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徐汇新王牌 秋季同步提高补习班 高中数学孙D老师 高三 数学 第十四讲 椭圆 学生用


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高三 数学 第十四讲
1. 椭圆定义:

椭圆

平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和为常数 2a(2a ?| F2 F2 |) 的动点 P 的轨迹叫椭圆 , 其中两个定点

F1、F2 叫椭圆的焦点.
当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为椭圆 ; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹不存在; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为以 F1、F2 为端点的线段 2.椭圆的标准方程 ;

x2 y 2 (1)焦点 F 在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 1 , F2 a b
焦点 F 1

? ?c, 0? , F ? c, 0? ,且满足: a
2

?

F1

F2

?

2

? b2 ? c 2

(2)焦点 F 1, 焦点 F 1

F2 在

y 轴上:
2

y 2 x2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? a 2 b2
2

? 0, ?c ? , F ? 0, c ? ,且满足: a

? b2 ? c 2

(3)统一形式: 3. 椭圆的参数方程

Ax 2 ? By 2 ? 1 ? A ? 0, B ? 0, A ? B ?
? x ? a cos? ? y ? b sin ?

? ?

F1

F1

F2

焦点在 x 轴上,中心在原点的椭圆的参数方程为: ? (其中 2 a 为椭圆的长轴长, 2b 为椭圆的短轴长) 4. 椭圆的简单几何性质

( ? 为参数)

x2 y 2 以椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 为例说明 a b
(1)范围: ? a ?

x ? a , ?b ? y ? b

(2)对称性:椭圆的对称轴: x 轴, (3)顶点:长轴顶点: A 1 (4)离心率:

y 轴;对称中心:原点 O(0, 0)
2 1

? ?a, 0? , A ? a, 0 ? ,短轴顶点: B ? 0,

?b ? , B2 ? 0, b ?

e?

c 椭圆上任一点P到焦点的距离 ? 。 a 点P到相应准线的距离
1

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① 0 ? e ? 1;② e 越大,椭圆越扁;③ e ? (5)准线:椭圆有左,右两条准线关于

?b? 1? ? ? ?a?

2

y

P

P 1

y 轴对称。

F1

F2

a2 左准线: x ? ? c

a2 右准线: x ? c

x

l

(6)焦半径:椭圆上任一点 P

? x , y ? 到焦点的距离。左、右焦半径分别为
0 0

r1 ? PF1 ? a ? ex0 , r2 ? PF2 ? a ? ex0
5 .点与椭圆的位置关系

? x0 2 y0 2 ?点P在椭圆C外 ? a 2 ? b 2 ? 1 ? 2 2 x0 2 y0 2 ? x y 点 P 在椭圆 C 上 ? ? 2 ?1 已知椭圆 C; 2 ? 2 ? 1 ,点 P( x0 , y0 ) ,则 ? 2 a b a b ? ? x0 2 y0 2 ? 2 ?1 ?点P在椭圆C内 ? a2 b ?
6 .关于焦点三角形与焦点弦 (1)椭圆上一点 P 与两个焦点 F 1, 设 ?F 1PF 2 ①

F2 所构成的 ?PF1F2 称为焦点三角形。

? ? , ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则有:

sin ? c ? sin ? ? sin ? a

P
F1

② cos? ?

2b 2 P 为短轴顶点)时, ? 最大, ? 1 ,当 r 1 ? r2 (即 r1r2

F2

?

b2 ? c2 此时 cos ? ? a2


(r 表示焦半径)

1 b2 sin ? ? ?PF1F2 的面积 S ? r1r2 sin ? ? ? b2 tan ? c y0 2 1 ? cos? 2


y0 ? b (即 P 为短轴顶点)时, S 最大,且 Smax ? bc



b 2 ? c 2 ? PF1 ? PF2 ? b 2
A
F1

AB ,称为焦点弦。 (2)经过焦点 F 1 或 F2 的椭圆的弦

B

F2

?

2

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设 A( x1 , 则弦长

y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,

AB ? 2a ? e( x1 ? x2 ) ? 2a ? 2ex0
? x 轴时, AB 最短,且 AB min
2b 2 ? a

(左焦点取“+” ,右焦点取“-” ) 当 AB

7 .椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后,经过椭圆的另一焦点。 8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法 (1) 联立方程法:联立直线和椭圆方程,消去 设交点坐标为

y ,得到关于 x 的一元二次方程,

( x1, y1 ), ( x2 , y2 ) , 则 有 ? ? 0 , 以 及 x1 ? x2 , x1x2 , 还 可 进 一 步 求 出

y1 ? y2 , y1 y2 。在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法
(2) 点 差 法 : 设 交 点 坐 标 为

( x1, y1 ), ( x2 , y2 )

代入椭圆方程,并将两式相减,可得

b2 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ,在涉及斜率、中点、范围等问题时,常用此法 ?? 2 x1 ? x2 a ? y1 ? y2 ?
典型例题 题型一:椭圆定义相关问题 例 1.如图一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然 后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于 P,则点 P 的轨迹是 .

例 2. (2014?天津河东区二模)已知△ ABC 中,A、B 的坐标分别为(0,2)和(0,﹣2) ,若三角形的周 长为 10,则顶点 C 的轨迹方程是( ) A. B. (y≠0) C. (y≠0) 题型二:椭圆相关的求值问题: 例 3. (2014?辽宁)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别 .
3

(x≠0) D. (x≠0)

为 A、B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=

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例 4. (2014?重庆二模)设 A、P 是椭圆 AP、BP 分别交 x 轴于点 M、N,则 A.0 B.1 ?

+y =1 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 B(异于点 P) ,若直线 =( ) C.
2 2

2

D.2 + 等于 ( )

例 5. (2014?海南模拟) 已知 P、 Q 是椭圆 3x +5y =1 满足∠ POQ=90°的两个动点, 则 A.34 B.8 C. D.

题型三:椭圆相关的范围问题 例 6. (2014?浙江模拟)如果 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A (0,1) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,+∞) . 例 7. (2014?福建)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 离是( A.5 ) B. + C.7+ D.6 的左、右焦点,P 为椭圆 C 上任意一点.
2 2 2 2 2



+y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距

例 8. (2013?闸北区一模)设点 F1,F2 分别是椭圆 (1)求数量积

的取值范围; (2)设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,

线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.

题型四: 椭圆相关的最值问题 例 9.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,椭圆长轴的最小值为( A. B. C. 2 D.



x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1),P 是椭圆上一动点,则 PA ? PF 的最大值是 例 10.已知点 F 是椭圆 4 3
------

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例 11. (2014?上海模拟)已知点 F 为椭圆 C:

=1 的左焦点,点 P 为椭圆 C 上任意一点,点 Q 的坐 . =1 上,F 为椭圆 C 的右焦点,

标为(4,3) ,则|PQ|+|PF|取最大值时,点 P 的坐标为

例 12. (2014?北京石景山区一模)已知动点 P(x,y)在椭圆 C:

若点 M 满足| A.

|=1 且

=0,则| B.3

|的最小值为( C.

) D.1

题型五:椭圆相关的定值问题 例 15. (2014?上海模拟)已知椭圆 满足 的两焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆在第一象限内的一点,并

,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA,PB 分别交椭圆于 A,B 两点. (Ⅰ )求 P 点坐标;

(Ⅱ )求证直线 AB 的斜率为定值.

例 16.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过(1,1)与(



)两点. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ )过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足|MA|=|MB|.求证: + + 为定值.

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题型六:椭圆相关的定点问题 例 17. (2014?松江区二模)已知椭圆 x +2y =a (a>0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过椭圆的右焦点且与椭圆 C 交于 A、B 两点,求证: x 轴上存在一 定点 M,使得 ? 为定值。
2 2 2

例 18.已知椭圆

的左顶点为 A,过 A 作两条互相垂直的弦 AM、AN 交椭圆于 M、N 两点.

(1)当直线 AM 的斜率为 1 时,求点 M 的坐标; (2)当直线 AM 的斜率变化时,直线 MN 是否过 x 轴上 的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点,若不过定点,请说明理由.

x2 y 2 ? ? 1 右焦点 F 作直线 l 交椭圆于 A、B 两点,交定直线 x=4 于点 M,假设 例 19、已知过椭圆 4 3
MA ? ? AF , MB ? ? BF ,求证: ? ? ? =0 .

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题型七:椭圆中的定线问题 例 20. (安徽高考题) 设椭圆 =1 (a>b>0) 过点 , 且左焦点为

(Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )当过点 P(4,1)的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A,B 时,在线段 AB 上取点 Q,满足 ? = ? ,证明:点 Q 总在某定直线上.

实战演练: 1.设 AB 是椭圆 (a>b>0)的长轴,若把 AB100 等分,过每个分点作 AB 的垂线,交椭圆的 )

上半部分于 P1、P2、…、P99,F1 为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( A. 98a B. 99a C. 100a D. 101a 2.已知方程 A. k<1 或 k>3 3.已知点 P 是椭圆: + 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是( B. 1<k<3 C. k>1 D. k<3 )

=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,O 是坐标原点,若 M ? =0,则|OM|的取值范围是( )

是∠ F1PF2 的角平分线上一点,且

A. [0,3) B. (0,2 ) C. [2 ,3) D. [0,4] 4.已知水平地面上有一篮球,在斜平行光线的照射下,其阴影为一椭圆(如图) ,在平面直角坐标系中, O 为原点,设椭圆的方程为 (a>b>0) ,篮球与地面的接触点为 H,则|OH|= .

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5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ ABC 顶点 A(﹣4,0)和 C(4,0) ,顶点 B 在椭圆 则 = . ,若 AB=4,BC=

上,

6. (2013?上海)设 AB 是椭圆 Γ 的长轴,点 C 在 Γ 上,且∠ CBA= 点之间的距离为 .

,则 Γ 的两个焦

6. (2014?浙江二模)已知椭圆 C:

+y =1,点 M1,M2…,M5 为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这五点

2

作斜率为 k(k≠0)的一组平行线,交椭圆 C 于 P1,P2,…,P10,则直线 AP1,AP2,…,AP10 这 10 条直 线的斜率乘积为( ) A. B. C. D. ﹣ ﹣ ﹣
2

7. (2014?湖北)过 x 轴正半轴上一点 M 作直线 PQ 与椭圆 为定值,则点 M 的坐标为( ) A. B. ( ,0) ( ,0)

+y =1 相交于两点 P,Q,若

+

C.



,0)

D. (

,0)

8.给定椭圆 C:

,称圆心在原点 O、半径是

的圆为椭圆 C 的“准圆”.已

知椭圆 C 的一个焦点为 ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 . (1)求椭圆 C 和其“准圆” 的方程; (2)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点,B,D 是椭圆 C 上的两相异点,且 BD⊥ x 轴, 求 的取值范围.

9. (2014?达州二模)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左顶点 A(﹣2,0) ,过右焦点 F 且垂直于长

轴的弦长为 3. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )已知直线 y=kx+m(k<0,m>0)与 y 轴交于点 P,与 x 轴交 于点 Q,与椭圆 C 交于 M,N 两点,若 点坐标. + = .求证:直线 y=kx+m 过定点,并求出这个定

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例题及习题解析: 例 1. 解:由题意知,CD 是线段 MF 的垂直平分线. ∴ |MP|=|PF|,∴ |PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值) , 又显然|MO|>|FO|, ∴ 根据椭圆的定义可推断出点 P 轨迹是以 F、 O 两点为焦点的椭圆. 故 答案为:椭圆 例 解:∵ |AB|=4,三角形的周长为 10,∴ |AC|+|BC|=10﹣4=6>|AB|, 2.根据椭圆的定义知,顶点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,且 c=2,a=3, b= 例 3. 解: 如图: MN 的中点为 Q, 易得 ∴ |AN|+|BN|=12.故答案为:12. , , ∵ Q 在椭圆 C 上, ∴ |QF1|+|QF2|=2a=6, = ,故椭圆的方程为 + =1,故选 B.

例 解:如图,取特殊值,令椭圆的上顶点为 A,下顶点为 B,左端点为 P,则 A(0,1) ,B(0,﹣1) , 4. P( ,0) ,M( ,0) ,N( ,0) ,∴ ,∴ =2.故选:D.

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例 5.

解:当 P、Q 在象限的角平分线上时,由

解得

,∴ P(

) ,同理

Q

此时|OP| =|OQ| = ,∴

2

2

+

=8 ,故选 B.

例 6. 解:∵ x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,把 x +ky =2 转化为椭圆的标准方程, 得 例 7. 解:设椭圆上的点为(x,y) ,则∵ 圆 x +(y﹣6) =2 的圆心为(0,6) ,半径为 ∴ 椭圆上的点与圆心的距离为 ∴P,Q 两点间的最大距离是 5 例 8. + =6 = .故选:D. , . ,整理得(1+2k )x +4k x+2k ﹣2=0, (*)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,∴

,解得 0<k<1.∴实数 k 的取值范围是(0,1) .故选:A.



≤5



解: (1) 由题意, 可求得 F( 0) , F( 0) . 设P (x, y) , 则有 1 ﹣1, 2 1, ,∴ (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,代入



∵ 直线 AB 过椭圆的左焦点 F1,∴ 方程*有两个不相等的实根. 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , AB 中点为 M (x0, y0) , 则 线段 AB 的垂直平分线 NG 的方程为 . , , .

令 y=0,则 xG=x0+ky0= ∵ k≠0,∴

=

=



.即点 G 横坐标的取值范围为


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例 解:由题意知 bc=1.∴ 9.

,∴

.∴

,故选 D.

例 10.解:设点 F1 是左焦点, PA ? PF ? PA ? 2a ? PF 1 ? 2a ? AF 1 ? 4? 5 例 11. 解:∵ 点 F 为椭圆 C: =1 的左焦点,∴ F(﹣1,0) ,∵ 点 P 为椭圆 C 上任意一点,

点 Q 的坐标为 (4, 3) , 设椭圆 C 的右焦点为 F′ (1, 0) , ∴ |PQ|+|PF|=|PQ|+2 ﹣|PF′ |=2 +|PQ|﹣|PF′ |, ∵ |PQ|﹣|PF′ |≤|QF′ |=3 ,∴ |PQ|+|PF|≤5 ,即最大值为 5 ,此时 Q,F′ ,P 共线 ,解方程 直线 PQ 方程为 y=x﹣1,



解得 x=0,y=﹣1,或 x= ,y= (舍) ,∴点 P 坐标为(0,﹣1) .

故答案为: (0,﹣1) . 例 解:依题意知,点 M 在以 F(3,0)为圆心,1 为半径的圆上,PM 为圆的切线, 12.∴ 当 PF 最小时,切线长 PM 最小.由图知,当点 P 为右顶点(5,0)时,|PF|最小,最小值为:5﹣3=2. 此时|PM|= = .故选:A.

例 15. 解: (I)由椭圆 可得 c= ,∴ 两焦点分别为 , .

设P ( (x, y) , 由题意可得

, 解得

, ∴ P



(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 设直线 PA 的方程为: 联立 ,解得 A ,则直线 PB 的方程为 . .

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同理 B

,∴ kAB= .

=



即直线 AB 的斜率为定值 例 16.

解(Ⅰ )将(1,1)与(



)两点代入椭圆 C 的方程,



解得

.∴ 椭圆 PM2 的方程为



(Ⅱ )由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称. ① 若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点,此时 = .

同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 在椭圆的一个短轴顶点,此时 = .

② 若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0) , 则直线 OM 的方程为 ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



解得







=

,同理



所以

=2×

+

=2,故

=2 为定值.

例 17. 解: (1)设椭圆的短半轴为 b,半焦距为 c, 则 ,由 c =a ﹣b ,得
2 2 2

,由

,解得 a =8,b =4,

2

2

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∴ 椭圆方程为



(2)由 ?

? x ? ty ? 2 2 2 ,得(t +2)y +4ty﹣4=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 ?x ? 2 y ? 8
4t ?4 , y1 y2 ? 2 ,设 M(m,0) t ?2 t ?2
2

由韦达定理得: y1 ? y2 ? ? ∴

= ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? (t y1 ? 2 ? m)(t y2 ? 2 ? m) ? y1 y2

= (t 2 ? 1) y1 y2 ? t (2 ? m)( y1 ? y2 ) ? (2 ? m)2 =

?4(t 2 ? 1) ? 4t 2 (2 ? m) ? (2 ? m) 2 2 t ?2

=

4mt 2 ? 12t 2 ? 4 4(m ? 3)(t 2 ? 2) ? 8(m ? 3) ? 4 2 ? ( m ? 2) ? t2 ? 2 t2 ? 2
2

= m ?8?

20 ? 8m 5 .当 20-8m=0,即 m ? 时, 2 t ?2 2

是定值 ?

7 。 4

例 18. 解: (1)直线 AM 的斜率为 1 时,直线 AM:y=x+2,代入椭圆方程并化简得:5x +16x+12=0, 解之得 ,∴ .
2

(2)设直线 AM 的斜率为 k,则 AM:y=k(x+2) ,
2 2 2 2



化简得: (1+4k )x +16k x+16k ﹣4=0.∵ 此方程有一根为﹣2,∴



同理可得

.由(1)知若存在定点,则此点必为





,同理可计算得



∴直线 MN 过 x 轴上的一定点 例 19、



证明:F(1,0) ,设直线 l 的方程是 x=ky+1, A(x1,y1) ,B(x2,y2), M (4, )

3 k

? x ? ky ? 1 4k ?9 2 2 , y1 y2 ? 2 , (3k +4)y +6ky﹣9=0, y1 ? y2 ? ? 2 ? 2 2 3k ? 4 3k ? 2 ?3x ? 4 y ? 12
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3 3 MA ? (x1 ? 4, y1 ? ), AF ? (1 ? x1 , ? y1 ) ; MB ? (x 2 ? 4, y 2 ? ), BF ? (1 ? x2 , ? y2 ) k k 3 3 3 3 因为 MA ? ? AF , MB ? ? BF ,所以 y1 ? ? ?? y1 , y2 ? ? ? ? y2 ,? (1 ? ? ) y1 ? , (1 ? ? ) y2 ? k k k k 3 3 3 ? (1 ? ? ) y1 y2 ? y 2 , (1 ? ? ) y1 y2 ? y1 ,相加得 (2 ? ? ? ? ) y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) , k k k ?9 3 ?6k (2 ? ? ? ? ) ? 2 ? ? 2 ,所以 ? ? ? =0 3k ? 4 k 3k ? 4
例 20.

解: (Ⅰ )由题意得

,解得 a =4,b =2,所以椭圆 C 的方程为

2

2



(Ⅱ )设点 Q、A、B 的坐标分别为(x,y) , (x1,y1) , (x2,y2) . 由题设知 , , , 均不为零,记 ,则 λ>0 且 λ≠1 ,又 A,P,B,

Q 四点共线,从而

于是 ,







从而 ,
2 2

① ,
2 2

② ,

又点 A、B 在椭圆 C 上,即 x1 +2y1 =4 ③ ,x2 +2y2 =4 ④ , ① +② ×2 并结合③ 、④ 得 4x+2y=4,即点 Q(x,y)总在定直线 2x+y﹣2=0 上. 实战演练: 1.解:由椭圆的定义知|F1Pi|+|F2Pi|=2a(i=1,2,…,99) , ∴ .由题意知 P1,P2,…,P99 关于 y 轴成对称分布,

∴ 选 D. 2. 解:∵ 3.

.∵|F1A|+|F1B|=2a,故所求的值为 101a.故

表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴k+1>3﹣k>0,解之得 1<k<3 故选 B

解:由椭圆

=1 的方程可得,c=

.由题意可得,当点 P 在椭圆与 y 轴交点处时,点 M 与

原点 O 重合,此时|OM|取最小值 0.当点 P 在椭圆与 x 轴交点处时,点 M 与焦点 F1 重合,此时|OM| 趋于最大值 c=2 .∵ xy≠0,∴ |OM|的取值范围是(0, ) .故选 B. 4. 解:在照射过程中,椭圆的短半轴长是圆的半径,
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由图∠ O′ AB+∠ O′ BA= (∠ A′ AB+∠ B′ BA)= ×180°=90° ∴ ∠ AO′ B=90°,由 O 是中点,故有,球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴, ′ 2 2 ′ 2 过球心向地面做垂线,垂足是 H,在构成的直角三角形中,OO =OH +O H , ∴ OH= 5. 解:利用椭圆定义得 a+c=2×5=10b=2×4=8 ,由正弦定理得 6. 解:如图,设椭圆的标准方程为 ,由题意知,2a=4,a=2.∵ ∠ CBA= ,BC= , = 故答案为 ,故答案为: ,

∴ 点 C 的坐标为 C(﹣1,1) ,因点 C 在椭圆上,∴
2 2 2

,∴ b= ,

2

∴ c =a ﹣b =4﹣ = ,c=

,则 Γ 的两个焦点之间的距离为

.故答案为:



6. 解:如图所示,由椭圆的性质可得 = =﹣ =﹣ .

由椭圆的对称性可得 同理可得 =

, =

,∴

=﹣ , =﹣ . =﹣ .故选:B.

∴ 直线 AP1,AP2,…,AP10 这 10 条直线的斜率乘积=

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7.

解:设 M(m,0) ,设直线 PQ 的方程为 把直线 PQ 的方程代入椭圆的方程

.P(m+t1cosα,t1sinα) ,Q(m+t2cosα,t2sinα) . . ,化为(1+3sin α)t +2mtcosα+m ﹣4=0.
2 2 2

∴ t1+t2=







=

=





+
2

=

=

=

. ∵

+

为定

值,∴24﹣10m =0,又 m>0.解得 8. 解: (1)由题意可得: ∴ 椭圆 C 的方程为
2

.∴点 M 的坐标为

.故选:C.



,b=1,∴ r=
2 2

=2.

,其“准圆”的方程为 x +y =4;
2

(2)由“准圆”的方程为 x +y =4,令 y=0,解得 x=±2,取点 A(2,0) .设点 B(x0,y0) , 则 D(x0,﹣y0) .∴ =(x0﹣2,y0)?(x0﹣2,﹣y0)= ,

∵ 点 B 在椭圆

上,∴

,∴





=

= ,∴

,∵ ,即

, 的取值范围为

9. (Ⅰ ) 解: 由题意 a=2, 设过右焦点 F 且垂直于长轴的弦为 MN, 将M (c, xM) 代入椭圆方程可得 yM= ,
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=3,∴ b =3,∴ 椭圆 C 的方程为

2



(Ⅱ )证明:直线 y=kx+m(k<0,m>0)与 y 轴交于点 P(0,m) ,与 x 轴交于点 Q(﹣ ,0) , 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则|PM|= x1,|PN|= x2,|PQ|=﹣ ? ,



+

=

,∴ +

=﹣3? ,∴

=﹣

,y=kx+m 代入椭圆方程可得

(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0 ,∴ x1+x2= ∵m>0,∴m=3,∴y=kx+m 恒过点(0,3) .

2

2

2

,x1x2=

,∴

=﹣



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