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【创新设计】2016届 数学一轮课件(理科)人教A版 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积


第3讲
? 夯基释疑

平面向量的数量积

考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三 ? 课堂小结

例1 例2 例3

训练1

训练2
训练3

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 向量在

另一个向量方向上的投影为数量,而不是向 量.( ) (2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘 运算的运算结果是向量.( ) ? π? ? (3)两个向量的夹角的范围是?0, ? .( ) 2? ? ? (4)若 a· b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a· b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角.( ) (5)a· b=a· c(a≠0),则 b=c.( )

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考点突破 考点一 平面向量的数量积
例1 (1)(2014· 重庆卷)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a =(-2,-6),|b|= 10,则 a· b=________. (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 → → → → DE·CB的值为__________;DE·DC的最大值为________.

解析 (1)由 a=(-2,-6),得 |a|= (-2)2+(-6)2=2 10,

深度思考:
对于第 (2) 题同学们首 先想到的方法是什么? 这里提醒同学们此题可 有三种解法, 法一利用定 义, 法二利用向量的坐标 运算, 法三利用数量积的 几何意义, 你不妨试一试.

故 a· b=|a||b|cos〈a,b〉
=2 10× 10×cos 60°=10.

(2)法一 如图, → → → → → DE· CB=(DA+AE)· CB → → → → →2 =DA· CB+AE· CB=DA =1,
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考点突破 考点一 平面向量的数量积
→ → → → → → → → → DE· DC=(DA+AE)· DC =DA· DC+AE· DC → 2 → → → → ≤|DC | =1. =AE· DC=|AE|· |DC|
(2)法二 如图,以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的 正方向建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), 设 E(t,0),t∈[0,1], → → 则 DE = (t ,-1) , CB = (0,- 1) , → → 所以DE· CB=(t,-1)· (0,-1)=1. → (法二图) 因为DC=(1,0), 注意t的范围,因为E是AB上的 → → 所以DE· DC=(t, -1)· (1, 0)=t≤1, 点 → → 故DE· DC的最大值为 1
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考点突破 考点一 平面向量的数量积
(2)法三

由图知,无论 E 点在哪个位置, → → DE在CB方向上的投影都是 CB=1, → → → ∴DE· CB=|CB|· 1=1. → → 当 E 运动到 B 点时,DE在DC方向上的 投影最大 即为 DC=1, → → → ∴(DE· DC)max=|DC|· 1=1.
答案 (1)10 (2)1 1

F

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考点突破 考点一 平面向量的数量积

规律方法
(1)求两个向量的数量积有三种方法: 利用定义; 利用向量的 坐标运算;利用数量积的几何意义. (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用 向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意 向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.

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考点突破 考点一 平面向量的数量积
π 【训练 1】(1)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1 3 =e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1· b2=________. → → → → → (2)已知点 A,B,C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB· BC → → → → +BC· CA+CA· AB的值是________.

b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2) =3e2 解析 (1)b1· e2-8e2 1-2e1· 2 π =3-2× 1× 1× cos -8=-6. 3 (2)法一 如图,根据题意可得△ABC 为直角三角形, π 3 4 且 B= ,cosA= ,cosC= , 2 5 5→ → → → → → → → → → =BC · CA+CA· AB ∴AB· BC+BC· CA+CA· AB 三边满足勾股定理 =4× 5cos(π-C)+5× 3cos(π-A) 4 3 =-20cosC-15cosA =-20× -15× =-25. 5 5
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考点突破 考点一 平面向量的数量积
π 【训练 1】(1)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1 3 =e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1· b2=________. → → → → → (2)已知点 A,B,C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB· BC → → → → +BC· CA+CA· AB的值是________.

(2)法二 → → → 易知AB+BC+CA=0,
将其两边平方可得 →2 →2 →2 → → → → → → AB +BC +CA +2(AB· BC+AB· CA+BC· CA)=0, 1 →2 →2 →2 → → → → → → 故AB· BC+AB· CA+BC· CA=- (AB +BC +CA ) 2 =-25. 答案 (1)-6 (2)-25
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考点突破 考点二 平面向量的夹角与垂直
【例题 2】(1)平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且(a+b)· (a -2b)=-7,则向量 a,b 的夹角为________. → → → → → (2)已知向量AB与AC的夹角为 120° , 且|AB|=3, |AC|=2.若AP → → → → =λAB+AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________.
解析 (1)因为|a|=1,|b|=2,且(a+b)· (a-2b)=-7,
22=-7, 所以 a2-a· b-2b2=-7,所以 1-2cos〈a,b〉-2×

π 所以 cos〈a,b〉=0. 又〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉=2. → → → → → → → → → → 即AP· BC=(λAB+AC)· (AC-AB) (2)由AP⊥BC,知AP· BC=0, ? 1? → → → 2 → 2 =(λ-1)× ?- ?-λ× 3× 2× 9+4=0, =(λ-1)AB· AC-λAB +AC ? 2? 7 解得 λ= . 12
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考点突破 考点二 平面向量的夹角与垂直

规律方法
(1)根据平面向量数量积的性质:若 a,b 为非零向量,cosθ a· b = (夹角公式),a⊥b?a· b=0 等,可知平面向量的数量积可 |a||b| 以用来解决有关角度、垂直问题. (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量 积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角, 数量积小于 0 且两 向量不共线时两向量的夹角为钝角.

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考点突破 考点二 平面向量的夹角与垂直
训练 2 (1)已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角 为钝角,则 λ 的取值范围是____________. (2)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b.若 b· c=0,则 t=________.

3 解得 λ< . b<0, 即 2λ-3<0, 解析 (1)由 a· 2 由 a∥b,得 6=-λ,即 λ=-6. 3 因此 λ< ,且 λ≠-6. 2 (2)∵b· c=b· [ta+(1-t)b]

注意平角不是钝角, 所以不要忽视反向时 的情况

=ta· b+(1-t)b2=t|a|· |b|cos 60° +(1-t)|b|2

答案

(1)(-∞,-6)∪?-6,2? ? ?

1 1 = t+1-t=- t+1=0,∴t=2. 2 2 ? ?
3 (2)2
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考点突破

考点三

平面向量的模及应用

π 例 3 (1)已知向量 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 ,则 3 |a+b|=( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 (2)(2014· 湖南卷)在平面直角坐标系中, O 为原点, A(-1, 0), → → → → B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取 值范围是( ) A.[4,6] B.[ 19-1, 19+1] C.[2 3,2 7 ] D.[ 7-1, 7+1]
π (1)解析 因为向量 a,b 均为单位向量,它们的夹角为3, 所以|a+b|= (a+b)2 π 2 2 = a +2a· b+b = 1+2cos +1= 3. 3
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考点突破

考点三

平面向量的模及应用

例 3 (2)(2014· 湖南卷)在平面直角坐标系中,O 为原点, → → → A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB → +OD|的最大值是________. → (2)解 设 D(x,y),由|CD |=1,得(x-3)2+y2=1, → → → 向量OA+OB+OD=(x-1,y+ 3), → → → y F 故|OA+OB+OD|=
(-1, 3)

(x-1)2+(y+ 3)2的最大值为 圆(x-3)2+y2=1 上的动点到点(1,- 3)

I

2 1

B

D
1 2 3C 4x

距离的最大值, 其最大值为圆(x-3)2+y2=1 的圆心(3,
0)到点(1,- 3)的距离加上圆的半径,
即 (3-1)2+(0+ 3)2+1=1+ 7.

A
–1

O
–1

P (1,- 3)
若不运行请临时 关闭杀毒软件

答案

(1)C (2)1+ 7
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考点突破

考点三

平面向量的模及应用

规律方法
1.求向量的模的方法 (1)公式法:利用|a|= a· a及(a± b)2=|a|2± 2a· b+|b|2,把向量 的模的运算转化为数量积运算. (2)几何法: 利用向量的几何意义, 即利用向量加减法的平行 四边形法则或三角形法则作出向量, 再利用余弦定理等方法求解.

2.求向量模的最值(范围)的方法 (1)代数法: 把所求的模表示成某个变量的函数, 再用求最值 的方法求解. (2)几何法(数形结合法):弄清所求的模表示的几何意义,结 合动点表示的图形求解.
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考点突破

考点三

平面向量的模及应用

训练 3 已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°, → → AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA+3PB|的最小值为 ________.
解析 以 D 为原点,分别以 DA,DC 所在直线为 x 轴, y 轴建立如图所示的平面直角坐标系, 设 DC=a,DP=x, ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a), B(1,a),P(0,x). → → PA=(2,-x),PB=(1,a-x), → → ∴PA+3PB=(5,3a-4x), → → |PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25, 3a → → 当 x= 时取等号. ∴|PA+3PB|的最小值为 5. 4 答案 5
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课堂小结

思想方法

1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几 何意义, 要灵活选用, 与图形有关的不要忽略数量积几何意义的 应用. 2. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或 最值问题常用的方法与技巧.

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课堂小结

易错防范

1.(1)0 与实数 0 的区别:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a· 0 =0≠0;(2)0 的方向是任意的,并非没有方向,0 与任何向量 平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.

2.a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a· b=0 时,有 可能 a⊥b. 3.在运用向量夹角时,注意其取值范围[0,π].
4.在用|a|= a2求向量的模时,一定要把求出的 a2 再进行开方.

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(见教辅)

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