宽度为 3 厘米,将 4 个这样的“L”形贴放在九宫格的 4 个角上,形成的图形如图 2.如 果 4 个“L”形的面积之和恰好等于图 2 中阴影部分的面积,那么,1 个“L”形的面积是________平方厘米.
3

3

图1

图2

6.宴会邀请来了 44 为嘉宾, 会场里有 15 张相同的正方形桌子, 每张每边能坐 1 人. 经适当“拼桌”(将 几张正方形拼成一张长方形或正方形桌子)后,恰好让所有嘉宾全部入座而且没有空位,那么最后会场里 最少有________张桌子. 7.甲乙丙丁都参加了 100 米短跑决赛,在比赛前,他们如下预测: 甲预测:“如果丙是第 4,那么我就是第 2.” 乙预测:“如果甲是第 2,那我就是第 1”
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丙预测:“甲乙两人的比赛成绩要么都高于我,要么都低于我.” 丁预测:“甲乙两人的比赛成绩肯定一人比我高,而另一人比我低.” 比赛结束,他们获得了这项比赛的前 4 名(无并列),且每人都预测正确. 如果甲、乙、丙、丁分别获得第 A 、 B 、 C 、 D 名,那么四位数 ABCD= ________. 8.《诗》、《书》、《礼》、《易》、《春秋》这 5 本书的页数各不相同:《诗》和《书》相差 24 页,《书》和《礼》相差 17 页,《礼》和《易》相差 27 页,《易》和《春秋》相差 19 页,《春秋》和《诗》 相差 15 页.那么,这 5 本书中,页数最多的和页数最少的相差________页. 三、填空题(每题 12 分,共 48 分) 9.甲乙丙丁四人共有 251 张邮票,已知甲的邮票比乙的 2 倍多 2 张,比丙的 3 倍多 6 张,比丁得 4 倍 少 16 张,那么丁有_______张邮票. 10.图 3 的 3× 3 表格中已经填好了数,选择一个格为起点,如果对这个黑格和与它相邻的白格中所填 数进行加减乘除中的一次运算(计算时大数在前),计算结果是与白格相邻的另一个黑格所填数的整数倍, 就能经过这个白格走到下一个黑格.要求每个格子恰好经过一次.(例如图 4 中,从 7 经过 8 可以走到 5, 并且图 4 中箭头走向是一种正确走法)请在 3 图中找出正确走法.若图 3 中正确走法的前 3 个格子所填数 依次为 A 、 B 、 C ,那么三位数 ABC ? ________.
4 3 8 9 5 1 图3 2 7 6 1 4 7 2 5 8 图4 3 6 9

11.欢欢、迎迎和妮妮手中共有卡片 2712 张,桌子上还有一些卡片,他们 3 人进行了如下操作: 第一次:欢欢从迎迎和妮妮手中各拿来 1 张卡片; 第二次:妮妮从桌子上那了 2 张卡片,并让欢欢和迎迎中,卡片数较少的人拿走卡片数较多的人一张 卡片; 第三次:迎迎从桌子上拿来 4 张卡片,如果手上卡片数偶数,则将手中的一半卡片交给欢欢和妮妮中 卡片数较少的那个人;如果是奇数,则游戏终止. 我们把上述三次操纵称为“一轮操作”. 如果他们顺利地进行了 50 轮操作, 而没有出现游戏终止的情况, 此时他们手中卡片数按妮妮、欢欢、迎迎的顺序成等差数列.那么,原来欢欢有________张卡片.

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2013“数学解题能力展示”网络评选活动 复赛试卷 小学中年级组参考答案
1 33 7 4213 2 3 8 34 3 336 9 34 4 12 10 834 5 45 11 754 6 7

部分解析
一、填空题(每题 8 分,共 32 分) 1.计算: 2013 ? (25 ? 52 ? 46 ? 15) ? 10= _______. 【考点】计算 【难度】☆ 【答案】33
(5 ? 26 ? 23 ? 3) ? 2013 ? 61 ? 33 . 【解析】原式 ? 2013 ?

2.小明碰到了三个人,其中一位是牧师、一位是骗子、一位是疯子.牧师只说真话,骗子只说假话,疯子 有时说真话,有时说假话.第一位说:“我是疯子.”第二位说:“你胡说,你才不是疯子呢!”第三位说: “别说了,我是疯子.”那么,这三个人中第______位是疯子. 【考点】逻辑推理 【难度】☆☆ 【答案】3 【解析】假设法: (1)假设第一位是疯子,则第二位是骗子,第三位也是骗子,矛盾. (2)假设第二位是疯子,则第一位是骗子,第三位也是骗子,矛盾. (3)假设第三位是疯子,则第一位是骗子,第二位也是牧师,成立. 所以第三位是疯子. 3.红色礼盒 5 元 1 个,内有陀螺 3 个;黄色礼盒 9 元 1 个,内有陀螺 5 个,蕾蕾用 600 元买了 72 个礼盒, 这些礼盒打开后,可以得到_______个陀螺. 【考点】鸡兔同笼 【难度】☆☆ 【答案】336 【解析】假设都是黄色礼盒,需 72 ? 9=648 (元),所以红色礼盒有 (648 ? 600) ? (9 ? 5) ? 12 (个),所以
(72 ? 12) =336 (个). 共有陀螺 3 ? 12+5 ?

4.将 1-9 填入 3× 3 的表格中,要求同一行右面的数比左面的数大;同一列下面的数比上面的数大,其中 1、 4、9 已经填好,那么其余 6 个整数有_____种不同的填法.

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1 4 9

【考点】数阵图 【难度】☆☆☆ 【答案】12 【解析】2和3只能在左上角四个格中,有两种:
1 2 3 4 1 3 2 4

还剩4个数,任选两个填入左下角两格,小的填左侧,大的填右侧;剩下两个填入右上角两格,小
2 的填上侧,大的填下侧,即可完成.有 C4 ? 6 种填法.所以根据乘法原理,共有 2 ? 6=12 种填法.

二、填空题(每题 10 分,共 40 分) 5.如图 1“L”形的宽度为 3 厘米,将 4 个这样的“L”形贴放在九宫格的 4 个角上,形成的图形如图 2.如果 4 个“L”形的面积之和恰好等于图 2 中阴影部分的面积,那么,1 个“L”形的面积是_______平方厘米.
3

3

图1

图2

【考点】图形拼接 【难度】☆☆ 【答案】45 【解析】设图2中最小的正方形的边长为 a ,则由9个小正方形构成的大正方形边长为 3a ,比小正方形稍大 一些的正方形边长为 a ? 3 ; 4个“L”形的面积之和为 4(a ? 3)2 ? 4a2 ; 图2中阴影部分的面积为 5a 2 ; 两者面积相等, 则 4(a ? 3)2 ? 4a2 ? 5a2 , 即 4(a ? 3)2 ? 9a2 , 所以 2(a ? 3) ? 3a , 得a ? 6, 所以1个“L” 形的面积为 (6 ? 3)2 ? 62 ? 45 平方厘米. 6.宴会邀请来了 44 为嘉宾,会场里有 15 张相同的正方形桌子,每张每边能坐 1 人.经适当“拼桌”(将几 张正方形拼成一张长方形或正方形桌子)后,恰好让所有嘉宾全部入座而且没有空位,那么最后会场里 最少有______张桌子. 【考点】找规律
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【难度】☆☆☆ 【答案】7 【解析】每张桌子与其他桌子拼在一起至少要损失2个座位;现在共15张,有座位 15 ? 4=60 个,实际只需44 个,所以可以与其他桌子拼在一起的有 (60 ? 44) ? 2 ? 8 (张) ,因此至少要剩下 15 ? 8=7 张桌子. 下面给出一种拼法(方法不唯一) .

7.甲乙丙丁都参加了 100 米短跑决赛,在比赛前,他们如下预测: 甲预测:“如果丙是第 4,那么我就是第 2.” 乙预测:“如果甲是第 2,那我就是第 1” 丙预测:“甲乙两人的比赛成绩要么都高于我,要么都低于我.” 丁预测:“甲乙两人的比赛成绩肯定一人比我高,而另一人比我低.” 比赛结束,他们获得了这项比赛的前 4 名(无并列),且每人都预测正确. 如果甲、乙、丙、丁分别获得第 A 、 B 、 C 、 D 名,那么四位数 ABCD= ________. 【考点】逻辑推理 【难度】☆☆☆ 【答案】4213 【解析】假设法,如果按照甲乙说的,则丁排第三,与丁所说矛盾,说明丙不是第四,甲不是第二,乙不 是第一. 按照丁所说可以画出甲乙和丁的相对位置,如图所示,此时丙或者在第一名或者在第四名,如果 丙第四名,与前面所推矛盾,所以丙排第一,甲非第二,所以只能乙第2,丁第3,甲第4,所以这 个四位数为4213. 8.《诗》、《书》、《礼》、《易》、《春秋》这 5 本书的页数各不相同:《诗》和《书》相差 24 页, 《书》和《礼》相差 17 页,《礼》和《易》相差 27 页,《易》和《春秋》相差 19 页,《春秋》和《诗》 相差 15 页.那么,这 5 本书中,页数最多的和页数最少的相差________页. 【考点】等量代换 【难度】☆☆☆ 【答案】34 【解析】假设《诗》有 a 页,相当于在□中填如“+”或“-"使得下面的等式成立:
a? 24?17? 27?19 ? a?15 .

不难发现 a ? 24 ? 17 ? 27 ? 19 ? a ? 15 ,所以《书》有 a ? 24 页; 《礼》有 a ? 24 ? 17 ? a ? 7 页; 《易》 有 a ? 7 ? 27 ? a ? 34 页,所以差最大的为《诗》和《易》 ,差34页. 三、填空题(每题 12 分,共 48 分) 9.甲乙丙丁四人共有 251 张邮票,已知甲的邮票比乙的 2 倍多 2 张,比丙的 3 倍多 6 张,比丁得 4 倍少 16 张,那么丁有_______张邮票. 【考点】倍数问题 【难度】☆☆☆ 【答案】34
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【解析】根据条件可知: 2 乙+2=甲 3 丙+6=甲 4 丁-16=甲 将这三个式子中乙、丙、丁的系数化成相同,可得: 12 乙+12=6 甲 12 丙+24=4 甲 12 丁-48=3 甲 由上可得:12 甲+12 乙+12 丁=12 甲+6 甲+3 甲 ?12 ? 24 ? 48=251 ? 12 , 即 25 甲 =251 ? 12 ? 12 ? 250 ? 12 ,所以甲 =120 则丁 =(120+16) ? 4 ? 34 . 10.图 3 的 3× 3 表格中已经填好了数,选择一个格为起点,如果对这个黑格和与它相邻的白格中所填 数进行加减乘除中的一次运算(计算时大数在前),计算结果是与白格相邻的另一个黑格所填数的整数倍, 就能经过这个白格走到下一个黑格.要求每个格子恰好经过一次.(例如图 4 中,从 7 经过 8 可以走到 5, 并且图 4 中箭头走向是一种正确走法)请在 3 图中找出正确走法.若图 3 中正确走法的前 3 个格子所填数 依次为 A 、 B 、 C ,那么三位数 ABC ? ________.
4 3 8 9 5 1 图3 2 7 6 1 4 7 2 5 8 图4 3 6 9

【考点】图形 【难度】☆☆☆☆ 【答案】834 【解析】将所有可以通过的路径用箭头连接,如图所示.其中,1 只有 1 条路可以选择,与 1 相邻的 8 只有 两条路: (1) 若走弯路 8 ? 3 ? 5 方向, 接下来 ? 6 ? 7 ? 2 是唯一的, 9 和 4 无法连通; 若走 5 ? 3 ? 8 方 向,7 和 6 无法连通,因此不能走弯路; ( 2 ) 若 走 直 路 , 那 么 前 3 个 格 子 就 是 834 , 后 面 的 路 不 止 一 种 走 法 , 例 如 :
8 ? 3 ? 4 ? 9 ? 5 ? 1? 6 ? 7 ? .2

11.欢欢、迎迎和妮妮手中共有卡片 2712 张,桌子上还有一些卡片,他们 3 人进行了如下操作: 第一次:欢欢从迎迎和妮妮手中各拿来 1 张卡片;

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第二次:妮妮从桌子上那了 2 张卡片,并让欢欢和迎迎中,卡片数较少的人拿走卡片数较多的人一张 卡片; 第三次:迎迎从桌子上拿来 4 张卡片,如果手上卡片数偶数,则将手中的一半卡片交给欢欢和妮妮中 卡片数较少的那个人;如果是奇数,则游戏终止. 我们把上述三次操纵称为“一轮操作”. 如果他们顺利地进行了 50 轮操作, 而没有出现游戏终止的情况, 此时他们手中卡片数按妮妮、欢欢、迎迎的顺序成等差数列.那么,原来欢欢有______张卡片. 【考点】数论 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】754 【解析】迎迎第一次少一张,第二次可能多 1 张可能少 1 张,第三次多 4 张,但是又少了一半,所以迎迎 每轮要损失大约一半的卡片,即便最初手里有 2712 张卡片,在十几轮操作后也会少到个位数,要 想持续 50 轮,迎迎的卡片数最后必是一个定值,这个值保证每轮的第三次操作迎迎总有偶数张卡 片. 考虑此时迎迎肯定比欢欢少,不妨设此时欢欢有 a 张,迎迎有 b 张,妮妮有 c 张,且 a ? b ,则一 轮操作如下: 原有 第一次 第二次 第三次 欢欢 a
a?2
a ?1

迎迎 b
b ?1
b b?2?2

妮妮 c
c ?1
c +1

所以有 b ? b ? 2 ? 2 , b ? 4 ,即迎迎最后手里有 4 张卡片; 每轮操作卡片总数增加 2+4=6 张, 所以最后卡片总数为 2712+6 ? 50=3012 张, 欢欢有 3012 ? 3=1004 张,所以妮妮有 3012 ? 1004 ? 4=2004 张; 用倒推法可以得到上一轮三人的卡片数: 欢欢 第三次 第二次 第一次 原有 1004 1000 1001 999 迎迎 4 4 3 4 妮妮 2004 2004 2002 2003

由表中数据可知,每次操作欢欢的卡片数多 5,所以欢欢原有卡片 1004 ? 5 ? 50=754 (张).

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