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4-4-2.3参数方程与普通方程互化1


参数方程与普通方程的互化

参数方程化为普通方程的步骤

步骤:

1、消掉参数(代入消元,三角公式法, 配方法) 2、写出定义域(x的范围) 注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须 使x,y前后的取值范围保持一致。

1、若曲线 { 轨迹是 (

x ? 1 ?

cos 2? y ? sin ?
2

(?为参数),则点( x, y )的

D
2 2



A、直线x ? 2 y ? 2 ? 0, B、以(2,0)为端点的射线 C、圆( x ? 1) ? y ? 1, D、以(2,0)和(0,1)为端点的线段

x y 例4、求椭圆 ? ? 1的参数方程 9 4 ( )设x ? 3 cos? , ?为参数。 1 (2)设y ? 2t , t为参数

2

2

解:()把x ? 3 cos?代入椭圆方程,得到 1 9 cos ? y ? ? 1, 9 4 2 2 2 所以y ? 4(1 ? cos ? ) ? 4 sin ?即y ? ?2 sin ?
2 2

由参数?的任意性,可取 ? 2 sin ? , y x y 所以椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 x ? 3 cos? { (?为参数) y ? 2 sin ?
2 2

x 4t (2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4 于是x ? 9(1 ? t ), x ? ?3 1 ? t
2 2 2 2 2

2

2

x y 所以,椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 { x ? 3 1? t y ? 2t
2

(t为参数)和{

x ? ?3 1 ? t y ? 2t

2

将下列参数方程化为普通方程 (1){
x ?e ?e y=et ? e? t
t ?t

(t为参数) (? 为参数) (t为参数, k? ?? , k ? z) 2

(2){ (3){

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ? x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

3、若已知直线的参数方程为{ 求它与曲线{ x ? 2cos ? y ? 2sin ?

x ? 1? t y ? 1? t

(t为参数)

(? 为参数)的交点。

x ? 2 ? cos? 4、P( x, y)是曲线 { (?为参数)上任 y ? sin ? 意一点, 则( x ? 5) ? ( y ? 4) 的最大值为 ( A
2 2



A、 36 C、 26

B、 6 D、 25

5、若x2 ? y 2 ? 4, 则x ? y的最大值是 _________

x ? 2cos ? 解:x ? y ? 4的参数方程为{ (?为 y ? 2sin ?
2 2

参数)
? x ? y ? 2 cos ? ? 2sin ? ? 2 2 cos(? ? ) 4 ?最大值为2 2

?

6、若圆x ? y ? 4, 则圆上到
2 2

直线y ? x ?3距离的最大值是 _________

2 x ? 4? t 2 (t为参数)和圆C 5、已知直线l{ 2 y ? ?4 ? t 2 x ? 2 ? 2 2 cos ? { (? 为参数),则直线l与圆C的 y ? ?2 ? 2 2 sin ? 位置关系是
(

D

)

A、相交但不过圆心,B、相交且过圆心 C、相离,D、相切

6、设直线的参数方程为{

x ? 1? t y ? ?2 ? 2t

(t为参数)

4 x2 y 2 它与椭圆 ? ? 1的交点为A和B,求线段 9 9 AB的长度。

解:将直线的参数方程 化为普通方程得 2 x ? y ? 4 ? 0, 得到y ? 2 x ? 4.......... 1) ...( 椭圆化为4 x 2 ? y 2 ? 9 ? 0.......... .........( ) 2 将(1)代入(2)得8 x ? 16x ? 7 ? 0 7 ? x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? 8 由弦长公式得
2

d ? 1? k

2

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2

7 10 ? 1? 4 4 ? 4? ? 8 2


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