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高一数学教案:47二倍角的正弦、余弦、正切(2).doc




题:4 7
王新敞
奎屯 新疆

二倍角的正弦、余弦、正切(2)

教学目的: 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻 辑推理能力 教学重点:二倍角公式的应用 教学难点:灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 授课类型:新授课 课时安排:1

课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ; ( S 2? )

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ; (C2? )
tan 2? ? 2 tan ? ; (T2? ) 1 ? tan 2 ?

cos2? ? 2 cos2 ? ? 1

?? ) cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ? (C2
(1)二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数,它适用于 二倍角与单角的三角函数之间的互化问题. (2)二倍角公式为仅限于 2? 是 ? 的二倍的形式,尤其是“倍角”的意义是相对的 (3)二倍角公式是从两角和的三角函数公式中,取两角相等时推导出,记忆时可联 想相应角的公式.
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?? ) , (T2? ) 成立的条件是: (4) 公式 ( S 2? ) , (C2? ) , (C2
是 ? ? R, ? ? k? ?

公式 (T2? ) 成立的条件

?
2

,? ? k? ?

?
4

, k ? Z .其他 ? ? R

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(5)熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次) (6)特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? , 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 这两个形式今后常用 2

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二、讲解范例: 例 1 化简下列各式: 1. 4 sin

? ? ? cos ? 2 sin 4 4 2

2.

1 tan 40? ? tan 80 ? 2 ? 2 1 ? tan 40

3.2sin2157 5? ? 1 = ? cos315 ? ?
?
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2 2

4. sin

? 5? ? ? 1 ? 1 sin ? sin cos ? sin ? 12 12 12 12 2 6 4

? ? ? ? 5.cos20?cos40?cos80? = sin 20 cos 20 cos 40 cos80 sin 20?

1 1 1 sin 160 ? sin 40 ? cos 40 ? cos 80 ? sin 80 ? cos 80 ? 1 8 2 4 ? ? ? ? 8 sin 20 ? sin 20 ? sin 20 ?

例 2 求证:[sin?(1+sin?)+cos?(1+cos?)]×[sin?(1?sin?)+cos?(1?cos?)] = sin2? 证:左边 = (sin?+sin2?+cos?+cos2?)×(sin??sin2?+cos??cos2?) = (sin?+ cos?+1)×(sin?+cos? ?1) = (sin?+ cos?)2 ?1 = 2sin?cos? = sin2? = 右边 ∴原式得证 关于“升幂” “降次”的应用:在二倍角公式中, “升次” “降次”与角的变化是相对的 在 解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用
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例 3 求函数 y ? cos2 x ? cos x sin x 的值域 解: y ?

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1 ? cos2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2
? ) ?1 4
2

——降次

∵ ? 1 ? sin( 2 x ?

∴ y ?[

1? 2 1? 2 , ] 2 2
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例 4 求 证 : sin ? ? cos ? cos(

? ? ? ?) ? sin 2 ( ? ?) 的 值 是 与 ? 无 关 的 定 值 证 : 3 6 1 1 ? ? 原式 ? (1 ? cos 2?) ? [1 ? cos( ? 2?)] ? c o s? c o s ( ? ?) —降次 2 2 3 3 1 ? ? ? ? [cos( ? 2?) ? cos 2?] ? cos ?(cos cos ? ? sin sin ?) 2 3 3 3

1 ? ? 1 3 ? (cos cos2? ? sin sin 2? ? cos2?) ? cos2 ? ? cos? sin ?) 2 3 3 2 2 1 3 1 1 3 1 ? cos2? ? sin 2? ? cos 2? ? (1 ? cos2?) ? sin 2?) ? 4 2 2 4 4 4
? ? ? ?) ? sin 2 ( ? ?) 的值与?无关 3 6 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? 例 5 化简: ——升幂 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ?
∴ sin ? ? cos ? cos(
2

? ? ? ? ? ? ? 2 sin cos 2 sin 2 ? 2 sin cos 2 2 2? 2 2 2 解: 原式 ? ? ? ? ? ? ? 2 sin 2 ? 2 sin cos 2 cos2 ? 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 cos2

2 cos (cos ? sin ) 2 sin (sin ? cos ) 2 2 2 ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 sin (sin ? cos ) 2 cos (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2 ? ? 1? c o s ? 1? c o s ? 2 ? ? ( c o t ? t a n ) ? ?( ? )?? ? ?2 c s c ? 2 2 sin ? sin ? sin ? 1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? ? 例 6 求证: ——升幂 2 tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? sin 4? ? cos 4? 2 tan ? ? 证:原式等价于: 1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? tan 2 ?
左边 ?

?

?

?

?

?

?

sin 4? ? (1 ? cos4?) 2 sin 2? cos 2? ? 2 sin 2 2? ? sin 4? ? (1 ? cos4?) 2 sin 2? cos2? ? 2 cos2 2?
2 sin 2? (cos2? ? sin 2? ) ? tan2? 2 cos 2? (sin 2? ? cos2? )

?
右边=

2 tan ? ? tan 2? 1 ? tan 2 ?
∴原式得证

∴左边=右边

例 7 利用三角公式化简: sin 50? (1 ? 3tg10? ) 分析:化正切为正弦、余弦,便于探索解题思路. 解: sin 50 (1 ? 3tg10 ) ? sin 50 (1 ?
? ? ?

3 sin 10? ) cos10?

1 3 2( cos10? ? sin 10? ) ? 2 2 ? sin 50 ? cos10?

? 2 sin 50? ?

sin 30? cos10? ? cos30? sin 10? cos10?

? 2 cos 40? ?

sin 40? sin 80? ? ?1 cos10? cos10?

指出:例4的解法用到了很多公式,其解法的关键是“化切为弦”与逆用公式. 三、课堂练习: 1 求值:cos 80°+sin 50°-sin190°·cos320°
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2

2

解:原式=

1 ? cos 160 ? 1 ? cos 100 ? ? +sin10°cos40° 2 2

1 ×2×(-sin30°sin50°)+sin10°cos40° 2 1 1 =1- sin50°+ (sin50°-sin30°) 2 2 1 3 =1- = 4 4
=1+ 2求
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1 3 的值 ? sin 10? cos10?

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cos10? ? 3 sin 10? ? 解:原式= sin 10? cos10?
?

1 3 4( cos10? ? sin 10?) 2 2 2 sin 10? cos10?

4(sin 30? cos 10? ? cos 30? sin 10?) 4 sin(30? ? 10?) 4 sin 20? ? ? ?4 2 sin 10? cos 10? sin 20? sin 20?
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四、小结 本节课学习了以下内容:数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会 根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式 五、课后作业: 1若
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5? 7? ≤α ≤ ,则 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 等于( 2 2 ? ? ? A. ? 2 cos B.2cos C. ? 2 sin 2 2 2
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)

D.2sin

? 2

2

2 ? sin 2 2 ? cos4 的值等于(
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) C
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A sin2
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B -cos2
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3 cos2
)

D - 3 cos2
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3 sin6°cos24°sin78°cos48°的值为(

1 16 ? 2? 3? 4? cos cos 4 cos cos 的值等于 9 9 9 9 A.
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1 16

B. ?

C.

1 32
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D.

1 8

5 已知 sinx=
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? 5 ?1 ,则 sin2(x- )的值等于 4 2
5 ? (0 ? ? ? ), 求 13 4 cos2?

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6 若 sinα sinβ +cosα cosβ =0,则 sinα cosα +sinβ cosβ 的值为
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7 已知 sin(
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?

4

??) ?

cos( ? ? ) 4
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?

.

8 求值 tan70°cos10°( 3 tan20°-1)
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参考答案:1 C
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2

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3A
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4

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1 16

5 2- 5
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60 7
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24 13

8 -1
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六、板书设计(略) 七、课后记


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