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1.3.1柱,锥,台的表面积与体积


复习回顾
? ?

(1)矩形面积公式:

S ? ab __________。

1 S ? ah 2 (2)三角形面积公式:_________。
3 2 S? a 4 正三角形面积公式:_______。

?
? ?

S ? ?r 2 (3)圆

面积面积公式:_________。

(4)圆周长公式: (5)扇形面积公式: (6)梯形面积公式:

C ? 2? r _________。
1 S ? rl 2 __________。
1 S ? ( a ? b) h 2 __________

?

?

长方体体积:V ? abc 正方体体积:V ? a
3
2

圆柱的体积:V ? ? r h
1 圆锥的体积: V ? Sh 3

? V ? Sh ? ?

(一)柱体、锥体、台体的表面积
思考:面积是相对于平面图形而言的,体 积是相对于空间几何体而言的. 面积:平面图形所占平面的大小 体积:几何体所占空间的大小 表面积:几何体表面面积的大小

怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积?

一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和

表面积=侧面积+底面积

在初中已经学过了正方体的表面积,你知道正方 体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积 空间问题

展开图

平面图形面积

平面问题

几何体的侧面展开图

侧面展开图的构成 一组平行四边形

一组三角形

一组梯形

例1.已知棱长为 a,各面均为等边三角形的 四面体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成.

解:过点S作SD ? BC , 交BC于点D.
∵ BC ? a , S A

a 2 SD ? SB ? BD ? a ? ( ) ? 3 a 2 2 1 ? S?SBC ? BC ? SD ? 1 a ? 3 a ? 3 a 2 2 2 2 4
2 2 2

因此,四面体S-ABC的表面积为
C

B

D

3 2 S ? 4? a ? 3a 2 4

如何根据圆柱,圆锥的几何结 构特征,求它们的表面积?

r O?
l
O
2? r

圆柱的侧面展开图是矩形

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )
2

做一做 1.圆柱OO′的底面直径为4, 母线长为6, 则 该圆柱的侧面积为_____, 表面积为_____. 答案: 24π 32π

1 = S侧 ? 2? rl ? ? rl 2

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )
2

2?r

l

r

圆锥的侧面展开图是扇形
O

做一做

2.圆锥的母线长为5, 底面半径为3, 则其侧
面积等于( A. 15 C. 24π 答案: B ) B. 15π D. 30π

圆台的侧面展开图是扇环

S
r 'O’
l
l?



2?r '

1 1 ? ? 2? r ? l ? l ? ? ? ? 2? r ?l ? 2 2 ?) ? ? r 'l ? ? ? (rl ? rl ? ? r 'l ?) ? ? r (l ? l

2?r

r l? ? ? r l? ? l
'

r

O

S侧 ? ? (r l ? rl )
'

rl ? ? r l ? ? r l
' '
'

? S ? ? ( r ? r ? r l ? rl )
'2 2

做一做
3.圆台的上、下底面半径分别是3和4, 母线长为6, 则其表面积等于( A. 72 C. 67π ) B. 42π D. 72π

答案: C

例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底 直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长 15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方 米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆 (取 ? ? 3.14,结果精确到1毫升,可用计算器)?

解:花盆外壁的表面积:
? 1000(cm 2 ) ? 0.1( m 2 )

? S ? ? ( r ? r 2 ? r 'l ? rl )
'2
20cm

15 2 15 20 1.5 2 S ? ? ? [( ) ? ? 15 ? ? 15] ? ? ? ( ) 2 2 2 2

涂100个花盆需油漆: 0.1 ? 100 ? 100 ? 1000 (毫升)

15 cm
15 cm

答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.

多面体

练1:一个正三棱柱的底面是边长为5的 正三角形,侧棱长为4,则其侧面积为 ______;
答:60 练2:正四棱锥底面边长为6 ,高是4,中 截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台, 求棱台的侧面积
答: 7 9

多面体

例3:一个正三棱台的上、下底面边长 分别是3cm和6cm,高是3/2cm,求三棱 台的侧面积. A1 O1 C1 D1 B1 分析:关键是 C 求出斜高,注 A 意图中的直角 O E D 梯形 B

小结: 柱体、锥体、台体的表面积
圆柱 S ? 2?r (r ? l ) r ? r? 圆柱、圆锥、 圆台
?? 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
圆锥 S ? ?r (r ? l )

棱柱、棱锥、 棱台

展开图

各面面积之和

所用的数学思想: 空间问题“平面”化

(二)柱体、锥体、台体的体积
思考:取一些书堆放在桌面上(如图所示) , 并改变它们的放置方法,观察改变前后的体 积是否发生变化?

从以上事实中你得到什么启发?

夹在两个平行平面之间的两个几 何体,被平行于这两个平面的任意平 面所截,如果截得的两个截面的面积 总相等,那么这两个几何体的体积相 等.

问题:两个底面积相等、高也相等的 柱体的体积如何?

棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方 向得到,因此,两个底面积相等、高也相等的 棱柱(圆柱)应该具有相等的体积.

V柱体=sh
h h

S

S

S

将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥, 那么这三个三棱锥的体积有什么关系?它们与三 棱柱的体积有什么关系?
A1 B1 C1 A1 B1 C1

A

C

A

C

B

B

1 棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的 3 1

V锥体= 3sh

台体(棱台、圆台)的体积

V台体

1 ? h( S ? SS ? ? S ?) 3

V ? V大锥 ? V小锥

x
S?

1 1 = S ? x ? h ? ? S ?x 3 3
1 1 = Sh ? ? S ? S ? ? x 3 3 2 1? x ? 1 S ? S ?h ??Sh ? ? S ? ? ? ? ? ? S S S ? S? 3 ? x?h? 3 x 1 1 ? S? ? ? x? h S ? S ? S ?h Sh ? S 3 3 1 S ? ? ? x S ? SS ??h S ? h ? S ? S? 3

h
S

x?

S ?h S ? S?

?

?

?

?

做一做 4.圆台OO′的上、下底面半径分别为1和2, 高为 6, 则其体积等于________. 答案: 14π

题型三 台体的表面积与体积
例3 ( B ) (2010· 高考浙江卷)若某几何体的三视图(单位: cm)如 图所示, 则此几何体的体积是

A.

352 cm3 3

320 B. cm3 3 160 D. cm3 3

224 C. cm3 3

变式训练

3. 一个空间几何体的三视图如图所示, 其正视图、侧视图均
是一个上、下底边长分别是4和8, 底角为60°的等腰梯形, 则这个几何体的表面积是( C )

A. 20π C. 44π

B. 24π D. 20π+6 3π

柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 上底扩大 上底缩小

V ? Sh

S' ? S

1 ' V ? ( S ? S ' S ? S )h 3

S' ? 0

1 V ? Sh 3

总结: 柱体、锥体、台体的表面积
圆柱 S ? 2?r (r ? l ) 圆柱、圆锥、 圆台
棱柱、棱锥、 棱台
?? 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

圆锥 S ? ?r (r ? l )
展开图 各面面积之和

柱体、锥体、台体的体积
柱体V ? Sh 柱体、锥体、 台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 1 锥体V ? Sh 3


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