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高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质1课时提升作业2


正弦函数、余弦函数的性质(一)

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·永川高一检测)函数 f(x)= A.奇函数 C.既奇又偶函数 【解析】选 A. f(-x)= =sin2(-x) sin2x 的奇偶性为 ( )

B.偶函数 D.非奇非偶函数

sin2x=-f(x),故 f(x)是奇函数. 是 ( ) B.偶函数 D.非奇非偶函数

【变式训练】函数 f(x)= A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 【解析】选 D.因为 f(x)的定义域为

,不关于原点对称,所以 f(x)既不是奇函数也 不是偶函数. 2.函数 y=3cos A. 【解析】选 D. y=3cos 的最小正周期是 ( B. 的最小正周期为 ) C.2π =5π . D.5π

3.(2014·塘沽高一检测)定义在 R 上的函数 f(x)周期为π ,且是奇函数,f ( A.1 ) B.-1 C.0 D.2

=1,则 f

的值为

【解析】选 B. f(x)周期为π ,且是奇函数,

所以 f

=f

=-f

=-1.
-1-

【变式训练】若 f(x)sinx 是周期为π 的奇函数,则 f(x)可以是 ( A.sinx B.cosx C.sin2x

) D.cos2x

【解析】选 B.若 f(x)=cosx, 则令 g(x)=f(x)sinx=cosxsinx, 因为 g(-x)=cos(-x)sin(-x)=-cosxsinx=-g(x), 故为奇函数, 且 g(x+π )=cos(x+π )sin(x+π )=cosxsinx, 所以周期为π .当 f(x)为 A,C,D 选项时均不符合要求. 4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π ,π ]的图象大致为 ( )

【解题指南】首先判断函数的奇偶性进行排除,然后再根据函数的图象特征取最佳值进行验证排除. 【解析】选 C.因为 f(-x)=-(1-cosx)sinx, 即 f(-x)=-f(x),而定义域 x∈[-π ,π ]关于原点对称,所以函数 f(x)为奇函数,排除 B.

又 当

x=



f

=

sin

=1>0 , 排 除

A. 当

x=



f

=

sin

=

>1,排除 D.

5.(2014·唐山高一检测)在函数 y=sin 小正周期为π 的函数的个数为 ( A.1 个 【解析】选 C. y=sin y=sin )

,y=

,y=sin

,y=cos

中,最

B.2 个 不是周期函数,y= ,

C.3 个

D.4 个

,y=cos

的周期均为π .

【拓展延伸】求三角函数周期的常用方法
-2-

1.定义法:若 f(x)满足 f(x+T)=f(x),T≠0,则 T 为其周期. 2.公式法:对 y=sin(ω x+φ )或 y=cos(ω x+φ ),最小正周期为 T= 3.图象法:画出图象,观察周期,如 y= . ) .

6.已知函数 f(x)=cos(x+φ )为奇函数,则φ 的一个取值为 (

A.

B.

C.0

D.

【解析】选 D. f(x)=cos(x+φ )为奇函数,则φ =kπ + 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·宁波高一检测)函数 f(x)=

,k∈Z,当 k=0,得φ =

.

cos2x+1 的图象关于

对称(填“原点”或“y 轴”). cos2(-x)+1= cos2x+1=f(x),

【解析】函数 f(x)的定义域 R 关于原点对称,又因为 f(-x)= 所以 f(x)为偶函数,故其图象关于 y 轴对称. 答案:y 轴

8.(2014·阳泉高一检测)函数 f(x)=sin ω= .

(ω >0)的周期为

,则

【解析】 答案:8

=

,所以ω =8.

9.关于 x 的函数 f(x)=sin(x+φ )有以下说法: ①对任意的φ ,f(x)都是非奇非偶函数. ②存在φ ,使 f(x)是偶函数. ③存在φ ,使 f(x)是奇函数. ④对任意的φ ,f(x)都不是偶函数. 其中错误的是 (填序号).

-3-

【解析】当φ = 误的. 答案:①④

+kπ ,k∈Z 时,f(x)为偶函数;当φ =kπ ,k∈Z 时,f(x)为奇函数.由此可知①④是错

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2014·聊城高一检测)判断函数 f(x)=cos(2π -x)-x sin x 的奇偶性. 【解析】因为 f(x)=cos(2π -x)-x sin x =cosx-x sin x,其定义域为 R, f(-x)=cos(-x)-(-x) sin (-x) =cosx-x sin x=f(x),所以 f(x)为偶函数. 11.已知函数 y=5cos (其中 k∈N),对任意实数 a,在区间[a,a+3]上要使函数值 出现
3 3 3 3 3

的次数不少于 4 次且不多于 8 次,求 k 的值. 【解析】由 5cos 得 cos = . = ,

因为函数 y=cosx 在每个周期内出现函数值为 有两次,而区间[a,a+3]的长度为 3,所以为了使长度为 3 的区间内出现函数值 不少于 4 次且不多于 8 次,必须使 3 不小于 2 个周期长度且不大于 4 个周期长度. 即 2× ≤3,且 4× ≥3.

所以 ≤k≤ .又 k∈N,故 k=2,3.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·鞍山高一检测)函数 f(x)=-sinx 的奇偶性是 ( A.奇函数 C.偶函数 B.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 )

-4-

【解析】选 A.因为 x∈R,f(-x)=-sin(-x)=sinx =-f(x),所以此函数为奇函数.

2.已知函数 f(x)=sin

,则 f(1)+f(2)+?+f(2015)= (

)

A.【解析】选 B.f(x)的周期 T=6,

B.0

C.

D.

而 f(1)=sin

=



f(2)= f(4)=f(5)=-

,f(3)=0, , ,f(6)=0,

所以原式=335×(f(1)+f(2)+?+f(6))+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)

=0+

+

+0+

+

=0.

3.(2014·通化高一检测 )设函数 f(x)(x∈ R)满足 f(-x)=f(x) ,f(x+2)=f(x),则函数 y=f(x) 的图象是 ( )

【解题指南】根据题意,确定函数 y=f(x)的性质,再判断哪一个图象具有这些性质. 【解析】选 B.由 f(-x)=f(x)得 y=f(x)是偶函数,所以函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,可知 B,D 符合;由 f(x+2)=f(x)得 y=f(x)是周期为 2 的周期函数,选项 D 的图象的最小正周期 是 4,不符合,选项 B 的图象的最小正周期是 2,符合,故选 B. 4.(2014·宁波高一检测)下列函数中,奇函数的个数为 (
2

)

①y=x sinx;②y=sinx,x∈[0,2π ];③y=sinx,x∈[-π ,π ];④y=xcosx.
-5-

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【解析】选 C.因为 y=sinx,x∈[0,2π ]的定义域不关于原点对称,所以②不是奇函数,①③④符合奇函 数概念. 【变式训练】(2014·洋浦高一检测)函数 y=cos A.奇函数 C.偶函数 【解析】选 A. y=cos =cos =sin2009x,所以为奇函数. π -2009x 是 B.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 ( )

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2013·江苏高考)函数 y=3sin 【解题指南】利用三角函数周期公式 T= 【解析】函数 y=3sin 答案:π 6.若函数 f(x)=2cos 的最小正周期为 T,且 T∈(1,3),则正整数ω 的最大值是 . . =π . 的最小正周期为 .

的最小正周期 T=

【解题指南】首先利用公式求出周期,然后结合 T 的取值范围来求正整数ω 的最大值. 【解析】因为 1< <3,所以 <ω <2π ,

所以正整数ω 的最大值是 6. 答案:6 【变式训练】方程 cos A.98 B.100 = = 在区间(0,100π )内解的个数是 ( C.102 等价于-sinx= D.200 ,在同一坐标系中作出 y=-sinx )

【解析】选 B.用图象法来解,cos 与 y= 的图象在一个周期内的图象,

-6-

有两个交点,利用周期判断(0,100π )内解的个数为 100 个. 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014·镇江高一检测)已知函数 y= sinx+ (1)画出函数的简图. (2)此函数是周期函数吗?若是,求其最小正周期. 【解析】(1)y= sinx+ ,

=

图象如下:

(2)由图象知该函数是周期函数,且最小正周期是 2π . 8.函数 f(x)满足 f(x+2)=.

求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期. 【解析】因为 f(x+4)=f((x+2)+2) ==f(x),

所以 f(x)是周期函数,且 4 是它的一个周期. 【拓展延伸】判断一个函数为周期函数的方法 判断方法有两种,一是定义法,如本题.二是图象法,需要把函数图象画出再判断. 【变式训练】函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x). 求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期. 【证明】因为 f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)

-7-

=-(-f(x))=f(x). 所以 f(x)是周期函数,且 4 是它的一个周期.

-8-


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