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三角函数基础训练(音美学生版)艺体生


三角函数基础训练题回录
Liuxh0130 一、重点知识回顾 1、弧度 rad 以及度与弧度的互化: ? ?

l 180 ? ; 180 ? ? π,1rad ? ( ) ? 57.3? . r π 1 1 2 弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是角的弧度数) 扇形面积: S ? lr ?? | ? | r 2 2
的终边上任意一点 P(x,y), ,则

2、三角函数的定义:在平面直角坐标系中,任意角??

y x y sin ? ? ; cos ? ? ; tan ? ? ? r ? x 2 ? y 2 ? 0 r r x
y

+
O

+ _
x

_ _
O

y

y

+
x

_
O

+ _
x

_
sin ?

+
cos?

+
tan ?

(2)三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦; (3) 特殊角的三角函数值 、

? 的角度 0? ? 的弧度 0
sin ?
0
1

30 ?

45 ?

60 ?

90 ? 120 ?

135 ?

150 ?

180 ?

270 ?

360 ?
2? 0
1

?
6 1 2
3 2
3 3

?
4
2 2

?
3
3 2

?
2
1

2? 3
3 2

3? 4
2 2

5? 6

?
0

3? 2

1 2
? 3 2
? 3 3

?1
0


cos?
tan ?

2 2
1

1 2
3
2

0

2

?1 2
? 3

? 2 2

?1
0

0

?1

0

(4)同角三角函数基本关系式: sin ? ? cos ? ? 1, tan ? ? (5)诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)

sin ? ? cos ?

sin(180? ? ? ) ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? ? tan? 180
sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? t an(?? ) ? ? t an?

sin(180? ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ? ) ? ? cos? 180 t an( ? ? ? ) ? t an? 180 sin(360? ? ? ) ? ? sin ?   cos(360? ? ? ) ? cos?   t an( ? ? ? ) ? ? t an? 360

1

sin(

?
2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?

sin(

?
2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? ? sin ?

sin(

cos(

?
2

cos(

?
2

t an( ? ? ) ? cot? 2

?

t an( ? ? ) ? ? cot? 2

?

3? ? ? ) ? ? cos? 2 3? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 3? t an( ? ? ) ? cot? 2

sin(

3? ? ? ) ? ? cos? 2 3? cos( ? ? ) ? sin ? 2 3? t an( ? ? ) ? ? cot? 2

3、两角和与差的三角函数

S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
T(? ? ? ) :
t an( ? ? ) ? ? t an? ? t an ? 1 ? t an? t an ?
t an? ? t an ? 1 ? t an? t an ?

T(? ? ? ) :

t an( ? ? ) ? ?

(2)二倍角公式 S 2? :

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

C 2? : cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1
T2? :
(3)经常使用的公式
2 ①升(降)幂公式: sin ? ? 、

t a 2? ? n

2t a? n 2 1? t a n ?

1 ? cos 2? 1 1 ? ? cos 2? ? 2 2 2 1 ? cos 2? 1 1 cos 2 ? ? ? cos 2? ? 2 2 2

②辅助角公式 a sin x ? b cos x ?

? ? a b a2 ? b2 ? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 a2 ? b2 ? a ?b ?

? a2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ?) ? a2 ? b2 ? sin(x ? ?)
(其中 ? 称为辅助角, ? 的终边过点 (a, b) , tan? ?

b) a

? 2 ? 2 ? ? ? sin x ? cos x ? 2 ? sin x ? cos x ? ? 2 (sin x cos ? cos x sin ) ? 2 sin(x ? ) ? 2 ? 2 4 4 4 ? ?

2

?1 ? 3 ? ? ? sin x ? 3 cos x ? 2? sin x ? cos x ? ? 2(sin x cos ? cos x sin ) ? 2 sin(x ? ) ?2 ? 2 3 3 3 ? ?
③ T(? ? ? ) 的整式形式为: tan? ? tan ? ? tan( ? ? ) ? (1 ? tan? tan ? ) ? 若 A ? B ? 45 ? ,则 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 . (反之不一定成立)

tan? ? tan ? ? 1 ? tan? tan ?
考点一:三角函数的概念 点拨:一个角的终边经过某一点,在平面直角坐标系中画出图形,用三角函数的定义来求解, 或者不画图形直接套用公式求解都可以。 1. sin 2 1200 等于 2.扇形的周长为 16,圆心角为 2 弧度,则扇形的面积为______. 3、若 –π/2<?<0,则点 (tan? , cos? ) 位于第 象限 象限.

4.已知点 P(tan θ,cos θ)在第三象限,则角θ的终边在第

5.设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限. 6.已知 cos x ? 7.若 cos ? ?

2a ? 3 ,且 x 是第二、三象限角,则 a 的取值范围是________ 4?a

4 , ? ? (0, ? ) 则 cot ? 的值是 5
6sin?+cos? =_______________. 3sin?-2cos?

8.已知点 P(1,2)在角?的终边上,则
0

9.若角 600 的终边上有一点 ?? 4, a ?,则 a 的值是______________

3 ,且 ? 的终边过点 P(x,2) ,则 ? 是第_____象限角, x =_____。 2 2 11.已知 cos ? ? ? ,角终边上一点 P(-2,t),则 t 的值为 3
10.若 cos? ? ? 12 题.设 P(?3t ,?4t ) 是角 ? 终边上不同于原点 O 的某一点,请求出角 ? 的正弦、余弦、和正 切的三角函数之值.。 考点二:同角三角函数的关系 点拨:对于给出正弦与余弦的关系式的试题,要能想到隐含条件:sin ? ? cos ? ? 1 ,与它联
2 2

系成方程组,解方程组来求解。

1 2 ,则 cos ? ? sin ? cos? ? 。 3 3? 2.已知 tan? ? 3 , ? ? ? ? ,那么 cos ? ? sin ? 的值是 2 cos x ? sin x 3.已知 tan x ? 2 ,求 的值。 cos x ? sin x
1、若 tanθ=



3

4、若 cos ? ? 2sin ? ? ? 5, 则 tan ? = 5.已知: sin ? cos ? ? 考点三: 诱导公式 1、 cos 300? ? tan2010°=___

1 π π , ? ? ? ,则 cosα -sinα =______. 8 4 2
sin 330? 等于

sin 6000 的值是

sin(?

19 π )= 6


2、已知 sin ?

? 3? ? 3 ?? ? ,则 sin ? ?? ? ? ?? ? ? ? 4 ? ?4 ? 2

3.已知 cos(π +θ )=-

3 ,sin θ cos θ <0,则 sin(θ -7π )的值为 5



sin(5400 ? x) 1 cos(3600 ? x) 4.化简: ? ? sin(? x) tan( 0 ? x) tan(4500 ? x) tan( 0 ? x) 900 810
sin(? ? 5? ) cos(?
5、化简

?
2

? ? ) cos(8? ? ? )

sin(? ?

3? ) sin(?? ? 4? ) 2

考点四:三角恒等变换 【技巧点拨】 “分析结构,消除差异”是求解三角问题的法宝,在分析结构的基础上,寻找已知 与所求之间的差异,求解三角问题的过程实际上是一个逐步消除差异的过程,常常从以下三个 方面着手分析: (1)函数名称之间的差异:从函数名差异出发,统一函数名称. (2) 角度之间的差异: 常常将已知角和所求角进行比较, 找出它们之间差异, 明确运算方向.
2 (3)函数次数之间的差异:根据解题需要,可以通过 1 ? cos? ? 2 cos

?
2



1 ? cos? ? 2 sin2
1、若 sin a = -

?
2

变形,从而达到灵活升次或降次目的.

4 ? ,a 是第一象限的角,则 sin( a ? ) =______ 5 4 π 4 π 2、设 ? ? ( , π), sin ? ? ,则 cos( ? ? ) ? ______; 2 5 4 1 ? 3、若 tanα = ,则 tan(α + )= 2 4 π ? 4、已知角 的终边经过点(-1,-2),则 tan( ? ? ) 的值为______; 2 4 ? 1 ? tan 15 ? ______. 5、求值 1? tan 15 ?
6、 计算sin43? cos13? -sin13? cos 43? 的值等于______

4

7、cos43°cos77°+sin43°cos167°=______; 8、 sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ______
? ? ? ?

9、 cos 24 cos36 ? cos 66 cos54 的值为______
? ? ? ?

10、 tan23? ? tan37o ? 3 tan23? tan37? ? ______. 11、 tan 70? ? tan 50? ? 3 tan 70? tan 50? 值为______ 12、若 ? , ? 均为锐角, sin ? ? 13、 tan( ? ? ? ) ?

2 5 3 ,sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? =______ 5 5

2 1 , tan( ? ? ? ) ? ,则 tan2α =______; 5 4 π π ? sin ? ______; 14、 3 cos 12 12
15、若 cos? ? 0, 且 sin 2? ? 0, 则角? 的终边所在象限是______ 16、 (cos

?
12

? sin

?
12

)(cos

?
12

? sin

?
12

) ? ______ 4 ,则 tan a ? 3


17、已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a ) ? ? 18、计算 1 ? 2sin 22.5 ? 的结果等于( 19、已知 tan )

?
2

? 3, 则 cos ? ? ______

20、已知 ? 为第二象限的角, sin a ? 21、若 sin ?

3 ,则 tan 2? ? 5

.

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =______ ?6 ? 3 ? 3 ?

2 ,则 cos(? ? 2? ) ? ______ 3 ? 2 1 ? cos ? ? sin ? 23、已知 tan = ,则 值为______ 2 3 1 ? cos ? ? sin ? 3 ? 24、已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4 ? 24 25、已知 ? 为第三象限角, sin ? ? ? ,则 tan 等于______ 2 25
22、已知 sin ? ? 26、若 cos ? ? ?

.

4 2 ? ______ , ? 是第三象限的角,则 ? 5 1 ? tan 2
2

1 ? tan

?

27、已知函数 f ( x) ? ? 3 sin x ? sin x cos x

5

? ?? f ( x)在x ? ?0, ? ? 2 ? 的值域. (I)求函数 f (x) 的最小正周期; (II)求函数

考点五:三角函数的图象和性质 1.掌握三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象性质:定义域、值域(最值)、单调性、 周期性、奇偶性、对称性等. 性质 y=sinx y=cosx y=tanx

一周期简图

最小正周期 奇偶性 增区间 [2kπ ?

2π 奇函数

2π 偶函数

π 奇函数

π π ,2kπ ? ], k ? Z [2kπ+π,2kπ+2π],k∈ Z π π [kπ- , kπ ? ], k ? Z 2 2 2 2 单调性 π 3π ), k ? Z [2kπ,2kπ+π],k∈ 上是增函数 减区间 (2kπ ? ,2kπ ? Z 2 2 π x ? kπ ? , k ? Z 对称轴 x=kπ,k∈ Z kπ 2 对称中心 ( ,0), k ? Z 对称性 π 对称 2 (kπ ? ,0), k ? Z (kπ,0),k∈ Z 中心 2 2.会用五点法画出函数 y=sinx,y=cosx,y=Asin(??x+ ? )(A>0,??>0)的简图,掌握
图象的变换方法,并能解决相关图象性质的问题. 3.本节内容应与三角恒等变换相结合,通过变换,整理出三角函数的解析式,注意使用换 元法,转化为 y=Asin(??x+ ? )( T ? 2π )。 |? |

x ? 3 sin( ? ), x ? R 的最小正周期为__________ 2 4 2、函数 y ? cos 2 x ? sin x cos x 的最小正周期 T=__________。
1、函数 f(x)= 3、函数 f ( x) ? sin (2 x ?
2

?
4

) 的最小正周期是



π 4、函数 f(x)=sin?2x-4?-2 2sin2x 的最小正周期是________. ? ? 5、函数 y=sinx+cosx+2 的最小值是__________ 6、函数 y ? 2 sin(

1 π x ? ) 的一条对称轴方程为( 2 3
6

)

A. x ? ?

4π 3

B. x ? ?

5π 6

C. x ? ?

π 3


D. x ?

2π 3

7、函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? ?

?
2

5 ? ) 的图象的一条对称轴方程是( 2
B. x ? ?

?

4

C. x ?

?
8

D. x ?

5? 4

π ) 的对称轴方程和对称中心的坐标__________ 3 π 9、函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象( ) 3 π π A.关于点( ,0)对称 B.关于直线 x ? 对称 3 4 π π C.关于点( ,0)对称 D.关于直线 x ? 对称 4 3
8、函数 y ? cos( 2 x ? 4? 10、如果函数 y=3cos(2x+?)的图象关于点( ,0)中心对称,那么|?|的最小值为____. 3 11、函数 y ? cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数 A. [ ? ( ) D. [ )

? ?

, ] 4 4

B. [

? 3?
4 , 4

]

C. [0,

?
2

]

?
2

,? ]

12、对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是( π π A.f(x)在?4,2?上是递增的 ? ? C.f(x)的最小正周期为 2π

B.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)的最大值为 2 )

13、在下列关于函数 y= 3sin2x+cos2x 的结论中,正确的是( π π A.在区间?-3+kπ,6+kπ?(k∈Z)上是增函数 ? ? C.最大值为 1,最小值为-1 14、已知函数 f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)的对称轴的方程; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调减区间. 15、函数 y ? sin ? 2 x ? π ? 在区间 ? ? π ,π ? 的简图是(
? ? ? 3?

π B.周期是 2 D.是奇函数

? 2 ?

? ?



16、函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象 如图,则该函数的解析式为 y=______.

7

17、函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ?

π ) 的图象的一部分如 2

图所示,则该函数的解析式为 y=______.

18\函数 y ? A sin( ?x ? ?)( ? ? 0, ? ?

? , x ? R) 的 2

部分图象如图所示,则函数表达式为 y=______ 19、将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长 10

度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 y= ______w_ 20.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内,当 x ? 那么函数的解析式为 y=______ 21、为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
3

时有最大值 2,当 x=0 时有最小值-2,

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ?
(B)向右平移

?
6

) 的图像

? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
(A)向左平移

? 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2 4? ? 22、设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? ) ? 2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的最 3 3 2 4 3 小值是 y=______ (A) (B) (C) (D) 3 3 3 2
23、要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ?

? ?

?? ? 的图象( ??



? 个单位 ? ? C.向左平移 个单位 ?
A.向右平移 24、要得到 y ?

? 个单位 ? ? D.向左平移 个单位 ?
B.向右平移

2 cos x 的图象,只需将 y ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) 的图象上所有的点的(



? 个单位长度 4 ? D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 8 ? 25、将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图像向左平移 个单位。若所 2
C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动
8

1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 2 4
A.横坐标缩短到原来的

得图象与原图象重合,则 ? 的值不可能等于 ... A.4 B.6 C.8 D.12

考点六:解三角形 1.在△ABC 中,若 C ? 900 , a ? 6, B ? 300 ,则 c ? b 等于( 2 在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( )
0



3.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,则底边长为( 4.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A=( 5.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( ) )



6. ?ABC 中, a、b、c 分别为 ?A、?B、?C 的对边, c ? cosB ? b ? cosC ,且 cosA ? 则 sinB ? .

1 , 3

7.在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? _________。 8.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 300 , C ? 1350 , 则a ? _________。 9.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________。 10.在△ABC 中, AB ?

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是________。

11.如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A、B, 观察对岸的点 C,测得 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 45 ,且 AB ? 100 米。
? ?

(1)求 sin 75 ; (2)求该河段的宽度。

?

12.已知向量 a ? (sin? , cos? ),b ? (6 sin ? ? cos? ,7 sin ? ? 2 cos? ) ,设函数 f (? ) ? a ? b . (Ⅰ)求函数 f (? ) 的最大值; (Ⅱ)在锐角三角形 ABC 中,角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , f ( A) ? 6 , 且 ?ABC 的 面积为 3 , b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值.
9

?

?

? ?

13.已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,向量

m ? (4, ?1), n ? (cos 2
(Ⅰ)求角 A 的大小;

A 7 ?cos 2 A), 且m ? n ? 2 2

(Ⅱ)若 a ? 3, 试判断b ? c取得最大值时,?ABC的形状 .

tan A ?
14、在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 (1)求 tanC 的值; (2)若⊿ABC 最长的边为 1,求 b。

1 3 10 , cos B ? 2 10

15. ?ABC 中, 内角 A . B . C 的对边分别为 a . b . c , 已知 a . b . c 成等比数列, cos B ? 且 (1)求 cot A ? cot C 的值; (2)若 BA ? BC ?

3 4

3 ,求 a ? c 的值高考资源网 2

16.

在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c , a ? 2 3 ,

tan

A? B C ? tan ? 4, 2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c 2 2

10

17、如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E,AB=2。 D (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE。 C
E

A

B

18.已知向量 m ? ? sin A, cos A? , n ? ? cos B,sin B ? , m ? n ? 三角形 ABC 三边 a, b, c 所对的角。 (Ⅰ)求 ?C 的大小; (Ⅱ)若 a, c, b 成等比数列,且 CA ? CB ? 18 ,求 c 的值。

??

?

?? ?

3 ,且 A, B, C 分别是锐角 2

19. 在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y .面积为 S ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域,并求出 y 的最大值 (2)求函数 S ? g (x) 的解析式和定义域,并求出 S 的最大值高考资源

BC 20.在 ?ABC 中, a、 c 分别为角 A、、 的对边,且满足 b ? c ? a ? bc . b、
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值.

11


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