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湖北省荆州中学2017届高三8月摸底考试数学(文)试题


2016 年荆州中学高三数学(文科)8 月月考试题
第I卷
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目 要求的)
2 1. 若集合 A ? {x || x |? 1, x ? R} , B ? { y | y ? x , x ? R} ,则 A ? B ? (

)

A. {x | ?1 ? x ? 1}

B. {x | x ? 0}

C.

?x | 0 ? x ? 1?

D. ? )

2. 若函数 f ? x ? 的定义为 R ,则“函数 f ? x ? 是奇函数” 是函数“ f ? 0? ? 0 ” 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.即不充分也不必要条件

3.下列命题中假命题的是 (

)

A. ? x0∈R,lnx0 <0 B. ? x∈(-∞,0),ex>x+1

C. ? x>0,5x>3x

D. ? x0∈(0,+∞) ,x0<sinx0

4. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 若对于任意 x≥0, 都有 f(x+2)=f(x), 当 x∈[0, 2)时, f(x)=log2(x+1),

则 f(-2013)+f(2014)的值为 ( A 2 B -1 C 1

) D -2
x

0 5.已知命题 p : “存在 x0 ??1, ?? ? , 使得 ? log 2 3? ? 1 ” ,则下列说法正确的是(



A. p 是假命题; ?p : “任意 x ??1, ?? ? ,都有 ? log 2 3 ? ? 1 ”
x
0 B. p 是真命题; ?p : “不存在 x0 ??1, ?? ? , 使得 ? log 2 3 ? ? 1 ”

x

C. p 是真命题; ?p : “任意 x ??1, ??? , 都有 ? log 2 3 ? ? 1 ”
x

D. p 是假命题; ?p : “任意 x ? ? ??,1? , 都有 ? log 2 3 ? ? 1 ”
x

6. 若 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log0.3 2 ,则 a, b, c 由大到小的关系是( A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. b ? c ? a



D. c ? a ? b

7 . 函 数 y=f ( x ) 是 R 上 的 奇 函 数 , 满 足 f ( 3+x ) =f ( 3 ﹣ x ) , 当 x∈ ( 0, 3) 时 f ( x ) =2 x , 则 当 x ∈ ( ﹣ 6 , ﹣ 3 ) 时 , f ( x ) = ( )

A. 2x+6

B. ﹣ 2x+6

C. 2x﹣ 6

D. ﹣ 2x﹣ 6

8. 已知定义在 R 上的偶函数 对于 x ?

3 3 若不等式 f ? ? ax ? x ? 1? ? f ? ax ? x ? 1? ? 2 f ?1? f ? x ? 在 ?0, ??? 上递减,

? 0,

2? ? 恒成立,则实数 a 的取值范围为(
B. ? 2, ???



A. ? 2, 4?

C. ?3, 4?

D. ? 2,3?

x ?x 9.若 f ?x ? ? e ? ae 为偶函数,则 f ? x ? 1? ?

e2 ? 1 的解集为( e



A. ?2,???

B. ?0,2?

C. ?? ?,2?

D. ?? ?,0? ? ?2,???

10.定义在 R 上的函数 f ( x) 是减函数,且函数 y ? f ( x ) 的图像关于原点中心对称,若 s、t 满足不
2 2 等式 f (s ? 2s) ? ? f (2t ? t ) ,其中 t ? k ?s .则当 2 ? s ? 4 时, k 的取值范围是 (

)

1 A. ? ? ,1? ? ? ? 2 ?

B. (??, 0) ? [1, ??)

C. ( ?

1 ,1] 2

D. ? ??,0? ? ?1, ???

11.定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)使不等式 2f(x)< xf ?( x) <3f(x)恒成立,其中 f ?( x) 为 f(x)的导数, 则( A.8< )

f (2) <16 f (1)

B.4<

f (2) <8 f (1)

C.3<

f (2) <4 f (1)
1 e

D.2<

f (2) <3 f (1)

12. 已 知

e 为 自 然 对 数 的 底 数 , 若 对 任 意 的 x ? [ ,1] , 总 存 在 唯 一 的 y ?[?1,1] , 使 得
)

ln x ? x ? 1 ? a ? y 2e y 成立,则实数 a 的取值范围是 (
A [ , e]

1 e

B ( , e]

2 e

C ( , ??)

2 e

D ( ,e ? )

2 e

1 e

第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.若幂函数

f ( x) ? (m2 ? 3m ? 3) ? xm ?m?2 的图像不过原点,则 m 的值为_______

2

[来源:学科网]

?? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ? 14. 已知函数 f ? x ? ? ? x ,则 f ? f ? 2?? ? ? log 4 x , x ? 0 ? ?x?4



15 .已知函数 ______.

f ? x ? ? x ? x ln x ,若 k ? Z

,且 k

? x ? 2? ? f ? x? 对任意的 x ? 2 恒成立,则 k 的最大值为

n] ? D ,使函数 f ( x) 16.我国即将发射“天宫二号”飞船, f ( x) 是定义在 D 上的函数,若存在区间 [m , n] 上的值域恰为 [km ,kn] ,则称函数 f ( x) 是天宫 k 型函数.给出下列说法: 在 [m ,

4 不可能是天宫 k 型函数; x (a 2 ? a) x ? 1 2 3 (a ? 0) 是天宫 1 型函数,则 n ? m 的最大值为 ②若函数 y ? ; a2 x 3 1 ③若函数 y ? ? x 2 ? x 是天宫 3 型函数,则 m ? ?4,n ? 0 ; 2 4 ④设函数 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x (x≤0)是天宫 k 型函数,则 k 的最小值为 . 9
① f ( x) ? 3 ?
[来源:学科网 ZXXK]

其中正确的说法为

. (填入所有正确说法的序号)

三. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
2 17. (本小题满分 12 分)设命题 p : 关于 x 的方程 x ? 2mx ? 1 ? 0 有两个不相等的正实根,命题 q : 关

2 于 x 的方程 x ? 2 ? m ? 2? x ? 3m ? 10 ? 0 无实根. 若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数

m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知函数 数 a , b 满足 (I)求

f ( x) 是定义域在 (??,0) ? (0,??) 上的不恒为零的函数,且对于任意非零实

f (ab) ? f (a) ? f (b) .

f (1) 与 f (?1) 的值;

(II)判断并证明

y ? f ( x) 的奇偶性;

(III)若函数 f ( x) 在 (??,0) 上单调递减,求不等式 f ( x ? 1) ? 0 的解集.

19. (本小题满分 12 分)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为 以下三个部分:①生产 1 单位试剂需要原料费 50 元;②支付所有职工的工资总额由 7 500 元的 基本工资和每生产 1 单位试剂补贴 20 元组成; ③后续保养的费用是每单位? (试剂的总产量为 x 单位,50≤x≤200). (1)把生产每单位试剂的成本表示为 x 的函数 P(x),并求 P(x)的最小值;
[来源:学科网]

? x+

600 -30?元 x ?

1 (2)如果产品全部卖出,据测算销售额 Q(x)(元)关于 x 的函数关系式为 Q(x)=1 240x- x3,试 30 问:当产量为多少时生产这批试剂的利润最高?

3 2 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x ﹣ x +mx+n 有极值. 20.

(Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)若 f(x)在 x=2 处取得极值,且当 x<0 时,f(x)<

n2 +2n 恒成立,求 n 的取值范围

21. (本题满分 12 分)函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x2 ? x ? m, (1)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值; (2)若 f ( x) ? g ( x) ? x2 ? ( x ? 2)e x 在 x ? (0,3) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

(22,23,24 三题中可任选一题作答) 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图,正方形 ABCD 边长为 2 ,以 A 为圆心, DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F ,连结 BF 并延长交 CD 于点 E . (1)求证: E 为 CD 的中点; (2)求 EF ? FB 的值.

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C : ( x ?1) ? y ? 1 .直线 l 经过点 P(m,0) , 且倾斜角为
2 2

? .以 O 为 6

极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,且 PA ? PB ? 1,求实数 m 的值.

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已 知函数 f ( x) ? x ? 6 ? m ? x (m ? R) .

(1)当 m ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 7 对任意 实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

2016 年荆州中学高三数学(文科)8 月月考试题参考答案
一.选择题 二.填空题 三.解答题 17.解:设方程 x ? 2mx ? 1 ? 0 的两根分别为 x1 , x2 ,由 ?
2

1-------6

C AD B C B
14.

7-----12
7 2

BDB C B B

[来源:学 +科 +网 ]

13. _1 或 2 _,

.15. _4___. 16. ②③ .

??1 ? 4m2 ? 4 ? 0, ? x1 ? x2 ? ?2m ? 0
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

得 m ? ?1, 所以 p : m ? ?1 ;

----------------------------3 分

由 方 程 x2 ? 2 (m ? 2 )x ? 3 m ? 1 0? 无 0 实 根 , 可 得 ?2 ? 4(m ? 2)2 ? 4(?3m ?10) ? 0 , 知

?2 ? m ? 3 ,所以 q : ?2 ? m ? 3 .

------------------------6 分

由 p ? q 为真, p ? q 为假,可知命题 p, q 一真一假,当 p 真 q 假时, ?

?m ? ?1, 此时 m ? 3 或 m ? ? 2, ?

?m ? ?1, m ? ?2 ;当 p 假 q 真时, ? 此时 ?1 ? m ? 3 ,所以 m 的取值范围是 ??2 ? m ? 3,
m ? ? 2 或 ?1 ? m ? 3 .
18.

------------- -----------------12 分

19.解:(1)因为试剂总产量为 x 单位,则由题意知,原料总费用为 50x 元,职工的工资总额(7 500 600 x+ -30?元, +20x)元,后续保养总费用为 x? x ? ? 50x+7 500+20x+x2-30x+600 8 100 则 P(x)= =x+ +40(50 ≤x≤20 0). x x 8 100 ∵x+ ≥2 x 8 100 8 100 x· =180,当且仅当 x= ,即 x=90 时,等号成立,∴P(x)≥220. x x ------------------------6 分

即生产每单位试剂的成本最低为 220 元. (2)设工厂的总利润为 f(x)(元),

1 8 100 1 1 240x- x3? - x ?x+ +40? = - x3 - x2 + 1 200x - 8 则 f(x) = Q(x) - xP(x) = ? 30 ? x ? ? ? 30 100(50≤x≤200). 1 f′(x)=- x2-2x+1 200,令 f′(x)=0,得 x=100 或 x=-120(舍去). 10 当 x∈(50,100)时,f′(x)>0,当 x∈(100,200)时,f′(x)<0, ∴当 x=100 时,f(x)max=f(100),即当产量 x=100 单位时,生产这批试剂的利润最高.---12 分 20.解(Ⅰ)∵f(x)= x3﹣ x2+mx+n,∴f′(x)=x2﹣x+m,要使 f(x)有极值, 则方程 f′(x)=x2﹣x+m=0 有两个实数解,从而△=1﹣4m>0,∴m< .---------4 分 (Ⅱ)∵f(x)在 x=2 处取得极值,∴f′(2)=4﹣2+m=0, ∴m=﹣2.∴f(x)= x3﹣ x2﹣2x+n,∵f′(x)=x2﹣x﹣2=(x﹣2) (x+1) , ∴当 x∈(﹣∞,﹣1]时,f′(x)>0,函数单调递增,当 x∈(﹣1,2]时,f′(x)<0,函 数单调递减. --------------------8 分

∴x<0 时,f(x)在 x=﹣1 处取得最大值

7 1 ? n ,∵x<0 时,f(x)< n 2 ? 2n 恒成立, 6 6



7 1 ? n < n 2 ? 2n ,即(n+7) (n﹣1)>0,∴n<﹣7 或 n>1, 6 6
------------------12 分

即 n 的取值范围是(﹣∞,﹣7)∪(1,+∞) .
2

21.解: (1) F ( x) ? ln x ? x ? x ? m ,定义域 (0, ??), F ?( x) ? ? 由 F ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,

(2 x ? 1)( x ? 1) , x

由 F ?( x) ? 0 得 x ? 1 , ? F ( x) 在 (0,1) 递 增 , 在 (1, ??) 递 .........4 分
x

减,? F ( x)极大 ? F (1) ? m, 没有极小值. (2) 由 f (x) ? g (x) ? x
2

? (x ? 2 )e
x

x

在 x ? (0,3) 恒成立, 整理得 m ? ( x ? 2)e ? ln x ? x 在 (0,3)

恒成立,设 h( x) ? ( x ? 2)e ? ln x ? x , 则 h?( x) ? ( x ?1)(e x ? ) , ..... 6 分

1 x

1 1 ? 1, ? e x ? ? 0, ? h?( x) ? 0 , .........7 分 x x 1 1 0 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 ,设 u ( x) ? e x ? , u?( x) ? e x ? 2 ? 0, x x 1 1 ? u ( x) 在 (0,1) 递 增 , 又 u ( ) ? e ? 2 ? 0, u (1) ? e ? 1 ? 0, ??x0 ? ( ,1) 使 得 u ( x0 )? 0 . 2 2

x ? 1 时, x ? 1 ? 0 ,且 e x ? e,

? x ? (0, x0 ) 时, u ( x) ? 0 , x ? ( x0 ,1) 时, u ( x) ? 0 , ? x ? (0, x0 ) 时, h?( x) ? 0 , x ? ( x0 ,1) 时, h?( x) ? 0 .
? 函数 h( x) 在 (0, x0 ) 递增, ( x0 ,1) 递减, (1,3) 递增,
又 h( x0 ) ? ( x0 ? 2)e 0 ? ln x0 ? x0 ? ( x0 ? 2)?
x

.............9 分

1 ? 2 x0 , x0

? x0 ? (0,1), ??

2 2 ? ?2, ? h( x0 ) ? 1 ? ? 2 x0 ? ?1 ? 2 x0 ? ?1, x0 x0
..............11 分 ............12 分

h(3) ? e3 ? ln 3 ? 3 ? 0 ,? x ? (0,3) 时, h( x) ? h(3) ,
3 ? m ? h(3) ,即 m 的取值范围是 ? ?e ? ln 3 ? 3, ? ? ? .

? 22.解: (1)由题可知 BD 是以 A 为圆心, DA 为半径所作的圆,而 ABCD 为正方形,
∴ ED 为圆 A 的切线 ,依据切割线定理得 ED 2 ? EF ? EB 又∵圆 O 以 BC 为直径,∴ EC 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EC 2 ? EF ? EB 故 EC ? ED ∴ E 为 CD 的中点……5 分 (2)连结 CF ,∵ BC 为圆 O 的直径,∴ CF ? BF



S ?BCE ?

1 1 BC ? CE ? BE ? CF 2 2
又 在



CF ?

1? 2 2 5 ? 5 5

R?t

B 中 C ,E 由











4 EF ? FB ? CF 2 ? . ……………………10 分 5
23.解:(1)曲线C的普通方程为: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1,即x2 ? y 2 ? 2 x, 即

? 2 ? 2 ? c o s?,

即曲线C的极坐标方程为: ? ? 2cos? .

…………2 分

? 3 x ? m? t ? ? 2 直线l的参数方程为 ? (t为参数). ?y ? 1 t ? ? 2

…………5 分

(2) 设A, B两点对应的参数分别为t1 , t2 , 将直线l的参数方程代入 x ? y ? 2x中,
2 2

得t 2 ? ( 3m ? 3)t ? m2 ? 2m ? 0, 所以t1t2 ? m2 ? 2m , …………8 分 由题意得 | m2 ? 2m |? 1, 得m ? 1,1 ? 2或1 ? 2
…………10 分

24.解: (1)当 m ? 3 时, f ( x) ? 5 即 | x ? 6 | ? | x ? 3 |? 5 , ①当 x ? ?6 时,得 ?9 ? 5 ,所以 x ? ? ; ②当 ?6 ? x ? 3 时,得 x ? 6 ? x ? 3 ? 5 ,即 x ? 1 ,所 以 1 ? x ? 3 ; ③当 x ? 3 时,得 9 ? 5 ,成立,所以 x ? 3 . 故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 ?x | x ? 1 ? .?????????????5 分 (2)因为 | x ? 6 | ? | m ? x |?| x ? 6 ? m ? x | = | m ? 6 | 由题意得 m ? 6 ? 7 ,则 ?7 ? m ? 6 ? 7 ,解得 ?13 ? m ? 1 , 故 m 的取值范围是 [?13,1] .?????????????????10 分


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