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必修4平面向量复习题


高一年级数学科 必修四
一.知识规律 1.向量的有关概念: 名称 向量 零向量 定义

平面向量

既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为零的向量叫做零向量,其方向是任意的,记作:

0.



单位向量 平行向量 相等向量 相反向量<

br />
长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量,平行向量又叫共线向量,规定:零向量与任 一向量是平行向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量


向量可用字母 a,b,c,?表示, 或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示, 例如: 例 1.下列给出的命题正确的是( ) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.平面内的单位向量有且仅有一个 C.

AB

a 与 b 是共线向量, b 与 c 是平行向量,则 a 与 c 是方向相同的向量














D.相等的向量必是共线向量 【答案】D。 例 2.如右图,设 O 正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出与 OA 、 OB 、 OC 相等的向量. 【答案】 OA = CB = DO ; OB = DC = EO ; . 练习

→ → → → → →





OC = AB = ED = FO
1..设
→ →









a0



为单位向量: 若 a 为平面内的某个向量,则 ;?若 a 与 a0 平行且 a = 1 ,则 a = a0 。上述






a = a a0

; 若a与



a0





平行,则

a = a a0

→ →





命题中,假命题的个数是 。 【答案】0 个 2.平面向量的线性运算 (1)向量的加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法 设 AB = a , BC = b , a + b = AB + BC = AC ?规定: 0 + a = a + 0 = a
→ → → → →


















?向量的加法满足交换律和结合律

三角形法则:AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则, 简记为:首尾相连、连接首尾、指向终点。 (2)四边形法则:已知两个从同一点 A 出发的两个向量 AC、AB,以 AC、AB 为邻边作
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平行四边形 ACDB,则以 A 为起点的对角线 AD 就是向量 AC、AB 的和,这种计算法则叫做向 量加法的平行四边形法则,简记为:共起点 对角连。 (3)向量的减法: 向量 a 加上向量 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, 记作:a - b = a + (- b ) , 求两个向量差的运算,叫做向量的减法。简记为:共起点、连终点、方向指向被减向量。 (4)-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。 例 3.. AC + DB + CD + BA 等于________.【答案】 0
→ → → → → → → → →

(5)例 4.若 A、 B、 C、 D 是平面内任意四点, 给出下列式子: ① AB + CD = BC + DA ② AC + BD = BC + AD ;③ AC - BD = DC + AB .其中正确的有( ) 【答案】②③ (2)向量数乘运算及其几何意义 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 λa。它的长度与方 向规定如下:? λa = λ a ;?当 λ>0 时,λa 的方向和 a 的方向相同,当 λ<0 时,λa 的方 向和 a 的方向相反,当 λ = 0 时,λa=0。 用坐标表示的情况下有:λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1) 设 λ、μ 是实数,那么满足如下运算性质: (λμ)a= λ(μa) (λ + μ)a= λa+ μa λ(a± b) = λa± λb (-λ)a=-(λa) = λ(-a) 平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量 a、b 叫做平行向量,记作:a∥b, 规定零向量和任何向量平行 共线向量定理: 如果 a≠0, 那么向量 b 与 a 共线的充要条件是: 存在唯一实数 λ, 使得 b=λa。 总结: 证三点共线:两向量共线且有一个公共点,若 AB = λ BC ,即 AB 与 BC 共
→ → → → → → → →









线且有一个公共点 B,则 A、B、C 三点共线; 证两直线平行:

AB = λCD ? AB ∥ CD

?直线 AB∥直线 CD。

AB、CD 不重合


(-3) ×4a 3(a + b) - 2(a - b) - a (3) (2a + 3b - c) - (3a - 2b + c)
5.





(1)

(2)

【答案】(1)-12a

(2)5b

(3) -a+5b-2c
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例 6.如图,已知 AD = 3 AB 、 DE = 3BC ,试判断 AC 与 AE 是否共线?【答案】 共线 例 7.如图,在 ? ABC 中,D 是 AB 的中点,E 是 BC 延长线上的点,且 BE=2BC 求, 用(1) BA 、 BC 表示 DE .(2)用 CA 、 CB 表示 DE
(1) DE = DB + BE =




【答案】
→ →

1 1 AB + 2 BC = - BA + 2 BC 2 2

(2) DE = DB+ BE =

→ → 1 → 1 → → AB+ 2 BC = ( AC+ CB) + 2 BC 2 2 → 1 → 1 → 1 → 3 → = AC+ CB + 2 BC = - CA- CB 2 2 2 2

, k ∈ R), d = a - b ,如果 c // d ,那么( ) 例 7.已知向量, a 与 b 不共线, c = k a + b(
A.k=1,且 c 与 d 同向 C.k=-1,且 c 与 d 同向 【答案】D. 练习 2.对于非零向量 a 与 b , 是 a // b 的( ) “a + 2 b = 0” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 练习 3.下列命题正确的是( ) A.向量
→ →
→ → →













→ →









B.k=1,且 c 与 d 反向 D.k=-1,且 c 与 d 反向
→ → → →









【答案】A.

a b







共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ ,使得

b = λa





B.在 ? ABC 中, AB + BC + CA = 0 C.不等式


a - b ≤ a + b ≤ a + b 中两个等号不可能同时成立












D.向量

a b



不共线,则向量
→ →

a b
+





与向量 C.当

a b 必不共线、
→ → →





【分析】A. 练习 4. 【答案】 A

a ≠0 B.0 与 0 不分

a = 0 或 b = 0 时两等号成立。所以答案是 D.



练习 5.设 e1 、 e 2 是啷个不共线向量,已知 AB = 2e1 - 8e2 , CB = e1 + 3e2 , CD = 2e1 - e2 ;

(1)求证:A、B、C 三点共线。 (2)若 BF = 3e1 - ke2 ,且 B、D、F 三点共线,求 k 的值。

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【分析】解:(1)证明:由已知得: BD = CD- CB = (2e1 - e2 ) - (e1 + 3e2 ) = e1 - 4e2 ,
? AB = 2e1 - 8e2 , ∴ AB = 2 BD ,又因为 AB 与 BD 有公共点 B,所以 A、B、D 三点共
→ → →
→ →







线。(2)由(1)知: BD = e1 - 4e2 ,且 BF = 3e1 - ke2 ,因为 B、D、F 三点共线, 所以 BF = λ BD ,即,解得 k=12
3.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理:如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a , 有且只有一对实数 λ1 、λ2 , 使 a = λ1 e1 + λ2 e 2 .我们把不共线的向量 e1 、e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 特别注意: ①向量的加法和减法是互逆运算 ②相等向量和平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件。 ③向量平行和直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线的 情况。 ④向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、 终点的具体位置无关, 只与其相对位置有关。 . 例 8.
→ →
→ →





【分析】基底是不共线的。A 零向量与任意向量共线,答案 B. 例 9.

【分析】答案为 B. ?只有一对;?可能其中一个为零向量 例 10.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若

AC = λ AE + μ AF , ( λ, μ ∈ R) ,则 λ + μ =
【分析】自己画图,可解出 λ =







4 2 2 ,μ = ,所以答案为 3 3 3

(2)向量的夹角 已知两个非零向量

a 和 b ,如图 3-1,做 OA = a ,OB = b ,
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则 ∠AOB = θ (00 ≤θ ≤1800 ) 叫做向量 ?当 θ = 0 时,
0
0

a b 的夹角。






a b 同向







?当 θ = 180 时,
→ →

a b 反向

→ →



图 3-1
→ →

?当

a 和 b 的夹角是 90 度时,我们说 a 与 b 垂直,记作: a ⊥b

(2)平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解 如右图,分别取 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 和 j 作为基底, 对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理知, 有且只有一对实数 x,y,使得
→ → →

a= xi + y

j

,这样平面内任一向量

a 都可由 x,y 唯一确



定,把有序数对(x,y)叫做向量

a



的坐标,记作

a =(x,y)



例 11 如右图,用基底 i ,j 分别表示向量 a、b 、c 、d ,并 求它们的坐标

(3)平面向量的坐标运算

a = ( x1, y1 ) ,
→ → 1



b = (x , y )
2 2 2 1



a + b = (x + x , y
→ →

+ y2 )


a - b = (x - x , y - y )
1 2 1 2






这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)

λ a = λ(x1 i + y1 j ) = λx1 i + λy1



j

λ a = ( λx1,λy1 )



这就是说,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 如右图,已知 A = ( x1 , y1 ) , B = ( x2 , y2 ) ,

AB = OB - OA = ( x2 , y2 ) - ( x1, y1 ) = ( x2 - x1, y2 - y1 )
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. (4)平面向量共线的坐标表示







a = (x , y )
1 1






b = ( x , y ) 其中,b ≠0 ,a 与 b 共线,当且仅当存在实
2 2











数 λ ,使

a = λb
- x2 y1 = 0
→ →



即: ( x1 , y1 ) = λ( x2 , y2 ) ,化简消去 λ 得: x1 y2

这就是说,,当且仅当 x1 y2 - x2 y1 = 0 时,向量 a 与 b ( b ≠ 0 )共线
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例 12.已知向量

(a + λ b) // c ,则 λ = a = (1,2),b = (1,0),c = (3,4) ,若 λ 为实数, 4), AC = (1, 3) ,则 BD = AB = (2,
→ →














【答案】 λ =0.5. 例 13.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, 【答案】(-3,-5) 例 14. 已知 AB = (6,1), BC = ( x, y),CD = (-2,-3), 且BC ∥ DA ,则 x+2y 的值为_____ 【答案】0, 例 15.已知向量

a = (6,4),b = (0,2), OC = a + λ b , O 为坐标原点,若点 C 在函数











π x) 的图像上,则实数 λ 的值为 12 3 【答案】 - . 2 y = sin(
例 16.已知 A (-2,4),B (3, -1) C(-3, -4).设 AB =

a , BC = b , CA = c , ,且 CM = 3 c ,











CN = -2 b 。
(1)求 2





a + b - 3c ; a = m b + n c 的实数 m,n.
MN 的坐标。
→ → → →














(2)求满足

(3)求 M,N 的坐标及向量
→ → →

【分析】解:(1)(6,-42)(2)m=-1,n=-1; (3)?

- 4) = (0,20 ) CM = OM - OC = 3c , ∴ OM = 3c + OC = (3,24) + (-3,
→ → → → → → →

∴ M (0, 20) , 又?CN = ON - OC = -2 b , ∴ ( 12,6) + (- 3, - 4) ON = -2 b + OC =
=(9,2).所以,N(9,2),所以,

- 18) . MN = (9,



练习 6.已知点 A(-1,1)点 B(2,y),向量 【答案】7. 练习 7.已知向量 【答案】1.
→ →

a = (1,2) ,若 AB // a ,则实数 y 的值为
→ → →







a = ( 3,1),b = (0,-1), c = (k , 3) ,若 a - 2 b 与c 共线,则 k=
a = (m, n),b = ( p, q),
→ → → → →



练习 8.定义平面向量之间一种运算“@”如下:对任意的 令

a @ b = mq- np ,下列说法错误的是( )
a 与b 共线,则 a @ b = 0 ;
→ →









A.若

B.

a @b = b@ a



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(λ a)@ b = λ(a @ b) D. C.对任意的 λ ∈ R, 有
【分析】答案是 B.B 只有 mq-np=0 时才相等; 4.平面向量的数量积 (1)已知两个非零向量









(a @ b) = (a ? b) =
2 2









a b


→ 2 →2

a、 b ,那么 a b cosθ (θ 是的夹角 a 与b )叫做 a 与b 的数量






→ →







积或内积,记作


叫做 b 在 a a ? b 。零向量与任意向量的数量积为 0。 b cosθ(a cosθ)












的方向上(


a b 方向上)的投影;



数量积

a ? b 的几何意义是: a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cosθ 的乘积。











两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若

a = ( x1, y1 ),b = ( x2 , y2 ) 则





a ?b = x x





1 2

+ y1 y2
→ → →

(2)向量数量积具有以下性质: ①如果 e 是单位向量,则
→ → → →

a ? e = e ? a = a cosθ


②a⊥ b ?a ? b = 0

a?a = a
→ →





→ 2

或a =



a?a





a? b ≤ a b

→ →

④ cos < a , b >= a ? b ⑤ → →
→ →

→ →

ab

(3)数量积的运算定律 交换律: a ? b = b ? a
→ → → →

分配律: ( a + b ) ? c = a ? c + b ? c
→ → → →







→ →

→ →

(λ a ) ? b = λ( a ? b ) = a? ( λ b) 对 λ∈ R ,
(4)数量积的坐标运算:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 设 a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ,则 ① a ? b = a1b1 + a2b2
→ → → →





② a ⊥b ?a1b1 + a2b2 = 0
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③a =



2 a12 + a2




cos < a, b >=


→ →

a1b1 + a2b2
2 2 a + a2 b12 + b2 2 1

1), b = (-1,k ), a ? (2 a - b ) = 0 ,则 k= 例 17.已知向量 a = (2,
→ → → →



→ →

【答案】12.

0 例 18.已知 a = 5, b = 4, a 与 b 的夹角 θ = 120 ,求 a? b .【答案】-10.

→ →

例 19.已知 a = 6, b = 4, a 与 b 的夹角为 60 度,求 【答案】-72. (a + 2 b) ( ? a- 3 b)
→ → → →

















例 20..已知 a = 6, b = 4, 且 a 与 b 不共线, k 为何值时, 向量 a + k b 与 a - k b 互相垂直? 【答案】 k = ±










3 4

→ → → →

, - 1) ,则 2 a + b 与 a - b 的夹角等于 例 21 若向量 a = (1,2), b = (1
练习 9.已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为 等于 【答案】-6.
→ → → → → → → →

。【答案】

π 4

→ → → → π ,若向量 b1 = e1 - 2e2 , b2 = 3e1 + 4e2 , 则b1 ? b2 3

练习 10.已知向量 a + 3 b , 且a ≠ 0, b ≠ 0, 则 a 与 b 的 a - 4 b 分别与 7 a - 5 b , 7 a - 2 b 垂直, 夹角为____ 【答案】 90°










练习 11. 已知向量


a = (2,1), a ? b = 10, a+ b = 5 2 则 b =

→ →







【答案】5.

→ 1 a = (sin x,1), b = (cos x, - ) 练习 12.已知向量 2 ,

(1)当 a ⊥b 时,求 a + b 的值;
→ → →









(2)求函数 f ( x) = a ? ( b - a ) 的最小正周期。 【分析】 解: (1)1.5; (2) f ( x) = a ? b - a = sin x cos x → → → 2

1 1 1 - cos 2 x 3 - sin 2 x - 1 = sin 2 x 2 2 2 2

=

2 π sin(2 x + ) - 2 ,所以函数 f(x)的最小正周期为 π 。 2 4
→ → → →

练习 12.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC = 2 BD, CA = 3 CE , ,则 BE = 【分析】画图,结合图形可得, AD =
→ → → → → 1 → 2 → → ( AB + AC ). BE = ( AE - AB ) = AC - AB , 2 3



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∴ AD ? BE =





→ 1 → 2 → → 1 → 1 → 1 → → 1 1 1 1 ( AB + AC ) ? ( AC - AB ) = AD 2 - AB 2 - AB ? AC = - - cos 60 0 = 2 3 3 2 6 3 2 6 4

平面向量练习 一、选择题 1.已知两点 A(4,1),B(7,-3),则与向量同向的单位向量是( A.±( )

3 4 ,- ) 5 5

B.(-

3 4 , ) 5 5

C.(

3 4 ,- ) 5 5

D.(

4 3 ,- ) 5 5

【答案】C. 2.给出命题①零向量的长度为零,方向是任意的.②若,都是单位向量,则=. ③向量与向量相等.④若非零向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点共线. 以上命题中,正确命题序号是( ) A.① B.② C.①和③ D.①和④ 【答案】A. 3.在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,则 A. B. C. D. 等于( )

【答案】C. 4.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量 A. B. =( )

C. D. 【答案】B.解:由三角形法则和 D 是△ABC 的 边 AB 的中点得, ∴ 5.已知△ABC 的顶点分别为 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则 AC 边上的高 BD 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C.解:设 =(4,-5,0), ∴ A. ( ? =(-4, , =λ ,又 =(0,4,-3).则 ? =(0,4λ ,-3λ ). =0,得λ =- , ,

=(-4,4λ +5,-3λ ),由 |=5.故选 C

),∴|

6.已知向量=(4,6),=(3,5),且,则向量等于(

)

3 2 , ) 7 7

B. ( ?

2 4 , ) 7 21

C. ( ,? )

3 7

2 7

D. ( ,?

2 7

4 ) 21

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【答案】D.根据向量平行垂直的坐标公式 X1Y2-X2Y1=0 和 X1X2+Y1Y2=0 运算即可. 解:设 C(x,y),∵ ,联立解得 , .故选 D. )

7.已知=(0,1)、=(0,3),把向量绕点 A 逆时针旋转 90°得到向量,则向量等于( A.(-2,1) B.(-2,0) C.(3,4) D.(3,1) 【答案】A.由已知 针旋转 90°得到向量 解:∵已知 90°得到向量 =(0,1)、 =(0,3),得到 =(0,2),把向量

绕点 A 逆时

的坐标,最后利用向量加法运算得到答案. =(0,3),∴ =(0,2),把向量 绕点 A 逆时针旋转

=(0,1)、 ,∴

=(-2,0),∴

=(-2,1),故选 A. ,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为

8.设 O 点在△ABC 内部,且有 ( A.2 ) B.1.5 C.3 D.

5 3
,变形得∴ ,利用向量加法的

【答案】C.根据 平行四边形法则可得 2 AOC 的面积的比. 解:分别取 AC、BC 的中点 D、E,∵ , 即2 =-4
? ?

=-4

,从而确定点 O 的位置,进而求得△ABC 的面积与△

,∴

,∴O 是 DE 的一个三等分点,∴

=3,

二、填空题

e2 ,不共线,实数 x,y 满足: 1.已知向量 e1 、
x-y=_____.

=

,则

【答案】3.利用平面向量的基本定理:同一个向量在同一组基底上的分解是唯一的;列出方 程组,求出 x,y,求出 x-y 的值. 解:∵
? ?

=


? ?

解得

,所以 x-y=3

2.已知 a =(m-1,1), b =(mcosx,

),若 a ∥ b ,则实数 m 的取值范围是_____.

【答案】:[2,2+ ] 根据两个向量平行,得到关于 m 的函数式,分离参数表示出 m,观察可以知道要求的变量可 以看作已知点与圆上的点之间连线的斜率,求出直线与圆相切时的斜率,则可以得到范围.
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解:∵

,∴ ,
2 2

=0,∴m=



∴m 可以看作点(

)与圆 x +y =1 上的点之间连线的斜率,当直线与圆相切时斜率 ,根据圆心到直线的距离是半径得到 ,∴k -4k+1=0,∴k=2 ]
2

取到最值,设直线的方程是 kx-y+ 1= ,∴ ,2+



故答案为:[2-

3、如图,在正六边形 ABCDEF 中,已知=c,=d,则=_____(用 c 与 d 表示). 【答案】 。据相等向量的定义及向量的减法法则得 . =d-c,由正六边形的性质得 .故答案为 ,则与同向的单位向量为_____. 的坐标, 进而求出其模并, 从而求出与向量同向的单位向量. ,∴ =(4,4)则| |=4 =d-c, , ,再据

向量的加法法则求

解:连接 BE、CF,它们交于点 O,则 又 = ,∴ =

4.已知 【答案】 先用坐标运算求 解:∵

∴与
?

同向的单位向量为(
?

2 2 2 2 , ),故答案为:( , ) 2 2 2 2
? ?

5.已知 a ? (1,2), b ? (?2, k ) ,若 a ? b ,则实数 k 的值为_____. 【答案】1. 6.已知非零向量 a 、 b ,满足||=||=1,与夹角为 120°,则向量的模为_____.
? ?

【答案】由题意可得,
进可解得 或 ,由 = ,故 或

,即 1 , 为非零向量可得答案. ,

,故



解:由题意可得, 即1 解得

(舍去,因为 , 为非零向量)

故答案为:1

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三、解答题 1.已知:任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,?求证:. 分析:证法一:由 E、F 分别是 AD、BC 的中点,我们根据相反向量的定义,易得 + + = , 利用平面向量加法的三角形法则, 我们易将向量 + 的形式,两式相加后,易得到结论. ,由向量加法的平行四边形法则,我们易将向量 表示为 分别表示为 + + + = , 和

证法二:连接

,然后再利用向量加法的三角形法则,即可得到结论. 解答:证法一:如图, ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点,∴ 又∵ 同理 + = + + + + = + = 0 ,∴ ② + ,则 = + + + , = . = + .∴ .
?

+ = +

=0 , + ①

?

+

=0 ,

?

由①+②得,2 方法二:连接 ∴

2.已知非零向量 (1)若 与



, , 满足=2

-

,=k

+



不共线, 与 是共线,求实数 k 的值; 与 是共线?若存在,求出 k 的值,否则说明理

(2)是否存在实数 k,使得 与 不共线, 由. 解:(1)由 =λ ,得 2 =λ k +λ

,而



不共线,∴



(2)若



是共线,则

=λ , 即

,有







为非零向量,∴λ ≠2

且λ ≠-k∴

这时 a 与 b 共线, ∴不存在实数 k 满足题意.

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3.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5) (1)证明 A,B,C 三点共线; (2)若 ,求点 D 的坐标. =(1,3)-(-1,-1)=(2,4), ,故 ∥ ∴A,B,C 三点共线;

解:(1)∵A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)∴ =(2,5)-(-1,-1)=(3,6),可知 (2) 即 4. 已知向量 f(x)= ? -2λ | 求:(1) ? 及| =

,设 D(x,y)则可知(2,4)=2(x-2,y-5) 解得 ∴D(3,7) , |(λ 为常数), |; ,求实数λ 的值. ,且 ,

(2)若 f(x)的最小值是

【解析】:(1)根据所给的向量的坐标,写出两个向量的数量积,写出数量积的表示式, 利用三角函数变换,把数量积整理成最简形式,再求两个向量和的模长,根据角的范围,写 出两个向量的模长. (2)根据第一问做出的结果,写出函数的表达式,式子中带有字母系数λ ,把式子整理成 关于 cosx 的二次函数形式,结合λ 的取值范围,写出函数式的最小值,是它的最小值等于 已知量,得到λ 的值,把不合题意的舍去. 解答:解:(1) , ,∵ ∴cosx≥0,∴ .
2 2



(2)f(x)=cos2x-4λ cosx=2(cosx-λ ) -1-2λ ,∵

,∴0≤cosx≤1,

①当λ <0 时,当且仅当 cosx=0 时,f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾; 2 ②当 0≤λ ≤1,当且仅当 cosx=λ 时,f(x)取得最小值-1-2λ , 由已知得 ,解得 ;

③当λ >1 时,当且仅当 cosx=1 时,f(x)取得最小值 1-4λ ,

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由已知得 综上所述,
?

,解得

,这与λ >1 相矛盾、

为所求.(x)的最小值是 ?

3 ,求实数λ 的值. 2
,其中α ∈(0,

5.已知向量 a =(3cosα ,1), b =(-2,3sinα ),且

? ) 2

(1)求 sinα 和 cosα 的值; (2)若 5sin(α +β )=3cosβ ,β ∈(0,π ),求角β 的值. 解:(1)∵
2 2

,∴ ,

,即 sinα =2cosα , ,∴ . , ,

又∵sin α +cos α =1,∴ 又 ,∴

(2)∵ ∴cosβ =sinβ ,即 tanβ =1, ∵β ∈(0,π ),∴

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