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高二数学选修2-3第一章测试题(含答案)


开封市第十中学高二数学选修 2-3 第一章测试题
一.选择题(每题 5 分,满分 60 分) 1.四个同学,争夺三项冠军,冠军获得者可能有的种类是( A.4 C.43 [答案] C[解析] 故选 C. B.24 D.34 依分步乘法计数原理,冠军获得者可能有的种数是 4×4×4=43. )

2.210 所有正约数的个数共有( A.12 个 C.16

个 [答案] C B.14 个 D.20 个

)

[解析] 由 210=2· 5· 知正约数的个数为 2· 2· 3· 7 2· 2=16.∴选 C. 3.设 m∈N*,且 m<15,则(15-m)(16-m)?(20-m)等于( A.A6 -m 15 C.A6 -m 20 [答案] C [解析] 解法 1:(15-m)(16-m)?(20-m)=(20-m)(19-m)??[(20-m)-6+1]= A6 -m. 20 解法 2:特值法.令 m=14 得 1×2×3×4×5×6=A6.∴选 C. 6 4.A、B、C、D、E 五人站成一排,如果 A 必须站在 B 的左边(A、B 可以不相邻), 则不同排法有( A.24 种 C.90 种 [答案] B [解析] 5 个人全排列有 5!=120 种、A 在 B 左边和 A 在 B 右边的情形一样多,∴ 1 不同排法有 ×120=60 种. 2 5.在(x- 3)10 的展开式中,x6 的系数是( A.-27C6 10
6 C.-9C10

)

B.A15-m 20 m D.A5 -m 20



) B.60 种 D.120 种

)

B.27C4 10 D.9C4 10

[答案] D [解析] ∵Tr+1=Cr x10 r(- 3)r.令 10-r=6, 10 解得 r=4.∴系数为(- 3)4C4 =9C4 . 10 10


6.用 1、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为 ( ) A.36 C.40 [答案] A 3 [解析] 奇数的个位数字为 1、3 或 5,偶数的个位数字为 2、4.故奇数有 A3=36 个. 5 5 7.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 人必须站在一起的所有排列的总数为( A.A6 6 C.A3· 3 3 A3 [答案] D [解析] 甲、乙、丙三人站在一起有 A3种站法,把 3 人作为一个元素与其他 3 人排 3 列有 A4种,∴共有 A3· 4种.故选 D. 4 3 A4 8.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数为( A.720 C.576 [答案] C
6 [解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件,由间接法可得 A6-A3 3

B.30 D.60

)

B.3A3 3 D.4!· 3!

)

B.144 D.684

A4=576. 4 [点评] 不能都站在一起,与都不相邻应区分. 9.C97+2C96+C95等于( 98 98 98 A.C97 99
98 C.C99 97 B.C100

)

D.C98 100

[答案] B
95 97 [解析] 原式=C97+C96+C96+C98=C99+C96=C97 ,故选 B. 98 98 98 99 100

10.已知集合 A={1,2,3,4,5,6},B={1,2},若集合 M 满足 B ? M ? A,则不同集合 M 的个数为( )

A.12 C.14 [答案] C

B.13 D.15

[解析] ∵B ? M,∴M 中必含有 1、2 且至少含有 3、4、5、6 中的一个元素,又 M ? A,∴M≠A,∴M 的个数为 C1+C2+C3=14 个. 4 4 4 11.某年级有 6 个班,分别派 3 名语文教师任教,每个教师教 2 个班,则不同的任 课方法种数为(
2 A.C2· 4· 2 6 C C2 3 C.C2· 2· 2· 3 6 C4 C2 C

) B.A2· 2· 2 6 A4 A2 A2· 2· 2 6 C4 C2 D. A3 3

[答案] A 12.1+(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)n 的展开式的各项系数之和为( A.2n-1 C.2n 1-1 [答案] C [解析] 解法一:令 x=1 得,1+2+22+?+2n 1×(2n 1-1) n+1 = =2 -1. 2-1 解法二:令 n=1,知各项系数和为 3,排除 A、B、D,选 C.
+ +

)

B.2n-1 D.2n

二.填空题(每小题 5 分,满分 20 分) 13.三个人坐在一排八个座位上,若每人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为 ________. [答案] 24 [解析] “每人两边都有空位”是说三个人不相邻,且不能坐两头,可视作 5 个空位 和 3 个人满足上述两要求的一个排列,只要将 3 个人插入 5 个空位形成的 4 个空档中即 可. ∴有 A3=24 种不同坐法. 4 14.方程 Cx -Cx =C2x 2的解集是________. 17 16 16 [答案] {5} [解析] 因为 Cx =Cx +Cx 1,所以 Cx 1=C2x 2,由组合数公式的性质,得 x-1=2x 17 16 16 16 16 +2 或 x-1+2x+2=16,得 x1=-3(舍去),x2=5.
- - + +

?x +y =3, ?2 2 15.方程组?y +z =4, ?z2+x2=5. ?
[答案] 8

2

2

有________组解.

?x +y =3, ?2 2 [解析] 由方程组?y +z =4, ?z2+x2=5. ?

2

2

?x =2, ?2 可得?y =1, ?z2=3. ?

2

因此在{ 2,- 2},{1,-1},{ 3,- 3}中各取一个即可构成方程组的一组解, 由分步乘法计数原理共有 2×2×2=8 组解.

16.(2010· 湖北文,11)在(1-x2)10 的展开式中,x4 的系数为________. [答案] 45 [解析] 本题主要考查二项式定理. (1-x2)10 的展开式中,只有两个括号含 x2 的项,则 x4 的系数为 C2 (-1)2=45 10 三、解答题 17. (满分 12 分)求和: 1 2 3 n + + +?+ . 2! 3! 4! (n+1)!

k+1-1 k+1 k 1 1 1 [解析] ∵ = = - = - , (k+1)! (k+1)! (k+1)! (k+1)! k! (k+1)! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴原式=?1-2!?+?2!-3!?+?3!-4!?+?+?n!-(n+1)!?=1- . ? ? ? ? ? ? ? ? (n+1)! 18. (满分 10 分)用 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个?能被 5 整除的有多少个? (2)这些四位数中大于 6500 的有多少个? [解析] (1)偶数的个位数只能是 2、4、6 有 A1种排法,其它位上有 A3种排法,由分 3 6 步乘法计数原理知共有四位偶数 A1· 3=360 个;能被 5 整除的数个位必须是 5,故有 A3 3 A6 6 =120 个.
3 (2)最高位上是 7 时大于 6500,有 A6种,最高位上是 6 时,百位上只能是 7 或 5,故

有 2×A2种.∴由分类加法计数原理知,这些四位数中大于 6500 的共有 A3+2A2=160 5 6 5 个. 19. (满分 12 分)一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目,要求排出一个节目单. (1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法?

(2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法? (以上两个题只列出算式)
2 [解析] (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有 A5种排法,再将剩余的

3 个演唱节目,3 个舞蹈节目排在中间 6 个位置上有 A6种排法,故共有 A2A6种排法. 6 5 6 (2)先不考虑排列要求,有 A8种排列,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从 8 5 个演唱节目中选 4 个节目排在前四个位置, 然后将剩余四个节目排列在后四个位置, 有
4 A4A4种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A8-A5A4)种. 5 4 8 4

20. (满分 12 分)六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站右端,也不站左端; (2)甲、乙站在两端; (3)甲不站左端,乙不站右端. [解析] (1)解法一: 因甲不站左右两端, 故第一步先从甲以外的 5 个人中任选二人站 在左右两端,有 A2种不同的站法;第二步再让剩下的 4 个人站在中间的四个位置上,有 5
2 A4种不同的站法,由分步乘法计数原理共有 A5· 4=480 种不同的站法. A4 4

解法二:因甲不站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上,有 A1种不同的站法;第二步再让余下的 5 个人站在其他 5 个位置上,有 A5种不同的站法, 4 5 故共有 A1· 5=480 种不同的站法. 4 A5 解法三:我们对 6 个人,不考虑甲站位的要求,做全排列,有 A6种不同的站法;但 6
6 其中包含甲在左端或右端的情况, 因此减去甲站左端或右端的排列数 2A5, 5 于是共有 A6-

2A5=480 种不同的站法. 5 (2)解法一:首先考虑特殊元素,让甲、乙先站两端,有 A2种不同的站法;再让其他 2
2 4 个人在中间 4 个位置做全排列, A4种不同的站法, 有 4 根据分步乘法计数原理, 共有 A2· 4 A4

=48 种不同的站法. 解法二:“位置分析法”,首先考虑两端 2 个位置,由甲、乙去站,有 A2种站法, 2 再考虑中间 4 个位置,由剩下的 4 个人去站,有 A4种站法,根据分步乘法计数原理,共 4 有 A2· 4=48 种不同的站法. 2 A4 (3)解法一:“间接法”,甲在左端的站法有 A5种,乙在右端的站法有 A5种,而甲在 5 5 左端且乙在右端的站法有 A4种,故共有 A6-2A5+A4=504 种不同的站法. 4 6 5 4 解法二:“直接法”,以元素甲的位置进行考虑,可分两类:a.甲站右端有 A5种不 5 同的站法;b.甲在中间 4 个位置之一,而乙不在右端,可先排甲后排乙,再排其余 4 个,
1 有 A1· 1· 4种不同的站法,故共有 A5+A1· 4· 4=504 种不同的站法. 4 A4 A4 5 4 A A4

21. (满分 12 分)有 9 本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件 下,各有多少种分法? (1)甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本; (2)一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本; (3)甲、乙、丙各得 3 本. [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①9 本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学; ②题目中的 3 个问题的条件不同. 解答本题先判断是否与顺序有关,然后利用相关的知识去解答. [解析] (1)分三步完成: 第一步:从 9 本不同的书中,任取 4 本分给甲,有 C4种方法; 9 第二步:从余下的 5 本书中,任取 3 本给乙,有 C3种方法; 5 第三步:把剩下的书给丙有 C2种方法, 2 ∴共有不同的分法有 C4· 3· 2=1260(种). 9 C5 C2 (2)分两步完成:
4 第一步:将 4 本、3 本、2 本分成三组有 C9· 3· 2种方法; C5 C2

第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有 A3种方法, 3 ∴共有 C4· 3· 2· 3=7560(种). 9 C5 C2 A3 (3)用与(1)相同的方法求解, 得 C3· 3· 3=1680(种). 9 C6 C3 1 n 3 22. (满分 12 分)已知在( x- ) 的展开式中,第 6 项为常数项. 3 2 x (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 1 r 3 - [解析] (1)Tr+1=Cr · x)n r· (- ) n ( 3 2 x 1 - 1 1 =Cr · )n r· · )r (- x- n (x 3 2 3 n-2r 1 =(- )r· r · Cn x . 2 3

∵第 6 项为常数项, n-2r ∴r=5 时有 =0,∴n=10. 3 n-2r 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)=2, 3 2 1 45 ∴所求的系数为 C2 (- )2= . 10 2 4

?10-2r∈Z ? 3 (3)根据通项公式,由题意得:? 0≤r≤10 ?r∈Z ?
令 10-2r =k(k∈Z),则 10-2r=3k, 3

10-3k 3 即 r= =5- k. 2 2 ∵r∈Z,∴k 应为偶数,∴k 可取 2,0,-2, ∴r=2,5,8,∴第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项. 1 1 5 它们分别为 C2 · )2·2,C10(- )5, x 10 (- 2 2 1 - 8 C10· )8· 2. (- x 2


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