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2015届高考文科立体几何专题复习


1.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系
?平行 ?共面直线? ? ?相交 (1)位置关系的分类? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫 π? 做异面直线 a,b 所成的角(或夹角). ②范围:? ?0,2?. 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.公理 4----平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6. 空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 考点 1. 求两条异面直线所成角 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线 段的端点或中点)作平行线平移;补形平移即采用补形法作出平面角. (2)求异面直线所成的角的三步曲:即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等 分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解. 对异面直线概念的理解 (1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交. (2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线. (3)异面直线的公垂线有且仅有一条. 例 1.空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E 、 F 分别为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.

解 取 AC 的中点 G,连接 EG、FG, 1 1 则 EG 平行且等于 AB,GF 平行且等于 CD,由 AB=CD 知 EG=FG, 2 2 ∴∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角,∠EGF(或它的补角)为 AB 与 CD 所成的角. ∵AB 与 CD 所成的角为 30° ,∴∠EGF=30° 或 150° .由 EG=FG 知△EFG 为等腰三角形, 当∠EGF=30° 时,∠GEF=75° ;当∠EGF=150° 时,∠GEF=15° .故 EF 与 AB 所成的角为 或 75° . 15°

1.已知长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,BC=3,AA′=5,求异面直线 D′B 和 AC 所成角的余弦值.

解:法一:(平移法):如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,连接 BD 交 AC 于点 E,取 DD′的中点 F,连 1 接 EF,AF,则 EF 平行且等于 D′B,∴∠FEA 是 D′B 和 AC 所成的角, 2 ∵AE= 42+32 5 25+25 5 2 = ,EF= = ,AF= 2 2 2 2 5?2 61 32+? ?2? = 2 ,

EF2+AE2-AF2 7 2 ∴在△FEA 中,cos∠FEA= = . 2EF· AE 50 法二:(补形法):如图,在长方体的一旁补一个全等的长方体, 则 BE 綊 AC∴∠D′BE(或其补角)是 D′B 和 AC 所成的角, ∵D′B=5 2,BE=5,D′E= 89,∴在△D′BE 中, 7 2 7 2 cos∠D′BE=- ,∴D′B 与 AC 所成角的余弦值为 . 50 50 1.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 ( A.30° B.45° C.60° D.90° )

1.解析 如图,可补成一个正方体,∴AC1∥BD1. ∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60° .即 BA1 与 AC1 成 60° 的角. 2.(2012· 重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 2的 棱异面,则 a 的取值范围是( A.(0, C.(1, 2) B.(0, 2) D.(1, 3) 3) )

2. 解析方法 1:选 A 如图所示,AB= 2,CD=a,设点 E 为 AB 的中点,则 ED⊥AB,EC⊥AB, 则 ED= AD2-AE2= 2 2 ,同理 EC= .由构成三角形的条件知 0<a<ED+EC= 2,所以 0<a< 2. 2 2

方法 2:此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为 a 的棱长一定大于 0 且小于 2.选 A. 3.四棱锥 P-ABCD 的所有侧棱长都为 5,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 CD 与 PA 所成角的余弦值为 ( )

2 5 5 4 A. B. C. 5 5 5

3 D. 5

3.解析 因为四边形 ABCD 为正方形,故 CD∥AB,则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的角,即为∠PAB. PA2+AB2-PB2 5+4-5 5 在△PAB 内,PB=PA= 5,AB=2,利用余弦定理可知 cos∠PAB= = = ,故选 B. 2×PA×AB 2× 5×2 5 4.如图所示,点 A 是平面 BCD 外一点,AD=BC=2,E、F 分别是 AB,CD 的中点,且 EF= 2,则异面直线 AD 和 BC 所成的角为________.

4.解析:如图,设 G 是 AC 的中点,连接 EG,FG. 1 1 因为 E,F 分别是 AB,CD 的中点,故 EG∥BC 且 EG= BC=1,FG∥AD,且 FG= AD=1.即∠EGF 为所求,又 EF 2 2 = 2,由勾股定理逆定理可得∠EGF=90° . 5.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60° ; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是________.

5.解析:将展开图还原为正方体,如图所示,则 AB⊥EF,故①正确;AB∥CM,故②错误;EF 与 MN 显然异面,故③ 正确;MN 与 CD 异面,故④错误.答案:①③ 6.(2012· 大纲全国卷)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的中点, 那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为________.

6.解析:如图,连接 DF,因为 DF 与 AE 平行,所以∠DFD1 即为异面直线 AE 与 D1F 所成角的平面角,设正方体 ? 5?2+? 5?2-22 3 的棱长为 2,则 FD1=FD= 5,由余弦定理得 cos ∠DFD1= = . 5 2×? 5?2 7.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB,AD 的中点,则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的 大小为________.

7.解析:连接 B1D1,易证 B1D1∥EF,从而∠D1B1C 即为异面直线 B1C 与 EF 所成

的角,连接

D1C,则△B1D1C 为正三角形,故∠D1B1C=60° . 8.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ③若 a?平面 α,b?平面 β,则 a,b 一定是异面直线; ④若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号).

8.答案 ①解析 由公理 4 知①正确;当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故②不 正确;a?α,b?β,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故③不正确;当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以 相交、平行,也可以异面,故④不正确. 9.若两条异面直线所成的角为 60° , 则称这对异面直线为“黄金异面直线对”, 在连接正方体各顶点的所有直线中, “黄 金异面直线对”共有________对.

9.解析 正方体如图,若要出现所成角为 60° 的异面直线,则直线为面对 角线,以 AC 为例,与之构成黄金异面直线对的直线有 4 条,分别是 A′B, BC′,A′D,C′D,正方体的面对角线有 12 条,所以所求的黄金异 12×4 面直线对共有 =24(对). 2 10.如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,OA⊥ 底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 O-ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小. 10.解 (1)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S=4,所以,四棱锥 O-ABCD 的体积 V 8 ×4×2= . 3 (2)连接 AC,设线段 AC 的中点为 E,连接 ME,DE,则∠EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角), 由已知,可得 DE= 2,EM= 3,MD= 5, ∵( 2)2+( 3)2=( 5)2,∴△DEM 为直角三角形,∴tan∠EMD= DE 2 6 = = . EM 3 3 = 1 3

11.(2012· 上海高考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD, E 是 PC 的中点.已知 AB=2,AD=2 2,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

11.解:(1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD, 1 从而 CD⊥PD.因为 PD= 22+?2 2?2=2 3,CD=2,所以三角形 PCD 的面积为 ×2×2 3=2 3. 2 (2)取 PB 的中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角. 在△AEF 中,由 EF= 2、AF= 2、AE=2 知△AEF 是等腰直角三角形, π π 所以∠AEF= .因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 . 4 4 考点 2:空间平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 条件 结论 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 图形 a?β,b?β,a∩b=P, a∥α,b∥α α∥β 定理 a∩α=? a∥α a?α,b?α,a∥b b∥α a∥α a∩α=? a∥α,a?β,α∩β=b a∥b 定理 性质

条件 结论

α∩β=? α∥β

α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥ b

α∥β,a?β a∥α

3.证明线线平行的常用方法 (1)利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行; (2)利用平行四边形进行转换; (3)利用三角形中位线定理证明; (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明. 4.判定线面平行的方法 (1)利用定义:判定直线与平面没有公共点(一般结合反证法进行); (2)利用线面平行的判定定理: 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行?线面 平行) ,符号语言:∵l∥a,a?α,l?α,∴l∥α (3)利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面. 证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线; (2)利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行;

(3)注意说明已知的直线不在平面内,即三个条件缺一不可. 5.判定面面平行的方法 (1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用); (2)利用面面平行的判定定理(主要方法): 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记 为“线面平行?面面平行”), 符号语言: ∵a∥β,b∥β,a∩b=P,a?α,b?α,∴α∥β (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用); (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用). 6.线面平行的性质: ①直线与平面平行,则该直线与平面无公共点. ②性质定理:由线面平行可得线线平行.一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该 直线平行(简记为“线面平行?线线平行”) 7.面面平行的性质: ①两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面. ②若一平面与两平行平面相交,则交线平行.

线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系,它们之间可以相互转化 证明平行的一般思路是:欲证面面平行,可转化为证明线面平行,欲证线面平行,可转化为证明线线平行. 1.已知平面 α∥平面 β,直线 a?α,有下列命题: ①a 与 β 内的所有直线平行;②a 与 β 内无数条直线平行;③a 与 β 内的任意一条直线都不垂直. 其中真命题的序号是________. 2.设 α、β、γ 为三个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n?γ,且________,则 m∥n”中的横 线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ.可以填入的条件 有( )A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或②或③

3.P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,矩形对角线交点为 O,M 为 PB 的中点,给出四个结论:①OM∥PD;②OM∥平 面 PCD;③OM∥平面 PDA;④OM∥平面 PBA,⑤OM∥平面 PCB.其中正确的个数有( A.1 C.3 B.2 D.4 )

4.已知平面 α∥平面 β,P 是 α,β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α,β 分别交于 A,C,过点 P 的直线 n 与 α,β 分别交于 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为________. 5.已知平面 α∥β,直线 a?α,有下列说法: ①a 与 β 内的所有直线平行; ②a 与 β 内无数条直线平行; ③a 与 β 内的任意一条直线都不垂直. 其中真命题的序号是________. 6.在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列结论中,错误的为________. ①AC⊥BD; ②AC∥截面 PQMN; ③AC=BD; ④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° . 1.解析 因为 α∥β,a?α,所以 a∥β,在平面 β 内存在无数条直线与直线 a 平行,但不是所有直线都与直线 a 平行,

故命题②为真命题,命题①为假命题.在平面 β 内存在无数条直线与直线 a 垂直,故命题③为假命题. 2.解析:选 C 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β,m?γ 时,n 和 m 在同一平面内,且没有公共点,所以 平行,③正确. 3.解析:选 C 由题意知,OM∥PD,则 OM∥平面 PCD,且 OM∥平面 PDA. 4.解析:分点 P 在两个平面的一侧或在两个平面之间两种情况,由两平面平行得 AB∥CD,截面图如图,由相似比得 24 BD= 或 24. 5 5.解析:由面面平行的性质可知,过 a 与 β 相交的平面与 β 的交线才与 a 平行,故①错误;②正确;平面 β 内的直线与 直线 a 平行,异面均可,其中包括异面垂直,故③错误.答案:② 6.答案 ③解析 ∵PQMN 是正方形,∴MN∥QP,则 MN∥平面 ABC, 由线面平行的性质知 MN∥AC, 则 AC∥截面 PQMN, 同理可得 MQ∥BD, 又 MN⊥QM, 则 AC⊥BD, 故①②正确.又∵BD∥MQ,∴异面直线 PM 与 BD 所成的角即为∠PMQ=45° ,故④正确. 例 1 (2012· 山东)如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,

EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120° ,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC.

思维启迪 面平行. 证明

(1)利用等腰△EDB 底边中线和高重合的性质证明; (2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线

(1)如图,取 BD 的中点 O,连接 CO,EO.

由于 CB=CD,所以 CO⊥BD.又 EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC?平面 EOC, 所以 BD⊥平面 EOC,因此 BD⊥EO.又 O 为 BD 的中点,所以 BE=DE. (2)方法一 如图,取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN. 因为 M 是 AE 的中点,所以 MN∥BE.又 MN?平面 BEC,BE?平面 BEC,所以 MN∥平面 BEC. 又因为△ABD 为正三角形,所以∠BDN=30° . 又 CB=CD,∠BCD=120° ,因此∠CBD=30° .所以 DN∥BC. 又 DN?平面 BEC,BC?平面 BEC,所以 DN∥平面 BEC.又 MN∩DN=N, 所以平面 DMN∥平面 BEC.又 DM?平面 DMN,所以 DM∥平面 BEC. 方法二 如图,延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF. 因为 CB=CD,∠BCD=120° ,所以∠CBD=30° .因为△ABD 为正三角形, 1 所以∠BAD=60° ,∠ABC=90° ,因为∠AFB=30° ,所以 AB= AF. 2 又 AB=AD,所以 D 为线段 AF 的中点.连接 DM,由于点 M 是线段 AE 的中点, 因此 DM∥EF.又 DM?平面 BEC,EF?平面 BEC,所以 DM∥平面 BEC.

1.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.

1 1.(1)证明 取 BC 中点 G,连接 AG,EG.因为 E 是 B1C 的中点,所以 EG∥BB1,且 EG= BB1. 2 由直棱柱知,AA1 平行且等于 BB1,而 D 是 AA1 的中点,所以 EG 平行且等于 AD,所以四边形 EGAD 是平行四边形. 所以 ED∥AG.又 DE?平面 ABC,AG?平面 ABC,所以 DE∥平面 ABC. (2)解 因为 AD∥BB1,所以 AD∥平面 BCE,所以 VE-BCD=VD-BEC=VA-BCE=VE-ABC,

1 1 1 由(1)知,DE∥平面 ABC.所以 VE-ABC=VD-ABC= AD·BC· AG= ×3×6×4=12. 3 2 6 线面平行中的探索性问题 (1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题的探究,解决这 类问题一般根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理 的结论就肯定假设,若得到矛盾就否定假设. (2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发“要使??成立”,“只需使??成立”. 例 1.如图所示, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1A⊥平面 ABC, 若 D 是棱 CC1 的中点, 问在棱 AB 上是否存在一点 E, 使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.



存在点 E,且 E 为 AB 的中点.下面给出证明:如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF,

则 DF∥B1C1,∵AB 的中点为 E,连接 EF,则 EF∥AB1.B1C1 与 AB1 是相交直线, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1.而 DE?平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C1. 1.如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60° ,PA=AC=a,PB=PD= 2a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED =2∶1,在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论.

证明:存在.证明如下:取棱 PC 的中点 F,线段 PE 的中点 M,连接 BD.

设 BD∩AC=O.连接 BF,MF,BM,OE.∵PE∶ED=2∶1,F 为 PC 的中点,M 是 PE 的中点,E 是 MD 的中点, ∴MF∥EC,BM∥OE.∵MF?平面 AEC,CE?平面 AEC,BM?平面 AEC,OE?平面 AEC, ∴MF∥平面 AEC, BM∥平面 AEC.∵MF∩BM=M, ∴平面 BMF∥平面 AEC.又 BF?平面 BMF, ∴BF∥平面 AEC. 考点 3:空间垂直问题 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面 a∥b,a⊥α?b⊥α. ④利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直” a⊥α,α∥β?a⊥β. ⑤利用面面垂直的性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转 化是证明线面垂直的基本思想. 线面垂直的性质,常用来证明线线垂直. (3)判定线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为 90° ; ②平面几何中证明线线垂直的方法如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、勾股定理逆定理等得到线线垂直; ③线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b; ④线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b. 2.斜线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所 π 0, ?. 成的角.如图,∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角.(2)线面角 θ 的范围:θ∈? ? 2? 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. l?β? ? ??α⊥β ? l⊥α?

(2)平面与平面垂直的性质:两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 4.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱垂直的射线,则两射线所成的角叫做二面角的 平面角. 5.求线面角、二面角的常用方法. (1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解. (2)二面角的大小求法: 二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有①定义法; ②垂面法.注意利用等腰、

等边三角形的性质. 1.(2013·广东)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( A.若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则 m⊥n B.若 α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n C.若 m⊥n,m? α ,n? β ,则 α ⊥β D.若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β ) )

2.(2013· 深圳模拟)已知直线 m、n 和平面 α、β,若 α⊥β,α∩β=m,n?α,要使 n⊥β,则应增加的条件是( A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α 3.(2012· 浙江高考)设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面( A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β )

B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β

4.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,给出下列命题: ①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α⊥β,其中正确的是( A.①②③ B.②③④ C.②④ D.①③ ) )

5.设 b、c 表示两条不重合的直线,α、β 表示两个不同的平面,则下列命题是真命题的是( A.
? b?α? ??b∥c c∥α ? ? ? ?α⊥β ? c⊥β ?

B.

? b?α?

b∥c ? ?

? ?c∥α

C.

c∥α? ?

D.

c∥α ? ?
? α⊥β?

? ?c⊥β

6.设 l,m,n 为三条不同的直线,α 为一个平面,给出下列命题 ①若 l⊥α,则 l 与 α 相交 ②若 m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α ③若 l∥m,m∥n,l⊥α,则 n⊥α ④若 l∥m,m⊥α,n⊥α,则 l∥n 其中正确命题的序号为________. 7.如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, 且底面各边都相等, M 是 PC 上的一动点, 当点 M 满足________ 时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

8.如图 PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;② EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC,其中真命题的序号是________.

1.解析 (1)A 中,m 与 n 可垂直、可异面、可平行;B 中 m 与 n 可平行、可异面; C 中若 α ∥β ,仍然满足 m⊥n,m? α ,n? β ,故 C 错误;故 D 正确. 2.解析:选 B 由面面垂直的性质定理可知,当 n⊥m 时,有 n⊥β.故选 B. 3.解析:选 B 对于选项 A,两平面可能平行也可能相交;对于选项 C,直线 l 可能在 β 内也可能平行于 β;对于选项 D,直线 l 可能在 β 内或平行于 β 或与 β 相交. 4.解析:选 D
? ? ? l⊥α ? l⊥β ? α⊥β? ?? ??l⊥m 故①正确,排除 B、C, ??l∥β 或 l?β.∵m?β, α∥β? m?β? l⊥α ? ? ? ?

∴此时推不出 l∥m,故②错,排除 A,故选 D. 5.解析:选 C 选项 A 中的条件不能确定 b∥c;选项 B 中条件的描述也包含着直线 c 在平面 α 内,故不正确;选项 D 中的条件也包含着 c?β,c 与 β 斜交或 c∥β,故不正确. 6.解析:①显然正确;对②,只有当 m,n 相交时,才能 l⊥α,故②错误;对③,由 l∥m,m∥n?l∥n,由 l⊥α 得 n ⊥α,故③正确;对④,由 l∥m,m⊥α?l⊥α,再由 n⊥α?l∥n.故④正确.答案:①③④ 7.解析:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等)由定理可知,BD⊥PC.∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD,而 PC? 平面 PCD,∴平面 MBD⊥平面 PCD.答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC) 8.解析:①AE?平面 PAC,BC⊥AC,BC⊥PA?AE⊥BC,故①正确,②AE⊥PB,AF⊥PB?EF⊥PB,故②正确,③若 AF⊥BC?AF⊥平面 PBC,则 AF∥AE 与已知矛盾,故③错误,由①可知④正确. 9.如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD;(2)若∠PDA=45° ,求证:MN⊥平面 PCD.

1 9.证明:(1)如图所示,连接 AC,AN,BN,∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AC.在 Rt△PAC 中,N 为 PC 中点,∴AN= PC. 2 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC.又 BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面 PAB. 1 ∴BC⊥PB.从而在 Rt△PBC 中,BN 为斜边 PC 上的中线,∴BN= PC,∴AN=BN. 2 ∴△ABN 为等腰三角形. 又 M 为底边 AB 的中点, ∴MN⊥AB.又∵AB∥CD, ∴MN⊥CD. (2)如图所示,连接 PM,CM,∵∠PDA=45° ,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形 ABCD 为矩形,∴AD=BC, ∴PA=BC.又∵M 为 AB 的中点,∴AM=BM,而∠PAM=∠CBM=90° ,∴PM=CM.又∵N 为 PC 的中点,∴MN ⊥PC.由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平面 PCD. 10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求 证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

10.证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD.所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为正三角形.因为 F 是 AD

的中点,所以 BF⊥AD.因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD.又因为 BF?平面 BEF, 所以平面 BEF⊥平面 PAD. 11.(2012· 广东高考)如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA⊥平面 ABCD, 点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE.(1)证明:BD⊥平面 PAC;(2)若 PA=1,AD=2,求二 面角 B-PC-A 的正切值.

11.解 (1)证明:

PC⊥平面BDE ? PA⊥平面ABCD ? ? ? ??PC⊥BD. ??PA⊥BD. ? ? BD?平面BDE? BD?平面ABCD?

∵PA∩PC=P,PA?平面 PAC,PC?平面 PAC,∴BD⊥平面 PAC. (2)法一:如图所示,记 BD 与 AC 的交点为 F,连接 EF.由 PC⊥平面 BDE, BE?平面 BDE,EF?平面 BDE,∴PC⊥BE,PC⊥EF.即∠BEF 为二面角 B-PC-A 的平面角. 由(1)可得 BD⊥AC,所以矩形 ABCD 为正方形,AB=AD=2,所以 BF⊥EF.AC=BD=2 2,BF= 2,EF= 在 Rt△PAC 中,PA=1,PC= PA2+AC2=3,又易证 BC⊥PB,Rt△PAB 中,PB= PA2+AB2= 5, 2 5 2 ∴Rt△PBC 中 PB· BC=PC· BE,得 BE= .在 Rt△PFE 中,FE= BE2-BF2= ,所以二面 3 3 角 B-PC-A 的正切值为 3. 12.如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° ,P,Q 分别为 AE,AB 的中点. (1)证明:PQ∥平面 ACD;(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. 3 , 2

12.解:(1)证明:因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点,所以 PQ∥EB. 又因为 DC∥EB,因此 PQ∥DC,PQ?平面 ACD,DCC 平面 ACD.从而 PQ∥平面 ACD. (2)如图,连接 CQ,DP.因为 Q 为 AB 的中点,且 AC=BC,所以 CQ⊥AB. 因为 DC⊥平面 ABC,EB∥DC,所以 EB⊥平面 ABC.因此 CQ⊥EB,AB∩EB=B, 1 故 CQ⊥平面 ABE.由(1)有 PQ∥DC,又因为 PQ= EB=DC,所以四边形 CQPD 为平行四边形.故 DP∥CQ.因此 DP 2

⊥平面 ABE.∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角.在 Rt△DPA 中,AD= 5,DP=1,sin∠DAP= 因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 5 . 5

5 . 5

13.如图所示,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=45° ,DC=1,AB=2,PA⊥平面 ABCD,PA=1.(1)求证:AB∥平面 PCD;(2)求证:BC⊥平面 PAC;(3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M-ACD 的体积.

13.解:(1)由已知底面 ABCD 是直角梯形,AB∥DC,又 AB?平面 PCD,CD?平面 PCD,∴AB∥平面 PCD. (2)在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CE⊥AB 于点 E,则四边形 ADCE 为矩形,∴AE=DC=1, 又 AB=2,∴BE=1,在 Rt△BEC 中,∠ABC=45° ,∴CE=BE=1,CB= 2,则 AC= AD2+CD2= 2, ∴AC2+BC2=AB2,∴BC⊥AC,又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC,又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. (3)∵M 是 PC 的中点,∴M 到平面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半. 1 ?1PA?=1×?1×1×1?×1= 1 . VM-ACD= S△ACD· ?2 ? 3 ?2 ? 2 12 3 14.如图所示,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,AD= 3,点 F 是 PB 的中点,点 E 在 边 BC 上移动. (1)求三棱锥 EPAD 的体积; (2)当点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (3)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF.

1 1 1 3 =VP ADE= PA·S△ADE= PA· AD·AB= . 3 3 2 6 (2)解析:当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. ∵在△PBC 中,E,F 分别为 BC,PB 的中点,∴EF∥PC. 又 EF?平面 PAC,而 PC? 平面 PAC, ∴EF∥平面 PAC. (3)证明:∵PA⊥平面 ABCD,BE? 平面 ABCD,∴EB⊥PA. 又 EB⊥AB,AB∩ AP=A,AB,AP? 平面 PAB,∴EB⊥平面 PAB. 又 AF? 平面 PAB,∴AF⊥EB.又 PA=AB=1,点 F 是 PB 中点,∴AF⊥PB. 又∵PB∩BE=B,PB,BE? 平面 PBE,∴AF⊥平面 PBE. 14.(1)解析:三棱锥 EPAD 的体积 VE
PAD

∵PE? 平面 PBE,∴AF⊥PE. 图形的折叠问题 1.(2013·天津模拟)如图,以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两 个平面后,某学生得出下列四个结论:

①BD⊥AC;②△BAC 是等边三角形;③三棱锥 DABC 是正三棱锥;④平面 ADC⊥平面 ABC.其中正确的是( A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④

)

1.解析:由题意知,BD⊥平面 ADC,故 BD⊥AC,①对;AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高,平面 ABD⊥平面 ACD, 所以 AB=AC=BC,△BAC 是等边三角形,②对;易知 DA=DB=DC,又由②知③对;由①知④错.故选 B. 2.(2012·北京) 如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点 ,点 F 为线段 CD 上的一点, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2). (1)求证:DE∥平面 A1CB. (2)求证:A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

2.(1)证明:∵D,E 分别为 AC,AB 的中点, ∴DE∥BC. 又 DE?平面 A1CB,∴DE∥平面 A1CB. (2)证明:由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC,∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D,DE⊥CD.∴DE⊥平面 A1DC. 而 A1F? 平面 A1DC,∴DE⊥A1F.又 A1F⊥CD,∴A1F⊥平面 BCDE.∴A1F⊥BE. (3)解析:线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下: 如下图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC.又 DE∥BC,∴DE∥PQ.∴平面 DEQ 即为 平面 DEP.由(2)知,DE⊥平面 A1DC,∴DE⊥A1C.又 P 是等腰三角形 DA1 C 底边 A1C 的中点, ∴A1C⊥DP.∴A1C⊥平面 DEP.从而 A1C⊥平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长

度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后 的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形. 3.(2013·广东)如图(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= (1)证明:DE∥平面 BCF;(2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. 3 2 . 2

3.(1)证明 在等边△ABC 中,AD=AE,∴ = 在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成立.∴DE∥BC, 又 DE?平面 BCF,BC? 平面 BCF,∴DE∥平面 BCF. (2)证明 在等边△ABC 中,F 是 BC 的中点,∴AF⊥CF.∵在三棱锥 A-BCF 中,BC= 1 1 1 2 2 2 ∴BC =BF +CF = + = ,∴CF⊥BF.又 BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. 4 4 2 1 1 1 1 1 ?1 3 3? 1 (3)解 VF-DEG=VE-DFG= × ×DG×FG×GE= × × ×? × ?× = . 3 2 3 2 3 ?3 2 ? 3 324 π 4.(2013·重庆)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=2 3,BC=CD=2 ,∠ACB=∠ACD= . 3 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF 的体积. 2 , 2

AD AE DB EC

4.(1)证明 因为 BC=CD,所以△BCD 为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD.从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直,所以 BD⊥平面 PAC. 1 1 2π (2)解 三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积 S△BCD= BC·CD·sin∠BCD= ×2×2×sin = 3. 2 2 3 1 1 1 由 PA⊥底面 ABCD,得 VP-BCD= ·S△BCD·PA= × 3×2 3=2.由 PF=7FC,得三棱锥 F-BCD 的高为 PA, 3 3 8

1 1 1 1 1 1 7 故 VF-BCD= ·S△BCD· PA= × 3× ×2 3= ,所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2- = . 3 8 3 8 4 4 4 5.(2012·广东)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的 1 中点,F 是 DC 上的点且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高.(1)证明:PH⊥平面 ABCD; 2 (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积;(3)证明:EF⊥平面 P AB.

5.(1)证明 因为 AB⊥平面 PAD,PH? 平面 PAD,所以 PH⊥AB.因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高,所以 PH⊥AD. 因为 PH?平面 ABCD,AB∩AD=A,AB,AD? 平面 ABCD,所以 PH⊥平面 ABCD. (2)解 如图,连接 BH,取 BH 的中点 G,连接 EG. 1 1 因为 E 是 PB 的中点,所以 EG∥PH,且 EG= PH= . 2 2 因为 PH⊥平面 ABCD,所以 EG⊥平面 ABCD.因为 AB⊥平面 PAD,AD? 平面 PAD, 1 1 1 2 所以 AB⊥AD,所以底面 ABCD 为直角梯形,所以 VE-BCF= S△BCF·EG= · ·FC·AD·EG= . 3 3 2 12 1 1 (3)证明 取 PA 中点 M,连接 MD,ME.因为 E 是 PB 的中点,所以 ME 平行且等于 AB.又因为 DF 平行且等于 AB, 2 2 所以 ME 平行且等于 DF,所以四边形 MEFD 是平行四边形,所以 EF∥MD.因为 PD=AD,所以 MD⊥PA. 因为 AB⊥平面 PAD,所以 MD⊥AB.因为 PA∩AB=A,所以 MD⊥平面 PAB,所以 EF⊥平面 PAB. 6.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E,M 分别为 AB,DE 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折 成△A′DE,F 为 A′C 的中点,A′C=4. (1)求证:平面 A′DE⊥平面 BCD; (2)求证:FB∥平面 A′DE.

6.证明 (1)由题意,得△A′DE 是△ADE 沿 DE 翻折而成的,∴△A′DE≌△ADE.∵∠ABC=120°,四边形 ABCD 是平行 四边形,∴∠A=60°.又∵AD=AE=2,∴△A′DE 和△ADE 都是等边三角形.如图,连接 A′M,MC,∵M 是 DE 的中点, ∴A′M⊥DE,A′M= 3. 在△DMC 中,MC =DC +DM -2DC·DMcos 60°=4 +1 -2×4×1cos 60°,∴MC= 13. 在△A′MC 中,A′M +MC =( 3) +( 13) =4 =A′C .∴△A′MC 是直角三角形,∴A′M⊥MC.又∵A′M⊥DE,MC∩DE =M,∴A′M⊥平面 BCD.又∵A′M? 平面 A′DE,∴平面 A′DE⊥平面 BCD. (2)取 DC 的中点 N,连 接 FN,NB.∵A′C=DC=4,F,N 分别是 A′C,DC 的中点,∴FN∥A′D.又∵N,E 分别是平行四 边形 ABCD 的边 DC,AB 的中点,∴BN∥DE.又∵A′D∩DE=D,FN∩NB=N,∴平面 A′DE∥平面 FNB.∵FB? 平面 FNB, ∴FB∥平面 A′DE.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台

侧面展开图

侧面积公式 2.空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球

S 圆柱侧=2πrl

S 圆锥侧=πrl

S 圆台侧=π(r+r′)l

表面积 S 表面积=S 侧+2S 底 S 表面积=S 侧+S 底 S 表面积=S 侧+S 上+S 下 S=4πR2

体积 V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上S下) h 3 4 V= πR3 3

几何体的表面积、体积 1.如图是一个几何体的三视图,则它的表面积为(

)

15π 17π A.4π B. C.5π D. 4 4 2.(1)(2012· 湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

8π A. 3

10π B.3π C. 3

D.6π

(2)(2012· 安徽高考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是________.

3.(2012· 课标全国)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直 径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 A. 2 3 B. 6 6 C. 2 3 D. 2 2 ) ( )

4.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(

2π π 2π A.8- B.8- C.8-2π D. 3 3 3 5.(2013· 重庆)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80 1 7 1 17 1.解由三视图可知该几何体是半径为 1 的球被挖出了 部分得到的几何体,故表面积为 ·4π·12+3··π·12= π. 8 8 4 4 2.解 1 (1)由三视图可知,该组合体上端为一圆柱的一半,下端为圆柱.其体积 V=π×12×2+ ×π×12×2=3π. 2

(2)据三视图可知,该几何体是一个直四棱柱,其底面是直角梯形(两底边长分别为 2、5,直腰长为 4,即梯形的高为 4),

2+5 高为 4.∴该几何体的体积为 V= ×4×4=56. 2 3.答案 A 解析 由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是△ABC,O 是 SC 的中点,因此三棱锥 S-ABC 的高 是三棱锥 O-ABC 高的 2 倍,所以三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱锥 O-ABC 体积的 2 倍.

在三棱锥 O-ABC 中,其棱长都是 1,如图所示,S△ABC= 1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6

3 3 ×AB2= ,高 OD= 4 4

12-?

6 3?2 = , ?3? 3

1 2 4.解:圆锥的底面半径为 1,高为 2,该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积,即 V=23- ×π×12×2=8- π. 3 3 5.解析:选 C 由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧面 底面是等腰梯形,其上底长为 2,下底长为 4,高为 4,∴两底面积和 四个侧面的面积为 4×(4+2+2 17)=24+8 17,∴几何体的表面积为 48+8 17. 与球有关的切、接问题 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间 的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径; 球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. 1.已知三棱锥 A—BCD 的所有棱长都为 2,则该三棱锥的外接球的表面积为________. 2.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2,则这个四棱锥的外接球的表面积为( A.12π C.72π B.36π D.108π ) ) 贴在地面上), 直观图如图, 1 为 2× ×(2+4)×4=24, 2

3.(2012· 广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(

A.72π

B.48π C.30π

D.24π )

S1 4.(2013· 广州模拟)设一个球的表面积为 S1,它的内接正方体的表面积为 S2,则 的值等于( S2 2 A. π 6 π B. C. π 6 π D. 2

5.(2012· 湖北高考(节选))如图 1,∠ACB=45° ,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90° (如图 2 所示).当 BD 的长为多少时,三棱锥 A-BCD 的体积最大?

1.解析 如图,构造正方体 ANDM—FBEC.因为三棱锥 A—BCD 的所有 棱长都为 2,所以正方体 ANDM—FBEC 的棱长为 1.所以该正方体的 外接球的半径为 3 .易知三棱锥 A—BCD 的外接球就是正方体 ANDM—FBEC 的外 2 3 3 .所以三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积为 S 球=4π? ?2=3π. 2 ?2? 1 ?3 2?2-? ×6?2=3,因此底面中心 2

接球,所以三棱锥 A—BCD 的外接球的半径为

2.解析:选 B 依题意得,该正四棱锥的底面对角线的长为 3 2× 2=6,高为

到各顶点的距离均等于 3,所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为 3,所以其外接球 的表面积等于 4π×32=36π. 1 4 1 3.解析:选 C 此几何体由半个球体与一个圆锥组成,其体积 V= × π×33+ π×32× 52-32=30π. 2 3 3 3 2 3 S1 4πR2 π 4.解:设球的半径为 R,其内接正方体的棱长为 a,则易知 R2= a2,即 a= R,则 = = . 4 3 S2 2 3 ?2 2 6×? ? 3 R? 5.[解] 如图 1 所示的△ABC 中,设 BD=x(0<x<3),则 CD=3-x.由 AD⊥BC,∠ACB=45° 知△ADC 为等腰直角三角 形,所以 AD=CD=3-x.由折起前 AD⊥BC 知,折起后(如图 2),AD⊥DC,AD⊥DC,且 BD∩DC=D,所以 AD⊥平 面 BDC, 1 1 1 1 1 ∠BDC=90° ,所以 S△BCD= BD· CD= x(3-x).于是 VA-BCD= AD· S△BCD= (3-x)·x(3-x). 2 2 3 3 2 1 1 1 法一:VA-BCD= (x3-6x2+9x).令 f(x)= (x3-6x2+9x).由 f′(x)= (x-1)(x-3)=0,且 0<x<3,解得 x=1. 6 6 2 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,3)时,f′(x)<0,所以当 x=1 时,f(x)取得最大值, 即 BD=1 时,三棱锥 A-BCD 的体积最大. 1 1 ?2x+ 法二:VA-BCD= ·2x(3-x)(3-x)≤ ·? 12 12 ? - 3 + -

?3=2, ? 3 ?

当且仅当 2x=3-x,即 x=1 时,取“=”.故当 BD=1 时,三棱锥 A-BCD 的体积最大.


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