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立体几何证明的向量公式和定理证明


高考数学专题——立体几何
综合近几年的高考题可知,本章高考命题的形式比较稳定,难易适中。主要考线线、线面及面 面的平行与垂直,三垂线定理及逆定理的应用,以及空间角和距离的计算。从解答题来看,一般 遵循先证明后计算的原则,即融推理于计算之中,突出模型法,平移法等数学方法。注重考查转化 与化归的思想。 (即立体几何平面化:面面问题 ? 线面问题 ? 线线问题;几何问题代数化) 一、基本定理梳理
平行的证明 定义 线面平行 一条直线与一个平面没有公共 点,叫做直线与平面平行。 如果不在平面内的一条直线和平面 内的一条直线平行,那么这条直线和 这个平面平行。 面面平行 如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平 行,也叫做平行平面。 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另外一个平面,那么这 两个平面平行。 推论:如果一个平面内有两 条相交直线分别平行于另 外一个平面内的两条直线, 那么这两个平面平行。

文字 语言

判 定 定 理

图 形 语 言 符 号 语 言 文字 语言

a ? ?? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相 交,那么这条直线和交线平行。

a ? ? , b ? a? ? a ? b ? P ? ? ? // ? a // ? , b // ? ? ?

a ? ?,b ? a ? ? a?b ? P ? ? ? ? // ? ' ' a // a , b // b ? a' ? ? ,b' ? ? ? ?

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么他 们的交线平行。

性 质 定 理

图 形 语 言 符 号 语 言

? ? a?? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

a // ?

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

其他 重要 结论

如果两个平面平行,则其中一 个平面内的任意一条直线平行于另 外一个平面。

? // ? ? ? ? a // ? a ? ??

垂直的证明

线面垂直
如果一条直线和一个平面相交,

面面垂直 其他重要结论 相交成直二面角的两个 平面叫做相互垂直的平面。 如果一个平面过另一个 平面的一条垂线, 那么这两个 平面互相垂直。 如果一条直线和一个平 面垂直, 那么这条直线垂直于 这个平面内的任意一条直线。

定义

并且和这个平面内的任意一条直线 都垂直, 我们就说这条直线和这个平 面互相垂直。

文字 语言

如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直, 那么 这条直线垂直于这个平面。

判 定 定 理

图形 语言

符号 语言

a ? ?,b ? ? ? ? a?b ? P ?? c ?? c ? a, c ? b ? ?

a ? ?? ??? ? ? a ? ??

b ? ?? ??a ?b a ? ??

文字 语言 性 质 定 理

如果两个平面互相垂直, 如果两条平行线中的一 如果两条直线同垂直于一 那么在一个平面内垂直于他 条垂直于一个平面, 那么另一 个平面,那么这两条直线平行。 们交线的直线垂直于另外一 条也垂直于这个平面。 个平面。

图形 语言

符号 语言

a ? ?? ? ? a // b b ???
三垂线定理

? ? ?,a ? ? ? ??a ? ? ? ? ? ? b, a ? b?

a // b ? ??b ?? a ? ??
三垂线逆定理

文字语言

在平面内的一条直线, 如果它和这个平 面内的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这 条斜线垂直。

在平面内的一条直线, 如果它和这个平面内的 一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的 射影垂直。

图形语言

符号语言

PO ? ? , PO ? ? ? O ? ? ? a ? PA A ? ? , a ? ? , a ? OA?

PO ? ? , PO ? ? ? O ? ? ? a ? OA A ? ? , a ? ? , a ? PA?

立体几何证明的向量公式和定理证明
附表 2

线线平行
平 行 的 证 明 (1)向量法 (2)线面平行性质定理 (线面平行 ? 线线平行) (3)面面平行性质定理 (4)线面垂直性质定理

线面平行
(1)向量法 (2)线面平行判定定理 (线线平行 ? 线面平行) (3)面面平行 ? 线面平行

面面平行
(1)向量法 (2)面面平行判定定理 (线面平行 ? 面面平行) (3)面面平行判定定理推论

线线垂直
垂 直 的 证 明 (1)向量法 (2)线面垂直 ? 线线垂直 (3)三垂线定理 (4)三垂线逆定理

线面垂直
(1)向量法 (2)线面垂直判定定理 (线线垂直 ? 线面垂直) (3)面面垂直性质定理 (面面垂直 ? 线面垂直)

面面垂直
(1)向量法 (2)面面垂直判定定理 (线面垂直 ? 面面垂直)

两异面直线所成角(0,

? 】 2

线面角【0, (1)向量法

? 】 2

二面角【0, ? 】 (1)向量法

角 度 的 计 算

(1)向量法 (2)直接法:平行移动一条或两 h 条直线,直到他们相交。这时所 (3) sin ? ? 成的角(或其补角)为所求角。 l 技巧:多找中点,中位线,平 (4)三角余弦定理: 行四边形等, 或实行拓展补图等。 (2)定义法:直接找到斜 线和射影所成角。

?垂线法(定义法) 2 找平面角 ?三垂线法(斜线射影) ? ?垂面法(平行于公共棱的面) ?
(3)射影面积法

cos? ? cos?1 ? cos? 2

点面距离 ? 线面距离 ? 面面距离
距 离 的 计 算 (1)向量法:
?1、转化为平面的平行线上 ? (2)转化法 ?另外一点到平面的距离 ? ?2、转化到平面另外一侧的点来求, ?这两点的线段的中点是与平面的交点 ?

两异面直线间的距离 (1)向量法 (2) 定义法: 找出异面直线的公垂线段。 (3) 转化法: 转化为线面距离或面面距 离来求。

(3)等体积法: (四)利用向量方法证明和计算的原理( 非常重要 ) 证明 分类 示意图 所需条件 (1)直线 m 方向向量 m ; 证明原理

线线 平行

m ? ?n ? m ∥ n ? m ∥ n
(2)直线 n 方向向量 n

平 行 的 证 明

线面 平行

(1)直线 m 方向向量 m ; (2)平面 ? 的法向量 n

m?n ? 0

?m?n ? 直线 m ∥平面 ?
m ? ?n

面面 平行

(1)平面 ? 的法向量 m (2)平面 ? 的法向量 n

? m ∥n ? 平面 ? ∥平面 ?

线线 垂直 垂 直 的 证 明

(1)直线 m 方向向量 m ;

m?n ? 0 ? m ? n ? m⊥n
(2)直线 n 方向向量 n

线面 垂直

(1)直线 m 方向向量 m ; (2)平面 ? 的法向量 n

m ? ?n

? m ∥n ? 直线 m ⊥平面 ?

(1)直线 m 方向向量 m ; (2)平面 ? 内两相交直线 的方向向量 AB , CD

m ? AB =0 ? m ⊥AB m ? CD =0 ? m ⊥CD
AB,CD ? ? 且 AB ? CD=P

? ? m ⊥?

m?n ? 0
面面 垂直 (1)平面 ? 的法向量 m (2)平面 ? 的法向量 n

?m?n ? 平面 ? ⊥平面 ?

计算

分类 两异 面直 线所 成角

示意图

所需条件

证明原理
m?n mn

cos? ? cos ? m, n ? ?

(1)直线 m 方向向量 m (2)直线 n 方向向量 n 简化: cos? ?

? ? ?(0, 】 2

m?n mn
OA ? n OA n

(1)直线 OA 的方向向量 线面角 角 的 计 算

sin ? ? cos ? OA, n ? ?

? ? ?【0, 】
2

θ

OA ;
(2)平面 ? 的法向量 n 简化:sin ? = ?

OA ? n OA n

同进同出为互补 二面角 ? ?【0, ? 】

(1)平面 ? 的法向量 n (2)平面 ? 的法向量 m

cos ? m, n ??

m?n mn

(1 二面角平面角是锐角余弦就取正值 (2 二面角平面角是钝角余弦就取负值

一进一出为相等

(1) 直线 a 和直线 b 的公 垂线的方向向量 n ; 两异面直线间的距离 (2)a 上任意一点 A,b d ? 上任意一点 B,构成向量

| AB ? n | |n|

距 离 的 计 算

AB
(1)点 A 和平面 ? 内任 意一点 B 构成一个向量 点 面 距 离 点 A 到平面 ? 的距离

点面距离

AB ;
(2)平面 ? 的法向量 n

线面距离 转化为 点面距离

d?

| AB ? n | |n|

面面距离 转化为 点面距离


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