kl800.com省心范文网

2016年安徽省黄山市高考数学一模试卷(理科)解析版


2016 年安徽省黄山市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?黄山一模)若复数 z+3=1﹣i,则复数 z 的共轭复数的模( ) A.1 B. C. D. 2. (5 分) (2016?黄山一模)已知集合 M={0,1,2},N={y

|y=sin x,x∈M},则 M∩N=

( ) A.{﹣1,0,1} B.{﹣1,0} C.{0,1} D.{0,1,2} 3. (5 分) (2016?黄山一模)已知 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=x+2,则 f(x)=( ) A.x+1 B.2x﹣1 C.﹣x+1 D.x+1 或﹣x﹣1 4. (5 分) (2016?黄山一模)如图,某大风车的半径为 2 米,每 12 秒旋转一周,它的最低 点 O 离地面 1 米,点 O 在地面上的射影为 A.风车圆周上一点 M 从最低点 O 开始,逆时针 方向旋转 40 秒后到达 P 点,则点 P 到点 A 的距离与点 P 的高度之和为( )

A.5 B.4 C.4 D.4 5. (5 分) (2016?黄山一模)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术”, 执行该程序框图 (如图) , 若输入的 a, b 分别为 21 和 33, 则输出的 a= ( )

A.2 B.3 C.7 D.13 2 2 6. (5 分) (2016?黄山一模)设圆 C:x +y ﹣2x﹣2y﹣m=0 与直线 y=x﹣4 相切,则圆 C 的 半径为( ) A.2 B.10 C.6 D.2

7. (5 分) (2016?黄山一模)如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形和一个小正方 形,若直角三角形较长的直角边为 4,小正方形的面积为 9.现向大正方形内随机撒一枚幸 运小星星,则小星星落在小正方形内的概率为( )

A.

B.

C.

D.

8. (5 分) (2016?黄山一模)如图 1,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a,动点 M、 N、Q 分别在线段 AD1、B1C、C1D1 上,当三棱锥 Q﹣BMN 的正视图如图所示时,三棱锥

Q﹣BMN 的侧视图的面积等于( A. B. C. D.



9. (5 分) (2016?黄山一模)设函数 f(x)=sin2x+ 成中心对称,且 x0 A.π B. C. ,则 x0+y0=( D.0 或 )

+

的图象关于点(x0,y0)

10. (5 分) (2016?黄山一模)过双曲线

(a>0,b>0)的右焦点 F 作 x 轴的垂

线,交双曲线于 A、B 两点,若双曲线的左顶点 C 在以 AB 为直径的圆的内部,则此双曲线 离心率 e 的取值范围是( ) A. ( ) B. ( ) C. (2,+∞) D. (1, )

11. (5 分) (2016?黄山一模)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数 f′(x) ,当 x≠0 时, f′(x)﹣ ,若 a= ,b=﹣ ,c=(log3e)f(ln3) ,则下列关于

a、b、c 的大小关系正确的是( ) A.b>c>a B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c 12. (5 分) (2016?黄山一模)函数 f(x)的定义域为 D,对给定的正数 k,若存在闭区间 [a,b]? D,使得函数 f(x)满足:①f(x)在[a,b]内是单调递增函数;②f(x)在[a,

b]上的值域为[ka,kb],则称区间[a,b]为 y=f(x)的 k 级“调和区间”.下列结论错误的是 ( ) A.函数 f(x)=x (x∈[﹣2016,2016]存在 1 级“调和区间” x B.函数 f(x)=e (x∈R)不存在 2 级“调和区间” C.函数 f(x)=5elnx 存在 3 级“调和区间” D.函数 f(x)=tanx(x )不存在 4 级“调和区间”
3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上. 5 3 13. (5 分) (2016?黄山一模)已知(ax﹣1) 的展开式中的 x 系数为 80,则其展开式中 2 x 的系数为 . 2 2 14. (5 分) (2016?黄山一模)如图,已知圆 M: (x﹣3) +(y﹣3) =4,六边形 ABCDEF 为圆 M 的内接正六边形, N 为 AB 的中点, 当正六边形 ABCDEF 绕圆心 M 转动时, 的最大值是 .

15. (5 分) (2016?黄山一模)甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时,回 答如下:甲说:我没有去过;乙说:丙游览过;丙说:丁游览过;丁说:我没游览过.在以 上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山. 根据以上条件, 可以判断游览过华山 的人是 . 16. (5 分) (2016?黄山一模)对正整数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分拆”:1 {1,
3 3 3 3 3

2

, 3

, 4

}, …以此类推, 若 m 的“分拆”中含有奇数 2015, 则 m 的值为



三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解 答写在答题卡上的指定区域内。 17. (12 分) (2016?黄山一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=16,且 a1,a2﹣4, a3﹣8 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)设 bn= ( ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n

18. (12 分) (2016?黄山一模)某中学举行了一次“爱我黄山知识竞赛”活动,为了了解本次 竞赛的学生成绩, 从中抽取了部分学生的分数 (得分取正整数, 满分为 100 分) 作为样本 (样 本容量为 n)进行统计,按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]的分

组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ,[80, 90)的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上的同学中随机抽取 4 名同学到市政广场参 加环保知识宣传的志愿者活动. 设 X 表示所抽取的 4 名同学中得分在[85, 100]的学生个数, 求 X 的分布列及其数学期望.

19. (12 分) (2016?黄山一模)如图 1 所示,直角梯形 ABCD 中,∠BCD=90°,AD∥BC, AD=8,BC=CD=4,过 B 作 BE⊥AD 于 E,P 是线段 DE 上的一个动点,将△ABE 沿 BE 向 上折起,使 AC=4 ,连结 PA、PC、AC(如图 2) . (Ⅰ)若点 P、Q 分别为 DE 和 AC 的中点,求证:PQ∥平面 ABE; (Ⅱ)若平面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值为 ,求 PE 的长

度. 20. (12 分) (2016?黄山一模)在平面直角坐标系中,已知椭圆 C:
2 2

,设第一象

限内的点 R(x0,y0)在椭圆 C 上,从原点 O 向圆 R: (x﹣x0) +(y﹣y0) =4 作两条切线, 切点分别为 P、Q. (Ⅰ)当 OP⊥OQ 时,求圆 R 的方程;

(Ⅱ)是否存在点 R,当直线 OP,OQ 斜率 k1、k2 都存在时,使得 k1k2﹣ 存在,求点 R 的坐标;若不存在,说明理由. 21. (12 分) (2016?黄山一模)已知函数 f(x)=aln(x﹣a)﹣ x +x(a<0) . (1)当 a=﹣2 时,求 f(x)在[﹣ ,2]上的最小值(参考数据:ln2=0.6931) ; (2)若函数 f(x)有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围.
2

+1=0?若

考生注意:请在第 22,23,24 三题中任选一题做答,只能做所选定的题目,如果多做,则 按所做的第一个题目计分, 作答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑。 [选 修 4--1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?黄山一模)如图,正方形 ABCD 中,以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与 以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连接 CF 并延长交 AB 于点 E. (Ⅰ)求证:AE=EB; (Ⅱ)若 EF?FC= ,求正方形 ABCD 的面积.

[选修 4--4:坐标系与参数方程] 23. (2016?黄山一模)设极坐标与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,原点 O 为极点,x 轴坐标轴为极轴,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos2θ+3=0,曲线 C2 的参数方程为 是参数,m 是常数) . (Ⅰ)求 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (Ⅱ)若 C1 与 C2 有两个不同的公共点,求 m 的取值范围. [选修 4--5:不等式选讲] 24. (2016?黄山一模)已知 f(x)=| ﹣ x|﹣| + x| (Ⅰ)关于 x 的不等式 f(x)≥a ﹣3a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 f(m)+f(n)=4,且 m<n,求 m+n 的取值范围.
2 2

(t

2016 年安徽省黄山市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?黄山一模)若复数 z+3=1﹣i,则复数 z 的共轭复数的模( ) A.1 B. C. D. 【分析】由复数 z+3=1﹣i,得 z=﹣2﹣i,进一步求出 z 的共轭复数,再由复数模的公式计算 可得答案. 【解答】解:由复数 z+3=1﹣i,得 z=﹣2﹣i. 则复数 z 的共轭复数是:﹣2+i, 共轭复数的模为: .

故选:C. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.

2. (5 分) (2016?黄山一模)已知集合 M={0,1,2},N={y|y=sin ( ) A.{﹣1,0,1} B.{﹣1,0} C.{0,1} D.{0,1,2} 【分析】先求出集合 N,再由交集定义求 M∩N. 【解答】解:∵集合 M={0,1,2},N={y|y=sin

x,x∈M},则 M∩N=

x,x∈M}={0,1},

∴M∩N={0,1}. 故选:C. 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用. 3. (5 分) (2016?黄山一模)已知 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=x+2,则 f(x)=( A.x+1 B.2x﹣1 C.﹣x+1 D.x+1 或﹣x﹣1 【分析】设出函数的解析式,利用已知条件列出方程求解即可. 【解答】解:f(x)是一次函数,设 f(x)=kx+b, f[f(x)]=x+2, 可得:k(kx+b)+b=x+2. 即 k x+kb+b=x+2, 2 k =1,kb+b=2. 解得 k=1,b=1. 则 f(x)=x+1. 故选:A. 【点评】本题考查函数的解析式的求法,考查计算能力.
2



4. (5 分) (2016?黄山一模)如图,某大风车的半径为 2 米,每 12 秒旋转一周,它的最低 点 O 离地面 1 米,点 O 在地面上的射影为 A.风车圆周上一点 M 从最低点 O 开始,逆时针 方向旋转 40 秒后到达 P 点,则点 P 到点 A 的距离与点 P 的高度之和为( )

A.5 B.4 C.4 D.4 【分析】以圆心 O 为原点,以水平方向为 x 轴方向,以竖直方向为 y 轴方向建立平面直角 坐标系,则根据大风车的半径为 2m,圆上最低点 O 离地面 1 米,12s 秒转动一圈,我们易 得到到 f(t)与 t 间的函数关系式,求出 P 的坐标,即可求出点 P 到点 A 的距离与点 P 的高 度之和. 【解答】解:以圆心 O 为原点,以水平方向为 x 轴方向,以竖直方向为 y 轴方向建立平面 直角坐标系,则根据大风车的半径为 2m,圆上最低点 O 离地面 1 米,12s 秒转动一圈, 设∠OO1P=θ,运动 t(s)后与地面的距离为 f(t) . 又 T=12,∴θ= t,∴f(t)=3﹣2cos t,t≥0; ,

风车圆周上一点 M 从最低点 O 开始, 逆时针方向旋转 40 秒后到达 P 点, θ=6π+ π, P ( 1) ∴点 P 的高度 3﹣2×(﹣ )=4 ∵A(0,﹣3) ,∴AP= = , ∴点 P 到点 A 的距离与点 P 的高度之和为 4+ 故选:D.



【点评】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型,在建立函数模型的过程中, 以圆心 O 为原点,以水平方向为 x 轴方向,以竖直方向为 y 轴方向建立平面直角坐标系, 将现实问题转化为数学问题,是解答的关键. 5. (5 分) (2016?黄山一模)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术”, 执行该程序框图 (如图) , 若输入的 a, b 分别为 21 和 33, 则输出的 a= ( )

A.2 B.3 C.7 D.13 【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的 a,b 的值,即可得到结 论. 【解答】解:由 a=21,b=33,a<b, 则 b 变为 33﹣21=12, 由 a>b,则 a 变为 21﹣12=9, 由 b>a,则 b 变为 12﹣9=3, 由 a>b,则 a 变为 9﹣3=6, 由 a>b,则 a 变为 6﹣3=3, 由 a=b=3, 则输出的 a=3. 故选:B. 【点评】 本题考查算法和程序框图, 主要考查循环结构的理解和运用, 以及赋值语句的运用, 属于基础题. 6. (5 分) (2016?黄山一模)设圆 C:x +y ﹣2x﹣2y﹣m=0 与直线 y=x﹣4 相切,则圆 C 的 半径为( ) A.2 B.10 C.6 D.2 【分析】先求出圆心,再求出圆心到直线的距离,由此能求出圆 C 半径. 2 2 【解答】解:∵圆 C:x +y ﹣2x﹣2y﹣m=0 与直线 y=x﹣4 相切, 圆 C 的圆心 C(1,1) , ∴圆 C 的半径 r= =2 .
2 2

故选:D. 【点评】本题考查圆的半径的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线距离公式 的合理运用. 7. (5 分) (2016?黄山一模)如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形和一个小正方 形,若直角三角形较长的直角边为 4,小正方形的面积为 9.现向大正方形内随机撒一枚幸 运小星星,则小星星落在小正方形内的概率为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】 根据几何概型概率的求法, 飞镖扎在小正方形内的概率为小正方形内与大正方形的 面积比,根据题意,可得小正方形的面积与大正方形的面积,进而可得答案. 【解答】解:根据题意,小正方形的面积为 9,则小正方形的边长是 3, 又直角三角形较长的直角边为 4, 得出四个全等的直角三角直角边分别是 4 和 1, ∴大正方形的面积为 17, 故飞镖扎在小正方形内的概率为 .

故选:B. 【点评】用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比;难点是得到正方形的边长. 8. (5 分) (2016?黄山一模)如图 1,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a,动点 M、 N、Q 分别在线段 AD1、B1C、C1D1 上,当三棱锥 Q﹣BMN 的正视图如图所示时,三棱锥

Q﹣BMN 的侧视图的面积等于( A. B. C. D.



【分析】由三棱锥 Q﹣BMN 的正视图可得 Q 在 D1,N 在 C,所以三棱锥 Q﹣BMN 侧视图 为△C1BC,即可求出三棱锥 Q﹣BMN 侧视图的面积. 【解答】解:由三棱锥 Q﹣BMN 的正视图可得 Q 在 D1,N 在 C, 所以三棱锥 Q﹣BMN 侧视图为△C1BC, 其面积为 ?a?a= a , 故选:C.
2

【点评】本题考查三棱锥 Q﹣BMN 正视图的面积,考查学生的计算能力,确定三棱锥 Q﹣ BMN 侧视图为△C1BC 是关键. 9. (5 分) (2016?黄山一模)设函数 f(x)=sin2x+ 成中心对称,且 x0 A.π B. C. ,则 x0+y0=( D.0 或 ) ) ,根据对称中心的性质和 x0 的范围求出 x0,y0 ,∵f(x)的图象关于(x0,y0)成中心对称, =kπ,k∈Z. ) + 的图象关于点(x0,y0)

【分析】化简 f(x)=2sin(2x+ 【解答】解:f(x)=2sin(2x+ ∴sin(2x0+ ∵x0 )=0,y0= ,∴x0=

.∴2x0+ .

∴x0+y0=π. 故选:A. 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,正弦函数的性质,属于中档题.

10. (5 分) (2016?黄山一模)过双曲线

(a>0,b>0)的右焦点 F 作 x 轴的垂

线,交双曲线于 A、B 两点,若双曲线的左顶点 C 在以 AB 为直径的圆的内部,则此双曲线 离心率 e 的取值范围是( ) A. ( ) B. ( ) C. (2,+∞) D. (1, )

【分析】作出图形如图,由左顶点 C 在以 AB 为直径的圆的内部,得|CF|<|AF|,将其转 化为关于 a、b、c 的式子,再结合平方关系和离心率的公式,求出 a,c 的关系即可得到结 论. 【解答】解:直线 AB 方程为:x=c,其中 c= 因此,设 A(c,y0) ,B(c,﹣y0) ,





=1,解之得 y0=

,得|AF|=



∵双曲线的左焦点 C(﹣a,0)在以 AB 为直径的圆内部 ∴|CF|<|AF|,即 a+c<
2 2



即 a +ac<b , 2 2 2 将 b =c ﹣a ,并化简整理, 2 2 得 2a +ac﹣c <0 2 2 两边都除以 a ,整理得 e ﹣e﹣2>0, 解得 e>2(舍负) 故选:C

【点评】本题给出以双曲线通径为直径的圆,当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率,着重 考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题. 11. (5 分) (2016?黄山一模)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数 f′(x) ,当 x≠0 时, f′(x)﹣ ,若 a= ,b=﹣ ,c=(log3e)f(ln3) ,则下列关于

a、b、c 的大小关系正确的是( ) A.b>c>a B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c 【分析】构造函数 g(x)= ,判断函数的单调性,从而比较出 a,b,c 的大小即可. >0,

【解答】解:∵当 x≠0 时,f′(x)﹣

∴x>0 时,xf′(x)﹣f(x)>0,x<0 时,xf′(x)﹣f(x)<0, 令 g(x)= ,则 g′(x)= ,

x>0 时,g′(x)>0,g(x)递增, x<0 时,g′(x)<0,g(x)递减, 若 a= ,b=﹣ ,c=(log3e)f(ln3) ,

则 a=g(cos3) ,b=g(﹣2016) ,c=g(ln3)=g(﹣ln3) , 而﹣2016<﹣ln3<cos3, ∴b>c>a, 故选:A. 【点评】本题考查了函的单调性问题,考查导数的应用,构造函数 g(x)= 关键,本题是一道中档题. 12. (5 分) (2016?黄山一模)函数 f(x)的定义域为 D,对给定的正数 k,若存在闭区间 [a,b]? D,使得函数 f(x)满足:①f(x)在[a,b]内是单调递增函数;②f(x)在[a, b]上的值域为[ka,kb],则称区间[a,b]为 y=f(x)的 k 级“调和区间”.下列结论错误的是 ( ) A.函数 f(x)=x (x∈[﹣2016,2016]存在 1 级“调和区间” x B.函数 f(x)=e (x∈R)不存在 2 级“调和区间” C.函数 f(x)=5elnx 存在 3 级“调和区间” D.函数 f(x)=tanx(x )不存在 4 级“调和区间”
3

是解题的

【分析】利用导数与 y=f(x)的 k 级“调和区间”的定义:只要证明函数 g(x)=f(x)﹣kx 在定义域 D 上存在存在两个零点即可. 2 【解答】解:A.∵f′(x)=3x ≥0,∴函数 f(x)在 R 上单调递增.取 x∈[﹣1,1]∈R, 则 f(x)∈[﹣1,1],因此[﹣1,1]是函数 f(x)的 1 级“调和区间”,故 A 正确; x x B.f′(x)=e >0,因此函数 f(x)=e 在 x∈R 上单调递增,假设函数存在 2 级“调和区间”, x x x 则 f(x)=e =2x,有两个零点,令 g(x)=e ﹣2x,g′(x)=e ﹣2,令 g′(x)=0, 解得 x=ln2,当 x=ln2 时,函数 g(x)取得极小值即最小值,g(ln2)=2﹣2ln2>0,∴g(x) =e ﹣2x>0,即函数 g(x)不存在零点,与假设矛盾,舍去.不存在 2 级“调和区间”,故 B 正确; C.f′(x)= (x)= ﹣3= >0,因此函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.令 g(x)=5elnx﹣3x,g′ ,可知:当 x= 时,函数 g(x)取得最大值, =5eln ﹣
x

5e>0, 并且 x→0+时,g(x)→﹣∞;x→+∞时,g(x)→﹣∞.因此函数 g(x)在(0,+∞)上存 在两个零点,即 f(x)=5elnx 存在 3 级“调和区间”,故 C 正确. D.∵f(x)=tanx 在 x =tanx﹣4x 在 x 上单调递增,假设存在 4 级“调和区间”,则 g(x) 至少存在两个零点, 利用几何画板画出 x

的图象,可以看出,满足题意,因此不正确. 故选:D.

【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、 函数的 k 级“调和区间”的定义、 函数的零点,考查了数形结合能力、推理能力与计算能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上. 13. (5 分) (2016?黄山一模)已知(ax﹣1) 的展开式中的 x 系数为 80,则其展开式中 2 x 的系数为 ﹣40 . 【分析】 根据展开式中的 x 系数为 (﹣1) 的值. 【解答】解: (ax﹣1) 的展开式中的 x 系数为 故展开式中 x 的系数为
2 5 3 3 3 5 3

?a =80, 求得 a 的值, 可得展开式中 x 的系数为

3

2

?a ?

2

?a =80,a=2,

3

?a ?(﹣1) =﹣40,

2

3

故答案为:﹣40. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题. 14. (5 分) (2016?黄山一模)如图,已知圆 M: (x﹣3) +(y﹣3) =4,六边形 ABCDEF 为圆 M 的内接正六边形, N 为 AB 的中点, 当正六边形 ABCDEF 绕圆心 M 转动时, 的最大值是 3 .
2 2

【分析】运用向量的三角形法则,结合向量的数量积的定义及几何意义, 向量的数量积定义及余弦函数的值域即可得到最大值.

?

=0,再由

【解答】解:由题意可得 ∴ ∵ ? = =| ?( |?|
2

= ?

+ +

, ? ,

+

)=

|cos∠NMC=
2

×2×cos90°=0,

由于圆 M: (x﹣3) +(y﹣3) =4,则圆心 M(3,3) ,半径 r=2, 则 OM=3 ,MN= , ∴ ∴( ? =﹣ ? =﹣3 . × cos< , >∈[﹣3 ,3 ],

)max=3

故答案为:3 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量的加减法的法则,以及其几何意 义,余弦函数的值域,属于中档题. 15. (5 分) (2016?黄山一模)甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时,回 答如下:甲说:我没有去过;乙说:丙游览过;丙说:丁游览过;丁说:我没游览过.在以 上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山. 根据以上条件, 可以判断游览过华山 的人是 甲 . 【分析】假设甲去过,则甲乙丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意. 【解答】解:假设甲去过,则甲乙丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意.所以填甲去 过. 故答案为:甲. 【点评】本题考查合情推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 16. (5 分) (2016?黄山一模)对正整数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分拆”:1 {1,
3 3 3 3 3

2

, 3

, 4

}, …以此类推, 若 m 的“分拆”中含有奇数 2015, 则 m 的值为 45 .

【分析】由题意知,n 的三次方就是 n 个连续奇数相加,且从 2 开始,这些三次方的分解正 3 好是从奇数 3 开始连续出现, 由此规律即可找出 m 的“分裂数”中有一个是 2015 时, m 的值. 【解答】 解: 由题意, 从2 到m , 正好用去从 3 开始的连续奇数共 2+3+4+…+m= 个, 2015 是从 3 开始的第 1007 个奇数 当 m=44 时,从 2 到 44 ,用去从 3 开始的连续奇数共 当 m=45 时,从 2 到 45 ,用去从 3 开始的连续奇数共 故 m=45. 故答案为:45.
3 3 3 3 3 3

=989 个 =1034 个

【点评】本题考查归纳推理,求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论,其中分析出分 解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解 答写在答题卡上的指定区域内。 17. (12 分) (2016?黄山一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=16,且 a1,a2﹣4, a3﹣8 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)设 bn= ( ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n

【分析】 (I)设等差数列{an}的公差为 d,由 S2=16,且 a1,a2﹣4,a3﹣8 成等比数列.可 得 ,解得 a1,d,即可得出.

(II)由(I)可得:an,Sn.可得 bn=



) =(n+2)?2 .再利用“错位相减法”

n

n

与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解: (I)设等差数列{an}的公差为 d,∵S2=16,且 a1,a2﹣4,a3﹣8 成等比数列. ∴ ,解得 a1=6,d=4. =2n +4n.
2

(II)由(I)可得:an=6+4(n﹣1)=4n+2,Sn=
n n

∴bn=



)=
2

=(n+2)?2 .
n

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=3×2+4×2 +…+(n+2)?2 . 2 3 n n+1 2Tn=3×2 +4×2 +…+(n+1)?2 +(n+2)?2 , ∴﹣Tn=6+(2 +2 +…+2 )﹣(n+2)?2
n+1 2 3 n n+1

=4+

﹣(n+2)?2

n+1

=2﹣(n+1)?2

n+1



∴Tn=(n+1)?2 ﹣2. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”,考 查了变形推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分) (2016?黄山一模)某中学举行了一次“爱我黄山知识竞赛”活动,为了了解本次 竞赛的学生成绩, 从中抽取了部分学生的分数 (得分取正整数, 满分为 100 分) 作为样本 (样 本容量为 n)进行统计,按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]的分 组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ,[80, 90)的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上的同学中随机抽取 4 名同学到市政广场参 加环保知识宣传的志愿者活动. 设 X 表示所抽取的 4 名同学中得分在[85, 100]的学生个数, 求 X 的分布列及其数学期望.

【分析】 (Ⅰ)由题意知 0.016=

,由此能求出样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y

的值. (Ⅱ)由题意,分数在[90,100]有 2 人,分数在[80,90)有 5 人,共 7 人,其中分数在[80, 85)有 3 人,在[85,100]有 4 人,则分数在[85,100]的学生个数 X 的可能取值为 1,2,3, 4,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 E(X) . 【解答】解: (Ⅰ)由题意知 0.016= ∴y= =0.01, ,解得 n=50,

x=[1﹣10(0.004+0.01+0.016+0.04)]÷10=0.03. (Ⅱ)由题意,分数在[90,100]有 2 人,分数在[80,90)有 5 人,共 7 人, 其中分数在[80,85)有 3 人,在[85,100]有 4 人, 则分数在[85,100]的学生个数 X 的可能取值为 1,2,3,4, P(X=1)= = ,

P(X=2)=

=



P(X=3)=

=



P(X=4)=

=



∴X 的分布列为: X 1

2

3

4

P E(X)= = .

【点评】 本题考查频率分布直方图的应用, 考查离散型随机变量的分布列、 数学期望的求法, 是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 19. (12 分) (2016?黄山一模)如图 1 所示,直角梯形 ABCD 中,∠BCD=90°,AD∥BC, AD=8,BC=CD=4,过 B 作 BE⊥AD 于 E,P 是线段 DE 上的一个动点,将△ABE 沿 BE 向 上折起,使 AC=4 ,连结 PA、PC、AC(如图 2) . (Ⅰ)若点 P、Q 分别为 DE 和 AC 的中点,求证:PQ∥平面 ABE; (Ⅱ)若平面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值为 ,求 PE 的长

度. 【分析】 (Ⅰ)根据线面平行的判定定理证明 ME∥PQ 即可. (Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法结合二面角的余弦值建立方程关系 进行求解即可. 【解答】证明: (Ⅰ)取 AB 的中点 M,连结 EM,QM.

由 Q 为 AC 的中点,得 MQ∥BC,且 又 PE∥BC,且 ,



∴PE∥MQ,PE=MQ, ∴四边形 PEMQ 为平行四边形,

故 ME∥PQ. 又 PQ?平面 AEB,ME? 平面 AEB, 所以 PQ∥平面 AEB. 2 (Ⅱ)在△AEC 中,AE=4,EC =4+4=32,AC=4 2 2 2 ∴AE +EC =AD , 由勾股定理得 AE⊥EC, ∵AE⊥BE,CE∩BE=E, ∴AE⊥平面 BCDE, 以 E 为原点,分别以



为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图

2) , 设 PF=a,0≤a≤4, 则 E(0,0,0) ,B(4,0,0) ,A(0,0,4) ,P(0,a,0) , C(4,4,0) , =(4,4﹣a,0) , =(4,4,﹣4) ,

设平面 APC 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ? =4x+(4﹣a)y=0, ? =4x+4y﹣4z=0,

令 z=1,则 x=1﹣ ,y= ,则 =(1﹣﹣ , ,1) 平面 AEB 的一个法向量为 =(0,1,0) , ∵平面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值为 ,

∴|cos

|=|

|=

=



平方解得 a=2,即 PE=2. 【点评】本题考查了空间中的线面平行的判定以及二面角的求解,建立空间坐标系,求出平 面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.

20. (12 分) (2016?黄山一模)在平面直角坐标系中,已知椭圆 C:
2 2

,设第一象

限内的点 R(x0,y0)在椭圆 C 上,从原点 O 向圆 R: (x﹣x0) +(y﹣y0) =4 作两条切线, 切点分别为 P、Q. (Ⅰ)当 OP⊥OQ 时,求圆 R 的方程; (Ⅱ)是否存在点 R,当直线 OP,OQ 斜率 k1、k2 都存在时,使得 k1k2﹣ 存在,求点 R 的坐标;若不存在,说明理由. +1=0?若

【分析】 (Ⅰ)通过直线 OP,OQ 互相垂直,以及点的坐标适合椭圆方程,求出圆的圆心, 然后求圆 R 的方程; (Ⅱ)当直线 OP,OQ 斜率 k1、k2 都存在时,推导出 k1,k2 是方程(x0 ﹣4)k ﹣2x0y0k+y0 ﹣4=0 的两个不相等的实数根, 由此利用达定理结合已知条件得到 x0= ,
2 2 2

=

﹣9 不成立,从而得到不存在点 R,当直线 OP,OQ 斜率 k1、k2 都存在时,使得 k1k2﹣ +1=0. 【解答】解: (Ⅰ)由题意圆的半径为 2, ∵OP⊥OQ,且 OP、OQ 都与圆相切, ∴OR= =2 ,∴ =8,①

∵点 R(x0,y0)在椭圆 C 上,∴ 由①②及 R 在第一象限,解得 x0=y0=2, 2 2 ∴圆 R 的方程为: (x﹣2) +(y﹣2) =8.

,②

(Ⅱ)不存在点 R,当直线 OP,OQ 斜率 k1、k2 都存在时,使得 k1k2﹣ 理由如下:

+1=0.

∵当直线 OP,OQ 斜率 k1、k2 都存在时,从原点 O 向圆 R: (x﹣x0) +(y﹣y0) =4 作两 条切线,切点分别为 P、Q, ∴直线 OP:y=k1x,直线 OQ:y=k2x 均于圆 R 相切, ∵直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x,与圆 R 相切, ∴ ,化简得(1+ )x ﹣(2x0+2k1y0)x+ ,
2 2 2 2

2

2

﹣4=0,

同理

∴k1,k2 是方程(x0 ﹣4)k ﹣2x0y0k+y0 ﹣4=0 的两个不相等的实数根, ∴k1k2= ? = = ,k1+k2= ,

∵点 R(x0,y0)在椭圆 C 上,∴





=



∴k1k2﹣ 解得 x0= ,

+1=



+1=

=

=0,

=﹣9 不成立,

故不存在点 R,当直线 OP,OQ 斜率 k1、k2 都存在时,使得 k1k2﹣

+1=0.

【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用,直线与圆相切关系的应用,考查分析问题解决问 题的能力.转化思想的应用.
2

21. (12 分) (2016?黄山一模)已知函数 f(x)=aln(x﹣a)﹣ x +x(a<0) . (1)当 a=﹣2 时,求 f(x)在[﹣ ,2]上的最小值(参考数据:ln2=0.6931) ; (2)若函数 f(x)有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)把 a=1 代入 f(x) ,然后对 f(x) 进行求导,令 f′(x)=0,可得极值点,再 与端点值进行比较,就可得出 f(x)的最小值. (2)对函数求导,令导函数为零,由只有一个可以确定两个极值为同号. 【解答】解: (1)∵a=﹣2 ∴f(x)=﹣2ln(x+2)﹣ x +x ∴ =
2

令 f′(x)=0,x=0,x2=﹣1 f(x)有两个极值 f(0)=﹣2ln2,f(﹣1)= f(x)两个端点处的值为 f(2)=﹣2ln4=﹣4ln2,f(﹣ )=2ln2﹣ ∴f(x)的最小值为﹣4ln2 (2)定义域为(a,+∞) f′(x)=

= = 令 f′(x)=0.则 x1=0,x2=a+1 ∵f(x)有且仅有一个零点 则 f(x)的两个极值均为正或负 f(0)=aln(﹣a)

f(a+1)=﹣ a

2

∴f(0)﹣f(a+1)>0 即 aln(﹣a) ( )>0

即 ln(﹣a) (a﹣1) (a+1)>0 ∴ 或

由此得 a<﹣1 或﹣1<a<0 ∴a 的范围是 a<﹣1 或﹣1<a<0 【点评】本题主要考察了对导数的求解和对只有一个零点的理解,属于经常接触的题目,可 以记住此类型的对应结论. 考生注意:请在第 22,23,24 三题中任选一题做答,只能做所选定的题目,如果多做,则 按所做的第一个题目计分, 作答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑。 [选 修 4--1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?黄山一模)如图,正方形 ABCD 中,以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与 以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连接 CF 并延长交 AB 于点 E. (Ⅰ)求证:AE=EB; (Ⅱ)若 EF?FC= ,求正方形 ABCD 的面积.

【分析】 (Ⅰ)推导出 EA 为圆 D 的切线,且 EB 是圆 O 的切线,由此利用切割线定理能证 明 AE=EB. (Ⅱ)设正方形的边长为 a,连结 BF,由射影定理能求出正方形 ABCD 的面积. 【解答】证明: (Ⅰ)∵以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径半圆交于点 F, 且四边形 ABCD 为正方形, ∴EA 为圆 D 的切线,且 EB 是圆 O 的切线, 2 由切割线定理得 EA =EF?EC, 故 AE=EB. (Ⅱ)设正方形的边长为 a,连结 BF, ∵BC 为圆 O 的直径,∴BF⊥EC, 在 Rt△BCE 中,由射影定理得 EF?FC=BF = ,
2

∴BF=

=

,解得 a=2,

∴正方形 ABCD 的面积为 4.

【点评】本题考查两线段相等的证明,考查正方形面积的求法,是中档题,解题时要认真审 题,注意空间思维能力的培养. [选修 4--4:坐标系与参数方程] 23. (2016?黄山一模)设极坐标与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,原点 O 为极点,x 轴坐标轴为极轴,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos2θ+3=0,曲线 C2 的参数方程为 是参数,m 是常数) . (Ⅰ)求 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (Ⅱ)若 C1 与 C2 有两个不同的公共点,求 m 的取值范围. 2 2 2 2 【分析】 (I)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos2θ+3=0,即 ρ (cos θ﹣sin θ)+3=0,利用 可得直角坐标方程.曲线 C2 的参数方程为 (t 是参数,m 是常数) ,
2

(t

消去参数 t 可得普通方程. 2 2 (II)把 x=2y+m 代入双曲线方程可得:3y +4my+m +3=0,由于 C1 与 C2 有两个不同的公共 点,△>0,可解得 m 的取值范围. 【解答】解: (I)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos2θ+3=0,即 ρ (cos θ﹣sin θ)+3=0,可得 2 2 直角坐标方程:x ﹣y +3=0. 曲线 C2 的参数方程为 ﹣m=0. (II)把 x=2y+m 代入双曲线方程可得:3y +4my+m +3=0,由于 C1 与 C2 有两个不同的公共 点, 2 2 ∴△=16m ﹣12(m +3)>0,解得 m<﹣3 或 m>3, ∴m<﹣3 或 m>3. 【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线 的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修 4--5:不等式选讲] 24. (2016?黄山一模)已知 f(x)=| ﹣ x|﹣| + x| (Ⅰ)关于 x 的不等式 f(x)≥a ﹣3a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 f(m)+f(n)=4,且 m<n,求 m+n 的取值范围. 2 【分析】 (Ⅰ)由条件利用函数的单调性求得 f(x)的最小值为﹣2,再根据﹣2≥a ﹣3a, 求得 a 的范围.
2 2 2 2 2 2 2

(t 是参数,m 是常数) ,消去参数 t 可得普通方程:x﹣2y

(Ⅱ)根据函数的单调性 f(m)≤2,f(n)≤2,结合 f(m)+f(n)=4,可得 m<n≤﹣ , 由此求得 m+n 的范围. 【解答】解: (Ⅰ)关于 x 的不等式 f(x)≥a ﹣3a 恒成立,即| ﹣ x|﹣| + x|≥a ﹣ 3a 恒成立.
2 2

由于 f(x)=| ﹣ x|﹣| + x|=

,故 f(x)的最小值为﹣2,

∴﹣2≥a ﹣3a,求得 1≤a≤2. (Ⅱ)由于 f(x)的最大值为 2,∴f(m)≤2,f(n)≤2, 若 f(m)+f(n)=4,∴m<n≤﹣ ,∴m+n<﹣5. 【点评】本题主要考查分段函数的应用,求函数的最值,函数的恒成立问题,属于中档题.

2


安徽省黄山市2016届高考数学一模试卷 文(含解析)

2016 年安徽省黄山市高考数学一模试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每小题只有一个选项符合题意) 1. 集合 U=R, A={x|x ...

安徽省黄山市2016届高考数学一模试卷(文科) Word版含解析

2016 年安徽省黄山市高考数学一模试卷(文科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每小题只有一个选项符合题意) 1. A={x|x2﹣x﹣2<0},...

2016年安徽省池州市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2016年安徽省池州市高考数学一模试卷(理科)含答案解析_数学_初中教育_教育专区。2016 年安徽省池州市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5...

2016届安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2016届安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题(共 12 小题,每...

2016年河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

(x)≤3 恒成立,求 a 的取值范围. 2016 年河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.若 z= A.﹣...

安徽省蚌埠市2016届高考数学一模试卷 理(含解析)

安徽省蚌埠市2016届高考数学一模试卷 理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2016 年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷(理科) 一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,...

安徽省黄山市2016年高考物理一模试卷(解析版)

2016 年安徽省黄山市高考物理一模试卷一、选择题(本大题共 12 小题,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,第 1-8 题只有一项符合题目要求,每小题 3 分,...

2016年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)

(共 52 页) 2016 年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四...

2016年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2016年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小...

2016年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

(共 18 页) 2016 年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个...