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数列的通项公式及前n项和例题及练习


求数列的通项公式: 一.公式法: 1. 等差数列 ?an ? 是递减数列,且 a2 ? a3 ? a4 =48,a2 ? a3 ? a4 =12,求数列的通项 公式。

二.累加法:适用于: an?1 ? an ? f (n) 2. 若在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? n ,求通项 an 。

练习:已知数

列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

三.累乘法:适用于: an?1 ? f (n)an 3.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2 n an ( n ? N * ) ,求通项 an 。

练习:在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

n an ( n ? N * ) ,求通项 an 。 n ?1

1

四、倒数变换法

适用于分式关系的递推公式,分子只有一项

4..设数列 {an } 满足 a1 ? 2, a n ?1 ?

an (n ? N), 求 a n . an ? 3

练习:已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

五、待定系数法

适用于 an?1 ? qan ? f (n)

5.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。

练习:已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。

六、 sn与an之间的关系
3 6. 设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n = an ? 3 ,求 an 。 2

练习:设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n = n 2 ? n ? 2 ,求 an 。

2

求数列的前 n 项和: 一、公式法 1.求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和.

二、 分组法求和 2.求数列1 2 ,2 4 ,3 8 ,? ? ?, (n ? 2 ),? ? ? 的前 n 项和。
n

1

1

1

1

练习 1:求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 a a a

练习 2:求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

三、 错位相减法 3. 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

2 4 6 2n 练习: 求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

3

四、 倒序相加法求和 4. 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

练习: 设f(x)=

1 , 求f(-5)+f(-4)+ 2x ? 2

f(6)的值。

五、 裂项法求和 5. 在数列{an}中, an ?
1 n ? n ?1

,求数列{an}的前 n 项和。

练习 1: 在数列{an}中, an ?

2 ,求数列{an}的前 n 项和。 n(n ? 1)

练习 2: 求

1?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n

六、合并法求和 例 6、求和 s n =1-2+3-4+5-6+ ??? ??? +99-100.

4


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