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2013届高考数学(理)新课标第一轮复习单元评估检测(8)第8章 平面解析几何


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2013 届高考数学 (理) 新课标第一轮复习单 元评估检测(8)第 8 章 平面解析几何
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线 xsinα -y+1=0 的倾斜角的变化范围是( π (A)(

0, ) 2 π π (C)[- , ] 4 4 (B)(0,π ) π 3π (D)[0, ]∪[ ,π ) 4 4 )

2.(2012·珠海模拟)已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a-2)x+3y+ 2a=0,则 l1∥l2 的充要条件是 a 等于( (A)3 (B)1 (C)-1 ) (D)3 或-1

3.(2012·顺德模拟)直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公 共点,则 k 的值为( (A)1 (B)1 或 3 ) (C)0 (D)1 或 0 )

x2 y2 4.“λ >-1”是“方程 - =1 表示双曲线”的( 2+λ 1+λ (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5.(2012·佛山模拟)已知直线 l1 与圆 O:x2+y2+2y=0 相切,且与直 线 l2:3x+4y-6=0 平行,则直线 l1 的方程是( (A)3x+4y-1=0 (B)3x+4y+1=0 或 3x+4y-9=0 (C)3x+4y+9=0
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)

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(D)3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0 x2 y2 y2 x2 6.若曲线 + =1 与曲线 + =1 的离心率互为倒数, 则 a=( 25 9 a 9 (A)16 (B)-16 81 (C) 16 81 (D)- 16 )

7.已知双曲线 16y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距 1 离为 ,则 m=( 5 (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)4

8.若 PQ 是圆 x2+y2=16 的弦,PQ 的中点是 M(1,3),则直线 PQ 的方 程是( ) (B)x+3y-10=0 (D)3x-y=0

(A)x+3y-4=0 (C)3x-y+4=0

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把正确答案 填在题中横线上) 9.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y =0 上,则圆 C 的方程为 .

10.(2012·郑州模拟)已知抛物线 y2=2px(p>1)的焦点 F 恰为双曲线 x2 y2 - =1(a>0,b>0)的右焦点,且两曲线的交点连线过点 F,则双曲 a2 b2 线的离心率为 . .

11.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍, 则椭圆的离心率等于

12.若 k∈R,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2-2ax+a2-2a-4=0 恒有交 点,则实数 a 的取值范围是
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. 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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13.(2012·深圳模拟)直线 ax+my-2a=0(m≠0)过点(1,1),则该直 线的倾斜角为 .

14.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值等 于 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(12 分)(易错题)设直线 l 的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). (1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)若 a>-1,直线 l 与 x、y 轴分别交于 M、N 两点,O 为坐标原点, 求△OMN 面积取最小值时,直线 l 对应的方程. 16.(13 分)已知动点 C 到点 A(-1,0)的距离是它到点 B(1,0)的距离 的 2倍. (1)试求点 C 的轨迹方程; (2)已知直线 l 经过点 P(0,1)且与点 C 的轨迹相切,试求直线 l 的方 程. 17.(13 分)(探究题)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的 1 中心在原点, 左焦点为 F(- 3, 0), 右顶点为 D(2,0), 设点 A(1, ). 2 (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B,C,求△ABC 面积的最大值.

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18.(14 分)(2012·广州模拟)如图, 曲线 C1 是以原点 O 为中心、F1,F2 为焦点的椭圆的一部分,曲线 C2 是以 O 为顶点、F2 为焦点的抛物线的一部分,A 是曲线 C1 和 7 5 C2 的交点,且∠AF2F1 为钝角,若|AF1|= ,|AF2|= , 2 2 (1)求曲线 C1 和 C2 的方程; (2)过 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C1、C2 依次交于 B、 |BE|·|GF2| C、D、E 四点,若 G 为 CD 中点、H 为 BE 中点,问 是否为 |CD|·|HF2| 定值?若是,求出定值;若不是,说明理由. 19.(14 分)(预测题)已知椭圆 E 的中心在坐标原点、 对称轴为坐标轴, 且抛物线 x2=-4 2y 的焦点是它的一个焦点,又点 A(1, 2)在该椭 圆上. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若斜率为 2的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B、C,当△ABC 的 面积最大时,求直线 l 的方程. 20.(14 分)已知直线 l1:y=2x+m(m<0)与抛物线 C1:y=ax2(a>0)和 圆 C2:x2+(y+1)2=5 都相切,F 是 C1 的焦点. (1)求 m 与 a 的值; (2)设 A 是 C1 上的一动点,以 A 为切点作抛物线 C1 的切线 l,直线 l 交 y 轴于点 B,以 FA、FB 为邻边作平行四边形 FAMB,证明:点 M 在 一条定直线上; (3)在(2)的条件下,记点 M 所在定直线为 l2,直线 l2 与 y 轴交点为 N,
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连接 MF 交抛物线 C1 于 P、Q 两点,求△NPQ 的面积 S 的取值范围.

答案解析
1.【解析】选 D.直线 xsinα-y+1=0 的斜率是 k=sinα. 又≧-1≤sinα≤1,?-1≤k≤1. ?当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是[0, π ]; 4

3π 当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是[ ,π). 4
? ?a(a-2)=3 2.【解析】选 C.由题意知? 2 ?2a ≠18 ? ?y=kx+2 ? 3.【解析】选 D.由? 2 ? ?y =8x
2

?a=-1.

? ky -8y+16=0,若 k=0 则 y=2;

若 k≠0,则Δ=0,即 64-64k=0,解得 k=1.故 k 的值为 0 或 1. x2 y2 4. 【解析】选 A.因为当λ>-1 时,方程 - =1 表示双曲 2+λ 1+λ x2 y2 线;当 - =1 表示双曲线时,λ>-1 或λ<-2.所以“λ> 2+λ 1+λ x2 y2 -1”是“方程 - =1 表示双曲线”的充分不必要条件. 2+λ 1+λ 5.【解析】选 D.由题意可得圆心 O(0,-1),半径 r=1, 设 l1:3x+4y+λ=0,则圆心 O 到 l1 的距离 d= -4|=5.解得λ=-1 或λ=9. ?l1:3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0. x2 y2 4 y2 x2 6.【解析】选 D.因为曲线 + =1 的离心率为 ,所以,曲线 + 25 9 5 a 9
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|-4+λ| =1.?|λ 32+42

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5 5 9-a 81 =1 的离心率为 ,所以 = ,解得 a=- . 4 4 3 16 y2 x2 1 1 7.【解析】选 C.双曲线的方程可化为 - =1,所以 a= ,b= , 1 1 4 m 2 16 m 1 取顶点(0, ),一条渐近线为 mx-4y=0. 4 1 |-4〓 | 4 1 ≧ = ,即 m2+16=25,?m=3. 2 5 m +16 3-0 8.【解析】选 B.圆心为 O(0,0),故直线 OM 斜率 k= =3,因为 1-0 1 1 弦 PQ 所在直线与直线 OM 垂直, 所以 kPQ=- , 其方程为 y-3=- (x 3 3 -1),整理,得 x+3y-10=0. 9.【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直 径,只要再求得圆心坐标即可得解. 【解析】因为两条直线 x-y=0 与 x-y-4=0 平行,故它们之间的 距离即为圆的直径,所以 2R= 4 ,所以 R= 2.设圆心坐标为 P(a, 2

2|a| |2a-4| -a), 则点 P 到两条切线的距离都等于半径, 所以 = 2, 2 2 = 2,解得 a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为(x-1)2 +(y+1)2=2. 答案:(x-1)2+(y+1)2=2 p 10.【解析】由题意知, =c,即 p=2c. 2

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金太阳新课标资源网 y =2px ? ? 由?x y - =1 ? ?a b
2 2 2 2 2

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得 b2x2-4ca2x-a2b2=0 *

由题意知 x=c 是方程*的一个根,则有 b2c2-4a2c2-a2b2=0,即 c4-6a2c2+a4=0, ?e4-6e2+1=0. 又 e>1,?e2=3+2 2,e= 2+1. 答案: 2+1 11.【解析】设 2a、2b 分别为椭圆的长轴长、短轴长,依题设有 4b c 3 =2a,即 a=2b,所以 c= a2-b2= 3b,所以离心率为 e= = . a 2 答案: 3 2

12.【解析】因为直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),题设条件等价于点 (0,1)在圆内或圆上,则 02+12-2a·0+a2-2a-4≤0 且 2a+4>0, 解得-1≤a≤3. 答案:-1≤a≤3 13.【解析】由题意可得 a+m-2a=0,即 m=a. a 3π 又直线的斜率 k=- =-1,?该直线的倾斜角为 . m 4 3π 答案: 4 14.【解析】由抛物线的方程,可设抛物线上的点的坐标为 (x,-x2),根据点到直线的距离公式,得

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|4x+3(-x2)-8| 3 2 4 2 4 d= = (x- )2+ , 所以当 x= 时, d 取得最小值 . 2 2 5 3 3 3 3 4 +3 4 答案: 3 15.【解析】(1)当直线 l 经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截 距都为 0,此时 a+2=0,解得 a=-2,此时直线 l 的方程为-x+y =0,即 x-y=0; 当直线 l 不经过坐标原点,即 a≠-2 且 a≠-1 时,由直线在两坐标 轴上的截距相等可得 +y-2=0. 所以直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0. 2+a (2)由直线方程可得 M( ,0),N(0,2+a), a+1 又因为 a>-1. 1 2+a 1 [(a+1)+1]2 故 S△OMN= 〓 〓(2+a)= 〓 2 a+1 2 a+1 1 1 = 〓[(a+1)+ +2] 2 a+1 1 ≥ 〓[2 2 (a+1)· 1 1 +2]=2,当且仅当 a+1= ,即 a=0 a+1 a+1 2+a =2+a,解得 a=0,此时直线 l 的方程为 x a+1

时等号成立.此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. 16.【解题指南】(1)利用直接法列出方程,化简即可.(2)对斜率是否 存在分类讨论,根据切线的性质求斜率,进而求出方程. 【解析】(1)设点 C(x,y),则|CA|= (x+1)2+y2,|CB|= (x-1)2+y2.
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由题意,得 (x+1)2+y2= 2〓 (x-1)2+y2. 两边平方,得(x+1)2+y2=2〓[(x-1)2+y2]. 整理,得(x-3)2+y2=8. 故点 C 的轨迹是一个圆,其方程为(x-3)2+y2=8. (2)由(1),得圆心为 M(3,0),半径 r=2 2. ①若直线 l 的斜率不存在,则方程为 x=0,圆心到直线的距离 d=3 ≠2 2,故该直线与圆不相切; ②若直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx+1.由直线 |3k+1| 和圆相切,得 d= 2,整理,得 k2+6k-7=0,解得 k= 2 =2 1+k 1,或 k=-7.故所求直线的方程为 y=x+1,或 y=-7x+1,即 x -y+1=0 或 7x+y-1=0. 17.【解题指南】(1)由“左焦点为 F(- 3,0),右顶点为 D(2,0)” 得到椭圆的长半轴 a,半焦距 c,再求得短半轴 b,最后由椭圆的焦 点在 x 轴上求得标准方程. (2)设线段 PA 的中点为 M(x,y),点 P 的坐标是(x0,y0),由中点坐 标公式分别求得 x0,y0,代入椭圆方程,可求得线段 PA 中点 M 的轨 迹方程. (3)分直线 BC 垂直于 x 轴和直线 BC 不垂直于 x 轴两种情况分析,求 得弦长|BC|,结合点到直线的距离建立三角形面积模型,再用基本不 等式求其最值. 【解析】(1)由已知得椭圆的长半轴 a=2,半焦距 c= 3,则短半轴 b=1.又椭圆的焦点在 x 轴上,
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x2 ?椭圆的标准方程为 +y2=1. 4 (2)设线段 PA 的中点为 M(x,y),点 P 的坐标是(x0,y0), 1 ?x=x + ? 2 由? 1 y+ 2 ? y= ? 2
0 0

x =2x-1 ? ? 得? 1 y = 2y - ? 2 ?
0 0



(2x-1)2 1 因为点 P 在椭圆上,得 +(2y- )2=1, 4 2 1 1 ?线段 PA 中点 M 的轨迹方程是(x- )2+4(y- )2=1. 2 4 (3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,|BC|=2, 此时△ABC 的面积 S△ABC=1. x2 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,设直线方程为 y=kx,代入 +y2=1, 4 由 B、C 的对称性,不妨令 B( C(- 2 2k ,- ), 2 4k +1 4k2+1 2 2k , ), 4k2+1 4k2+1

4 1+k2 则|BC|= ,又点 A 到直线 BC 的距离 1+4k2 1 |k- | 2 1 |2k-1| ,?S△ABC= |BC|d= , 2 1+k 1+4k2
2

d=

于是 S△ABC=

4k2-4k+1 = 1+4k2

1-

4k , 4k2+1

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4k 1 ≥-1,得 S△ABC≤ 2,其中,当 k=- 时,等号成立.?S△ABC 2 4k +1 2

的最大值是 2. x2 y2 7 5 18.【解析】(1)设椭圆方程为 2+ 2=1,则 2a=|AF1|+|AF2|= + a b 2 2 =6,得 a=3. 设 A(x,y),F1(-c,0),F2(c,0), 7 5 则(x+c)2+y2=( )2,(x-c)2+y2=( )2, 2 2 3 5 两式相减得 xc= ,由抛物线定义可知|AF2|=x+c= ,则 c=1,x 2 2 3 3 = 或 x=1,c= (舍去). 2 2 x2 y2 3 所以曲线 C1 的方程为 + =1(-3≤x≤ ),曲线 C2 的方程为 y2= 9 8 2 3 4x(0≤x≤ ). 2 (2)设 B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直线 BE 的方程 y x2 y2 y =k(x-1),代入 + =1 得:8( +1)2+9y2-72=0,即(8+9k2)y2 9 8 k +16ky-64k2=0, 16k 64k2 则 y1+y2=- ,y1y2=- , 8+9k2 8+9k2 同理,将 y=k(x-1)代入 y2=4x 得:ky2-4y-4k=0, 4 则 y3+y4= ,y3y4=-4, k

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1 |y3+y4| |BE|·|GF2| |y1-y2| 2 所以 = · |CD|·|HF2| |y3-y4| 1 |y1+y2| 2 = = (y1-y2)2 (y3+y4)2 · (y1+y2)2 (y3-y4)2 (y1+y2)2-4y1y2 (y3+y4)2 · (y1+y2)2 (y3+y4)2-4y3y4 (16k)2 4〓64k2 4 ( )2 2 2+ 2 (8+9k ) 8+9k k · =3,为定值. 2 (16k) 4 2 ( ) +16 (8+9k2)2 k



19.【解析】(1)由已知抛物线的焦点为(0,- 2),故设椭圆方程为 y2 x2 + =1(a> 2). a2 a2-2 2 1 将点 A(1, 2)代入方程得 2+ 2 =1, a a -2 整理得 a4-5a2+4=0,得 a2=4 或 a2=1(舍), y2 x2 故所求椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设直线 BC 的方程为 y= 2x+m, 设 B(x1,y1),C(x2,y2), 代入椭圆方程并化简得 4x2+2 2mx+m2-4=0, 由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0, 可得 0≤m2<8. 2 m2-4 由 x1+x2=- m,x1x2= , 2 4 (*)

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3· 16-2m2 故|BC|= 3|x1-x2|= . 2 又点 A 到 BC 的距离为 d= |m| , 3

1 m2(16-2m2) 故 S△ABC= |BC|·d= 2 4 2m2+(16-2m2) ≤ · = 2, 2 4 2 1 当且仅当 2m2=16-2m2,即 m=〒2 时取等号(满足*式),此时直线 l 的方程为 y= 2x〒2. 【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法 解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向, 既可以出现在选 择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用 以下两种思想方法: (1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质, 数形结合求解. (2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函 数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围. x2 y2 6 【变式备选】已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,短轴的一个 a b 3 端点到右焦点的距离为 3, 直线 l: y=kx+m 交椭圆于不同的两点 A, B, (1)求椭圆的方程, (2)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为
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3 ,求△AOB 面积的最大值. 2 金太阳新课标资源网

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c 6 ? ?= 【解析】 (1)设椭圆的半焦距为 c, 依题意?a 3 ? ?a= 3 由 a2=b2+c2,得 b=1. x2 ?所求椭圆方程为 +y2=1. 3 (2)由已知得 |m| 3 3 2 2 = ,可得 m = (k +1). 4 1+k2 2

, 解得 c= 2.

将 y=kx+m 代入椭圆方程, 整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0. Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0 (*) -6km 3m2-3 ?x1+x2= ,x1·x2= . 1+3k2 1+3k2 36k2m2 12(m2-1) ?|AB| =(1+k )(x2-x1) =(1+k )[ - ] (3k2+1)2 3k2+1
2 2 2 2

12(k2+1)(3k2+1-m2) 3(k2+1)(9k2+1) = = (3k2+1)2 (3k2+1)2 12k2 =3+ 4 =3+ 9k +6k2+1 12 12 ≤3+ =4(k≠0), 1 2〓3+6 2 9k + 2+6 k

1 3 当且仅当 9k2= 2,即 k=〒 时等号成立. k 3 经检验,k=〒 3 满足(*)式. 3

当 k=0 时,|AB|= 3.综上可知|AB|max=2.

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1 3 3 ?当|AB|最大时,△AOB 的面积取最大值 Smax= 〓2〓 = . 2 2 2 20.【解析】(1)由已知,圆 C2:x2+(y+1)2=5 的圆心为 C2(0,-1), 半径 r= 5.由题设圆心到直线 l1: y=2x+m 的距离 d= 即 |1+m| = 5,解得 m=-6(m=4 舍去). 22+(-1)2 |1+m| , 22+(-1)2

1 设 l1 与抛物线的切点为 A0(x0,y0),又 y′=2ax,得 2ax0=2 ? x0= , a 1 y0= . a 1 2 1 代入直线方程得: = -6,?a= , a a 6 1 所以 m=-6,a= . 6 1 3 1 (2)由(1)知抛物线 C1 方程为 y= x2,焦点 F(0, ).设 A(x1, x12), 6 2 6 1 1 由(1)知以 A 为切点的切线 l 的方程为 y= x1(x-x1)+ x12.令 x=0, 3 6 1 得切线 l 交 y 轴的 B 点坐标为(0,- x12) 6 1 3 1 3 所以 FA =(x1, x12- ), FB =(0,- x12- ), 6 2 6 2 ≧四边形 FAMB 是以 FA、 FB 为邻边的平行四边形, ? FM = FA + FB = 3 (x1,-3),因为 F 是定点,所以点 M 在定直线 y=- 上. 2 3 1 1 3 (3)设直线 MF: y=kx+ ,代入 y= x2 得 x2-kx- =0,设 P、Q 2 6 6 2
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两点横坐标分别为 x′1,x′2, 得 x′1+x′2=6k,x′1·x′2=-9, 1 1 S△NPQ= |NF||x′1-x′2|= 〓3〓 (x′1+x′2)2-4x′1x′2= 2 2 9 1+k2, ≧k≠0,?S△PQN>9,即△NPQ 的面积 S 范围是(9,+≦).

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