kl800.com省心范文网

高中数学必修3概率的加法公式


3.1.4 概率的加法公式

例:抛掷一颗骰子,观察掷出的点数, 设事件A为“出现奇数点”,B为“出现 2点”.求P(A)及 P(B).
1 P ( A) ? 2 1 P( B) ? 6

问:1. A、B两个事件能同时发生吗? 2.设“出现奇数点或2点”的事件C,
它与A和B之间有怎样的关系?

问:1. A、B两个事件能同时发生吗?

1.事件A与事件B不可能同时发生,这种不 可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 (或称互不相容事件) 互斥事件:

A

B

?

注:两个事件互斥的定义还可以推广到n个事 件中去 如: “x<0, x=0, x>0”是彼此互斥的.

练习:对着飞机连续发射两次,每次发射一枚
炮弹,设 A={两次都击中}, B={两次都没有击中}, C={恰有一弹击中飞机},

D={至少有一弹击中飞机}.
其中彼此互斥的事件有哪几对?

A与B A与C B与C

B与D

问:2.设“出现奇数点或2点”的事件C,

它与A和B之间有怎样的关系?

设事件C为是一个随机事件. 事件C与事件A、B的关系是:若事件 A和事件B中至少有一个发生,则C发生; 若C发生,则A,B中至少有一个发生, 我们称事件C为A与B的并(或和) 如图中阴影部分所表示的就是A∪B.

2.事件的并: 由事件A和B至少有一个发生(即A发

生,或B发生,或A、B都发生)所构成的事件C,
称为事件A与B的并(或和).记作 C=A∪B.

事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合.

?

A

B

事件"C ? A1 ? A2 ??? An " 表示这样一个事件:
在同一事件中,事件 A1 , A2 ,?, An 至少有一个发生, 即表示事件C发生

3. 互斥事件的概率加法公式
假定事件A与B互斥,则

P(A∪B)=P(A)+P(B).
证明:假定A、B为互斥事件,在n次试验 中,事件A出现的频数为n1,事件B出现的 频数为n2,则事件A∪B出现的频数正好是 n1+n2,所以事件A∪B的频率为 n1 ? n2 n1 n2 ? ? n n n

如果用μn(A)表示在n次试验中事件A出现 的频率,则有μn(A∪B)=μn(A)+μn(B). 由概率的统计定义可知,
P(A∪B)=P(A)+P(B). 一般地,如果事件A1,A2,?,An彼此互 斥,那么P(A1∪A2∪?∪An)=P(A1)+P(A2) +?+P(An),即彼此互斥事件和的概率等 于概率的和.

互斥事件的概率加法公式具有“化 整为零、化难为易”的功效,但需要注 意的是使用该公式时必须检验是否满足 它的前提条件“彼此互斥”.

例2: 在数学考试中,小明的成绩
在90分以上的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51, 在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09, 计算:(1).小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率 (2).小明考试及格的概率? 解: 分别记小明的成绩在90分以上,在80~89分,在 70~79分,在60~69分为事件B,C,D,E,这四个事件 是彼此互斥的. 根据概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以 上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.

若令A ? “小明考试及格” A? “小明考试不及格” 问:A与 A 能同时发生吗? 最多能发生几个? 最少能发生几个?

显然A与 A 是互斥事件, 且A或 A 必有一个发生, 即A ? A ? ?

不能同时发生且必有一个发生的两个事件 对立事件:
事件A的对立事件记作A
A

对立事件的概率 若事件A的对立事件为A,则P(A)=1-P(A).

A

证明:事件A与A是互斥事件,所以 P(A∪A)=P(A)+P(A),又A∪A=Ω, 而由必然事件得到P(Ω)=1, 故P(A)=1-P(A).

例2: 在数学考试中,小明的成绩
在90分以上的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51, 在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09, 计算 (2)小明考试及格的概率? 解: 分别记小明的成绩在90分以上,在80~89分,在 70~79分,在60~69分为事件B,C,D,E,这四个事件 是彼此互斥的. 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 如果求小明考试不及格的概率 若令A=“小明考试及格”,则A=“小明考试不及格”

P(A)=1-P(A)=1-0.93=0.07.
即小明考试不及格的概率是0.07.

例3. 判断下列给出的每对事件,(1)是否为 互斥事件,(2)是否为对立事件,并说明理由. 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花, 点数从1~10各4张)中,任取1张: (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的 牌点数大于 9”. 解:( 1)是互斥事件,不是对立事件;

(2)既是互斥事件,又是对立事件; (3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件; 所以对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一 定是对立事件.

例4. 某战士射击一次,问: (1)若事件A=“中靶”的概率为0.95,则A的概率为多少? (2)若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7 ,那么事件 C=“中靶环数小于6”的概率为多少? (3)事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少?

解:因为A与A互为对立事件,(1)P(A)=1-P(A)=0.05;
(2)事件B与事件C也是互为对立事件, 所以P(C)=1-P(B)=0.3;

(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率 减去未中靶的概率,即

P(D)=P(C)-P(A)=0.3-0.05=0.25

例5. 盒内装有各色球12只,其中5红、4黑、2白、1绿, 从中取1球,设事件A为“取出1只红球”,事件B为 “取出1只黑球”,事件C为“取出1只白球”,事件D 1 5)= 1 )= , 为“取出1只绿球”.已知P(A ,P(B 6 1 12 3 P(C)= ,P(D)= , 12 求: (1)“取出1球为红或黑”的概率; (2)“取出1球为红或黑或白”的概率. (2)“取出红或黑或白球”的概率 解:(1)“取出红球或黑球” 11 为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 的概率为 12 P(A∪B)=P(A)+P(B)= 3 法2:A∪B∪C的对立事件为D,

4 所以P(A∪B∪C)=1-P(D)= 11 12
即为所求.:

例6. 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机 去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4, (1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率; (3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5,请 问他有可能是乘何种交通工具去的? 解:记“他乘火车去”为事件A,,“他乘轮船去” 为事件B,“他乘汽车去”为事件C,“他乘飞机去” 为事件D,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此 互斥, (1)故P(A∪C)=0.4; (2)设他不乘轮船去的概率为P,则P=1- P(B)=0.8; (3)由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3,故他有可能乘火车

练习题:

1.某射手在一次射击中射中10环、9环、8 环、7环、7环以下的概率分别为0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一 次射击中: (1)射中10环或9环的概率, 0.52 (2)至少射中7环的概率; 0.87 (3)射中环数不足8环的概率. 0.29

2.从1,2,?,9中任取两数,其中:① 恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有 一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个 奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数 和至少有一个偶数.在上述事件中,是对 立事件的是( C ) (A)① (B)②④ (C)③ (D)①③

1 3.甲、乙2人下棋,下成和棋的概率是 , 2 1 乙获胜的概率是 ,则甲不胜的概率是 3

(B )
1 A. 2 1 C. 6

5 B. 6 D. 2 3

4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任 取两个球,那么互斥而不对立的两个事件 是( C ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红 球”

C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

5.抽查10件产品,设事件A:至少有两件
次品,则A的对立事件为( B ) A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品

D. 至少两件正品

6. 从一批羽毛球产品中任取一个,其质量
小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的 概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85) (g)范 围内的概率是 ( C ) A.0.62 B.0.38

C.0.02

D.0.68

7.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙
两级均属次品,若生产中出现乙级品的概 率为0.03、丙级品的概率为0.01,则对成 品抽查一件抽得正品的概率为( D ) A.0.09 B.0.98

C.0.97

D.0.96

8.某射手射击一次击中10环、9环、8环的
概率分别是0.3,0.3,0.2,那么他射击一 次不够8环的概率是 0.2 . 9. 某人在打靶中,连续射击2次,事件 两次都不中靶 “至少有一次中靶”的互斥事件 是 .

10. 我国西部一个地区的年降水量在下列 区间内的概率如下表所示:
年降水量 /mm 概率 [100, 150) 0.21 [150, 200) 0.16 [200, 250) 0.13 [250, 300] 0.12

则年降水量在[200,300](mm)范围内

的概率是______________. 0.25

1、投掷一枚硬币,考察正面还是反面朝上。 A={正面朝上} ,B={反面朝上}
A,B是对立事件 A,B是互斥(事件)

2、某人对靶射击一次,观察命中环数 A =“命中偶数环” B =“命中奇数环” C =“命中 0 数环”
A,B是互斥 事件 A,B是对立事件

抛掷色子,事件A= “朝上一面的数是奇数”, 事件B = “朝上一面的数不超过3”, 求P(A∪B)
解法一: 因为P(A)=3/6=1/2,P(B)=3/6=1/2 所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1 解法二: A∪B这一事件包括4种结果,即出现1,2,3和5 所以P(A∪B)= 4/6=2/3

请判断那种正确?

例如:抛掷一颗骰子,观察掷出的点数,
记事件A=“出现奇数”,事件B=“出现的数不超 过 3”

则A ? {1,3,5}, B ? {1,2,3}

所以如果出现了 1或3,则表示A与B都发生了 又A ? B ? {1,2,3,5} 2 ? P( A ? B) ? 3 1 1 而P ( A) ? , P ( B ) ? 2 2 显然P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

小结
(一)如何判断两个事件是互斥事件?
看两个事件能否同时发生

(二)如何判断两个事件是互为对立事件?
(1)先看是否是互斥事件 (2)看两个事件是否必有一个发生

(三)如何求互斥事件中有一个发生的概率?
定事件:关键是如何用可求概率的事件表示问题事件 定方法:根据问题中的关键字灵活运用公式


高中数学必修三配套教案3.1.4概率的加法公式

高中数学必修三配套教案3.1.4概率的加法公式_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修三配套教案 3.1.4 概率的加法公式教学目标:通过实例,了解两个互斥事件的概率加法...

2010高中数学 概率的加法公式学案 新人教B版必修3

2010高中数学 概率的加法公式学案 新人教B版必修3_高二数学_数学_高中教育_教育专区。概率今日推荐 157份文档 2015国家公务员考试备战攻略 ...

人教b版数学必修三:3.1.4《概率的加法公式》导学案(含答案)

人教b版数学必修三:3.1.4《概率的加法公式》导学案(含答案)_数学_高中教育_教育专区。3.1.4 概率的加法公式 自主学习 学习目标 1.通过实例理解互斥事件和对立事...

2015-2016学年人教B版必修三 概率的加法公式 教案

2015-2016学年人教B版必修三 概率的加法公式 教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。3.1.4 概率的加法公式 教学目标:通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式。...

高中数学必修3概率复习

高中数学必修3概率复习_高二数学_数学_高中教育_教育专区。必修 3 概率复习一、知识结构图对立事件 必然事件 互斥事件 加法公式 基本事件空间 事件 随机事件 概率 ...

高中数学必修3知识点总结:第三章_概率

高中数学必修3知识点总结:第三章_概率_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 ...(4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若...

高中数学必修三概率知识点

高中数学必修三概率知识点。第三章 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的...(4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若...

高一数学必修3《统计》公式总结以及例题

高一数学必修3《统计》公式总结以及例题_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修3...的概率加法公式,在 先后抽取 2 个个体的过程中,个体α 被抽到的概率 P= P...

频率与概率及概率加法公式(8)

频率与概率概率加法公式(8)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。新编人教B版必修5高一数学必修 3 导学案 【使用说明及学法指导】 课型:新授 编号:08 编制人...

必修3 概率

必修3 概率_数学_高中教育_教育专区。珠海一中平沙校区 2015-2016 第二学期高一...了解两个互斥事件的概率 加法公式和相互独立事件同时发 生的概率乘法公式; 3. ...

概率加法公式 | 概率的加法公式 | 概率论加法公式证明 | 概率论加法公式 | 概率的一般加法公式 | 概率的加法公式证明 | 概率加法公式证明 | 概率的加法公式的理解 |