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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 第1节 直线与方程课时训练 理


第八篇

平面解析几何(必修 2、选修 2 1)

第 1 节 直线与方程课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 直线的倾斜角与斜率 直线方程 两条直线的位置关系 点到直线的距离、两条平行线之间的距离 直线方程的综合应用 题号 1、4、7 3、5、9、11、12 2、8、10、16 6、14 9、13、15、16

一、选择题 1.(2014 北京朝阳模拟)直线 x+ y+1=0 的倾斜角是( D )

(A) (B) (C)

(D)

解析:由直线的方程得直线的斜率为 k=- ,设倾斜角为α ,则 tan α =- ,又α ∈[0,π ),所

以α = .

2.直线 3ax-y-1=0 与直线(a- )x+y+1=0 垂直,则 a 的值是( D )

(A)-1 或

(B)1 或

(C)-1 或-

(D)1 或-

解析:由题意得,3a(a- )-1=0,解得 a=1 或 a=- .

3.(2014 深圳模拟)已知点 A(1,2)、B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是( B (A)4x+2y-5=0 (B)4x-2y-5=0 (C)x+2y-5=0 (D)x-2y-5=0 解析:线段 AB 的中点为(2, ),又因为线段 AB 的斜率为

)

=- ,所以线段 AB 的垂直平分线的斜

率为 k=2,所以线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- =2(x-2),即 4x-2y-5=0. 4.(2014 山东省泰安模拟)直线 x+(a +1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是( B ) (A) (B)[ ,π )
2

(C)

∪( ,π ) (D)



解析:直线的斜截式方程为 y=-

x-

,所以斜率为 k=-

,即 tan α =-

,所以-1≤

tan α <0,解得 ≤α <π ,即倾斜角的取值范围是[ ,π ). 5.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 经过定点( B ) (A)(0,4) (B)(0,2) (C)(-2,4) (D)(4,-2)

解析:直线 l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线 l1 与直线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 经过定点(0,2).故选 B. 6.点(1,1)到直线 ax+y-3=0 的最大距离为( (A)1 (B)2 (C) (D) C )

解析:因为直线 ax+y-3=0 过定点(0,3),点(1,1)到直线 ax+y-3=0 的最大距离即为点(1,1)与

点(0,3)之间得距离 d=

=

.

7.已知点 A(1,3),B(-2,-1).若直线 l:y=k(x-2)+1 与线段 AB 相交,则 k 的取值范围是( D )

(A)[ ,+∞) (B)(-a,-2] (C)(-∞,-2]∪[ ,+∞)

(D)[-2, ] 解析:由已知直线 l 恒过定点 P(2,1),如图所示.

若 l 与线段 AB 相交, 则 kPA≤k≤kPB, ∵kPA=-2,kPB= ,

∴-2≤k≤ .故选 D. 8.(2014 承德联考)使三条直线 4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4 不能围成三角形的 m 的值最多有 ( D ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 解析:要使三条直线不能围成三角形,只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可. 若 4x+y=4 与 mx+y=0 平行,则 m=4; 若 4x+y=4 与 2x-3my=4 平行,则 m=- ; 若 mx+y=0 与 2x-3my=4 平行,则 m 的值不存在; 若 4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4 共点,则 m=-1 或 m= . 综上可知,m 的值最多有 4 个. 9.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为 ( B )

(A)x+2y-6=0 (B)2x+y-6=0 (C)x-2y+7=0 (D)x-2y-7=0 解析:法一 设直线方程为 + =1, ∵直线过点 P(1,4), ∴ + =1,即 a= ∵a>0,b>0, ∴ >0, .

即 b>4. ∴a+b=b+ =b+ +1=(b-4)+ +5≥9.

(当且仅当 a=3,b=6 时,“=”成立) 故直线方程为 2x+y-6=0.故选 B. 法二 设直线方程为 + =1(a>0,b>0), ∵直线过点 P(1,4), ∴ + =1.

∴a+b=(a+b)×( + )

=1+ + +4

=5+( + )

≥5+2 =9.

(当且仅当 = ,即 b=2a,也就是 a=3,b=6 时等号成立)

∴截距之和最小时直线方程为 + =1,即 2x+y-6=0.故选 B. 二、填空题 10.已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2)、B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于 解析:直线 l 的斜率为-1, 则 l1 的斜率为 1,kAB= =1, .

∴a=0.由 l1∥l2,得- =1,b=-2, ∴a+b=-2. 答案:-2 11.经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线 l 的方程为 .

解析:显然直线不平行于 x,y 轴,设直线方程为 y-2=k(x+2)(k≠0),与 x 轴交点为(- -2,0), 与 y 轴交点为(0,2k+2). ∴ |- -2|·|2k+2|=1,解得 k=- 或 k=-2,所求直线方程为 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0. 答案:x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 12.已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线 l 的方程为 解析:与 A、B 等距离的点所在直线与直线 AB 平行或经过线段 AB 的中点 C(1,0) 若 l∥AB, 则 kl=kAB= = , .

直线 l 的方程为 y-4=- (x-3) 即 2x+3y-18=0.

若 l 经过线段 AB 的中点 C,则直线 l 的方程为 = 即 2x-y-2=0.

答案:2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0 13.(2014 合肥模拟)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 上异于 A,B 的一点.光 线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P(如图).若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等 于 .

解析:以 AB、AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示平面直角坐标系,

则 A(0,0),B(4,0),C(0,4), 得△ABC 的重心 D( , ), 设 AP=x,P(x,0),x∈(0,4), 由光的反射定理, 知点 P 关于直线 BC、AC 的对称点 P1(4,4-x)、P2(-x,0), 与△ABC 的重心 D( , )共线,

所以

=

,求得 x= ,AP= .

答案: 14.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a= .
2 2 2

解析:曲线 C2 是圆心为(0,-4),半径 r=

的圆,圆心到直线 l:y=x 的距离 d1=

=2

,所以

曲线 C2 到直线 l 的距离为 d1-r=

.

设曲线 C1 上的点(x0,y0)到直线 l:y=x 的距离最短为 d,则过(x0,y0)的切线平行于直线 y=x. 已知函数 y=x +a,则 y′
2

=2x0=1, 即 x0= ,y0= +a,

点(x0,y0)到直线 l:y=x 的距离 d=

=

,

由题意知

=

,

所以 a=- 或 a= .

当 a=- 时,直线 l 与曲线 C1 相交,不合题意,故舍去.

答案: 三、解答题 15.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围. (1)证明:法一 直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 法二 设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0 恒成 立, 所以 x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1, 故直线 l 总过定点(-2,1). (2)解:直线 l 的方程为 y=kx+2k+1, 则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,

要使直线 l 不经过第四象限, 则 解得 k≥0. 故 k 的取值范围为[0,+∞). 16.已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a、b 的值. (1)l1⊥l2,且直线 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解:(1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0. 又∵直线 l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 故 a=2,b=2. (2)∵直线 l2 的斜率存在,l1∥l2, ∴直线 l1 的斜率存在,k1=k2, 即 =1-a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, ∴l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b.

故 a=2,b=-2 或 a= ,b=2.


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