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2015届高三数学寒假作业(1)(相信大家会认真做!)


2015 届高三数学寒假作业(1)(相信大家会认真做!)
一、填空题(每小题 4 分,共 56 分) 1.若 ? : A ? x 1 ? x ? 2 , ? : B x 0 ? x ? 2 ,则 ? 是 ? 的 2.已知 ( sin ? ? ) ? (cos? ? )i 是纯虚数,则 tan ? ?

?

?

/>?

?

条件。 . . . .

3 5

4 5

1 3 4.若将一枚硬币连续抛掷三次,则出现“至少一次正面向上”的概率为 5.下左图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果是

3.若双曲线经过点 (3, 2) ,且渐近线方程是 y ? ? x ,则这条双曲线的方程是

6.(理) 一个袋中装有 5 个球,编号为 1,2,3,4,5,从中任取 3 个,用 ? 表示取出的 3 个球中最大编号,则 E? = 。 ? 3 4 5

3 3 10 10 (文)已知正三棱锥 P ? ABC 主视图如图所示,其中 ?PAB 中, AB ? PC ? 2 cm ,则这 cm2 个正三棱锥的左视图的面积为
P
P y 1 O C 第6题 B 第7题 A B B x

1 10

A

第5题

7.函数 y ? tan ? x? ? 的部分图像如图所示,则 OA ? OB ? AB ? . 4 2 8 .如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的 3 倍,那么圆锥侧面积和球面积的比为 ______. 9.若数列 {an } 满足

?

?

?

?

an ? 2 an ?1 ? ? k ( k 为常数),则称数列 {an } 为等比和数列, k 称为公 an ?1 an
.

比和. 已知数列 {an } 是以 3 为公比和的等比和数列, 其中 a1 ? 1, a2 ? 2 , 则 a2012 ? 则 a ? b 等于

10.设函数 f ( x) ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图像过点 (2,1) ,其反函数的图像过点 (2,8) , .

1

11.已知函数 f ( x) ? sin( wx ? 左平移 ? (0 ? ? ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f ( x) 的图像向
.

?
2

) 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的值是

12.对 n ? N ,设抛物线 y 2 ? 2 ? 2n ? 1? x ,过 P ? 2n,0? 任作直线 l 与抛物线交与 An , Bn 两
?

点,则数列 ?

? ? OAn ? OBn ? ? ? 的前 n 项和为 2 n ? 1 ? ? ? ? ? ?



二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15.在 (

x 1 n ? ) 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( 2 3x
B.—28 C.7 D.28



A.—7

16.已知平面 ? , ? ,直线 l ,若 ? ^

? ,?

? = l ,则 ()

A.垂直于平面 ? 的平面一定平行于平面 ? B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 ? C.垂直于平面 ? 的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 ? , ? 都垂直
2 17. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m) (m ? 0) 到其焦点的距离为 5 ,双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A , 若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行, 则实数 a 等于 ( ) a
A.

1 9

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

三、解答题:( 13+ 13 + 14 + 16 + 18 = 74 分)

b, C 所对的边, 19. 在锐角 ?ABC 中, 且满足 3a ? 2b sin A ? 0 . a, c 分别为内角 A ,B ,
(1)求角 B 的大小;(2)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ?

7 ,求 AB AC 的值.

2

20 .如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?ACB ? 90 , PA ? 平面
0

ABCD , PA ? BC ? 1 , AB ? 2 , F 是 BC 的中点.
(1)求证: DA ? 平面 PAC ; (2)试在线段 PD 上确定一点 G ,使 CG ∥平面 PAF , 并求三棱锥 A - CDG 的体积.

P

A

D

B

F

C

21.甲、乙两地相距 1004 千米,汽车从甲地匀速驶向乙地,速度不得超过 120 千米/ 小时, 已知汽车每小时的运输成本 (以 1 元为单位) 由可变部分和固定部分组成: 可变部分与速度 v (千米/ 小时)的平方成正比,比例系数为 2 ,固定部分为 a 元. (1)把全部运输成本 y 元表示为速度 v (千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全部运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

3

22.已知 ?ABC 的顶点 A、B 在椭圆 x 2 ? 3 y 2 ? 4上, 点C在直线l : y ? x ? 2上, 且AB // l. (1)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 ?ABC 的面积; (2)当 ?ABC ? 90? ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直 线的方程.

23.(本题满分 18 分;第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设 f ( x) ? x , 等差数列 ?an ? 中 a3 ? 7 , 记 Sn = f a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,
3

?

3

令 bn ? an S n , an ?1 ,

?

数列 {

1 1 } 的前 n 项和为 Tn .(1)求 ?an ? 的通项公式和 S n ;(2)求证: Tn ? ; 3 bn

4

2015 届高三数学寒假作业(1)
一、填空题 1、充分非必要条件 2、 ?

3 4

3、 y ?
2

x2 ?1 9
8、3: 2

4、

7 8

5、

3 4

6(理) 4.5 10、 4 二、选择题 15、 C 三、解答题: 11、

(文) 3

7、 6

9、 2

1006

?
8
16、 D

12、 ?n ? n ?1?

17、 A

19、解:(Ⅰ)因为 3a ? 2b sin A ? 0 ,所以 3 sin A ? 2sin B sin A ? 0 , ………… 2 分 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ?

3 .……3 分 2

又 B 为锐角, 则 B ?

? .……… 5 分 3

(2)由(1)可知, B ? 7分

? ? 2 2 .因为 b ? 7 ,根据余弦定理,得 7 ? a ? c ? 2ac cos ,… 3 3

整理,得 (a ? c)2 ? 3ac ? 7 . 由已知 a ? c ? 5 ,则 ac ? 6 . 又 a ? c ,可得 a ? 3 , c ? 2 . ……… 9 分 于是 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 7 ? 4 ? 9 7 , ? ? 2bc 14 4 7

… 11 分

所以 AB AC ? AB AC cos A ? cb cos A ? 2 ? 7 ? 20 、 解 : (1) 证 明 : Q 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ,

7 ?1. 14

……… 13 分

? ?ACB ? ?DAC ? 900 ,
Q PA ? 平 面 A B C D? P A ? D A, 又 A C ? D A, AC I PA ? A , ? DA ? 平面 PAC . ……… 4 分 (2)设 PD 的中点为 G ,在平面 PAD 内作 GH ? PA 于

P

A

D

H ,则 GH 平行且等于

1 AD ,连接 FH ,则四边形 2

B

F

C

FCGH 为平行四边形,……… 8 分
5

? GC ∥ FH , Q FH ? 平面 PAE , CG ? 平面 PAE , ? CG ∥平面 PAE ,? G 为 PD 中点时, CG ∥平面 PAE ……… 10 分
设 S 为 AD 的中点,连结 GS ,则 GS 平行且等于

1 1 PA ? , 2 2

Q PA ? 平面 ABCD ,? GS ? 平面 ABCD ,

? VA?CDG ? VG ? ACD ? SV ACDGS ?

1 3

1 . ……… 13 分 12

21、解(1)每小时运输成本为 a ? 2v 2 ,全程行驶时间为

?

?

1004 小时, v

y?

1004 ?a ? a ? 2v 2 ? 1004 ? ? 2v ? v ?v ?

?

?

?v ? ?0,120? ? .

(2) y ? 1004 ? 号成立, 若

a a a ?a ? 时等 ? 2v ? ? 2008 ? 2v ? 2008 2a ,当且仅当 ? 2v ,即 v ? v 2 v ?v ?

a a 时, ymin ? 2008 2a ? ?0,120? , 当 v ? 2 2 a ?a ? ? 120 ,易证(略)函数 y ? 1004 ? ? 2v ? 在 ?0,120? 单调递减, 2 ?v ?



当 v ? 120 时, y min ? 1004 ?

? a ? ? 240? . ? 120 ?

22、解:(1)因为 AB // l , 且 AB 通过原点(0,0),所以 AB 所在直线的方程为 y ? x.

由?

?x 2 ? 3 y 2 ? 4 得 A、B 两点坐标分别是 A(1,1),B(-1,-1)。 ?y ? x
…… …2 分

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 2

l 的距离。 又? AB边上的高h等于原点到直线
? h ? 2 , S ?ABC ? 1 | AB | ?h ? 2. 2
………5 分

(2)设 AB 所在直线的方程为 y ? x ? m 由?

?x 2 ? 3 y 2 ? 4 得4 x 2 ? 6m x ? 3m 2 ? 4 ? 0. ?y ? x ? m
6

因为 A,B 两点在椭圆上,所以 ? ? ?12m 2 ? 64 ? 0, 即 ? 分 设 A,B 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,则

4 3 4 3 ?m? . ………7 3 3

x1 ? x 2 ? ?

3m 3m 2 ? 4 , x1 x 2 ? , 且 y1 ? x1 ? m, y 2 ? x2 ? m. ………8 分 2 4

? | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2( x1 ? x2 ) 2

9 2 32 ? 6m 2 2 ? 2[(x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 2( m ? 3m ? 4) ? 4 2
2

…………9 分

又? BC的长等于点 (0, m)到直线l 的距离, | BC |?

|2?m| 2

.

? | AC |2 ?| AB |2 ? | BC |2 ? ?m2 ? 2m ? 10 ? 11? (m ? 1) 2 .
?当m ? ?1时, AC 边最长。(显然 ?
所以,AB 所在直线的方程为 y ? x ? 1

4 3 4 3 ? ?1 ? ) 3 3

………12 分 ………16 分

23、解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 a3 ? a1 ? 2d ? 7 , a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12 . 解得 a1 ? 1 , d =3 , ∴ an ? 3n ? 2 ∵ f ( x) ? x 3 , (2) bn ? an S n ? (3n ? 2)(3n ? 1) ∴ ∴Sn= f

?

3

an?1 = an?1 ? 3n ? 1 .

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

∴ Tn ?

1 1 1 (1 ? )? 3 3n ? 1 3

7


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