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2014乌市一模理科数学试题参考答案及评分标准


乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第一次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 A 8 D 9 A 10 D 11 A 12 A

1.选 B.【解析】∵ A ? x ?1 ? x ? 1 , ?R B ? x x ? 0 ,∴ A ? ?R B ? x 0 ? x ? 1 . 2.选 B.【解析】∵

?

?

?

?

?

? ?

?

2i ?1 ? i ? 2i 2i ? ? ?1 ? i ,∴ 的实部为 ?1 . 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 1? i

3.选 D.【解析】∵ S5 ?

a1 ?1 ? q 5 ? 1? q

?

S 31 1 31 a1 , a3 ? a1 , ∴ 5 ? . 16 4 a3 4
3
x

4.选 C.【解析】由函数奇偶性定义得 y ? x , y ? tan x 是奇函数, y ? 2 是偶函数, ∵ y ? lg x 的定义域为 ? 0, ?? ? ,∴ y ? lg x 既不是奇函数,又不是偶函数. 5.选 A.【解析】由图可知, zmin ? 2 ? m ?

m ? 3.

m?3 ? 3 ,解得 4

6.选 C.【解析】该几何体的直观图,如图所示 可知, ?PAB, ?PBC, ?PAD 是直角三角形, ∵ PC ? PA ? AC ? 9 , PD ? PA ? AD ? 8 ,
2 2 2 2 2 2

CD 2 ? 5 , PD2 ? PC 2 ? CD2 , ?PCD 不是直角三角形.
7.选 A.【解析】∵图象经过点 P 1 ? ?1, 0 ? , P 2 ? 0,1? ,

?? ? ? ? k1? ? ?sin ? ?? ? ? ? ? 0 ? ∴? ,解得 ? ?, ? ? 2k2? ? ? ?sin ? ? 1 ? ? 2
由 ? ? 0, ? ?

?
2

及函数在区间 ? 0,1? 上是单调函数,可得 ? ? ? ?

?
2

,∴ T ? 4

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3 3 8.选 D.【解析】由题意知, C8 P ?1 ? P ? ? 5

1 5 5 1 2 3 2 C8 P ?1 ? P ? ,即 ?1 ? P ? ? P ,解得 25 25

P?

5 5 (舍) ,或 P ? . 6 4
1 ,i ?1 2013

9.选 A.【解析】执行第一次运算时: a ? 2014, b ? ?

1 2013 ,b ? ,i ? 2 2013 2014 2013 执行第三次运算时: a ? , b ? 2014, i ? 3 2014 ∴输出 i ? 3
执行第二次运算时: a ? ? 10.选 D.【解析】设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l0 ,分别过点 A, B 作直线 l0 的
2

垂线,垂足分别为 M , N ,由抛物线定义,得 AB ? AF ? BF ? AM ? BN ?

xA ?

p p ? xB ? ? xA ? xB ? p ? 2 xC ? p ? 8 .( C 是 AB 的中点) 2 2

11.选 A.【解析】设 AB, AC 中点分别为 M , N , 则 OM ? AM ? AO ?

???? ?

???? ? ????

? ??? ? ???? ? 1 ? ???? 1 ??? ? ??? AB ? s ? AB ? t ? AC ? ? ? s ? AB ? t AC 2 ?2 ?

?

?

???? ???? ???? 1 ???? ??? ? ???? ? 1 ? ???? ??? ? ON ? AN ? AO ? AC ? s ? AB ? t ? AC ? ? ? t ? AC ? s AB 2 ?2 ?

?

?

由外心 O 的定义知, OM ? AB, ON ? AC ,因此, OM ? AB ? 0 , ON ? AC ? 0

???? ?

??? ? ????

????

???? ? ??? ?

???? ??? ?

? ???? ? ??? ? ? 2 ???? ??? ? ?? 1 ? ??? ?1 ? ??? ?? 2 ? s ? AB ? t AC ? ? AB ? 0 ,∴ ? 2 ? s ? AB ? t AC ? AB ? 0 ?① ? ? ? ?? ?
同理: ?

? ? 1 ? ???? 2 ???? ??? ? t ? AC ? s AC ? AB ? 0 ?② ?2 ?

∵ BC ? AC ? AB ,∴ BC ? AC ? AB

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2

?

??? ? ??? ?

?

2

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AC ? 2 AC ? AB ? AB

???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 1 ? ? ?③ ∴ AC ? AB ? 2 2
把③代入①②得 ?

?1 ? 2 s ? t ? 0 4 3 ,解得 s ? , t ? . 5 5 ? 4 ? s ? 8t ? 0

12.选 A.【解析】易知, f ? x ? ? ln e ? 1
x

?

? ? x ? 0 ? 为增函数,

∴若 0 ? a ? b ,则有 f ? a ? ? f ? b? ,又 2a ? 2b ? 3b ,∴ f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b ,
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即 f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b 成立, ∴它的逆否命题:若 f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b ,则 a ? b 成立;

g ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? 2 x 在 ? 0, ln 2 ? 递增,在 ? ln 2, ?? ? 递减,

g ? x ?max ? g ? ln 2 ? ? ?2 ln 2 ; g ? x ? ? ? ??, ?2 ln 2?

3? ? ? 3 ? ? ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? 3 x 在 ? 0, ln ? 递增,在 ? ln , ?? ? 递减, 2? ? ? 2 ?

? ? x ?max ? ? ? ln ? ? 2 ln 2 ? 3ln 3 , ? ? x ? ? ? ??, 2ln 2 ? 3ln 3? ; 2
?
当 y0 ? 2 ln 2 ? 3ln 3 时,方程 g ? x ? ? y0 有两解 x1 , x4 ,不妨设 x1 ? x4 ; 方程 ? ? x ? ? y0 也有两解 x2 , x3 ,不妨设 x2 ? x3 ; 又当 x ? 0 时, g ? x ? ? ? ? x ? ,∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 这样当 f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b ? y0 时,就有 a ? b ,或 a ? b ,故,C. D.不正确. 二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 135 .【解析】此二项式的展开式的通项为 Tr ?1 ? C 令6?
r 6

? ?

3?

? 3x ?

6?r

3 6? r ? 1 ? r 6?r 2 ? C 3 x , 6 ? ? ? x?

r

3 4 2 3 ? 135 . r ? 0 , r ? 4 ,∴常数项为 T5 ? C6 2 1 b ∴ ? 2, ∴e ? 5 . x, 2 a

14.填 5 . 【解析】 根据题意得, 此双曲线的渐近线方程为 y ? ? 15.填 1.【解析】 ∵ ? ∴ an ?

? 1 ? 1 1 ? ? ? n ? 1? ?1 ? n , ? 是公差为 1 的等差数列,∴ an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?

1 n ?1 n ?1 ,∴ lg an ? lg ?1 ? ? lg ? n ? 1? ? lg n n n n

∴数列 ?lg an ? 的前 9 项和为 S9 ? ? lg 2 ? lg1? ? ? lg 3 ? lg 2 ? ? ? ? ? lg10 ? lg 9 ? ? 1. 16.填 ? ,

?3 ?4

3? ? .【解析】如图,设 P ? ABCD 的外接球的球心 2 ?

为 G ,∵ A, B, C, D 在球面上, ∴球心在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 上下底面中心连线 O1O

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上,点 P 也在球上,∴ GP ? GA ? R ∵棱长为 1,∴ OA ?

2 ,设 O1 P ? x, O1G ? y , 2
2 2 2

则 OG ? 1 ? y ,在 Rt ?GO1P 中,有 R ? x ? y ?①,

? 2? 3 2 在 Rt ?GOA 中, R ? ? ?②,将①代入②,得 x 2 ? ? 2 y , ? 2 ? ? ? ?1 ? y ? 2 ? ?
2

2

∵0 ? x ?

2 3 9 3 1 3 2 1 ? 2 2 , ∴ ? y? , ∴ R ?x ? y 2 ? ?y2 y?2 y ?? ? 1 ? ? ?? , 2 2 2 1 6 2 4 ? 4

? , ? ?

于是 R ? ? , 三、解答题 17.(12 分)

?3

3? ?. ?4 2 ?

(Ⅰ)∵ a ? b ? c ,∴ cos C ?
2 2 2

a 2 ? b2 ? c2 ? ? 0 ,∴ ? C ? ? ,故 ? ? 2C ? 2? 2ab 2
?6 分

由 sin ? 2C ?

? ?

??

1 1 4? 2? ,即 C ? ; ? ? ,得 cos2 C ? ? ,∴ 2C ? 2? 2 2 3 3

?? ? sin A ? sin ? ? A ? 1 sin A ? 3 cos A a ? b sin A ? sin B ?3 ??2 2 (Ⅱ) ? ? 2? c sin C 3 sin 3 2
? 2 ?? ? sin ? A ? ? 3? 3 ?
3 ?? 2? ? ? ? 2? ? ? sin ? A ? ? ? 1 ,知 0 ? A ? ,故 ? A ? ? ,∴ 2 3? 3 3 3 3 3 ?
?12 分

由C ?



2 3 a?b 2 a?b 2 ? ? ? ,即 1 ? ? 3 c c 3 3 2 3

18.(12 分) 如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2 , 则有 A ? 0, 0, 0 ? , B ? 2, 0, 0 ? , C ? 2, 2, 0 ? , D ? 0, 2, 0 ? ,

E ?1, 0, 0 ? , B1 ? 2, 0, 2 ?

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(Ⅰ) B1 E ? ? ?1, 0, ?2 ? , ED ? ? ?1, 2, 0 ? , 设平面 B1 ED 的法向量 n1 ? ? a, b, c ? ,

????

??? ?

???? ? ? a ? 2c ? 0 ?n1 ? B1E ? 0 则? ,即 ? ,取 a ? 2 ,则 b ? 1, c ? ?1 , n1 ? ? 2,1, ?1? ??? ? ? a ? 2b ? 0 ? ?n1 ? ED ? 0 ??? ? 设 P ? 2, ? , 2 ? ? ? ,则 PB ? ? 0, ?? , ? ? 2 ?
∵ PB ? 平面 B1 ED ,∴当且仅当 n1 ? PB ,即 n1 ? PB ? 0 时, PB ∥平面 B1 ED ∴ ?? ? ? ? ? 2 ? ? 0 , ? ? 1 ,∴ P ? 2,1,1? , 即 P 是 B1C 的中点时, PB ∥平面 B1 ED ; (Ⅱ) B1 E ? ? ?1, 0, ?2 ? , EC ? ?1, 2, 0 ? ,设平面 B1 EC 的法向量 n2 ? ? x, y, z ? ?6 分

??? ?

??? ?

????

??? ?

???? ? n ? ?x ? 2z ? 0 ? 2 B1E ? 0 由? ,得, ? ,取 x ? 2 ,则 y ? z ? ?1 , n2 ? ? 2, ?1, ?1? ??? ? x ? 2 y ? 0 ? n ? EC ? 0 ? ? 2
设二面角 D ? B1 E ? C 的平面角为 ? ,易知 0 ? ? ? ∴ cos ? ? 19.(12 分) (Ⅰ)工资薪金所得的 5 组区间的中点值依次为 3 000,5 000,7 000,9 000,11000 , x 取这 些值的概率依次为 0.15, 0.3, 0.4, 0.1, 0.05 , 算得与其相对应的 “全月应纳税所得额” 依次为 0,1500,3500,5500,7500 (元) ,按工资个税的计算公式,相应的工资个税 分别为: 0 (元) , , 1500 ? 3% ? 0 ? 45 (元) , 3500 ?10% ?105 ? 245 (元) , 5500 ? 20% ? 555 ? 545 (元) ; 7500 ? 20% ? 555 ? 945 (元) ∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为 ; ? 45 ? 0.3 ? 245 ? 0.4 ? 545 ? 0.1 ? 945 ? 0.05 ? ?106 ? 2.1325 ?108 (元) (Ⅱ)这 5 组居民月可支配额 y 取的值分别是 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ?6 分

?
2



n1 ? n2 2 ? . n1 n2 3

?12 分

y1 ? 3000 (元) ;

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y2 ? 5000 ? 45 ? 4955 (元) ; y3 ? 7000 ? 245 ? 6755 (元) ; y4 ? 9000 ? 545 ? 8455 (元) ; y5 ? 11000 ? 945 ? 10055 (元) ;
∴ y 的分布列为:

y
P

3000 0.15

4955 0.3

6755 0.4

8455 0.1

10055 0.05

∴该市居民月可支配额的数学期望为:

Ey ? 3000 ? 0.15 ? 4955 ? 0.3 ? 6755 ? 0.4 ? 8455 ? 0.1 ? 10055 ? 0.05

? 5986.75 (元)
20.(12 分) (Ⅰ)已知直线直线 x ? y ? 1 ? 0 经过椭圆 C :
2

?12 分

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的短轴端点 ? 0, b ? a 2 b2
2 2

和右焦点 F ? c, 0 ? ,可得 b ? c ? 1 ,∴ a ? b ? c ? 2 故椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1; 2

?5 分

(Ⅱ)由椭圆 C 的方程可得右焦点为 F ?1, 0 ? ,因为直线 AB 的斜率为 k ,且直线经过右焦 点 F ,所以直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 1? , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则点 D 的坐标为 ? x1 , ? y1 ? ⑴当 k ? 0 时,因为点 B, D 在椭圆 C 上,∴
2 x2 x2 2 2 ? y2 ? 1, 1 ? ? ? y1 ? ? 1 ?① 2 2

∴?

2 x12 ? x2 2 ? ? y12 ? y2 ? ? 0 ,依题意知 x1 ? x2 2

∴直线 BD 的斜率 k BD ?

y2 ? ? ? y1 ? x2 ? x1

?

1 x1 ? x2 2 y1 ? y2

则直线 BD 的方程为 y ? y2 ?

1 x1 ? x2 ? x ? x2 ? ?② 2 y1 ? y2

由①②得

? x1 ? x2 ? x ?
2

? y2 ? y1 ? y ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ?③ 2

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把直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程得 即 1 ? 2k

2 x2 ?? k x ? 1 ? ? ? ? ?1, 2 ?

?

2

?x

2

? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ?④

∵ x1 , x2 是方程④的两个实数解,∴ x1 ? x2 ? 又 y1 ? k ? x1 ? 1? , y2 ? k ? x2 ? 1? ,

4k 2 2k 2 ? 2 , ?⑤ x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∴ y1 y2 ? k ? x1 ? 1? k ? x2 ? 1? ? k ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1? ? ?⑥
2

把⑤代入⑥得, y1 y2 ? k ?
2

? 2k 2 ? 2 ? 4k 2 ?k 2 ? ? 1 ? ?⑦ 2 2 1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 2k ? 1 ? 2k

把⑤⑦代入③得,

4k 2 x 2k 2 ? 2 1 ?k 2 ? ? y ? y y ? ? ? ?1 ? ? 2 1 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2

2k 2 4k 2 即 ,令 y ? 0 ,解得 x ? 2 x ? ? y2 ? y1 ? y ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
此时,直线 BD 过定点 ? 2, 0 ? ⑵当 k ? 0 时, 点 A, B 为椭圆 C 的长轴端点, 故点 D 与点 A 重合, 此时直线 BD 即为 x 轴,而 x 轴过点 ? 2, 0 ? ,则直线 BD 也过点 ? 2, 0 ? 综上所述, 直线直线 BD 过定点 ? 2, 0 ? . ?12 分

21.(12 分) (Ⅰ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ?

x3 , ? x ? 0? 3
2 x ?x

则 g? ? x? ? f ? ? x ? ? 2 ? x ? e ? e ∵ g ??? ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? e ? e
x ?x

? 2 ? x 2 , g ?? ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ,

?2

当 x ? 0 时, e ? 0, e
x

?x

? 0 ,∴ e x ? e ? x ? 2 e x ? e ? x ? 2 ?①

∴ g ??? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? g ?? ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数, ∴ g ?? ? x ? ? g ?? ? 0 ? ? 0 ,即 f ? x ? ? 2 x ? 0 ?②

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∴函数 y ? g ? ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数,
x ?x 2 ∴ g ? ? x ? ? g ? ? 0 ? ? 0 ,即 e ? e ? 2 ? x ?③

∴函数 y ? g ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数, ∴ g ? x ? ? g ? 0 ? ? 0 ,即当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 x ? (Ⅱ)⑴当 a ? 2 时,∵ H ? x ? ? f ? x ? ? ax
x ?x x ?x ∴ H ?? x? ? f ?? x? ? a ? e ? e ? a ? 2 e ? e ? a ? 2 ? a ? 0

x3 成立; 3

?6 分

∴函数 y ? H ? x ? ? x ? R ? 为增函数, 当 x ? 0 时, H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 ,当 x ? 0 时, H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 , ∴当 a ? 2 时,函数 y ? H ? x ? 的零点为 x ? 0 ,其零点个数为 1 个 ⑵当 a ? 2 时,∵对 ?x ? R , H ? ? x ? ? ? H ? x ? ∴函数 y ? H ? x ? 为奇函数,且 H ? 0 ? ? 0 ?④ 下面讨论函数 y ? H ? x ? 在 x ? 0 时的零点个数: 由(Ⅰ)知,当 x0 ? 0 时, e 0 ? e
x ? x0

? 2 ,令 a ? e x0 ? e? x0

∴ H ? x? ? f ? x? ? e 0 ? e
x

?

? x0

? x ? x ? 0? ? , H ?? ? x ? ? f ?? ? x ? ? e
x

则 H ?? x? ? f ?? x? ? e 0 ? e
x

?

? x0

? e? x

当 x ? 0 时, e ? 1,0 ? e
x

?x

? 1 ,∴ e x ? e? x ? 0 ,∴ H ?? ? x ? ? 0

∴函数 y ? H ? ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数 ∴当 0 ? x ? x0 时, H ? ? x ? ? H ? ? x0 ? ? 0 ;当 x ? x0 时, H ? ? x ? ? H ? ? x0 ? ? 0 ∴函数 y ? H ? x ? ? x ? 0 ? 的减区间为 ? 0, x0 ? ,增区间为 ? x0 , ?? ? ∴当 0 ? x ? x0 时, H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 ?⑤ 即对 ?x0 ? ? 0, x0 ? 时, H ? x ? ? 0 ?⑥

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又由(Ⅰ)知, H ? x ? ? f ? x ? ? e 0 ? e
x

?

? x0

?

x ? 2x ?

x3 ? e x0 ? e ? x0 x 3

?

?

? x2 ? ? x ? ? e x0 ? e ? x0 ? 2 ? ?3 ?

?

?

当 x0 ? 0 时,由③知 e 0 ? e
x

? x0

2 ? 2 ? x0 ?

2 x0 ? 2 ,∴ 3 e x0 ? e? x0 ? 2 ? x0 3

?

?

故,当 x ? 3 e ? e
x0

?

? x0

x2 ? 2 ? 0 时, ? e x0 ? e? x0 ? 2 ? 0 3

?

?

?

∴x?

? x2 ? ? e x0 ? e ? x0 ? 2 ? ? 0 ,即 H ? x ? ? 0 ?⑦ ?3 ?

?

?

由函数 y ? H ? x ? ? x ? x0 ? 为增函数和⑥⑦及函数零点定理知,存在唯一实数 又函数 y ? H ? x ? , x ? R 为奇函数 x? ? x0 , 3 e x0 ? e? x0 ? 2 ? 使得 H ? x ? ? ? 0 , ? ? ∴函数 y ? H ? x ? , x ? R ,有且仅有三个零点. ?12 分

?

?

?

22.(10 分) (Ⅰ)∵ ?CDE ? ?ODB ? ?OBD 又∵ AC 与 ? O 切于点 A , AD 是弦,∴ ?DAE ? ?OBD ∴ ?CDE ? ?DAE ; ?5 分 (Ⅱ)∵ ?CDE ? ?CAD , ?C ? ?C ,∴ ?CDE ∽ ?CAD

CD DE DE ,∴ CD ? AC ? ?① ? AC AD AD DE AE 而 ?ADE ∽ ?BAE ,∴ ?② ? AD AB AE 由①②得 CD ? AC ? AB 又∵ AC ? AB ,∴ AE ? CD .
∴ 23.(10 分) (Ⅰ)曲线 C 的参数方程为 ?

?10 分

? x ? 2 cos ? ,设 P ? 2 cos ? , 2sin ? ? , M ? x, y ? ? y ? 2sin ?

2 cos ? ? 2 ? x? ? cos ? ? 1 ? 2 ? 2 2 则? ,即 ? x ? 1? ? y ? 1 ? x ? 2 ? ; 2sin ? ?y ? ? sin ? ? ? 2

?5 分

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(Ⅱ)设 M ? cos ? ? 1,sin ? ? ,



ME MF

?

3? ? 2 ? cos ? ? 1 ? ? ? sin ? 2? ?

5 ? cos ? 1 4 ? ? . 2 5 ? 4 cos ? 2 ? cos ? ? 1 ? 3? ? sin 2 ?

2

?10 分

24.(10 分)

?7 ? 2 x ? x ? 3 ? ? (Ⅰ)设函数 y ? x ? 3 ? x ? 4 ,则 y ? ?1 ?3 ? x ? 4 ? ,画出其图象,可知 ymin ? 1, ? ?2 x ? 7 ? x ? 4 ?
要使不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? m 的解集不是空集,需且只需 m ? 1 ∴ m 的取值范围的集合 M ? ?1, ?? ? ; (Ⅱ)∵ a, b ? M ,∴ a ? 1, b ? 1 ∵ a ? b ? ? ab ? 1? ? ? a ? ab ? ? ? b ? 1? ? ? a ? 1??1 ? b ? ∵ a ? 1 ? 0,1 ? b ? 0 ,∴ ? a ? 1??1 ? b ? ?0 , ∴ a ? b ? ab ? 1 . 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分. ?10 分 ?5 分

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