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2018高考数学大一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测八二次函数与幂函数理


课时达标检测(八)

二次函数与幂函数

[练基础小题——强化运算能力]
? ? 1 1 α 1.设 α ∈?-2,-1,- , ,1,2?,则使 f(x)=x 为奇函数,且在(0,+∞)上单 2 2 ? ?

调递减的 α 的值的个数是( A.1 C.3
α

) B. 2 D. 4
α

解析:选 A 由 f(x)=x 在(0,+∞)上单调递减,可知 α <0.又因为 f(x)=x 为奇函 数,所以 α 只能取-1.
1 2 1

?2? 3 ?1? 3 ?1? 3 2.设 a=? ? ,b=? ? ,c=? ? ,则 a,b,c 的大小关系为( 3 3 ? ? ? ? ?3?
A.a>c>b C.c>a>b B.a>b>c D.b>c>a
2

)

1 2 ?1?x ?1? 3 ?1? 3 解析:选 A ∵0< < <1,指数函数 y=? ? 在 R 上单调递减,故? ? <? ? .又由于幂 3 3 ?3? ?3? ?3? 1 ?2? 3 ?1? 3 ?1? 3 ?1? 3 ?2? 3 函数 y=x 在 R 上单调递增,故? ? >? ? ,∴? ? <? ? <? ? ,即 b<c<a,故选 A. 3 ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? 3.已知函数 f(x)=ax -x-c,且 f(x)>0 的解集为(-2,1),则函数 y=f(-x)的图象 为( )
2

1

1

1

2

1

1

解析:选 D ∵函数 f(x)=ax -x-c,且 f(x)>0 的解集为(-2,1),∴-2,1 是方程 1 c ax2-x-c=0 的两根, 由根与系数的关系可得-2+1= , -2×1=- , ∴a=-1, c=-2, a a ∴f(x)=-x -x+2.∴函数 y=f(-x)=-x +x+2,可知其图象开口向下,与 x 轴的交点 坐标为(-1,0)和(2,0).故选 D. 4.二次函数的图象与 x 轴只有一个交点,对称轴为 x=3,与 y 轴交于点(0,3).则它 的解析式为________. 解析:由题意知,可设二次函数的解析式为 y=a(x-3) ,又图象与 y 轴交于点(0,3), 1 1 1 2 2 所以 3=9a,即 a= .所以 y= (x-3) = x -2x+3. 3 3 3
2 2 2

2

1

1 2 答案:y= x -2x+3 3 5. 若关于 x 的不等式 x -4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立, 则 m 的取值范围为________. 解析:只需要在 x∈(0,1]时,(x -4x)min≥m 即可.因为函数 f(x)=x -4x 在(0,1]上 为减函数,所以当 x=1 时,(x -4x)min=1-4=-3,所以 m≤-3. 答案:(-∞,-3] [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1.若幂函数 y=(m -3m+3)·xm -m-2 的图象不过原点,则 m 的取值是( A.-1≤m≤2 C.m=2
2 2 2 2 2 2 2

)

B.m=1 或 m=2 D.m=1

解析: 选 B 由幂函数性质可知 m -3m+3=1, ∴m=1 或 m=2.又幂函数图象不过原点, ∴m -m-2≤0,即-1≤m≤2,∴m=1 或 m=2. 2.若函数 f(x)=(1-x )(x +ax-5)的图象关于直线 x=0 对称,则 f(x)的最大值是 ( ) A.-4 C.4 或-4 解析: 选B
2 2 2 2 2

B. 4 D.不存在 依题意, 函数 f(x)是偶函数, 则 y=x +ax-5 是偶函数, 故 a=0, 则 f(x)
4 2 2 2 2 2

=(1-x )(x -5)=-x +6x -5=-(x -3) +4,当 x =3 时,f(x)取最大值为 4. 3.已知函数 f(x)=x ( ) A.f(m)<f(0) C.f(m)>f(0) B.f(m)=f(0) D.f(m)与 f(0)大小不确定
2 2-m

是定义在区间[-3-m,m -m]上的奇函数,则下列成立的是

2

解析:选 A 因为函数 f(x)是奇函数,所以-3-m+m -m=0,解得 m=3 或-1.当 m =3 时,函数 f(x)=x ,定义域不是[-6,6],不合题意;当 m=-1 时,函数 f(x)=x 在 定义域[-2,2]上单调递增,又 m<0,所以 f(m)<f(0). 4. 已知函数 f(x)=x +2|x|, 若 f(-a)+f(a)≤2f(2), 则实数 a 的取值范围是( A.[-2,2]
2 2 -1 3

)

B.(-2,2] C.[-4,2]
2

D.[-4,4]

解析:选 A 由 f(x)=x +2|x|,f(2)=8 知,f(-a)+f(a)=2a +4|a|≤16,解得 a ∈[-2,2]. 5.设函数 f(x)=x -23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+?+g(20)= ( ) A.56 B.112 C.0 D.38
2

解析:选 B 由二次函数图象的性质得,当 3≤x≤20 时,f(x)+|f(x)|=0,∴g(1)+

2

g(2)+?+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.
6 .已知二次函数 f(x) 满足 f(2 + x) = f(2 - x) ,且 f(x) 在 [0,2] 上是增函数,若

f(a)≥f(0),则实数 a 的取值范围是(
A.[0,+∞) C.[0,4]

) B.(-∞,0] D.(-∞,0]∪[4,+∞)

2+x+2-x 解析: 选 C 由 f(2+x)=f(2-x)可知, 函数 f(x)图象的对称轴为 x= =2, 2 又函数 f(x)在[0,2]上单调递增,所以由 f(a)≥f(0)可得 0≤a≤4. 二、填空题 1 7.已知幂函数 f(x)=x- ,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围是________. 2 1 1 解析:∵f(x)=x- = (x>0),易知 x∈(0,+∞)时为减函数,又 f(a+1)<f(10 2 x

a+1>0, ? ? -2a),∴?10-2a>0, ? ?a+1>10-2a, a>-1, ? ? 解得?a<5, ? ?a>3,
答案:(3,5) 8.已知点 P1(x1,2 018)和 P2(x2,2 018)在二次函数 f(x)=ax +bx+9 的图象上,则 f(x1 +x2)的值为________. 解析:依题意得 x1+x2=- ,则 f(x1+x2)=f?- ?=a?- ? +b?- ?+9=9. a a a 答案:9 9.方程 x +ax-2=0 在区间[1,5]上有根,则实数 a 的取值范围为________. 2 2 2 解析:方程 x +ax-2=0 在区间[1,5]上有根,即方程 x+a- =0,也即方程 a= -x
2 2

∴3<a<5.

b a

? b? ? ?

? b?2 ? ?

? b? ? ?

x

x

2 23 23 在区间[1,5]上有根,而函数 y= -x 在区间[1,5]上是减函数,所以- ≤y≤1,则- x 5 5 ≤a≤1.

? 23 ? 答案:?- ,1? ? 5 ?
10.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x ∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b] 称为“关联区间”.若 f(x)=x -3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m
3
2

的取值范围为________. 解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x -5x+4-m 在[0,3]上有两 个不同的零点. 在同一直角坐标系下作出函数 y=m 与 y=x -5x+4(x ∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当 x∈[2,3]时,y=x -
2 2 2

? 9 ? ? 9 ? 2 5x+4∈?- ,-2?,故当 m∈?- ,-2?时,函数 y=m 与 y=x -5x ? 4 ? ? 4 ?
+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.

? 9 ? 答案:?- ,-2? ? 4 ?
三、解答题 11.(2017·杭州模拟)已知函数 h(x)=(m -5m+1)x (1)求 m 的值;
2

m+1

为幂函数,且为奇函数.

? 1? (2)求函数 g(x)=h(x)+ 1-2h?x?,x∈?0, ?的值域. ? 2?
解:(1)∵函数 h(x)=(m -5m+1)x ∴m -5m+1=1,解得 m=0 或 5. 又 h(x)为奇函数,∴m=0.
2 2

m+1

为幂函数,

? 1? (2)由(1)可知 g(x)=x+ 1-2x,x∈?0, ?, ? 2?
1 2 1 令 1-2x=t,则 x=- t + ,t∈[0,1], 2 2 1 2 1 1 ?1 ? 2 ∴f(t)=- t +t+ =- (t-1) +1∈? ,1?,故 g(x)=h(x)+ 1-2h?x?,x∈ 2 2 2 ?2 ?

?0,1?的值域为?1,1?. ? 2? ?2 ? ? ? ? ?
12.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? +F(-2)的值; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解:(1)由已知 c=1,a-b+c=0,且- =-1, 2a 解得 a=1,b=2.
? ??x+1? ,x>0, 2 ∴f(x)=(x+1) .∴F(x)=? 2 ? ?-?x+1? ,x<0.
2 2

? ?f?x?,x>0, ?-f?x?,x<0, ?

求 F(2)

b

∴F(2)+F(-2)=(2+1) -(-2+1) =8.
4

2

2

(2)由题可知,f(x)=x +bx,原命题等价于-1≤x +bx≤1 在(0,1]上恒成立, 1 1 即 b≤ -x 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立.

2

2

x

x

1 1 又 -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2,

x

x

∴-2≤b≤0.故 b 的取值范围是[-2,0].

5


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