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2016江门调研卷高二理数试卷及评分标准


秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2016 年普通高中高二调研测试



学(理科)

本试卷共 4 页,24 题,考生作答 22 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 注意事项: ⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 ⒉做选择题时,

必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。 ⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不 在指定位置 作答 的答案 无效 。 . ..... .. ... .. ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。

n(ad ? bc) 2 参考公式:独立性检验观测值计算公式 k ? ,n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
独立性检验临界值表

P( K 2 ? k ) k

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.在复平面内,表示复数 2 ? 3i ( i 是虚数单位)的点位于 A.第一象限 A. 720 B.第二象限 B. 648 C. 103 C.第三象限 D. 310 D.第四象限 2.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数是 3.设某大学的女生体重 y (单位: kg )与身高 x (单位: cm )具有线性相关关系, 根据一组样本数据 ( xi , yi ) ( i ? 1 , 2 , ? , n ) ,用最小二乘法建立的回归方程为

? y ? 0.85x ? 85.71,则下列结论中不正确 的是 ...

开始

A. 若该大学某女生身高为 170 cm , 则她的体重必为 58.79 kg B. y 与 x 具有正的线性相关关系 C.回归直线过样本点的中心 ( x , y) D.身高 x 为解释变量,体重 y 为预报变量 4.执行如图所示的程序框图,输出 S ? A.14 A. (1 , 2)
10

k ? 1, S ? 0
k ? k ?1

S ? S ? 2k
D.62 D. (?2 , 1)

B.16 B. (2 , 1)

C.30 C. (1 , ? 2)

5.平面直角坐标系中,直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的一个方向向量是 6. ( x ? 1) 的展开式的第 6 项的系数是
6 A. C10 6 B. ? C10 5 C. C10 5 D. ? C10

k ? 5?
否 输出 S 结束



7.天气预报,端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是 0.9、0.8、0.75,若甲、 乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响,则其中至少一个地方降雨的概率为 A.0.015 B.0.005 C.0.985 D.0.995

8.函数 f ( x) ? x 3 ? 12x ( x ? R )的极大值点是 A. ? 2 B. 2 C. (?2 , 16) D. (2 , ? 16) 9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某 多面体的三视图,则该多面体的体积 V ? A.

32 3

B.

16 3

C. 32

D. 16

10. F1 、 F2 是椭圆 A.1

x2 y2 ? ? 1 的焦点, P 是椭圆上任意一点, PF 1 ? PF 2 的最大值为 4 3
C.3 D.4

B.2

11.设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? A.1 B.2

1 , x ? R ,则 f ( x) 零点的个数是 1? x2
D.4

C.3

12.分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数。1 可以分拆为若干个不同的单位 分数之和: 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ,1 ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? ,?,依 2 3 6 2 4 6 12 2 5 6 12 20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 6 12 m n 30 42 56 72 90 110 132 156
B.240 C.260 D.273

1? 此类推可得:

其中, m 、 n ? N * ,则 mn ? A.228

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.化简: (1 ? x ) 5 ? (1 ? x ) 5 ? 目标的概率 P ? 小赵说:我没去过; 小钱说:小李去过; 小孙说;小钱去过; 小李说:我没去过. 假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是 16.根据定积分的性质和几何意义, [ 1 ? ( x ? 1) 2 ? x]dx ?
0



14.某射手每次射击击中目标的概率是 0.8 ,这名射手在 5 次射击中,恰有 4 次击中 . 15.小赵,小钱,小孙,小李四位同学被问到谁去过长城时,

. .

?

1

三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

ABCD 是复平面内的平行四边形,A 、B 、C 三点对应的复数分别是 1 ? 3i 、? i 、

2?i.
(Ⅰ)求点 D 对应的复数; (Ⅱ)求 ?ABC 的边 BC 上的高. 18. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? (Ⅰ)计算 a2 、 a3 、 a4 ; (Ⅱ)试猜想这个数列的通项公式,并给出证明. 19. (本小题满分 12 分) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收 费标准是:每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .甲、乙两人独立来该租车点车租骑游(各租 一车一次) ,设甲、乙不超过两小时的概率分别为 时的概率分别为

2a n (n? N*) . 2 ? an

1 1 、 ;两小时以上且不超过三小 4 2

1 1 、 ;两人租车时间都不会超过四小时. 2 4

(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期 望 E? . 20. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 1200 .点 E 是 棱 PC 的中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F . (Ⅰ)求证: AB // EF ; (Ⅱ)若 PA ? PD ? AD ? 2 ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ,求平面 PAF 与平面

AEF 所成的二面角的正弦值.

P F D A E C B

21. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x ) ? ax ?

y ? x ?1.

b ? c ( a ? 0 ) 的 图 象 在 点 (1 , f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 x

(Ⅰ)用 a 表示出 b , c ; (Ⅱ)若 f ( x) ? ln x 在 [1 , ? ?) 上恒成立,求 a 的取值范围. 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分. 作 答题请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 2-1

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆; 已知命题 p : 方程 命题 q : 对任意实数 x , 2 m
不等式 x 2 ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 恒成立. (Ⅰ)若“ ? q ”是真命题,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若“ p ? q ”为假命题, “ p ? q ”为真命题,求实数 m 的取值范围. 23. (本小题满分 10 分)选修 2-2 一边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做 成一个无盖方盒. (Ⅰ)试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数; (Ⅱ) x 多大时,方盒的容积 V 最大? 24. (本小题满分 10 分)选修 2-3 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,随机调查了某市 300 名高 中学生,得到下面的数据表: 喜欢数学课程 男 女 合计 45 45 90 不喜欢数学课程 75 合计 120 180 300

a
b

(Ⅰ)①求数表中 a , b 的值; ②用分层抽样方法从“喜欢数学课程”和“不喜欢数学课程”两类同学中 随机抽取一个容量为 10 的样本,则应从“喜欢数学课程”的同学中抽取几人? (Ⅱ)根据调查结果,能否有 97.5%的把握认为是否喜欢数学课程与性别有关?

高二理数参考答案
一、选择题 二、填空题 DBAC BDDA ACBC ⒔ 2 ? 20x ? 10x 2 ; ⒕ 0.4096 或 0.8 4 ; ⒖小钱; ⒗

? ?2
4

三、解答题 17.解: (Ⅰ)复平面内 A 、 B 、 C 对应点的坐标分别为 (1, 3) , (0, ?1) , (2,1) ??1 分,设 D 的坐标为 ( x, y ) ,由于 AD ? BC ,? ( x ? 1, y ? 3) ? (2, 2) ??2 分

??? ?

??? ?

? x ? 1 ? 2, y ? 3 ? 2 ??3 分,解得 x ? 3, y ? 5 ??4 分
故 D(3,5) ??5 分,则点 D 对应的复数为: 3 ? 5i ??6 分 (Ⅱ)? B(0, ?1), C (2,1) ,则 BC 直线的方程为: x ? y ? 1 ? 0 ??8 分

A 到 BC 直线的距离 d ?
故 BC 边上的高为

| 1 ? 3 ? 1| 2

?

3 2 ??11 分(列式 2 分,化简 1 分) 2

3 2 ??12 分 2 2a 3 2a1 2a 2 2 1 2 18.解: (Ⅰ)依题意, a 2 ? ? , a3 ? ? , a4 ? ? ??3 分 2 ? a1 3 2 ? a2 2 2 ? a3 5 2 (Ⅱ)猜想 an ? ??4 分 n?1
(方法一·数学归纳法) ①当 n ? n0 ( n0 ? 1 ,2 或 3)时,由(Ⅰ)知,猜想成立??6 分 ②假设当 n ? k (k ? n0 , k ? N * ) 时, ak ?

则当 n ? k ? 1 时, ak ?1

2 ??7 分 k ?1 2 4 2 ? 2ak 2 2 k ?1 ? k ?1 ? ? ? ? 2 2( k ? 1) ? 2 k ? 2 ( k ? 1) ? 1 2 ? ak 2? k ?1 k ?1
2 ??12 分 n ?1

猜想也成立??11 分(列式 1 分,代入 2 分,化简 1 分) 综上所述,对于一切 n ? N * , a n ? (方法二)由 an?1 ?

2an 与 a1 ? 1 得,对于一切 n ? N * , an ? 0 ??4 分 2 ? an 2 ? an 1 1 1 两边取倒数得 ? ? ? ??6 分 an ? 1 2an an 2 1 1 1 1 1 1 故 ? ? ,从而 { } 是以 ? 1 为首项, 为公差的等差数列??9 分 2 an ? 1 an 2 an a1

1 1 n?1 2 ??11 分,故 a n ? ??12 分 ? 1 ? ( n ? 1) ? ? n ?1 an 2 2
19.解: (Ⅰ)依题意,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率均为
记甲、乙两人所付租车费用相同为事件 A ,则

1 ??2 分 4

P( A) ?

1 1 1 1 1 1 5 ? ? ? ? ? ? ??3 分 4 2 2 4 4 4 16 5 ??4 分 16

所以,甲、乙两人所付租车费用相同的概率为

(Ⅱ)设甲、乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可能取得值为 0,2,4,6,8??5 分

1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 5 P(? ? 0) ? , P(? ? 2) ? ? ? ? ? , P(? ? 4) ? ? ? ? ? ? ? , 8 4 4 2 2 16 4 4 2 4 2 4 16 P(? ? 6) ? 1 1 1 1 3 1 1 1 ? ? ? ? , P(? ? 8) ? ? ? ??10 分 4 4 2 4 16 4 4 16

故分布列为: ??11 分

5 5 3 1 7 ? 4 ? ? 6 ? ? 8 ? ? ??12 分 16 16 16 16 2 20.证明与求解: (Ⅰ)∵底面 ABCD 是菱形,∴ AB / / CD ,
所以 E? ? 0 ? ? 2 ?

1 8

又∵ AB ? 面 PCD , CD ? 面 PCD ,∴ AB / / 面 PCD ??2 分 又∵ A , B , E , F 四点共面,且平面 ABEF ? 平面 PCD ? EF , ∴ AB / / EF ??4 分

GB , (Ⅱ) 取 AD 中点 G , 连接 PG , ∵P A P ? D

G ? A D , ∴P

, 又∵平面 PAD ?

平面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,∴ PG ? 平面 ABCD ??5 分 ∴ PG ? GB ,在菱形 ABCD 中,∵ AB ? AD , ?DAB ? 60? , G 是 AD 中点, ∴ AD ? GB ,如图,以 G 为原点, GA 、 GB 、 GP 所在直线为坐标轴建立空间直角 坐标系 G ? xyz ??6 分 由 PA ? PD ? AD ? 2 得 , G(0, 0, 0) , A(1,0,0) , B(0, 3,0) , C(?2, 3,0) ,

D(?1,0,0) , P(0,0, 3) ??7 分
又∵ AB / / EF ,点 E 是棱 PC 中点,∴点 F 是棱 ∴ F (? PD 中点,

1 3 3 3 , 0, ) , AF ? (? , 0 , ), 2 2 2 2

AB ? (?1 ,

? ? ?n ? AF ? 0 ,∴ 3 , 0) ,设平面 AFE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则有 ? ? n ? AB ? 0 ?

? z ? 3x ? ? ? 3 不妨令 x ? 3 ,则平面 AFE 的一个法向量为 n ? (3, 3,3 3) ,??9 分 x ?y ? 3 ?
∵ BG ? 平面 PAD ,∴ GB ? (0, 3,0) 是平面 PAF 的一个法向量,??10 分

39 ? 3 ∴ 平 面 PAF 与 平 面 AFE 所 成 的 二 面 角 的 正 弦 值 为 ? ??? ? ? ??? ? 2 39 ??12 分 sin < n, GB >? 1 ? cos 2 < n, GB > ? 13 b 21.解: (Ⅰ) f ?( x ) ? a ? 2 ??1 分, x ? f (1) ? a ? b ? c ? 0 ? b ? a ?1 ??3 分,解得 ? ??4 分 ? / c ? 1 ? 2 a f ( 1 ) ? a ? b ? 1 ? ? a ?1 ? 1 ? 2a , (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ax ? x | n | ? | GB |
令 g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax ?

| cos ? n , GB ?|?

| n ? GB |

?

3

?

13 ??11 分 13

a ?1 ? 1 ? 2a ? ln x, x ? ?1, ?? ? , x2
2

??5 分

a ? 1 1 ax ? x ? (a ? 1) ? ? ? x2 x x2 x2 1 1? a ? 1 ,??7 分 ①当 0 ? a ? 时, 2 a 1? a 若1 ? x ? ,则 g / ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减??8 分, a
则 g (1) ? 0, g ?( x) ? a ?

a( x ? 1)( x ?

1? a ) a ,??6 分

所以 g ( x) ? g (1) ? 0 , f ( x) ? ln x , f ( x) ? ln x 在 ?1, ?? ? 上不恒成立??9 分 ②当 a ?

1 1? a ? 1 ??10 分 时, 2 a

若 x ? 1 ,则 g / ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增??11 分, 所以 g ( x) ? g (1) ? 0 , f ( x) ? ln x ,故当 x ? 1 时, f ( x) ? ln x . 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? , ?? ? .

?1 ?2

? ?

??12 分

22. 解: (Ⅰ)因为对任意实数 x 不等式 x2 ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 恒成立, 所以 ? ? 4m2 ? 4(2m ? 3) ? 0 ??1 分,解得 ? 1 ? m ? 3  ??2 分 又“

q ”是真命题等价于“ q ”是假命题??3 分

所以所求实数 m 的取值范围是 ?? ?,?1? ? ?3, ? ?? ??4 分

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 m ? 2 ??6 分 2 m “ p ? q ”为假命题, “ p ? q ”为真命题,所以 p 、 q 恰有一真一假??7 分
(Ⅱ)方程

?m ? 2 ,解集为 ?3, ? ?? ??8 分 当p真q假时, ? ?m ? ?1或m ? 3
?m ? 2 ,解集为 (?1 , 2] ??9 分 当p假q真时, ? ?? 1 ? m ? 3
综上所述,实数 m的取值范围是 (?1 , 2] ? [3 , ? ?) ??10 分
23.解: (Ⅰ)依题意,无盖方盒底面是边长为 a ? 2 x 的正方形,高为 x ??1 分

a ,??4 分 2 a (Ⅱ)?V ( x) ? x ? (a ? 2 x)2 ? 4 x 3 ? 4ax 2 ? a 2 x , 0 ? x ? 2 a ?V '( x) ? 12 x 2 ? 8ax ? a 2 ? (6 x ? a)(2 x ? a) , 0 ? x ? ??6 分 2 a a a ? 当 x ? (0, ) 时, V '( x ) ? 0 ,当 x ? ( , ) 时, V '( x ) ? 0 ??8 分 6 6 2 a 故 x ? 是函数 V ( x ) 的极大值点,也是最大值点,??9 分 6 2a 3 a 即当 x ? 时,方盒的容积 V 最大, V ( x )max ? ??10 分 6 27 24.解: (Ⅰ)① a ? 180 ? 45 ? 135 , b ? 300 ? 90 ? 210 ??2 分
无盖方盒的容积 V ( x) ? x ? (a ? 2 x )2 ??1 分,其中 0 ? x ? ②设从“喜欢数学课程”的同学中抽取 x 人,则由分层抽样可得

10 x ? ,解得 x ? 3 ,故应从“喜欢数学课程”的同学中抽 3 人??5 分 300 90
(2)由列联表可算得:

300 ? (45 ? 135 ? 75 ? 45)2 K ? ? 5.367 ? 5.024 ??9 分 ( “等号” “大于” 120 ? 180 ? 90 ? 210
2

各 1 分,近似值 2 分) 所以有 97.5%的把握认为喜欢数学课程与性别有关。??10 分


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