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4.2.1直线与圆的位置关系q


《普通高中课程标准实验教科书· 数学(A版)》必修2第四章

【一.问题导引】 问题1、点到直线的距离公式,圆的标 准方程和一般方程分别是什么?
d? | Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2
2 2

2<

br />2 2

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0)

【一.问题导引】

问题2. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到 气象台的台风预报:台风中心位于轮船正80km 处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘 轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
港口

思考(1):利用你所 学平面几何的知识, 能解决这个问题吗?
轮船

台风

【一.问题导引】
(1)利用平面几何知识可知, 在 Rt ?AOB 中, OA ? 80, OB ? 40 , 则 AB ? 40 5 ,设 O 到 AB 的距离为 d ,

OA ? OB 80 ? 40 ? ? 16 5 ? 30 , B 则d ? 港 AB 40 5


E d D A

所以轮船沿直线返港,没有触礁的危险;
台 风
O

轮 船

【一.问题导引】
思考(2)你能否用坐标法解决刚才的问题?

x y 直线方程: ? ? 1 ,即 x ? 2 y ? 8 ? 0 ; 8 4
圆的方程: x ? y ? 9 ;
2 2

【二.讨论展示】
直线与圆的位置关系有三种:
相交 相切 相离

图形 公共点个数

2

1

0

d 与 r 的关系 如何判断直线和圆的 d ?r d?r

d ?r

这三种位置关系呢?

【归纳】直线与圆的位置关系的判断方法: 设 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , ( 1)几何法:求圆心到直线的距离: d ?

| Aa ? Bb ? C | A ?B
2 2



? Ax ? By ? C ? 0 ( 2)代数法:联立方程 ? , 2 2 2 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r
消元,考查其判别式 ? ; 相交 ? d ? r ? ? ? 0 ; 相切 ? d ? r ? ? ? 0 ; 相离 ? d ? r ? ? ? 0 ;

【弦长问题】

【切线问题】
【最值问题】

知识探究(二):圆的切线方程

思考1:过圆上一点、圆外一点作圆 的切线,分别可作多少条?
M
M

思考2:设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2 上一点,如何求过点M的圆的切线方 程?
y

M
o x

x0x+y0y=r2

思考3:设点M(x0,y0)为圆 x2+y2=r2 外一点,如何求过点M的圆的切线方 程?
y

M

o

x

思考4:设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2 外一点,过点M作圆的两条切线,切 点分别为A,B,则直线AB的方程如 何?
A
y

M

o

x0x+y0y=r2
B
x

讨论二.关于圆的切线问题 例 1 (1).已知圆的方程是 x2+y2=r2,求过圆上
一点 M(x0,y0)的切线方程(如右图). y0 解 如果x0≠0且y0≠0,则直线OM的方程为y= x. x0 x0 从而过点M的圆的切线的斜率为- , y0 x0 因此所求圆的切线方程为y-y0=- (x-x0). y0 2 化简,得x0x+y0y=x2 0+y0.
2 2 因为点M(x0,y0)在圆上,所以x2 + y = r . 0 0

所以,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的圆的切线方程为x0x +y0y=r2.
如果x0=0或y0=0,我们容易验证,
过点M(x0,y0)的切线方程也可以表示为x0x+y0y=r2的形 式,因此,所求的切线方程为x0x+y0y=r2.

例1.(2)直线l过点A(1,0)且与圆(x-2)2+(y3)2=1相切,求直线l的方程。
y

4x ? 3 y ? 4 ? 0或x ? 1
-1

o

A?1,0?
1

x

注意:利用斜率研究直线时,要注意直线 斜率不存在的情形,应通过检验,判断它 是否符合题意。 小结

【典例剖析】
1、如图,已知直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 和 圆心为 C 的圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 , 判断直线 l 与圆的位置关系;如果相 交,求它们交点的坐标.

分析:方法一:判断由直线 l 与圆的方程组成的方程组有无实数解; 方法二:可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系;

(1) ?3x ? y ? 6 ? 0 解法一:联立方程 ? 2 2 ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 (2)
消去 y 得: x ? 3x ? 2 ? 0 ,
2

因为 ? ? 1 ? 0 ,所以直线 l 与圆相交,有两个公共点.
解法二:由已知,圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,圆心 C (0,1) ,半径 r ? 5

5 10 C (0,1) 到直线 l 的距离 d ? ? ? 5, 2 10
所以直线 l 与圆相交,有两个公共点.

由 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? 2 , x2 ? 1 ,
2

把 x1 ? 2 代入方程(1) ,得 y1 ? 0 ; 把 x2 ? 1 代入方程(1) ,得 y2 ? 3 ; 所以,直线 l 与圆有两个交点, 它们的坐标分别是: A(2, 0), B(1,3) .

比较两种方法,你有什么想法?

【典例剖析】
2、已知过点 M (?3, ?3) 的直线 l 被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程;
解:圆的标准方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 25 , 圆心 C (0, ?2) ,半径 r ? 5 . 所以弦心距 d ? 5 ? (2 5) ? 5 ,
2 2

这样的直线有几条?

由已知,设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) , 即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 , 根据点到直线的距离公式, d ?

| 3k ? 1| 1? k 2



因此,

| 3k ? 1| 1? k 2

? 5 ,即 | 3k ? 1|? 5 ? 5k 2 ,
2

1 两边平方,并整理得 2k ? 3k ? 2 ? 0 ,解得 k ? - ,或 k ? 2 , 2
所以,所求直线方程为: x ? 2 y ? 9 ? 0 ,或 2 x ? y ? 3 ? 0 .

【变式训练】
1、 (1)已知直线 4 x ? 3 y ? 35 ? 0 与圆心在原点的圆相切, 求圆的方程; (2)已知圆的方程 x ? y ? 2 ,直线 y ? x ? b ,当 b 为
2 2

何值时,直线与圆相交,相切,相离? (3)已知圆的方程 ( x ?1) ? ( y ? 3) ? r (r ? 0) ,直线
2 2 2

3x ? 4 y ? 6 ? 0 ,当 r 为何值时,直线与圆相交?

解: (1)由已知: d ?

35 32 ? 42

? 7 ,即圆的半径 r ? 7 ;
2 2

所以所求圆的方程为: x ? y ? 49 ;

|b| (2)解法 1:圆心 O(0,0) 到直线 y ? x ? b 的距离: d ? , 2
当 d ? r ,即 ?2 ? b ? 2 时,直线与圆相交; 当 d ? r ,即 b ? ?2 时,直线与圆相切; 当 d ? r ,即 b ? ?2 ,或 b ? 2 时,直线与圆相离;

?y ? x ?b 解法 2:联立方程组 ? 2 , 2 ?x ? y ? 2
消去 y 得: 2 x ? 2bx ? b ? 2 ? 0 , ? ? 16 ? 4b ,
2 2 2

当 ? ? 0 ,即 ?2 ? b ? 2 时,直线与圆相交; 当 ? ? 0 ,即 b ? ?2 时,直线与圆相切; 当 ? ? 0 ,即 b ? ?2 ,或 b ? 2 时,直线与圆相离;

(3)由已知:圆心到直线的距离 d ?

15 3 ?4
2 2

?3? r ,

【变式训练】
2、已知过点 M (?3, ?3) 的直线 l 被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 8,求直线 l 的方程;
解:易知圆心 C (0, ?2) ,半径 r ? 5 .所以弦心距 d ? 52 ? 42 ? 3 , 设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 , 根据点到直线的距离公式, d ?

| 3k ? 1| 1? k
2



因此,

| 3k ? 1| 1? k 2

? 3 ,即 | 3k ? 1|? 3 1 ? k 2 ,解得 k ? ?

4 , 3

直线方程为: 4 x ? 3 y ? 21 ? 0 , 经检验, x ? 3 ? 0 适合题意, 所以,所求直线方程为: 4 x ? 3 y ? 21 ? 0 ,或 x ? 3 ? 0 ;

【知识归纳】
1、知识: (1)直线与圆的位置关系的判断; (2)弦长问题; 2、思想方法: (1)坐标法的思想; (2)数形结合思想。

【作业布置】
1、作业:课本132页习题4.2 A. 2,3,5;B. 4;

【教学反思】
1、本节知识容量较大,思维量较高,教师利用实例 分析了散点图的分布规律,推导出了线性回归直 线的方程的求法,运用实例分析比较,帮助同学

们养成良好的学习态度,培养勤奋刻苦的精神;
2、把课堂还给学生,让学生多动手、动脑,对学生

有难度的知识老师给予有梯度的提示,引导学生
主动探究与思考,让学生真正参与到课堂中来; 3、教师可让学有余力的学生课下继续探讨,达到灵 活运用.


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