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上海市华师大二附中2014届高三数学综合练习试题5苏教版


上海市华师大二附中高三综合练习高三年级数学 [5]
一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。
x 1、已知集合 A= x y ? lg( x ? 2) ,B= y y ? 2 ,则 A ? B=

?

? ?

?

r />


5 ,则 cos 2 ? = 5 2 3、方程 lg x - 2lgx - 3 ? 0 的解是
2、若 sin ? = x

。 。 。

4、已知函数 f(x)的图象与函数 y ? 3 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(9)= 5、复数 z ?

6、 在数列 ?a n ?中 a 1 = -13,且 3a n =3a n ?1 -2,则当前 n 项和 s n 取最小值时 n 的值是 所取两数 m>n 的概率是_
7

5 的共轭复数 z = 3 ? 4i

。 。

7.集合 A ? ?2, 4, 6, 8,10? , B ? ?1, 3, 5, 7, 9? ,在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取一元素 n,则 。 。
3 2 4

8、在△ABC 中三边之比 a:b:c=2:3: 19 ,则△ABC 中最大角=

9、 (理)在 (1 ? ax) 的展开式中, x 的系数是 x 和 x 的系数的等差中项,若实数 a ? 1 , 那么 a ? 。 (文)某工程由下列工序组成,则工程总时数为 天。

1 1 1 , , ,…中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按原 2 4 8 1 a1 来次序排列的数列) ,使它所有项的和为 ,则此子数列的通项公式为 。 7 a2 a3 11、在 R 上定义运算△:x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数
10、试在无穷等比数列 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 12、已知数列 ?a n ?, a n 。

? 2?( )

1 n ,把数列 3

. . . . . . . . . . 二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、若复数 z ? cos? ? i sin? 所对应的点在第四象限,则 ? 所在的象限是( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 14、函数 y=cos 2x 的图象的一个对称中心是( ) (A)(

图所示.记 A(m, n ) 表示第 m 行,第 n 列的项,则 A(10,8) =

?an ?的各项排成三角形状,如 a 7

a4
a8

a5

a6

。. . .

a9

a 10
. . . . .

? , 0) 2
x

(B) (

? , 0) 4

(C) (-

? , 0) 2

(D) (0,0)

15、函数 y= 2 ? 2 (



(A)在(- ? ,+ ? )上单调递增。 ,? ?? 上是增函数。 (B)在 ?? ?,1? 上是减函数,在 ?1

1

(C)在 ?? ?,1? 上是增函数,在 ?1 ? ? ? 上是减函数。

(D)在 ?? ?,0? 上是减函数,在上 ?0,? ? ? 是增函数。 16、某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了 a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回 b 千 米( b ? a) ,再前进 c 千米,则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 设 z 为虚数,且满足 ? 1 ? z ?

1 ? 2,求 z 。 z

18、 (本题满分 13 分)

已知向量 a ? ?2 sin x, cos x? , b ? 3 cos x,2 cos x ,定义函数 f(x)= a ? b ? 1。 (1)求函数 f(x)的最小正周期。 (2)x ? R 时求函数 f(x)的最大值及此时的 x 值。

?

?

19、 (本题满分 13 分) 在不等边△ABC 中,设 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin A ,sin B ,sin C 依次成等差数列,给定数列
2 2 2

cos A cos B cosC , , . a b c

(1)试根据下列选项作出判断,并在括号内填上你认为是正确选项的代号( ) . A.是等比数列而不是等差数列 B.是等差数列而不是等比数列 C.既是等比数列也是等差数列 D.既非等比数列也非等差数列 (2)证明你的判断.

20、 (本题满分 14 分) 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池
2

又向居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨, ( 0 ? t ? 24 ) (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内, 有几小时出现供水紧张现象。

21、 (本题满分 16 分) 设 有

f ( x) ?

x ,方 a( x ? 2)
1 1

f( 程 x) ? x
0 4







,





f ( xn ) ? xn?1 (n ? N * ), 且f ( x1 ) ?

. 0

(1)求数列{xn}的通项公式;
2 2 4 ? 4013 x n an ?1 ? a n , 且bn ? (n ? N * ) ,求和:Sn=b1+b2+…+bn; (2)若 a n ? xn 2a n ?1 a n m * (3)是否存在最小整数 m,使得对任意 n∈N ,有 f ( x n ) ? 成立,若存在,求出 m 2008

的值,若不存在,说明理由.

22、(本题满分 18 分)
3

设函数 f(x)=ax 2 +bx+1(a,b 为实数),F(x)= ?

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) ? 0 成立,求 F(x)表达式。 (2)在(1)的条件下,当 x ? ?? 2,2? 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。 (3) (理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。

? f ( x ) ( x ? 0) ? ? f ( x ) ( x ? 0)

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[5] 参考答案 1、 x x ? 2

?

?

2、

3 5

3、 0.1或1000

4、2

5、

3 4 ? i 5 5

6、20

4

7、 0.6 13、A

8、

2? 3

1 ? 2 10(文) 9、 (理)

10、an ?

1 8n

11、(?

1 3 , ) 2 2

12、2 ? ( )

1 3

53

14、B 15、B 16、C

17、解:设 z ? a ? bi, (a, b ? R且a ? 0, b ? 0) ,则 z ? 由已知得 z ?

1 a b ?a? 2 ? (b ? 2 )i , 2 z a ?b a ? b2

? ), 6 2? ? ? ? ? (1)T= =? , (2)f(x)=2sin(2x+ ),∴当 2x+ = +2k ? (k ? Z),即 x= +k ? ? 6 6 2 6 ? (k ? Z)时,f(x)取最大值为 2,∴当 x= +k ? (k ? Z)时 f(x) max =2 。 6
18、解:f(x)= a ? b -1=2 3 sinx×cosx+2cos 2 x-1= 3 sin2x+cos2x=2sin(2x+ 19、 解: (1) B (2) 因为 sin A 、 所以 2 sin B ? sin A ? sin C , sin B 、 sin C 成等差数列,
2 3 2 2 2 2

1 b 2 2 =0,∴ a ? b ? 1 ,∴ z =1。 ? R ,∴ b ? 2 2 z a ?b





2b2 ? a 2 ? c 2





c o B s a2 ? c2 ? b2 , ? b 2a b c

cos A b 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2abc



cos C a 2 ? b 2 ? c 2 . ? c 2abc

2 cos B cos A cos C cos A cos B cosC ,即 、 、 成等差数列.若其为等比数列, ? ? a b b a c c cos A cos B cosC 有 ,所以 tan A ? tan B ? tan C , A ? B ? C ,与题设矛盾 ? ? a b c 20、解: (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨,则 y ? 400 ? 60t ? 120 6t ;
显然
2 令 6t = x ;则 x ? 6t ,即 y ? 400 ? 10 x ? 120 x ? 10( x ? 6) ? 40 ;
2 2

∴当 x ? 6 ,即 t ? 6 时, y min ? 40 ,即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨。 (2)依题意 400 ? 10 x ? 120 x ? 80 ,得 x ? 12 x ? 32 ? 0 ,解得, 4 ? x ? 8 ,即
2 2

8 32 32 8 ;由 ?t? ? ? 8 ,所以每天约有 8 小时供水紧张。 3 3 3 3 1 2x 21、解: (1)因方程 f(x)=x 有唯一解,可求 a= 从而得到 f ( x) ? . 2 x?2 2 x1 1 1 2 f ( x1 ) ? ,即 ? ? x1 ? 1004 x1 ? 2 1004 2007
4 ? 6t ? 8 ,

2 xn 1 1 1 ? x n ?1 xn ? 0 ? ? ? xn ? 2 x n ?1 x n 2 1 1 1 数列{ }是首项为 ,公差为 的等差数列, x1 xn 2 1 2 ? (n ? 1) x1 1 1 ? (n ? 1) ? ? 故 = , 2 2 x1 x n x1 又由已知f ( x n ) ? x n ? 1;

5

2 x1 2 ? . (n ? 1) x1 ? 2 n ? 2006 1 1 1 (2) 将 xn 代入 an 可求得 an=2n-1, 所以 bn ? 1 ? ( ? ) . ? Sn ? n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 m (3)? f ( x n ) ? x n ?1 ? 对n ? N * 恒成立, 2008 m 2 2 1 2 ? 只要 ?( ) max 即可, 而( ) max ? ? . 2008 n ? 2007 n ? 2007 1 ? 2007 2008 m 2 即要 ? ,? m ? 2 ,故存在最小的正整数 m=3. 2008 2008 22、 解: (1) ?f(-1)=0 ∴ b ? a ? 1 由 f(x) ? 0 恒成立 知△=b 2 -4a=(a+1) 2 -4a=(a-1) 2 ? 0 ( x ? 0) ?( x ? 1) ∴a=1 从而 f(x)=x 2 +2x+1 ∴F(x)= ? , 2 ?? ( x ? 1) ( x ? 0) 2 2 (2)由(1)可知 f(x)=x +2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1,由于 g(x)在 ?? 2,2? 上是 2?k 2?k 单调函数,知? ?2 或? 2 ,得 k ? -2 或 k ? 6 , 2 2 (3)?f(x)是偶函数,∴f(x)=f(x),而 a>0∴ f ( x) 在 ?0,??? 上为增函数
所以数列{xn}的通项公式为 x n ? 对 于 F(x) , 当 x>0 时 -x<0 , F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x) , 当 x<0 时 -x>0 , F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x), ∴F(x)是奇函数且 F(x)在 ?0,? ? ? 上为增函数, ?m>0,n<0,由 m>-n>0 知 F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。

6


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