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2010届高三数学高考模拟试题文科卷(八).doc


2010 年高考模拟文科数学试卷 (08)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷

上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 参考公式:球的表面积公式: S ? 4? r (其中 r 为球的半径)
2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求. 1.复数 1 ? A. ? 1

2 =( i3

) B.1-2i C.1+2i ) D. 3

2.设函数 f ?x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?, x ? R ,则 f ?x ? 是( 2?

A.最小正周期为 ? 的奇函数

? C.最小正周期为 的奇函数 2

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

? 的偶函数 2

3.设 p : x2 ? x ? 20 ? 0, q :1 ? x2 ? 0 ,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

) D.既不充分也不必要条件

4.在数列 {an } 中, an ? 2n ? 3 ,前 n 项和 Sn ? an2 ? bn ? c , n ? N* ,其中 a 、b、c 为常数, 则a?b?c ?( A. ? 6 ) B. ? 5 C. ?4 D. ?3

5. 已知 O, A, B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C ,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC 等于( A. ?OA ? 2OB

??? ? ??? ?
? 1 ??? 3

?

??? ?

)

??? ?

??? ?

B. 2OA ? OB

??? ? ??? ?

C.

? 1 ??? ? 2 ??? OA ? OB 3 3

D. ? OA ?

? 2 ??? OB 3

6.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象 如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是( )

A.

B.

C.

D.

7. 某校对高三年级的学生进行体检, 现将高 三男生的体重(单位: kg )数据进行整 理后分成六组,并绘制频率分布直方图 (如图所示) .已知图中从左到右第一、 第六小组的频率分别为 0.16 、 0.07 ,第 一、第二、第三小组的频率成等比数列, 第三、第四、第五、第六小组的频率成等 差数列,且第三小组的频数为 100,则该 校高三年级的男生总数为( A.480 8.已知 f ( x) ? ? A. ? 1 B.440 ) C.420 D.400

?log 2 x , x ? 1 1 3 ,则 f [( ) 2 ] 的值是( ) 2 ? f (2 x) , 0 ? x ? 1
B. 1 C.

1 2

D. ?

1 2

9 .一个正方体的各定点均在同一球的球面上,若球的体积为 4 3? ,求正方体的表面积 ( A. 24 ) B. 12 C. 6 D. 4 1 y

10. 右图是函数 f(x)=x2+ax+b 的部分图象, 则函数 g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是( ) O D. (2,3) 1 开始 a=1 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题) 11.已知函数 f (x),g(x)分别由下表给出: 否 a=2a+1 a>100? 是 输出 a 结束 x

1 1 A. ( , ) 4 2

B. (1, 2)

1 C. ( ,1) 2

则 f [g(1)]的值为____

___。

12.程序框图上(右)(即算法流程图)如图所示, 其输出结果是___ ____。
21 世纪教育网

13.在平面直角坐标系 xoy 中,已知△ABC 的顶点 A(-4,0) 和 C(4,0),顶点 B 在椭圆 则

y B A O C x

x y ? ? 1 上, 25 9
____。

2

2

sin A ? sin C ? __ sin B

(第 13 题图)

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答 的,只以第一小题计分) 14. (极坐标系与参数方程选做题)已知动圆: x 2 ? y 2 ? 2ax cos? ? 2by sin ? ? 0 ( a , b 是 常数,且 a ? b ,参数 ? ? R ),则圆心的轨迹方程是____ 15. (几何证明选讲选做题) 如图: 已知 PA 是圆 O 的切线, 切点为 A, PA=2. AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B,PB=1, 则圆 O 的半径 R=_____ _. P B C (第 15 题图) . A

三、解答题,本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, cos A ? (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)设 AB ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

5 10 , cos B ? . 5 10

17. (本小题满分 12 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表 (单位:辆):

轿车 A 舒适型 标准型 100 300

轿车 B 150 450

轿车 C z 600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1) 求 z 的值.
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

(2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中 任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数 与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

18. (本小题满分14分) 如图, 一简单组合体的一个面ABC内接于圆O, AB是圆O的直径, 四边形DCBE为平行四边形, 且DC ? 平面ABC. (1)证明: BC ? 平面 ACD ; D E

3 (2)若 AB ? 2 , BC ? 1 , tan ?EAB ? , 2
试求该简单组合体的体积 V. A C 19. (本小题满分 14 分) 已知曲线 c 上任意一点 P 到两个定点 F1(- 3 ,0)和 F2( 3 ,0)的距离之和为 4. (1)求曲线 c 的方程; (2)设过(0,-2)的直线 l 与曲线 c 交于 C、D 两点,且 OC ? OD ? 0(O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程. O · B

20. (本小题满分 14 分) 已知 f ? x ? 是定义在 [? e , 0) ? (0 , e] 上的奇函数, 当 x ? [0, e) 时,f ( x) ? ax ? ln x ,

其中 a ? 0 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)是否存在实数 a ,使得当 x ? [?e , 0) 时, f ( x ) 有最小值是 3?

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且有 a1 ? 2 , 3Sn ? 5an ? an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (2n ?1) an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若 cn ? t n [lg(2t )n ? lg an?2 ] (0 ? t ? 1) ,且数列 {cn } 中的每一项总小于它后面的项, 求实数 t 的取值范围.

高三文科数学试卷答案
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种 解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能 力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超 过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再 给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 A 7 D 8 C 9 A 10 C

1. C【解析】 1 ?

2 2?i ? 1 ? 3 ? 1 ? 2i ,故选 C. 3 i i ?i

2.B【解析】 f ( x) ? ? cos 2 x 是周期为 ? 的偶函数,故选 B. 3、A【解析】

P : x 2 ? x ? 20 ? 0得x ? 5或x ? ?4, q : 1 ? x 2 ? 0得x ? 1或x ? ?1,故选 A.

4、D【解析】由等差数列的性质得,a=1,b=4,c=0,所以 a-b+c=-3。故选 D 5. B 【解析】 依题 OC ? OB ? BC ? OB ? 2AC ? OB ? 2(OC ?OA ). ∴ OC ? 2OA ? OB. 故 选 B. 6.A【解析】由 f ( x) 的图象可知, f ( x) 的零点 x1 ? b ? ?1 , x2 ? a ? (0 , 1) ,从而由 g ( x) 的单调性与纵截距,故选 A. 7.D【解析】由于第一小组的人数为整数,而此小组的频率 0.16 与答案 A、B、C 中的总数 之积均不是整数可知选 D. 或用直接法: 设第一、 第二、 第三小组的频率依次是 0. 16, 0. 16 t ,
2 2 0.16 t ( t ? 0 ) ,则由后四小组的频率成等差数列可知,0.16 t +0.07 为第四、五小 2 组的频率之和, 由 0. 16+0. 16 t +2 (0. 16 t +0. 07) =1 可得 t ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

5 7 t ? ? (不合题意 , 舍去) , 4 4

所以第三小组的频率为 0.25,所以总人数为 400 人,故选 D. 8.C【解析】∵ ( ) 2 ?

1 2

3

1 1 ? ? 1 1 3 1 3 ? 1 ,∴ f [( ) 2 ] = f [2 ? ( ) 2 ] ? f (2 2 ) 由 2 2 ? 1 ,得 2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? ? 1 3 1 f (2 2 ) ? f (2 ? 2 2 ) ? f (2 2 ) ,而 2 2 ? 1 , f [( ) 2 ] = f (2 2 ) = log 2 2 2 ? ,故选 C. 2 2

9.A【解析】由

4? 3 R ? 4 3? 得 R ? 3 ,所以 a ? 2 ,表面积为 6a 2 ? 24 .故选 A. 3

?1 ? a ? b ? 0 a ? 10.C【解析】由图可知,f(1)=0,f(0)>0,对称轴 x= ? ? (0,1) .即 ?b ? 0 2 ?a ? (?2,0) ?
1 1 ? g ( x) ? ln x ? 2 x ? a ? g ( ) ? ln ? 1 ? a ? 0且g (1) ? 2 ? a ? 0. 故选 C 2 2
二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题) 11. 【答案】1 【解析】∵g(1)=3,∴f[g(1)]=f(3)=1。

12. 【答案】127 【解析】根据流程图可得 a 的取值依次为 1、3、7、15、31、63、当 a=127 时符合题意,即输出 127。

4 13. 【答案】 5

x2 y2 ? ?1 【解析】∵椭圆 25 9
sin A ? sin C AB ? BC ? sin B AC

∴A、C 恰为椭圆之焦点(如图) ,由正弦定理,得 又知椭圆定义 AB+BC=2a,∴AB+BC=10,AC=2×4=8 ∴

sin A ? sin C AB ? BC 10 5 ? ? ? sin B AC 8 4

? x ? a cos? x2 y2 14.填 ? (参数 ? ? R )或 2 ? 2 ? 1 .均可. a b ? y ? b sin ?
2 2 解:由 x ? y ? 2ax cos? ? 2by sin ? ? 0 ,得动圆圆心为 P( x , y) ? (a cos? , b sin ? ) ,其

轨迹的参数方程为 ? 15.填 3 .

? x ? a cos? x2 y2 (参数 ? ? R ),消去 ? ,得普通方程为 2 ? 2 ? 1 . a b ? y ? b sin ?

2 解:? PB ? 1, PA ? 2, PA ? PB ? PC ? PC ? 4,? AC ?

42 ? 22 ? 2 3,? R ? 3 .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (Ⅰ)解:由 cos A ?

5 10 , cos B ? , 5 10

得 A、B ? ? 0, ? ,

? ?? ? 2?

所以 sin A ?

2 3 , sin B ? . 5 10

………….. 3 分

因为 cos C ? cos[? ? ( A ? B)] ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? 且0 ? C ?? , 故C ?

2 , 2
….. 6 分 .. 9 分

? . 4
AB AC AB ? sin B 6 , ? ? AC ? ? sin C sin B sin C 10

(Ⅱ)解:根据正弦定理得

1 6 AB ? AC ? sin A ? . . …... …... …... …... …... …... 12 分 2 5 50 10 ? 17 . 解 : (1). 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 , , 所 以 n=2000. n 100 ? 300
所以 ?ABC 的面积为 S ? z=2000-100-300-150-450-600=400 ………….. 3 分 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以

400 m ? ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 1000 5

S1,S2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基 本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒 适型轿车的概率为

7 . 10

….. 7 分

(3)样本的平均数为 x ?

1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 , 8
9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6,

总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 18.解: (1)证明: ∵ DC ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC

6 ? 0.75 .…12 分 8

∴ DC ? BC . ----------------2 分

∵AB 是圆 O 的直径 ∴ BC ? AC 且 DC ? AC ? C ∴ BC ? 平面 ADC. ---------------------------------------------------------------5 分

(2)解法1:所求简单组合体的体积: V ? VE ? ABC ? VE ? ADC -----7 分 ∵ AB ? 2 , BC ? 1 , tan ?EAB ? ∴ BE ? 3 , AC ? ∴ VE ? ADC ?

EB 3 ? AB 2

AB2 ? BC 2 ? 3 -------------9 分

1 1 1 S?ADC ? DE ? AC ? DC ? DE ? -------12 分 3 6 2

F D

E

O

1 1 1 VE ? ABC ? S?ABC ? EB ? AC ? BC ? EB ? ---------13 分 3 6 2
∴该简单几何体的体积 V ? 1 -------------------------------14 分 解法2:将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱---7 分 如图∵ AB ? 2 , BC ? 1 , tan ?EAB ? ∴ BE ? 3 , AC ?

EB 3 ? AB 2

AB2 ? BC 2 ? 3 -------------10 分
1 S ?ADC ? DE ------------12 分 3

∴ V ? VACB? FDE ? VE ? ADF = S ?ACB ? DC ?

1 1 AC ? CB ? DC ? AC ? DC ? DE 2 6 1 1 = ? 3 ?1? 3 ? ? 3 ? 3 ? 1 ? 1 -----------------------------------------------14 分 2 6 ?
19 .解: ( 1 )根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆,其中 a ? 2 , c ? 3 ,则

b ? a2 ? c2 ? 1.所以动点 M 的轨迹方程为
(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意.

x2 ? y 2 ? 1.--------------4 分 4

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , ∵ OC ? OD ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . ∵ y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 , ∴ y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .… ①

??? ? ????

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 由方程组 ? 4 得 ?1 ? 4k ? x ? 16kx ? 12 ? 0 .? ?. ? 0恒成立 ? y ? kx ? 2. ? 16k 12 则 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ,代入①,得--------------8 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k ? 2k ? ? 4 ? 0 .-------------10 分 ?1 ? k 2 ? ? 1 ?12 2 4k 1 ? 4k 2
即 k 2 ? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ?2 .-------------12 分 所以,直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 .-------------14 分 20.解: (1)设 x ? (0, e] ,则 ? x ? [?e , 0) ,所以 f (? x) ? ?ax ? ln(? x) ,………2 分 因为 f ( x) 是定义在 [? e , 0) ? (0 , e] 上的奇函数, 所以 f ( x) ? ? f (? x) ? ax ? ln(? x) , 故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) = ? ……………………………… 4 分

?ax ? ln(? x) , ?ax ? ln x ,

x ?[? e , 0) x ? (0 , e]

……………… 6 分

(2)假设存在实数 a ,使得当 x ? [?e , 0) 时, f ( x) = ax ? ln(? x) 有最小值是 3,

1 ax ? 1 ? ,知 ……………………………… 8 分 x x 1 1 ① 当 ? ? e ,即 ? ? a ? 0 时,由 f ( x) ? ?? e ,0? ,得 f / ( x) ? 0 . a e
则由 f ( x) ? a ?
/

故 f ( x) = ax ? ln(? x)是?? e ,0? 上的增函数,

所以 f ( x) min ? f (?e) ? ?ae ? 1 ? 3

x
f / ?x ?
f ( x)

1? ? ?? e , a ? ? ?
- 递减

x=

1 a

?1 ? ? ,0 ? ?a ?
+ 递增

4 1 ? ? (舍去) ;………10 分 e e 1 1 ② 当 ? ? e 即 a ? ? 时,则有右表 a e 1 1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln( ? ) ? 3 a a
解得 a ? ? 解得 a ? ?e ,
2

0 极小值

……………… 12 分
2

综上可知,存在实数 a ? ?e ,使得当 x ? ?? e ,0? 时, f ( x) 有最小值是3…… 14 分 21.解: (Ⅰ) 3Sn ? 3Sn?1 ? 5an ? an?1 ,∴ 2an ? an?1 , ∵ a1 ? 2 ,∴ an ? 2( )

an 1 ? ……………………(2 分) an ?1 2

1 2

n ?1

? 22?n …………………………………………………(4 分)

(Ⅱ) bn ? (2n ?1)22?n ,

? Tn ? 1? 2 ? 3 ? 20 ? 5 ? 2?1 ? ? ? (2n ? 1) ? 22?n, ? ………(6 分) ?1 1? 20 ? 3 ? 2?1 ? ? ? (2n ? 3) ? 22?n ? (2n ? 1) ? 21?n, ? Tn ? ?2
∴ Tn ? 2 ? 2 ? (2 ? 2 ? ? ? 2
0

1 2

?1

2? n

) ? (2n ? 1) ? 21? n

? 2?

2[1 ? (2?1 ) n ?1 ] ? (2n ? 1)21?n ?1 1? 2

∴ Tn ? 12 ? (2n ? 3) ? 22?n ……………………………………………………………(8 分) (Ⅲ) cn ? t n (n lg 2 ? n lg t ? lg 2?n ) ? nt n lg t , ∵ cn ? cn?1 ,∴ t lg t ? t
n n n?1

lg t n?1 ,

∵ 0 ? t ? 1 ,∴ n lg t ? t (n ? 1) lg t .………………………………………………(12 分)

∵ lg t ? 0 ,∴ n ? t (n ? 1) ? t ? ∵ n ? N ?,

n , n ?1

1 n 1 1 ? ? ,∴ 0 ? t ? .……………………………………(14 分) 2 n ?1 1? 1 2 n


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