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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 抛物线学案 理


第五十四课时

抛物线

课前预习案
考纲要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;会求抛物线的标准方程,能运用抛物线的定义、 标准方程处理一些简单的实际问题。 2.熟练掌握抛物线的范围、对称性、顶点等简单几何性质,并能运用性质解决相关问题. 3.能解决直线与抛物线的相交问题. 基础知识梳理 1.平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离 的 ,直线 l 叫做抛物线的 ,定点 F 2.填表: 图像 开口方向 标准方程 的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线 定直线 l 上。 焦点坐标 准线方程

向右

向左

向上

向下

3.根据抛物线的定义,可知 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M ( x1 , y1 ) 到焦点
2 2

的距离为



4. 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 (过焦点的弦) 为 AB, 若 A(x 1,y 1) ,B ( x ,2y )2

, 则有如下结论: (1) |

AB|=
2

; (2) y1 y2 =

; x1 x2 =

。 ,

5. 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 中, 通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 连结这两点的线段叫做 ,它的长为 。

预习自测 1. 根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是 F(0,-3) ;

(2)准线方程 是 x =

1 ; 4

(3)焦点到准线的距离是 2。 2. 过点 A(4,-2)的抛物线的标准方程为( A. y 2 ? x 或 x2 ? ?8 y 3. 抛物线 x ? A. (? B. y 2 ? x 或 y 2 ? 8x ) ) C. y 2 ? ?8x D. x2 ? ?8 y

1 2 y 的焦点坐标为( 4a
B. (?a, 0)

1 , 0) a

C. ( , 0)

1 a

D. ( a, 0) )

4. 抛物线 y ? A.3

1 2 x 上点 P 的纵坐标是 4,则其焦点 F 到点 P 的距离为( 4
B.4 C.5 D. 6

5.点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方程.

课堂探究案 典型例题 考点 1 求抛物线的标准方程 【典例 1】 根据下列条件求抛物线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线 16 x2 ? 9 y 2 ? 144 的左顶点; (2)过点 P(2,-4) ; (3)抛物线的焦点在 x 轴上,直线 y ? ?3 与抛物线交于点 A, |AF |? 5 .

【变式 1】【2012 陕西】如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米.

考点 2

抛物线定义的应用
2

【典例 2】已知抛物线 y ? 2 x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,点 A(3,2),求 |PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点 P 的坐标.

【变式 2】(1) 在 y ? 2 x 上有一点 P,它到 A(2,10)的距离与它到焦点 F 的距离之和最小,则 P 的 坐标为( ) A.(-2,8) B.(2,8) C. (?2, ?8) D.( 2,-8)
2

(2) 已知抛物线 y ? 4 x , 点 P 是抛物线上的动点, 又有点 A (6, 3) , |PA|+|PF|的最小值是__________.
2

考点 3

抛物线几何性质的应用 ) C、 4 D、 2 5

【典例 3】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) .若点 M 到该抛物线 焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3

【变式 3】已知 A、B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上两点,O 为坐标原点,若|OA|=|OB|,且 ?AOB 的垂心 恰是此抛物线的焦点,则直线 AB 的方程是( ) A.x=3p B.x=p C.x=

5 p 2

D.x=

3 p 2

当堂检测 1.已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和
2

的最小值为( A.

) B. 3 C. 5 D .

17 2

9 2

2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A, B 两点, 若 A, B 在抛物线准线上的射影分别是 A1, B1, 则 ?A 1FB 1 为( ) A.45° B.60° C.90° D.120° .

3.动点 P 到点 F (2, 0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则 P 的轨迹方程为

课后拓展案 A 组全员必做题 1. (2013 年四川(理) )抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ?
2
2

y ? 1 的渐近线的距离是( 3

2



A.

1 2

B.

3 C. 1 2

D. 3
2

2. (2011 辽宁理 3)已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF ? BF ? 3 ,则线

3 5 7 B. 1 C. D. 4 4 4 2 3.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之 11 37 和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D. 5 16
段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ). A. 4. ( 2013 年课标Ⅰ(文 8 ) ) O 为坐标原点 , F 为抛物线 C : y 2 ? 4 2 x 的焦点 , P 为 C 上一点 , 若

| PF |? 4 2 ,则 ?POF 的面积为(



A. 2

B. 2 2

C. 2 3

D. 4

B 组提高选做题 1. (2013 山东文)抛物线 C1 : y ?

x2 1 2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于 3 2p


第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则 p =(

A.

3 16

B.

3 8

C.

2 3 3

D.

4 3 3

2. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的圆过点 (0,2) ,则 C 的方程为( A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x )

参考答案 预习自测 1.(1) x 2 ? ?12 y ; (2) y 2 ? ? x ; (3) x2 ? 4 y , x2 ? ?4 y , y 2 ? 4 x , y 2 ? ?4x . 2.A 3.D 4.C 5. y 2 ? 16 x

典型例题 【典例 1】 (1) y ? ?12 x ; (2) y ? 8x 或 x ? ? y ; (3) y ? ?2 x 或 y ? ?18x
2 2 2

2

2

【变式 1】 2 6 【典例 2】最小值为

7 ; P (2, 2) . 2

【变式 2】 (1)B; (2)7. 【典例 3】B 【变式 3】C

当堂检测 1.A 2.C 3. y 2 ? 8x A 组全员必做题 1.B 2.C 3.A 4.C B 组提高选做题 1.D 2.C


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