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!华师大二附中高三数学综合练习试卷(共十套)


上海市华师大二附中高三综合练习试卷(共十套)

上海市华师大二附中高三年级综合练习[1]
数学
一、 填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题, 只要求直接填写结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分。 1.函数 y ? f ( x)(x ? R) 图象恒过定点 (0,1) ,若 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f 定点 。
?1

( x) ,则 y ? f ?1 ( x) ? 1的图象必过

2.已知集合 A ? y y ? 2 ? 1, x ? R ,集合 B ? y y ? ? x ? 2 x ? 3, x ? R ,则集合 x x ? A且x ? B ?
x

?

?

?

2

?

?

?



? 3.若角 ? 终边落在射线 3x ? 4 y ? 0( x ? 0) 上,则 tan?? ? arccos( ?
4.关于 x 的方程 x ? (2 ? i) x ? 1 ? mi ? 0(m ? R) 有一实根为 n ,则
2

?

2 ? )? ? 2 ?
1 ? m ? ni



。 。

5.数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 ,且 a n ?1 ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n )( n ? N ) ,记 S n 为数列 ?an ? 前 n 项和,则 S n ?

1 2

?x ? ? 6. (文)若 x, y 满足 ? x ? ? ?x ? ? ?x ?
n

y?5 y ? 1 ,则目标函数 s ? 3x ? 2 y 取最大值时 x ? y?3 y ? ?1



1? ? (理)若 ? 3 x ? ? (n ? N ) 的展开式中第 3 项为常数项,则展开式中二项式系数最大的是第 x? ?
7.已知函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? 2? ) ,若对任意 x ? R 有 f ( x ) ? f ( 在 ?0, ? ?上的解为 。

项。

5 ? ) 成立,则方程 f ( x) ? 0 12

8.某足球队共有 11 名主力队员和 3 名替补队员参加一场足球比赛,其中有 2 名主力和 1 名替补队员不慎误服违禁 药物,依照比赛规定,比赛后必须随机抽取 2 名队员的尿样化验,则能查到服用违禁药物的主力队员的概率 为 。 (结果用分数表示)

9.将最小正周期为

? ? 的函数 g ( x) ? cos(?x ? ?) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 2? ) 的图象向左平移 个单位,得到 2 4 偶函数图象,则满足题意的 ? 的一个可能值为 。

10.据某报《自然健康状况》的调查报道,所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表,观察表中数据规律,并将 最适当的数据填入表中括号内。 年龄(岁) 收缩压 110 (水银柱/毫米) 115 120 125 130 135 145 ?? 30 35 40 45 50 55 60 65 ??

舒张压 70 (水银柱/毫米) 11.若函数 f ( x) ? min?3 ? log 1 x, log2 x ? ,其中 min?p, q? 表示 p, q 两者中的较小者, 73 75 78 80 73 85 ??

? ?

? ?

4

则 f ( x) ? 2 的解为



12.如图, P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为

1 的半圆得 2

到图形 P2 ,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径是前一个被剪掉半圆的半径)可 得图形 P3 , P4 ,?, Pn ,?,记纸板 Pn 的面积为 S n ,则 lim S n ?
n??



二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不 论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13.已知 a, b, c 满足 c ? b ? a且ac ? 0 ,则下列选项中不一定能成立的是( A、 ab ? ac B、 c(b ? a) ? 0 ) C、 cb ? ca
2 2



D、 ac(a ? c) ? 0

14.下列命题正确的是(

A、若 lim a n ? A , lim bn ? B ,则 lim
n?? n??

n??

an A ? (bn ? 0) 。 bn B

B、函数 y ? arccosx(?1 ? x ? 1) 的反函数为 y ? cos x, x ? R 。 C、函数 y ? x m
2

?m?1

(m ? N ) 为奇函数。
2 3
x

D、函数 f ( x) ? sin x ? ( )
2

?

1 1 ,当 x ? 2004 时, f ( x) ? 恒成立。 2 2
) D、 a ? 1

15.函数 f ( x) ? A、 0 ? a ? 1

a ? x2 为奇函数的充要条件是( x ?1 ?1
B、 0 ? a ? 1 C、 a ? 1

16.不等式 loga x ? sin 2x(a ? 0且a ? 1) 对任意 x ? (0, A、 (0,

?
4

) 都成立,则 a 的取值范围为(



?
4

)

B、 (

?
4

,1)

C、 (

?

,1) ? (1, ) 4 2

?

D、 (0,1)

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17. (本题满分 12 分)

?ABC 中角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,若 a ? 2 3, c ? 2, 1 ?

tgA 2c ? ,求 ?ABC 的面积 S。 tgB b

18. (本题满分 12 分)
2 设复数 z1 ? x ? yi( x, y ? R, y ? 0) ,复数 z 2 ? cos? ? i sin ? (? ? R) ,且 z1 ? 2z1 ? R, z1 在复平面上所对应

点在直线 y ? x 上,求 z1 ? z 2 的取值范围。

19. (本题满分 14 分) 已知关于 x 的不等式

ax ? 5 ? 0 的解集为 M 。 x2 ? a

(1)当 a ? 4 时,求集合 M ; (2)若 3 ? M且5 ? M ,求实数 a 的取值范围。

20. (本题满分 14 分) 如图,一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ,当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数 m, n 时,输 出结果记为 f (m, n) , 且计算装置运算原理如下: ①若Ⅰ、Ⅱ分别输入 1,则 f (1,1) ? 1 ;②若Ⅰ输入固定的正整数,Ⅱ输入的正整数增大 1,则输出结果比原来 增大 3;③若Ⅱ输入 1,Ⅰ输入正整数增大 1,则输出结果为原来 3 倍。试求: (1) f (m,1) 的表达式 (m ? N ) ; (2) f (m, n) 的表达式 (m, n ? N ) ; (3)若Ⅰ,Ⅱ都输入正整数 n ,则输出结果 f (n, n) 能否为 2006?若能, 的 n ;若不能,则请说明理由。 求出相应

21. (本题满分 16 分) 对数列 ?an ? ,规定 ??an ?为数列 ?an ? 的一阶差分数列,其中 ?an ? an?1 ? an (n ? N ) 。 对 自然数 k ,规定 ?k an 为 ?an ? 的 k 阶差分数列,其中 ?k an ? ?k ?1an?1 ? ?k ?1an ? ?(?k ?1an ) 。 (1)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n 2 ? n(n ? N ), ,试判断 ??an ?, ?2 an 是否为等差或等比数列,为什么? (2)若数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 ,且满足 ?2 an ? ?an?1 ? an ? ?2 n (n ? N ) ,求数列 ?an ? 的通项公式。
1 2 n (3) (理)对(2)中数列 ?an ? ,是否存在等差数列 ?bn ? ,使得 b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn ? an 对一切自然 n ? N

?

?

?

?

都成立?若存在,求数列 ?bn ? 的通项公式;若不存在,则请说明理由。

22. (本题满分 18 分) 已知函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,当 x ? [?2,0) 时, f ( x ) ? tx ?

1 3 x ( t 为常数) 。 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 t ? [2,6] 时,求 f ( x) 在 ?? 2,0? 上的最小值,及取得最小值时的 x ,并猜想 f ( x) 在 ?0,2? 上的单调递增区 间(不必证明) ; (3)当 t ? 9 时,证明:函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[1] 参考答案

1. ?1,1? 7.

2. ?2,???

3. ?

1 7

4.

1 1 ? i 2 2

5. 2 ? ? ? 11.

? 3? ? 2?

n ?1

6. (文) 4 ; (理) 5

?
6

or

2? 3
14.C

8.

25 91
15.B

9.

? 4
16.B

10.140,88

x ? 4or 0 ? x ? 4

12.

? 3

13. C

sin ? A ? B ? 1 tgA 2c 2 sin C 17.解:由 1 ? 及正弦定理,得 cos A cos B ? ,即 cos A ? , (其余略) 。 ? sin B 2 tgB b sin B cos B
18.解: ?

? z1 2 ? 2 z1 ? R ?Re z1 ? Im z1

? x 2 ? y 2 ? 2 xyi ? 2 x ? 2 yi ? R ?2 xy ? 2 y ? 0 ?? ?? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0

? x ? y ? 1 ? z1 ? 1 ? i ,

z1 ? z2 ?

?1 ? cos? ?2 ? ?1 ? sin ? ?2

?? ? ? 3 ? 2 2 sin ?? ? ? ∴ z1 ? z2 ? 2 ? 1, 2 ? 1 。 4? ?

?

?

19.解: (1) a ? 4 时,不等式为

4x ? 5 ?5 ? ? 0 ,解之,得 M ? ?? ?,?2? ? ? ,2 ? ; 2 x ?4 ?4 ?

? 3a ? 5 ?0 ? ?3 ? M ? 9?a ?? (2) a ? 25 时, ? ?5 ? M ? 5a ? 5 ? 0 ? 25 ? a ?

5 ? 25 x ? 5 ?a ? 9ora ? ? 5? ? 0, 3 ? a ? ?1, ? ? ?9,25? , a ? 25 时,不等式为 2 ? x ? 25 3? ? ? ?1 ? a ? 25

解得 M ? ?? ?,?5? ? ? ,5 ? ,则 3 ? M且5 ? M ,∴ a ? 25 满足条件,综上,得 a ? ?1, ? ? ?9,25? 。 20.解: (1) f ?m,1? ? 3 f ?m ? 1,1? ? 3 f ?m ? 2,1? ? ? ? 3
2 m?1

?1 ? ?5 ?

? 5? ? 3?

f ?1,1? ? 3m?1 ,
m?1

(2) , f ?m, n? ? f ?m, n ? 1? ? 3 ? f ?m, n ? 2? ? 3 ? 2 ? ? ? f ?m,1? ? 3?n ? 1? ? 3 (3) f ?n, n? ? 3
n?1

? 3?n ? 1? ,

? 3?n ? 1? ,∵ f ?7,7? ? 36 ? 18 ? 747 ? 2006 , f ?8,8? ? 37 ? 21 ? 2208 ? 2006 ,∴ f (n, n)

输出结果不可能为 2006。 21.解: (1) ?an ? an?1 ? an ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? n 2 ? n ? 2n ? 2 ,∴ ??an ?是首项为 4,公差为 2 的等差数列。
2

?

?

?2 an ? 2?n ? 1? ? 2 ? ?2n ? 2? ? 2 ,∴ ?2 an 是首项为 2,公差为 0 的等差数列;也是首项为 2,公比为 1 的等比
数列。 (2)?2 an ? ?an?1 ? an ? ?2 n , 即 ?an?1 ? ?an ? ?an?1 ? an ? ?2 , 即 ?an ? an ? 2 , ∴ an?1 ? 2an ? 2 n ,
n n 2 ∵ a1 ? 1 ,∴ a2 ? 4 ? 2 ? 2 , a3 ? 12 ? 3 ? 2 , a4 ? 32 ? 4 ? 2 ,猜想: an ? n ? 2 n?1 ,
1 3 0 证明:ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 1? 2 ;ⅱ)假设 n ? k 时, ak ? k ? 2 k ?1 ; n ? k ? 1 时,

?

?

、ⅱ)可知, an ? n ? 2 n?1 。 ak ?1 ? 2ak ? 2k ? k ? 2k ? 2k ? ?k ? 1? ? 2?k ?1??1 结论也成立, ∴由ⅰ)

1 2 n 1 2 n (3) b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn ? an ,即 b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn ? n ? 2 n?1 , 1 2 3 n 0 1 2 n?1 n?1 ∵ 1Cn , ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n Cn ?1 ? Cn?1 ? Cn?1 ? ? ? Cn?1 ? n ? 2 1 2 n ∴存在等差数列 ?bn ? , bn ? n ,使得 b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn ? an 对一切自然 n ? N 都成立。

?

?

1 1 (? x) 3 ? ?tx ? x 3 , ∵函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2? 2 2 1 3 1 3 上的奇函数,即 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,∴ ? f ? x ? ? ?tx ? x ,即 f ( x ) ? tx ? x ,又可知 f ?0? ? 0 ,∴函数 f ( x) 2 2 1 3 的解析式为 f ( x ) ? tx ? x , x ? ?? 2,2? ; 2
22. 解: (1)x ? ?0,2?时, ? x ? ?? 2,0? , 则 f (? x) ? t (? x) ? (2) f ?x ? ? x? t ?

? ?

1 1 2? x ? ,∵ t ? [2,6] , x ? ?? 2,0? ,∴ t ? x 2 ? 0 , 2 2 ?
3 2



? f ?x ??2

1 1 ? ? 2 x ? t ? x2 ? t ? x2 ? ? 3 ? 1 ? 2 2 ? ? 8t ,∴ x 2 ? t ? 1 x 2 , ? x2 ?t ? x2 ? ? ? 3 27 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

即 x2 ?

6t 2 6 2t 6t ? ?? 2,0?) 时, f min ? ? t t 。 , x ? ? (? 3 3 3 9
? ? 6t ? ?。 3 ?

猜想 f ( x) 在 ?0,2? 上的单调递增区间为 ?0,

( 3 ) t ? 9 时,任取 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 ,∵ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?x1 ? x2 ??t ?

? ?

1 2 2 ? x1 ? x1 x2 ? x2 ? ? 0 , ∴ f ?x ? 在 2 ?

?

?

?? 2,2?上单调递增,即 f ?x? ? ? f ?? 2?, f ?2?? ,即 f ?x? ? ?4 ? 2t,2t ? 4? , t ? 9 ,∴ 4 ? 2t ? ?14,2t ? 4 ? 14 ,∴
14 ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? ,∴当 t ? 9 时,函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上。

上海市华师大二附中高三年级综合练习[2]
数学

一、 填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题, 只要求直接填写结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分。 1、 不等式 ?1 ? x? 1 ? x ? 0 的解为__________。

?

?

? ?0 ? x ? 1 ? 2、 (文)条件 ?0 ? y ? 1 下,函数 p ? log 2 ?2 x ? y ? 的最小值为__________。 ? 5 3 ?x ? y ? 2 ?
(理)若 ?x ? 1? ? x n ? ? ? ax3 ? bx2 ? ? ? 1, n ? N * ,且 a ︰ b ? 3 ︰ 1 ,则 n ? __________。
n

?

?

3、 设 f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? log3 ?1 ? x ? ,则 f ?? 2? ? __________。 4、 将函数 y ?

1 的图像向左平移一个单位后得到 y ? f ?x ? 的图像, 再将 y ? f ?x ? 的图像绕原点旋转 180 ? 后仍 x?a

与 y ? f ?x ? 的图像重合,则 a ? __________。 5、 设数列 ?an ?、 ?bn ?均为等差数列,且公差均不为 0 , lim

an b ? b ? ? ? bn ? 3 ,则 lim 1 2 ? __________。 n ?? b n?? n ? a3 n n

6、 一人口袋里装有大小相同的 6 个小球,其中红色、黄色、绿色的球各 2 个。如果任意取出 3 个小球,那么其中 恰有 2 个小球同颜色的概率是__________(用分数表示) 。 7、 设 a ? b ? c, n ? N ,且
*

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值为__________。 a?b b?c a?c

8、 图中离散点是数列 ?an ? 的图像,如 ?1,4? 是第一点,表示 a1 ? 4 ,则从第一点起的前 46 个点的纵坐标之和为 __________。 9、 若奇函数 y ? f ?x ??x ? 0?,当 x ? ?0,???时, f ?x ? ? x ? 1 ,则不等式 f ?x ? 1? ? 0 的解_________。 10、已知 b 克糖水中含有 a 克糖 ?b ? a ? 0?,再添加 m 克糖 ?m ? 0? (假设全部溶解)糖水变甜了,试根据这一事 实提炼一个不等式___________________。 11、已知命题“已知函数 y ? loga x 与其反函数的图像有交点,且交点的横坐 是 x0 , 0 ? a ? 1 , 且 0 ? x0 ? 1 ” 是 假 命 题 , 请 说 明 理 由 ____________________________________________。 12、直角坐标平面内,我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点。现有一 点 都 为 整 点 的 等 腰 直 角 三 角 形 系列顶 标

?OA1 B1 , ?OA2 B2 , ?OA3 B3 ,?, ?OAn Bn ,?,其中点 O 是坐标原点,直角顶点 An 的坐标为 ?n, n? n ? N * ,点 Bn 在 x 轴正半轴上,则第 n 个等腰直角三角形 ?An Bn 内(不包括边界)整点的个数为__________。

?

?

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不 论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、设 A 、 B 、 I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I ,则下列各式中错误的是( (A) U A ? B ? I (B) U A ? U B ? I (C) A ? U B ? ? )

(D) U A ? U B ? U B )

14、若函数 f ?x ? 、 g ?x ? 的定义域和值域都是 R ,则“ f ?x ? ? g ?x ?, x ? R ”成立的充要条件是( (A)存在 x0 ? R ,使得 f ?x0 ? ? g ?x0 ? (C)对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? (B)有无数多个实数 x ,使得 f ?x ? ? g ?x ?

1 ? g ? x ? (D)不存在实数 x ,使得 f ?x ? ? g ?x ? 2 1 15、 等比数列 ?an ? 中,a1 ? 512, 公比 q ? ? , 用 ? n 表示它的前 n 项之积:? n ? a1 ? a2 ? ?? an , 则 ? 1 、? 2 、 ? 2
中最大的是( (A) ? 11 ) (B) ? 10 (C) ? 9 (D) ? 8

16、某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下: 行业名称 应聘人数 行业名称 招聘人数 计算机 215830 计算机 124620 机械 200250 营销 102935 营销 154676 机械 89115 物流 74570 建筑 76516 ) 贸易 65280 化工 70436

根据表中的数据,将各行业按就业形势由差到好排列,其中排列正确的是( (A)计算机,营销,物流 (C)营销,贸易,建筑 (B)机械,计算机,化工 (D)机械,营销,建筑,化工

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 已知关于 t 的方程 t ? zt ? 4 ? 3i ? 0?z ? C ? 有实数解,
2

(1)设 z ? 5 ? ai?a ? R? ,求 a 的值。 (2)求 z 的取值范围。

18、 (本题满分 12 分) 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性的作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离称为刹车距离。在某

nv v2 ? 种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s (米)与汽车车速 v (千米/小时)满足下列关系式 s ? ( n 为常 100 400
数, n ? N ) ,我们做过两次刹车试验,有关数据如图所示,其中 6 ? s1 ? 8,14 ? s2 ? 17 。 (1)求 n 的值; (2)要使刹车距离不超过 12.6 米,则行驶的最大速度应为多少?

19、 (本题满分 14 分) 记函数 f ?x ? ? (1)求 A : (2)若 A ? B ,求 a 、 b 的取值范围。

2?

x?7 的定义域为 A , g ?x ? ? lg??2 x ? b??ax ? 1???b ? 0, a ? R? 的定义域为 B , x?2

20、 (本题满分 14 分) 已知 f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,且记 g ?x ? ? f ?x ? ? f ?1 ? x ? 。 (1)设 f ?x ? ? x ,若数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an ? g ?an?1 ?,试写出 ?an ? 的通项公式及前 2 m 的和 S 2 m : (2)对于任意 x1 、 x 2 ? R ,若 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 ,判断 x1 ? x2 ? 1 的值的符号。

21、 (本题满分 17 分) 设 f ?x ? ?

ax ?1 ?a ? 0, a ? 1? 。 1? ax
?1

(1)求 f ?x ? 的反函数 f (2)讨论 f
?1

?x ? :

?x ? 在 ?1. ? ?? 上的单调性,并加以证明:
?1

(3)令 g ?x? ? 1 ? log a x ,当 ?m, n? ? ?1,????m ? n? 时, f 范围。

?x ? 在 ?m, n? 上的值域是 ?g ?n?, g ?m?? ,求 a

的取值

22、 (本题满分 17 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2, n ? an?1 ? S n ? n?n ? 1? , (1)求数列 ?an ? 的通项公式: (2)令 Tn ?

Sn ,①当 n 为何正整数值时, Tn ? Tn?1 ;②若对一切正整数 n ,总有 Tn ? m ,求 m 的取值范围。 2n

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[2] 参考答案

1、 ?? ?,?1? ? ?? 1,1? 7、 4 13、B 8、 5359 14、D

2、 (文)-1 (理) 11 9、 ?? ?,0? ? ?1,2? 10、

3、 ? 1

4、 ? 1

5、

a a?m ? b b?m

1 18

6、

3 5
12、 ?n ? 1?
2

11、 a ?

2, x0 ? 2

15、C

16、B

17、解: (1)设实数解为 t ,由 t 2 ? ?5 ? ai?t ? 4 ? 3i ? 0 得 ?

?t ? 1ort ? 4 ?t 2 ? 5t ? 4 ? 0 ? ?? 3 a? ?? at ? 3 ? 0 ? t ?
2

9 25 3 t 2 ? 4 ? 3i 4 3 ? 4? ? t ? ? i , z ? ?t ? ? ? 2 ? t 2 ? 2 ? 8 ? 3 2 , ∴ a ? 3ora ? , (2) z ? 4 t? t t t t t ?
∴ z ? 3 2 ,?? 。

?

?

40n 1600 ? 6? ? ?8 ?5 ? n ? 10 ? ? ? 100 400 18、解: (1) ? ? ?5 95 ? n ? 6 , 70 n 4900 ? n ? ?14 ? ? ? 17 ? 14 ?2 ? 100 400 ?
3v v 2 ? ? 12.6 ? v 2 ? 24v ? 5040? 0 ? ?v ? 84??v ? 60? ? 0 ? 0 ? v ? 60 , (2) s ? 50 400
∴行驶的最大速度应为 60 千米/小时。 19、解: (1) A ? ? x 2 ?

? ?

x?7 ? ? x ?3 ? ? 0? ? ? x ? 0? ? ?? ?,?2? ? ?3,??? , x?2 ? ? x?2 ?
b 1 orx ? ? ,即 2 a

(2) ?2 x ? b??ax ? 1? ? 0 ,由 A ? B ,得 a ? 0 ,则 x ?

1? ?b ? ? B ? ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? , a? ?2 ? ?

b ? 1 0? ?3 ? ? ? ?a ? 2 。 ?? 2 ? ?? 2 ? ? 1 ? 0 ?0 ? b ? 6 ? ? a ?

20、 解: (1) 则 an ? 1 ? 2?an?1 ? 1? , a1 ? 1 ? 2 , an ? g ?an?1 ? ? f ?an?1 ? ? f ?1 ? an?1 ? ? an?1 ? ?1 ? an?1 ? ? 2an?1 ? 1 , 即数列 ?an ? 1? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 2 ? 1 , S 2 m
n

2 2 2m ? 1 ? ? 2m ? 2 2 m?1 ? 2m ? 2 ; 2 ?1

?

?

(2)若 x1 ? x2 ? 1 ? 0 ,则 x1 ? 1 ? x2 , x2 ? 1 ? x1 ,∵ f ?x ? 是定义在 R 上的增函数 ∴ f ?x1 ? ? f ?1 ? x2 ?, f ?x2 ? ? f ?1 ? x1 ? ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?1 ? x2 ? ? f ?1 ? x1 ? ∴ f ?x1 ? ? f ?1 ? x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?1 ? x2 ? ? 0 ,即 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 ,与 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 矛盾, ∴ x1 ? x2 ? 1 ? 0

21、解: (1) f

?1

?x ? ? log a

x ?1 ?x ? 1或x ? ?1? x ?1

(2)设 1 ? x1 ? x2 ,∵ ∴ 0 ? a ? 1 时, f
?1

x1 ? 1 x2 ? 1 2?x1 ? x2 ? ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 ?x1 ? 1??x2 ? 1?

?x1 ? ?

f ?1 ?x2 ?,∴ f ?1 ?x ? 在 ?1. ? ?? 上是减函数: a ? 1 时, f ?1 ?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ,∴ f ?1 ?x ?

在 ?1. ? ?? 上是增函数。 (3)当 0 ? a ? 1 时,∵ f
?1

?x ? 在 ?1. ? ?? 上是减函数,
x ?1 x ?1 ? 1 ? log a x 得 ? ax ,即 ax2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 , 可知方程的两个根均 x ?1 x ?1

? ?f ∴? ? ?f

?1 ?1

?m ? ? g ?m ? ,由 log a ?n ? ? g ?n ?

? ?? ? 0 ? 大 于 1 , 即 ? f ?1? ? 0 ? 0 ? a ? 3 ? 2 2 , 当 a ? 1 时 , ∵ f ?1 ?x ? 在 ?1. ? ?? 上 是 增 函 数 , ∴ ?1 ? a ? ?1 ? 2a
? ?f ? ? ?f
?1 ?1

?m ? ? g ?n ? ?m ? 1 ? am n? an ? a ? ?1 (舍去) 。 ?? ?n ? ? g ?m ? ?n ? 1 ? am n? am

综上,得 0 ? a ? 3 ? 2 2 。

22、解: (1)令 n ? 1 , 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,即 a2 ? a1 ? 2 , 由?

?n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? ? n ? an?1 ? ?n ? 1?an ? an ? 2n ? an?1 ? an ? 2?n ? 2? , ??n ? 1? ? a n ? S n?1 ? n?n ? 1?

∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an?1 ? an ? 2 n ? N * ,即数列 ?an ? 是以 2 为首项、 2 为公差的等差数列, ∴ an ? 2n , (2)① Tn ?

?

?

S n n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2? ,即 n ? 2 n ? N * , ? ? Tn ?1 ? n n 2 2 2 n ?1

?

?

②∵ T1 ? ∴m ?

S1 3 3 ? 1, T2 ? T3 ? , 又∵ n ? 2 时, ∴各项中数值最大为 , ∵对一切正整数 n , 总有 Tn ? m , Tn ? Tn?1 , 2 2 2

3 。 2

上海市华师大二附中高三综合练习 高三年级数学综合练习[3]
编辑:冯志勇 一、 填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题, 只要求直接填写结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分。 ﹡ 1.已知集合 M ? {x || x |? 2, x ? R } , N ? {x | x ? N } ,那么 M ? N ? . 2.在 ?ABC 中, “A? 条件. 2 x 3.若函数 y ? a 在 [?1, 0] 上的的最大值与最小值的和为 3 ,则 a ?

? ”是“ 3 ”的 sin A ?
3



2? x 1 1? x ?1 ?1 4 .设函数 f ( x) ? 的反函数为 f ( x) ,则函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴的交点坐标 ? ( ) x ? log 2 2? x 2 1? x
是 . . 5. 设数列 {an } 是等比数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和,且 Sn ? t ? 3 ? 2n ,那么 t ?

6.若 sin(? x ? ? ) ? 2 , x ? (?2, 2) ,则 x ? . 2 4 2 ? 1, x ? 0 7.若函数 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? f ( x) ? x ? 2 的解集是 . ??1, x ? 0 8.现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏.小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作:第一步:分发左、中、右三 堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同;第二步:从左边一堆拿出两张,放入中间一堆;第三步:从 右边一堆拿出一张,放入中间一堆;第四步:左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆.这 时,小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是 . 9.若无穷等比数列 {an } 的所有项的和是 2,则数列 {an } 的一个通项公式是 an ? . 10.已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 ;当 x ?[?3, ?1] 时,记 f ( x ) 的最大值为 m ,最小值 x 为 n ,则 m ? n ? . 11.已知函数 f ( x) ? sin x , g ( x) ? sin( ? ? x) ,直线 x ? m 与 f ( x ) 、 g ( x) 的图象分别交于 M 、 N 点,则 | MN | 2 的最大值是 . 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? log 1 (3 ? 1) ?
x 3

a?b 1 abx 为 偶 函 数 , g ( x) ? 2 x ? x 为 奇 函 数 , 其 中 a 、 b 为 常 数 , 则 2 2

(a ? b) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? ?? (a100 ? b100 ) ?



二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个 (不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13 .若集合 S ? {a, b, c}( a 、 b 、 c ? R )中三个 元素为边 可构成 一个三 角形,那 么该三 角形一 定 不可能 ...是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 )

14.函数 f ( x ) 对任意实数 x 都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ,那么 f ( x) 在实数集 R 上是(

A.增函数 B.没有单调减区间 C.可能存在单调增区间,也可能不存在单调增区间 D.没有单调增区间 15.已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性收入 为 1800 元,其他收入为 1350 元) ,预计该地区自 2004 年起的 5 年内,农民的工资性收入将以 6 %的年增长率 增长,其他收入每年增加 160 元.根据以上数据,2008 年该地区农民人均收入介于( ) A.4200 元~4400 元 B.4400 元~4600 元 C.4600 元~4800 元 D.4800 元~5000 元 16.已知函数 y ? f ( x) 的图象如右图,则函数 y ? f (

?
2

? x) ? sin x 在 [0, ? ] 上的大致图象为 (
y

)

f ( x)
1

?

π 2

O
?1

π 2

x

三.解答题(本大题满分 86 分,共有 6 道大题,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17. (本题满分 12 分) 解关于 x 的不等式 loga [4 ? ( x ? 4)a] ? 2 loga ( x ? 2) ,其中 a ? ( 0 , 1 ) .

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x ? cos2 ? x (? ? 0) 的最小正周期 T ? (Ⅰ) 求实数 ? 的值; (Ⅱ) 若 x 是 ?ABC 的最小内角,求函数 f ( x ) 的值域.

? .
2

19. (本题满分 14 分) 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米,按交通法规限制 50 ? x ? 100 (单位:千米/小时) .假设 2 x 汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油 (2 ? ) 升,司机的工资是每小时 14 元. 360 (Ⅰ)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (Ⅱ)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. (精确小数点后两位)

20. (本题满分 14 分) 集合 A 是由具备下列性质的函数 f ( x) 组成的: (1) 函数 f ( x) 的定义域是 [0, ??) ; (2) 函数 f ( x) 的值域是 [?2, 4) ; (3) 函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数.试分别探究下列两小题: 1 (Ⅰ)判断函数 f1 ( x) ? x ? 2( x ? 0) ,及 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 是否属于集合 A?并简要说明理由. 2 (Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合 A 的函数 f ( x) ,不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) ,是否对于任意的 x ? 0 总 成立?若不成立,为什么?若成立,请证明你的结论.

21. (本题满分 16 分)
2 * * 已知: x ? N , y ? N* ,且 1 ? n ? 1 ( n ? N ) . x y (Ⅰ)当 n ? 3 时,求 x ? y 的最小值及此时的 x 、 y 的值;

? (Ⅱ)若 n ? N ,当 x ? y 取最小值时,记 an ? x , bn ? y ,求 an , bn ;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,试求 lim 注: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

Tn 的值. n ?? n ? S n

1 n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

22. (本题满分 18 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? x ( a ? R, a ? 0) . 1 (Ⅰ)当0< a < 时, f (sin x) ( x ? R)的最大值为 5 ,求 f ( x ) 的最小值. 2 4 (Ⅱ)如果 x ?[0,1]时,总有| f ( x ) | ? 1 .试求 a 的取值范围. (Ⅲ) 令 a ? 1, 当 x ?[ 求数列 { nn , ? 1 ]( n ? ) N? 时,f ( x) 的所有整数值的个数为 g (n) ,

g (n) } 的前 n 项的和 Tn . 2n

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3] 参考答案
1. {1, 2} 7. (??,1] 13.D 17.解:∵ 2.充分不必要 8. 5 . 14.C 3.

1 2


4. (2, 0) . 5. 3 . 10. 1 . 11. 2 .

6. 0,1 . 12. ?1 .

9. ( ) 15.B

1 2

n ?1

16.A ∴

loga [4 ? ( x ? 4)a] ? 2 loga ( x ? 2)

? 4 ? ( x ? 4) a ? 0 ? ( 0 ? a ? 1) , x?2?0 ? ? 4 ? ( x ? 4) a ? ( x ? 2) 2 ?



4a ? 4 ? ?x ? a ? ? ? x?2

∴不等式的解集为 {x 2 ? x ? 4} 。

18. 解: (Ⅰ) 因为 f ( x) ? 所以 T ?

2? ? ? , ? ? ?2. 2? 2

3 1 ? 1 sin 2? x ? (1 ? cos 2? x) ? sin(2? x ? ) ? , 6 2 2 2

(Ⅱ) 因为 x 是 ?ABC 的最小内角,所以 x ? (0,

?

? 1 1 ] ,又 f ( x) ? sin(4 x ? ) ? ,所以 f ( x) ? [ ?1, ] . 3 6 2 2

130 x2 14 ?130 19.解: (Ⅰ)设行车所用时间为 t ? 130 (h) , y ? ? 2 ? (2 ? )? , x ? [50.100]. x x 360 x 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y ? 130 ?18 ? 2 ?130 x, x ? [50.100].
x 360

(或: y ? 2340 ? 13 x, x ? [50.100 ] ) x 18 130 ? 18 2 ? 130 130 ? 18 2 ? 130 (Ⅱ) y ? ? x, 即x ? 18 10 ? 56.88 时,上述不等 ? x ? 26 10 ? 82.16 ,仅当 x 360 x 360 式中等号成立 答:当 x 约为 56.88km/h 时,这次行车的总费用最低,最低费用的值约为 82.16 元.

x ? 2 不属于集合 A. 因为 f1 ( x) 的值域是 [?2, ??) ,所以函数 f1 ( x) ? x ? 2 不属于 集合 A.(或?当x ? 49 ? 0时, f1 (49) ? 5 ? 4 ,不满足条件.) 1 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 在集合 A 中 , 因为 : ① 函数 f 2 ( x) 的定义域是 [0, ??) ;② 函数 f 2 ( x) 的值域是 2 [?2, 4) ;③ 函数 f 2 ( x) 在 [0, ??) 上是增函数. 1 x 1 (2) f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) ? 6 ? ( ) (? ) ? 0 , 2 4 ?不等式f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 对于任意的 x ? 0 总成立.
20. 解: (1)函数 f1 ( x) ? 21.解: (Ⅰ)? 当且仅当 (Ⅱ)?

1 9 ? ?1, x y

? x ? y ? ( x ? y )(

1 9 y 9x ? ) ? 10 ? ? ? 16 , x y x y

? x?4 ? x?4 y 9x ? ,即 ? 时,取等号. 所以,当 ? 时, x ? y 的最小值为 16 . x y ? y ? 12 ? y ? 12
1 n2 y n2 x 1 n2 ? (n ? 1)2 , ? ? 1 , ? x ? y ? ( x ? y)( ? ) ? n2 ? 1 ? ? x y x y x y

? x ? n ?1 y n2 x ,即 ? 时,取等号. 所以, an ? n ? 1 , bn ? n(n ? 1) . ? x y ? y ? n(n ? 1) 1 (Ⅲ)因为 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? n(n ? 3) , 2 2 2 2 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? 1 ) ? (2 ? 2 ) ? (3 ? 3 ) ? ?? (n ? n2 ) n(n ? 1) 1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? (1 ? 2 ? 3 ? ?? n) ? (12 ? 22 ? ?? n2 ) ? 2 6 1 T 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) 所以 lim n ? . n ?? 3 n ? Sn 3 1 1 5 ? ?1 故当 sin x ? 1 时 f ( x) 取得最大值为 , 22. 解:⑴ 由 0 ? a ? 知 ? 2 2a 4 5 1 1 2 1 2 即 f ?1? ? a ? 1 ? ? a ? ? f ? x ? ? x ? x ? ? x ? 2? ? 1 ,所以 f ( x ) 的最小值为 ? 1 ; 4 4 4 4 2 2 ⑵ 由 f ?x ? ? 1得 ax ? x ? 1, ? 1 ? ax ? x ? 1 对于任意 x ? ?0,1? 恒成立,
当且仅当 当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 使 f ?x ? ? 1成立;
2 ? 1 1 ?1 1? 1 a ? ? ? ? ? ? ? ? x ? x 2? 4 x2 当 x ? 0 时,有 ? ? 2 1 1? 1 ?a ? ? 1 ? 1 ? ?? ? ? ? ? 2 ? x x 2 4 x ? ? ?

① ②
2

对 于 任 意 的 x ? ?0,1? 恒 成 立 ; ? x ? ?0,1??
2

1 ?1 1? 1 ? 1 ,则 ? ? ? ? ? 0 ,故要使①式成立,则有 a ? 0 ,又 x 4 ? x 2?

?1 1? 1 a ? 0 ? a ? 0 ;又 ? ? ? ? ? ? ?2 ,则有 a ? ?2 ,综上所述: ? 2 ? a ? 0 ; ? x 2? 4 1 ⑶ 当 a ? 1 时, f ?x? ? ax2 ? x ,则此二次函数的对称轴为 x ? ? ,开口向上, 2 故 f ?x ? 在 ?n, n ? 1?上为单调递增函数,且当 x ? n, n ? 1 时, f ?n?, f ?n ? 1? 均为整数,
故 g ?n? ? f ?n ? 1? ? f ?n? ? 1 ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? n 2 ? n ? 1 ? 2n ? 3
2

g ? n ? 2n ? 3 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? g ?n ?? 的通项公式为 n ? n ,故 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n n ? 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? 1 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? n ?1 又 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ② 2 2 2 2 2n 2 1 5 1 1 ? 2n ? 3 7 2n ? 7 ? 1 由①—②得 Tn ? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 ? ? n ?1 . 2 2 2 2 2 ? 2 2 ?2 2n ? 7 ?Tn ? 7 ? 2n
则数列 ?

?n ? N ?,
?



上海市华师大二附中 2010 届高三上学期综合练习[4] 高三年级数学
编辑:刘瑞兰 审核:仝艳娜 一、 填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题, 只要求直接填写结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分。

?1 ? i ? 1. 复数 Z ? ? ? ?1? i ?

100

? ___________.

2. 函数 y ? 3 sin 2x ? cos 2x 的最小正周期是____________. 3. 函数 y ? log2 ( x ? 1) ? 1 (x>0)的反函数是_____________. 4. 某学校的某一专业从 8 名优秀毕业生中选派 5 名支援中国西部开发建设, 其中甲同学必须被选派的概率是 ____________.

1 的反函数 f ?1 ( x) 图像的对称中心坐标是(0, 2), 则 a 的值为__________. x?a x?2 6. 不等式 ax ? b ? 0 解集为(1, +∞), 则不等式 ? 0 的解集为___________. ax ? b 2 7. 已知等差数列{an}前 n 项和为 Sn. 若 m>1, m∈N 且 am?1 ? am?1 ? am ? 0 S 2m?1 ? 38 , 则 m 等于____________.
5. 已知 f ( x) ? 8. 将 7 名学生分配到甲、 乙两个宿舍中, 每个宿舍至少安排 2 名学生, 那么互不相同的分配方案共有________种. 9. 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上以 3 为 周 期 的 奇 函 数 , 若 f (1) ? 1 , f (2) ?

2a ? 3 . 则 实 数 a 的 取 值 范围 是 a ?1

________________. 10. 已知等差数列 {an} 公差不为 0, 其前 n 项和为 Sn, 等比数列 {bn} 前 n 项和为 Bn, 公比为 q, 且 |q|>1, 则 ? Sn Bn ? ? lim? ? ? =___________________. y n ??? na ? n bn ? 11. 函数 y ? f ( x ? 1) 的图象如图所示,它在 R 上单调递减,现有如下结论: 1 ⑴ f (0) ? 1 ;⑵ f ( ) ? 1 ;⑶ f

1 2

?1

(1) ? 0 ;⑷ f

?1

1 ( ) ?0。 2

其中正确的命题序号为______________.(写出所有正确命题序号)

O

1

X

k 12. 已知 n 次多项式 Pn ( x) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? ? ? an?1 x ? an . 如果在一种计算中, 计算 x0 (k=2,3,4,??, n)的值 需要 k ? 1 次乘法 , 计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 9 次运算 (6 次乘法 , 3 次加法 ). 那么计算 Pn ( x0 ) 的值共需要

__________ 次 运 算 . 下 面 给 出 一 种 减 少 运 算 次 数 的 算 法 :

P0 ( x 0 ) ? a 0 , Pk ?1 ( x) ? xPk ( x) ? a k ?1

(k ? 0,1,2,? ? ?, n ? 1) , 利用该算法, 计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 6 次运算, 计算 Pn ( x0 ) 的值共需要__________次运 算.
二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不 论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13. 集合 M ? {(x, y) | y ? 1 ? x 2 , x, y ? R} , N ? ?( x, y) | x ? 1, y ? R?, 则 M ? N ? ( A. A={(1, 0)} B. {y|0≤y≤1} C. {1, 0} D. φ ) )

14. 设数列{an}前 n 项和 S n ? Aq n ? B ,则 A+B=0 是使{an}成为公比不等于 1 的等比数列的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 15. 2002 年 8 月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示,它是由四个相同的直角三 角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 , 若直角三角形中较小的锐角为θ ,大 正方形面积是 1, 小正方形面积是 A. 1 B.

7 25

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值是( 25 24 7 C. D. ? 25 25
D. (2,3]

)

16. 设[x]表示不超过 x 的最大整数(例如: [5. 5]=5, [一 5. 5]=-6), 则不等式 [ x]2 ? 5[ x] ? 6 ? 0 的解集为( A. (2,3) B. [2,4] C. [2,3]

)

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17. (本题满分 12 分) 设复数 z ? cos ? ? i sin ? , ? ? [0, ? ] , ? ? ?1 ? i ,求 | z ? ? | 的取值范围。

18.(本题满分 12 分) 命题甲: a ? R, 关于 x 的方程 | x |? ax ? 1(a ? 0) 有两个非零实数解; 命题乙: a ? R, 关于 x 的不等式 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 的解集为空集; 当甲、 乙中有且仅有一个为真命题 时, 求实数 a 的取值范围.

19.(本题满分 12 分) 已知△ABC 中, sin A ? (sin B ? cos B) ? sin C ? 0 , sin B ? cos 2C ? 0 ,

求:角 A、B、C 的大小。

20.(本题满分 14 分) 如图,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动 5 圈,如果当水轮上点 P 从水 中浮现时(图中点 p0)开始计算时间。 (1)将点 p 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数; (2)点 p 第一次到达最高点大约需要多少时间?

21.(本题满分 18 分) 设 函 数 f ( x) 在 (??,?? ) 上 满 足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) 且 在 闭 区 间 [0, 7] 上 只 有 f (1) ? f (3) ? 0 . ⑴试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; ⑵试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005,2005] 上的根的个数, 并证明你的结论.

22.(18 分)

a11,a12,??a18 a21,a22,??a28 ??????? a81,a82,??a88 64 个正数排成 8 行 8 列, 如上所示:在符合 aij (1 ? i ? 8,1 ? j ? 8) 中,i 表示该数所在的行数,j 表示该数所在

的列数。 已知每一行中的数依次都成等差数列, 而每一列中的数依次都成等比数列 (每列公比 q 都相等) 且 a11 ?

1 , 2

a 24 ? 1 , a32 ?
⑴若 a 21 ?

1 。 4

1 ,求 a12 和 a13 的值。 4
36 ,联 mbn?1 ? 2(a n ? mbn ) (m 为非零常 An

⑵记第 n 行各项之和为 An(1≤n≤8) ,数列{an}、{bn}、{cn}满足 a n ? 数) , cn ?

bn 2 2 ,且 c1 ? c7 ? 100 ,求 c1 ? c2 ? ? ? ?c7 的取值范围。 an

⑶对⑵中的 a n ,记 d n ?

200 (n ? N ) ,设 Bn ? d1 ? d 2 ? ? ? d n (n ? N ) ,求数列 {Bn } 中最大项的项数。 an

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[4] 参考答案
5 ; 4、 ; 5、 ? 2 ; 6、 (??,?1) ? (2,??) ; ( x) ? 2 x?1 ? 1 (x>1) 8 q 1 n(n ? 3) 2 7、10; 8、112; 9、 (?1, ) ; 10、 ? ; 11、⑵,⑶,⑷; 12、 ;2n. 2 q ? 1 2 3 13、A; 14、B; 15、D; 16、B 17、略解: | z ? ? |?[ 2 ? 1, 5 ] 18、解:当甲真时,设 y ?| x | 和y ? ax ? 1 (a ? 0) ,即两函数图象有两个交点. 则0 ? a ?1 ?a 2 ? 1 ? 0 当乙真时, a ? 1 时 满足 或 ? 也满足 ? ??0 7 则 ? ? a ?1 9 a ? 1或a ? 0 ? ? 0 ? a ?1 7 ? ? ∴当甲乙有但仅有一个为真命题时,即 ? 或? 7 a ? 1或a ? ? ? ? a ?1 ? 9 ? ? ? 9 7 ∴ a ? [ ? ,0] ? {1} 9 19、解: sin A ? (sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A ? sin B ? sin A ? cos B ? sin C ? sin( A ? B) ∴ sin A ? sin B ? cos A ? sin B ∵ sin B ? 0 ∴ tgA ? 1 又 0<A<π 3? ? 则 A? , 即C ? ?B 4 4 3? 由 sin B ? cos 2C ? 0 得 sin B ? cos 2( ? B) ? 0 4 即 sin B ? sin 2 B ? 0 亦即 sin B ? (1 ? 2 cos B) ? 0 5? 1 ? ∴ cos B ? 得 B ? , 从而 C ? ′ 12 2 3 5? ? ? 则所求的角 A ? , B ? , C ? . 12 4 3
1、1; 2、π ; 3、 f
?1

20、解: (1)如图建立直角坐标系,设角 ? (? 角为 (

?

5 ? 2? ? ? 1 ? )= t ,得 z=4sin ( t ? ? ) ? 2 ,当 t=0 时,z=0,得 sin ? =- ,即 ? = ,故所求的函数关 60 6 6 2 6

2

? ? ? 0) 是以 ox 为始边,op0 为终边的角,op 每分钟内所转过的

系式为 z=4sin (

?

6

t?

?

(2)令 z=4sin ( 约需要 4S。

?
6

6

) +2

t?

?

) +2=6,得 sin ( t ? ) =1,取 t ? ? ,得 t=4,故点 P 第一次到达最高点大 6 6 6 6 6 2

?

?

?

?

?

21、解⑴由 f (2 ? x) ? f (2 ? x)得f (?1) ? f (5) ∵在 x ?[0,7] 上只有 f (1) ? f (3) ? 0

∴ f (5) ? 0 ∴ f (?1) ? f (1), 且f (?1) ? ? f (1) 故 f ( x) 为非奇非偶函数。

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ⑵由 ? 得 ? ? f (7 ? x ) ? f (7 ? x ) ? f ( x) ? f (14 ? x) ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f ( x) ? f ( x ? 10) ∴ f ( x) 是以 10 为周期的函数. 又 f (3) ? f (1) ? 0 ∴ f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 ∴ f ( x) ? 0 在[0, 10]和 [?10,0] 上各有 2 个根. 从而方程在 [?2000,2000] 上有 800 个根, 而 [?2005,?2000] 上没有根, 在[2000, 2005]上有 2 个根. 故方程 f ( x) ? 0 在 [?2005,2005] 上共有 802 个根. a a 1 22、解:⑴∵ q ? 21 ? , ∴ a14 ? 24 ? 2 a11 2 q
∵ a11 , a12 , a13 , a14 成等差 ∴ a12 ? 1, a13 ?

3 2

⑵设第一行公差为 d,

1 1 ? 2 2 ?a32 ? a12 q ? ( 2 ? d ) ? q ? 4 ? 1 ? a 24 ? a14 ? q ? ( ? 3d ) ? q ? 1 2 ?

1 1 ,q ? ′ 2 2 1 1 1 1 1 ∵ an1 ? a11 ? ( ) n?1 ? ( ) n an8 ? a18 ? ( ) n?1 ? 4 ? ( ) n?1 ? 8( ) n 2 2 2 2 2 an1 ? an8 1 n ∴ An ? ∴ a n ? 2 n (1 ? n ? 8, n ? N ) ? 8 ? 36 ? ( ) 2 2 b ?1 bn 1 ? n ? ∵ mbn?1 ? 2(a n ? mbn ) ∴ n n ?1 m 2 2 b 1 而 cn ? n ∴ c n ?1 ? c n ? ∴ {cn } 是等差数列 an m (c ? c7 ) ? 7 故 c1 ? c2 ? ? ? ? ? c7 ? 1 2 2 2 2 2 2 ∵ (c1 ? c7 ) ? c1 ? c7 ? 2c1 ? c7 ? 2(c1 ? c7 ) ? 200
解出: d ? ∴ ? 10 2 ? c1 ? c7 ? 10 2 ∴ c1 ? c2 ? ? ? ? ? c7 ?[?35 2 ,35 2 ] ⑶∵ d n ? 200 ? ( ) n 是一个正项递减数列

1 2 ∴ d n ? 1时Bn ? Bn?1 , d n ? 1时Bn ? Bn?1
1 n ? ? 200( 2 ) ? 1 ? dn ?1 ∴ {Bn } 中最大项满足 ? ?? 1 ?d n ?1 ? 1 ?200( ) n ?1 ? 1 2 ? 解出:6.643<n≤7.643 ∵ n ? N , ∴n=7,即 {Bn } 中最大项的项数为 7 项.

上海市华师大二附中高三综合练习
高三年级数学 [5]
编辑:胡泊 审核:王静 一、 填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题, 只要求直接填写结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分。
x 1、已知集合 A= x y ? lg( x ? 2) ,B= y y ? 2 ,则 A ? B=

?

? ?

?



5 ,则 cos 2 ? = 5 3、方程 lg 2 x - 2lgx - 3 ? 0 的解是
2、若 sin ? = x

。 。 。

4、已知函数 f(x)的图象与函数 y ? 3 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(9)=

5 的共轭复数 z = 。 3 ? 4i 6、在数列 ?an ? 中 a 1 = -13,且 3a n =3a n?1 -2,则当前 n 项和 s n 取最小值时 n 的值是
5、复数 z ? 所取两数 m>n 的概率是_
7
3



7.集合 A ? ?2, 4, 6,8,10? , B ? ?1, 3, 5, 7, 9? ,在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取一元素 n,则 。 。 。 天。
2 4

8、在△ABC 中三边之比 a:b:c=2:3: 19 ,则△ABC 中最大角= (文)某工程由下列工序组成,则工程总时数为

9、 (理)在 (1 ? ax) 的展开式中, x 的系数是 x 和 x 的系数的等差中项,若实数 a ? 1 ,那么 a ?

1 1 1 , , ,?中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按原来次序排列的数列) ,使 2 4 8 1 a1 它所有项的和为 ,则此子数列的通项公式为 。 7 a2 a3 11、在 R 上定义运算△:x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数
10、试在无穷等比数列 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 12、已知数列 ?an ?, an 。

? 2?( )

1 n ,把数列 3

. . . . . . . . . . . . . . . 二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不 论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、若复数 z ? cos ? ? i sin ? 所对应的点在第四象限,则 ? 所在的象限是( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 14、函数 y=cos 2x 的图象的一个对称中心是( ) (A)(

图所示.记 A(m, n ) 表示第 m 行,第 n 列的项,则 A(10,8) =

?an ?的各项排成三角形状,如 a 7

a4
a8

a5

a6

。. . .

a9

a 10

?
2

, 0)

(B) (

?
4

, 0)

(C) (-

?
2

, 0)

(D) (0,0)

x 15、函数 y= 2 ? 2 (



(A)在(- ? ,+ ? )上单调递增。 (B)在 ?? ?,1? 上是减函数,在 ?1,? ? ?上是增函数。 (C)在 ?? ?,1?上是增函数,在 ?1 ? ? ? 上是减函数。 (D)在 ?? ?,0? 上是减函数,在上 ?0,? ?? 是增函数。 16、某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了 a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回 b 千米( b ? a) ,再前进 c 千米,则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 设 z 为虚数,且满足 ? 1 ? z ?

1 ? 2,求 z 。 z

18、 (本题满分 13 分) 已知向量 a ? ?2 sin x, cos x?, b ? (1)求函数 f(x)的最小正周期。

? 3 cos x,2 cosx?,定义函数 f(x)= a ? b ? 1。

(2)x ? R 时求函数 f(x)的最大值及此时的 x 值。

19、 (本题满分 13 分) 在不等边△ABC 中,设 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin A , sin B , sin C 依次成等差数列,给 定数列
2 2 2

cos A cos B cos C , , . a b c

(1)试根据下列选项作出判断,并在括号内填上你认为是正确选项的代号( ) . A.是等比数列而不是等差数列 B.是等差数列而不是等比数列 C.既是等比数列也是等差数列 D.既非等比数列也非等差数列 (2)证明你的判断.

20、 (本题满分 14 分) 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供 水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨, ( 0 ? t ? 24 ) (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内,有几小时出现供水紧张 现象。

21、 (本题满分 16 分) 设有 f ( x) ?

x , 方程f ( x) ? x 唯一解,已知 f ( x n ) ? x n ?1 (n ? N * ), 且f ( x1 ) ? 1 . a( x ? 2) 1004

(1)求数列{xn}的通项公式;

2 2 4 ? 4013xn an ?1 ? a n (2)若 an ? , 且bn ? (n ? N * ) ,求和:Sn=b1+b2+?+bn; xn 2an?1an m * (3)是否存在最小整数 m,使得对任意 n∈N ,有 f ( x n ) ? 成立,若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理 2008

由.

22、(本题满分 18 分) 设函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为实数),F(x)= ?
2

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) ? 0 成立,求 F(x)表达式。 (2)在(1)的条件下,当 x ? ?? 2,2? 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。 (3) (理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。

? f ( x) ( x ? 0) ?? f ( x) ( x ? 0)

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[5] 参考答案
1、 x x ? 2 7、0.6 13、A

?

?

2、

8、

2? 3

3 5

3、 0.1或1000

4、2

9、 (理) 1 ? 2 10 (文)

3 4 ? i 6、20 5 5 1 1 3 10、 an ? n 11、 ( ? , ) 8 2 2
5、

12、 2 ? ( )

1 3

53

14、B 15、B 16、C

17、解:设 z ? a ? bi, (a, b ? R且a ? 0, b ? 0) ,则 z ? 由已知得 z ?

1 a b ?a? 2 ? (b ? 2 )i , 2 z a ?b a ? b2

? ), 6 ? ? ? ? 2? (1)T= =? , (2)f(x)=2sin(2x+ ),∴当 2x+ = +2k ? (k ? Z),即 x= +k ? (k ? Z)时,f(x)取最大 6 6 2 6 ? ? 值为 2,∴当 x= +k ? (k ? Z)时 f(x) max =2 。 6
18、解:f(x)= a ? b -1=2 3 sinx?cosx+2cos x-1= 3 sin2x+cos2x=2sin(2x+
2

1 b 2 2 ? R ,∴ b ? 2 =0,∴ a ? b ? 1 ,∴ z =1。 z a ? b2

19、解: (1)B (2)因为 sin A 、 sin B 、 sin C 成等差数列,所以 2 sin B ? sin A ? sin C ,
2 3 2 2 2 2

所以 2b ? a ? c .又
2 2 2

cos B a 2 ? c 2 ? b 2 cos A b 2 ? c 2 ? a 2 cosC a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? , , . b 2abc a 2abc c 2abc

2 cos B cos A cos C o c s A cos B cos C cos A cos B cos C ? ? ? ? , 即 、 、 成等差数列. 若其为等比数列, 有 , b a c a b a b c c 所以 tan A ? tan B ? tan C , A ? B ? C ,与题设矛盾
显然 20、解: (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨,则 y ? 400? 60t ? 120 6t ;
2 2 令 6t = x ;则 x ? 6t ,即 y ? 400? 10x ? 120x ? 10( x ? 6) ? 40 ;
2

∴当 x ? 6 ,即 t ? 6 时, y min ? 40 ,即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨。

2 2 (2)依题意 400? 10x ? 120x ? 80 ,得 x ? 12x ? 32 ? 0 ,解得, 4 ? x ? 8 ,即

8 32 32 8 4 ? 6t ? 8 , ? t ? ;由 ? ? 8 ,所以每天约有 8 小时供水紧张。 3 3 3 3 1 2x 21、解: (1)因方程 f(x)=x 有唯一解,可求 a= 从而得到 f ( x) ? . 2 x?2 2 x1 1 1 2 f ( x1 ) ? ,即 ? ? x1 ? 1004 x1 ? 2 1004 2007

2 xn 1 1 1 ? xn ?1 xn ? 0 ? ? ? xn ? 2 xn ?1 xn 2 1 1 1 数列{ }是首项为 ,公差为 的等差数列, 2 xn x1 1 1 1 2 ? (n ? 1) x1 故 = , ? (n ? 1) ? ? x n x1 2 2 x1 2 x1 2 所以数列{xn}的通项公式为 xn ? . ? (n ? 1) x1 ? 2 n ? 2006 1 1 1 ? ) . ? Sn ? n ? 1 ? (2)将 xn 代入 an 可求得 an=2n-1,所以 bn ? 1 ? ( 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 m 对n ? N * 恒成立, (3)? f ( x n ) ? x n ?1 ? 2008 m 2 2 1 2 ? 只要 ?( ) max 即可, 而( ) max ? ? . 2008 n ? 2007 n ? 2007 1 ? 2007 2008 m 2 ? ,? m ? 2 ,故存在最小的正整数 m=3. 即要 2008 2008 2 2 2 22、解: (1)? f(-1)=0 ∴ b ? a ? 1 由 f(x) ? 0 恒成立 知△=b -4a=(a+1) -4a=(a-1) ? 0 ( x ? 0) ?( x ? 1) 2 ∴a=1 从而 f(x)=x +2x+1 ∴F(x)= ? , 2 ?? ( x ? 1) ( x ? 0) 又由已知f ( xn ) ? xn ? 1;
(2) 由 (1) 可知 f(x)=x +2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1, 由于 g(x)在 ?? 2,2?上是单调函数,知2 2

2?k ? 2 ,得 k ? -2 或 k ? 6 , 2 (3)? f(x)是偶函数,∴f(x)=f(x),而 a>0∴ f ( x) 在 ?0,??? 上为增函数
或对于 F(x),当 x>0 时-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x),当 x<0 时-x>0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x), ∴F(x)是奇函数且 F(x)在 ?0,? ?? 上为增函数, ? m>0,n<0,由 m>-n>0 知 F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。

2?k ? ?2 2

上海市华师大二附中高三综合练习
高三年级数学 6]
编辑:李小平 审核:王斌

一、填空题 (本大题满分 48 分) 1、已知集合 A={x|y=lg(x–3)},B={x|y= 5 ? x },则 A∩B= 2、定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数,则 f(0)的值为 3、设函数 f(x)=lgx,则它的反函数 f –1(x)= 。 4、函数 y=sinxcosx 的最小正周期 T= 。 5、若复数 z1=3–i,z2=7+2i,(i 为虚数单位),则|z2–z1|= 6、Δ ABC 中,若∠B=30 ,AB=2 3 ,AC= 3 ,则 BC=
o

。 。

。 。 。 。

8 7、无穷等比数列{an}满足:a1=2,并且 lim (a1+a2+?+an)= ,则公比 q= n?? 3
8、关于 x 的方程 2x= 2 ? a 只有正实数的解,则 a 的取值范围是
2 2

a ?1

9、如果直线 y = x+a 与圆 x +y =1 有公共点,则实数 a 的取值范围是 。 10、袋中有相同的小球 15 只,其中 9 只涂白色,其余 6 个涂红色,从袋内任取 2 只球,则取出的 2 球恰好是一白 一红的概率是 。 11、函数 f ( n) =
n2 ? a ( n ? N*)为增函数,则 a 的范围为 n


? a+b ?

12 .设函数 f ? x ? 的定义域是 D , 任意的a, b ? D ,有 f ? a ? ? f ? b? ? f ? 1+ab ? , f ? x ? 的反函数为 H ? x ? ,已知 ? ? (用 H ? a ? , H ? b? 表示) ; H ?a ? , H ? b? ,则 H ?a ? b? =_____ ______。 二、选择题 (本大题满分 16 分) 13.已知数列{an}的通项公式是 an=2n–49 (n?N),那么数列{an}的前 n 项和 Sn 达到最小值时的 n 的值是 ( ) (A) 23 (B) 24 (C) 25 (D) 26 14.在△ ABC 中,若 (A) 直角三角形

a b c ? ? ,则 ?ABC 是( cos A cos B cos C
(B) 等边三角形 (C) 钝角三角形 )

) (D) 等腰直角三角形

15.设 x=sin?,且?? [? , ] ,则 arccosx 的取值范围是 ( (A) [0, ?] (C) [0,

? 5? 6 6 ? 2? (B) [ , ] 3 3

2? ] 3

(D) [

2? ,?] 3
)

16.设非零实常数 a、b、c 满足 a、b 同号,b、c 异号,则关于 x 的方程 a .4x+b.2x+c=0( (A)无实根 (B)有两个共轭的虚根 (C)有两个异号的实根 (D)仅有一个实根 三.解答题(本大题满分 86 分) 17.(本题满分 12 分) 某中学,由于不断深化教育改革,办学质量逐年提高。2006 年 2009 年高考考入一流大学人数如下: 年 份 2006 116 2007 172 2008 220 2009 260
人数

高考上线人数

30 250 0 20 15 0 10 0 5 0 0



以年份为横坐标, 当年高考上线人数为纵坐标建立直角坐标系, 给数据描点作图 (如图所示) ,从图中可清楚地看到这些点基本上分

1

2

3

4

年份

(2006) (2007) (2008)(2009)

由 所 布 在

一条直线附近,因此,用一次函数 y ? ax ? b 来模拟高考上线人数与年份的函数关系,并以此来预测 2010 年高考 一本上线人数.如下表: 年 份 2006 1 116
y1 ? a ? b

2007 2 172
y 2 ? 2a ? b

2008 3 220
y3 ? 3a ? b

2009 4 260
y 4 ? 4a ? b

年份代码 x 实际上线人数 模拟上线人数

为使模拟更逼近原始数据,用下列方法来确定模拟函数。

/ 设 S ? y1 ? y1

?

? ? ?y
2

2

/ ? y2

? ? ?y
2

3

? y 3/

? ? ?y
2

4

/ / / / ? y4 , y1/ 、 y 2 、 y3 、 y4 表示各年实际上线人数, y1 、 y 2 、 y3 、

?

2

y 4 表示模拟上线人数,当 S 最小时,模拟函数最为理想。试根据所给数据,预测 2010 年高考上线人数。

18.(本题满分 12 分) 在复数范围内解方程 z
2

? ( z ? z )i ?

3?i (i 为虚数单位) 2?i

19.(本题满分 14 分) 已知不等式 x2–3x+t<0 的解集为{x|1<x<m, m?R} (1)求 t, m 的值;

(2)若 f(x)= –x2+ax+4 在(–∞,1)上递增,求不等式 log a (–mx2+3x+2–t)<0 的解集。

20.(本题满分 14 分) 某企业准备在 2006 年对员工增加奖金 200 元,其中有 120 元是基本奖金。预计在今后的若干年内,该企业每 年新增加的奖金平均比上一年增长 8%。另外,每年新增加的奖金中,基本奖金均比上一年增加 30 元。那么,到哪 一年底, (1)该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计(以 2006 年为累计的第一年)将首次不少于 750 元? (2)当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于 85%?

21.(本题满分 16 分) 已知 Sn 是正数数列{an}的前 n 项和,S12,S22、??、Sn2 ??,是以 3 为首项,以 1 为公差的等差数列;数列{bn} 为无穷等比数列,其前四项之和为 120,第二项与第四项之和为 90。

(1)求 an、bn; (2)从数列{

1 1 }中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于 2 。若能的话,请写出这个数列的第一项和 bn S6

公比?若不能的话,请说明理由。

22.(本题满分 18 分) 函数 f(x)=

x (a,b 是非零实常数),满足 f(2)=1,且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax ? b

(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立?为什么? (3)在直角坐标系中,求定点 A(–3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[6]

参考答案
1、{x|3<x≤5} 2、0 9、– 2 ≤a≤ 2 3、y=10x, x?R 10、 4、? 5、5 6、3

18 35

11、2

12、 H ? a+b ? ?

1? H ?a ? ? H ? b?

1 1 8、 <a<2 4 2 H ? a ? ? H ? b?
7、

13、B 14、B 15、C 16、D

17、解: S ? ?a ? b ? 116?2 ? ?2a ? b ? 172?2 ? ?3a ? b ? 220?2 ? ?4a ? b ? 260?2
? 4b 2 ? 2?10a ? 768?b ? ?a ? 116?2 ? ?2a ? 172?2 ? ?3a ? 220?2 ? ?4a ? 260?2

当b ?

2?768 ? 10a ? 8

即 5a ? 2b ? 384

① 时 ,S 有最小值,其中最小值为:

M= ?a ? 116?2 ? ?2a ? 172?2 ? ?3a ? 220?2 ? ?4a ? 260?2 ?

?10a ? 768?2
4

? 30a 2 ? 2 ? 2160a ? 116 2 ? 172 2 ? 220 2 ? 260 2 ? 25a 2 ? 3840a ? 384 2

? 5a 2 ? 480a ? 11584

当且仅当 a ? 48 时,M 有最小值。∴ a ? 48 代入①得 b ? 72 。∴ y5 ? 5 ? 48 ? 72 ? 312 。 18、原方程化简为 z 解得 x= –
2

? ( z ? z )i ? 1 ? i ,设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1–i,所以 x2+y2=1 且 2x = –1,

1 1 3 3 ,y= ± , 所以原方程的解是 z= – ± i。 2 2 2 2 ?1 ? m ? 3 ?m ? 2 19、(1) 由条件得: ? ,所以 ? , ?1 ? m ? t ?t ? 2 a 2 a a2 (2)因为 f(x)= –(x– ) +4+ 在(–∞,1)上递增,所以 ≥1,a≥2 ,log a (–mx2+3x+2–t)= log a (–2x2+3x)<0=log a 1,所 2 2 4
3 ? 0? x? ? 1 3 2 x 2 ? 3x ? 0 ? ? ? 2 以? ,所以 ? ,所以 0<x< 或 1<x< 。 2 2 2 ? ?2 x ? 3 x ? 1 ? 0 ? x ? 1或x ? 1 ? 2 ?
20 、 (1) 设基本奖金 形成数列 {an} ,由题 意可知 {an} 是 等差数列 , ( 或 a1=120, , d=30 , 或 an =120+30 (n–1)) , Sn=a1n+

1 n(n–1)d ,则 Sn=120n+15n(n–1) =15n2+105n=15(n2+7n), 2

令 15n2+105n≥750,即 n2+7n–50≥0,而 n 是正

整数, ∴n≥5。到 2010 年底该企业历年所增加的工资中基本工资累计将首次不少于 750 元。6 分 (2)设新增加的奖金形成数列{bn}, 由题意可知{bn}是等比数列, (或 b1=200, q=1.08, 或 bn=bn–1q) , 则 bn=200·(1.08)n–1 , 由题意可知 an>0.85 bn, 有 120+30 (n–1)>200·(1.08)n–1· 0.85。 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=5,到 2010 年底,当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于 85% 。 21、(1){Sn}是以 3 为首项,以 1 为公差的等差数列;所以 Sn2=3+(n–1)=n+2 因 为 an>0 , 所 以 Sn= an= ?

n ? 2 (n?N) , 当 n ≥ 2 时 , an=Sn–Sn–1=

n?2 –

n ? 1 , 又 a1=S1= 3 , 所 以

3 ? ? n ?1 ?b1 ? 3 ?b1 q ? b1 q ? 90 ? 3 (n?N) ,设{bn}的首项为 b1,公比为 q,则有 ? ,所以 ? ,所以 2 q ? 3 ? b ? b q ? 30 ? ? n ? 2 ? n ? 1 n ? 1 ? 1 1 ?

bn=3n(n?N),

1 1 1 1 n 1 1 =( ) , 设可以挑出一个无穷等比数列{cn}, 首项为 c1=( )p, 公比为( )k, (p、 k?N), 它的各项和等于 2 = , 3 3 bn 3 S6 8 1 ( )p 1 1 1 1 则有 3 ? ,所以( )p= [1–( )k], 当 p≥k 时 3p–3p–k=8,即 3p–k(3k–1)=8, 因为 p、k?N,所以只有 p–k=0, 1 3 8 3 8 1 ? ( )k 3
(2)

1 。当 p<k 时,3k–1=8.3k–p,因为 k>p 右边含有 3 的因数,而左边非 3 2 S6 1 1 1 的倍数,不存在 p、k?N,所以唯一存在等比数列{cn},首项为 ,公比为 ,使它的各项和等于 2 。 9 9 S6 x 22、(1)由 f(2)=1 得 2a+b=2,又 x=0 一定是方程 =x 的解, ax ? b 1 1 所以 =1 无解或有解为 0,若无解,则 ax+b=1 无解,得 a=0,矛盾,若有解为 0,则 b=1,所以 a= 。 ax ? b 2 2x (2)f(x)= ,设存在常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立, x?2 2m 2x 2(?4 ? x) ? 取 x=0,则 f(0)+f(m–0)=4,即 =4,m= –4(必要性),又 m= –4 时,f(x)+f(–4–x)= =??=4 成 x?2 ?4? x?2 m?2
k=2 时,即 p=k=2 时,数列{cn}的各项和为 立(充分性) ,所以存在常数 m= –4,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立, (3)|AP|2=(x+3)2+(

x?2 2 ) ,设 x+2=t,t≠0, x?2 t?4 2 2 8 16 16 4 4 4 则|AP|2=(t+1)2+( ) =t +2t+2– + 2 =(t2+ 2 )+2(t– )+2=(t– )2+2(t– )+10 t t t t t t t 4 4 ? 1 ? 17 ? 5 ? 17 =( t– +1)2+9, 所以当 t– +1=0 时即 t= ,也就是 x= 时,|AP| min = 3 。 t t 2 2

上海市华师大二附中高三综合练习
高三年级数学 [7]
编辑:于鹏弟 审核:龚琼 一、 填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题, 只要求直接填写结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分。

x ?1? 的反函数是 y ? f ?1 ( x) ,则 f ?1 ? ? ? __________。 x?2 ? 3? 2 2.方程 lg x ? 2lg x ? 3=0 的解集是__________。 3? ?a ? 3.在等比数列 n 中, a4 a7 ? ,则 sin ? a3a8 ? =__________。 2 a 3 ? i z1 4. 已知 z 1 、z 2 是实系数一元二次方程的两虚根, 且? ? 2, 则 a 的取值范围为 ?a ? R?, ?? z2
1.若函数 f ( x) ?

?

?

______

(用区间表示) 。 5. lim(
n ??

n ) n ? __________。 n ? 2007

6.在 ?ABC 中, AB ? 4,B ?

?

3

, ?ABC 的面积为 3 ,则 AC ? __________。

7.某班有 50 名学生,其中 15 人选修 A 课程,另外 15 人选修 B 课程,其它人不选任何课 程,从中任选两名学生,则他们选修不同课程的学生概率为__________。 8.设 { x} 表示离 x 最近的整数,即若 m ? 正确的是 。

1 1 ? x ? m ? ,则 { x} = m .下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题中 2 2

①函数 y ? f ( x) 的定义域是 R,值域是 ?0, ? ; 2 ②函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?

? 1? ? ?

1 15 31 ? 13 17 29 ?

3 11 19 27 ?

5 9 21 25 ?

7 23 ?

③函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期是 1;

k (k ? Z ) 对称; 2

④函数 y ? f ( x) 是偶函数。 ? 9. (理)若 x ? y ? ,则 sinx?siny 的最小值为__________。 3 (文)sin( ? - ? )cos ? -cos( ? - ? )sin ? =

7 , ? 在第三象限,则 cos ? =_____________。 4

10.将正奇数按如下规律填在 5 列的数表中:则 2007 排在该表的第 行,第 列(行是从上往 下数,列是从左往右数) 11.已知函数 f ( x) ? a ? x 2 ? ax ? b (a,b 为实常数),若 f(x)的值域为[0,+∞),则常数 a,b 应满足的条件__________。 12.对于集合 N={1, 2, 3,?, n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子 集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是 9–6+4–2+1=6,集合{5}的 交替和为 5。当集合 N 中的 n=2 时,集合 N={1, 2}的所有非空子集为{1},{2},{1, 2},则它的“交替和”的总和 S2=1+2+(2–1)=4, 请你尝试对 n=3、 n=4 的情况, 计算它的 “交替和” 的总和 S3、 S4, 并根据其结果猜测集合 N={1, 2, 3,?, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Sn= 。 二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不 论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13.下列函数表示同一函数的是( )
1

A. f ( x) ? (a 2 x ) 2 与 g ( x) ? a x (a>0)

B. f ( x) ? x 2 ? x ? 1 与 g ( x) ? x 2 ? x ? (2x ?1) 0 )

C. f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 与 g ( x) ? x2 ? 4 D. f ( x) ? lg x 2 与 g ( x) ? 2 lg x 14.设 p, q 均为实数,则“ q ? 0 ”是“方程 x2 ? px ? q ? 0 有一个正实根和一个负实根”的(

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

15.已知函数 f ( x) ? sin(?x ?

?

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 )

2

) ? 1 ,则下列命题正确的是(

A. f ( x) 是周期为 1 的奇函数 C. f ( x) 是周期为 1 的非奇非偶函数

B. f ( x) 是周期为 2 的偶函数 D. f ( x) 是周期为 2 的非奇非偶函数

? x2 ? x ? 0? 16.函数 f ( x) ? ? ,则集合 x f ? f ? x ? ? ? 0 元素的个数有( ? ? ?4sin x ? 0 ? x ? ? ? A、2 个 B 3个 C 4个 D 5个

?

?



三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17. (本题满分 12 分) 设 O 为坐标原点,已知向量 OZ 、 OZ 分别对应复数 z 1 、 z 2 , z1 ?
1

???? ?

2

3 ? (10 ? a 2 )i , a?5

z2 ?

2 ? (2a ? 5)i (其中 a ? R), 若 z1 ? z 2 是实数,求 1? a

z 2 的值。

18. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?4 x ? b ,不等式 | f ( x) |? 6 的解集为(-1,2) 。 (1)求 b 的值; (2)解不等式

4x ? m ? 0. f ( x)

19. (本题满分 14 分) 设 A ? x x 2 ? 4 x ? 0 , B ? x x 2 ? 2( a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 。

?

?

?

?

(1)若 A ? B ? B ,求 a 的值; (2)若 A ? B ? B ,求 a 的值。

20. (本题满分 14 分) 已知 x 、 y 之间满足 (1)方程

x2 y 2 ? ? 1? b ? 0 ? 。 4 b2

x2 y 2 1? ? 2 ? 1? b ? 0 ? 表示的曲线经过一点 ? 3, ? ,求 b 的值; ? 4 b 2? ? 2 2 x y ? 2 ? 1 (b>0)上变化,求 x2?2 y 的最大值; (2)动点(x,y)在曲线 4 b 2 2 x y ? 2 ? 1? b ? 0 ? 能否确定一个函数关系式 y ? f ? x ? ,如能,求解析式;如不能,再加什么条件就可使 (3)由 4 b x 、 y 之间建立函数关系,并求出解析式。

21. (本题满分 16 分) 政府决定用 “对社会的有效贡献率” 对企业进行评价用 an 表示某企业第 n 年投入的治理污染的环保费用, 用 bn 表示该企业第 n 年的产值设 a1 ? a (万元) ,以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加 2 a (万元) ;又设 b1 ? b (万元,且企业的产值每年比上一年的平均增长率为 10% ,用 Pn ? (1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率” ;

anbn 表示企业第 n 年“对社会的有效贡献率” 。 100ab

(2)试问:从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于 20% ?

22. (本题满分 18 分) f(x)=x(1-x) , 函数 y ? f (x), x ? R 满足 f (x ?1) ? af ? x ?,a是不为0的常数 ,当 0 ? x ? 1时, (1)若函数 y ? f (x), x ? R 是周期函数,写出符合条件 a 的值; (2)求 n ? x ? n+1(n ? 0,n ? Z)时, 求 y ? f (x) 的表达式 y ? f n ? x ? ;

(3)若函数 y ? f (x) 在 ?0, ? ?? 上的值域是闭区间,求 a 的取值范围。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[7] 参考答案
1.1;2. ?100, ? ;3. ?1 ;4. ?? 1,1?;5. e

? ?

1? 10 ?

2007

;6. 13 ;7.

9 ; 49

?a<0 ?a=0 3 ? 8.①②③; 9. ? ;10.第 251 行第 5 列;11. ? 或 ? 5a 2 ;12.n?2n–1; 4 ?b ? 0 ?b= ? 4
13.A; 17.解:由 z1 ? 14.C; 15.B; 16.D;

3 3 2 ? (10 ? a 2 )i, ? z1 ? z2 ? ? ? [(a 2 ? 10) ? (2a ? 5)]i , a?5 a ? 5 1? a 2 ? a ? 2a ? 15 ? 0, 解得a ? ?5, 或a ? 3, 又分母不为零,? a ? 3 ? z2 ? ?1 ? i z 2 ? 2 .
得 b=2;

?b ? 6 ? 4 ? ?1 18.解: (1)∵ f ( x) ? 6 的解集为(-1,2), ∴ ? ? ?b ? 6 ? 2 ? ? 4
(2)由 ③当 ?

m ?? 1? m 1 1 m m 1 4x ? m ? ? 0 得 ? x ? ?? x ? ? ? 0 ,当 ? ? ,即 m ? ?2 时, ? x ? ? ,②当 ? ? ,即 m ? ?2 时,无解, 4 2 4 2 2 4 4 2 ? 4x ? 2 ? ?? ?

m 1 m 1 ?1 m? ? ,即 m ? ?2 时, ? ? x ? ,∴当 m ? ?2 时,解集为 ? ,? ? 4 2 4 2 ?2 4?
? m 1? , ? . ? 4 2?

当 m ? ?2 时,解集为空集, 当 m ? ?2 时,解集为 ? ?

2 ? ?a ? 1 ? 0 ? a ? 1。 19.解: (1) A ? B ? B ? A ? B , A ? ?0,?4?,∴ ? 2 ? ? a ? 8a ? 7 ? 0 ( 2 ) A ? B ? B ? B ? A , 即 B ? ?或B ? A或B ? ?0? 或B ? ?? 4? 2 ? ? 4?a ? 1? ? 4 a 2 ? 1 ? 0 ? a ? ?1 ; B ? A 时, a ? 1 ; B ? ?0? 时, a ? ?1 ;

综上得

a ? ?? ?,?1? ? ? 1?。
2

?

?



B??





B ? ?? 4? 时, a ? ? 。

3 1 20.解: (1) ? 2 ? 1? b ? 0 ? ? b ? 1 , 4 4b 2 2 ? y2 ? x y ? 2 ? 1? b ? 0 ? 得 x 2 ? 4 ? 1 ? 2 ? (2)根据 4 b ? b ?
当 b2 ? b时,即b ? 4时 ? x 2 ? 2 y ? ? 2b ? 4 , max 4

? y2 ? 4? b2 ? b2 ? x ? 2 y ? 4 ?1 ? 2 ? ? 2 y ? ? 2 ? y ? ? ? ? 4 ? ?b ? y ? b ? , b ? 4? 4 ? b ?
2

2



?2b ? 4, ?b ? 4? b2 b2 ? b时,即0 ? b ? 4时 ? x 2 ? 2 y ? ? ? 4 , ?? x2 ? 2 y ? ? ? 2 ?b max max 4 4 ? 4, ? 0 ? b ? 4? ? ?4

(3)不能,如再加条件 xy ? 0 就可使 x 、 y 之间建立函数关系,

? x2 ?? 1 ? 2 , ? x ? 0? b 解析式 y ? ? (不唯一,也可其它答案) ? 2 x ? ? 1 ? b2 , ? x ? 0? ? 21. (1)因为 a1 ? a, b1 ? b ,根据题意: a2 ? a1 ? 2a ? 3a , b2 ? b1 ?1 ? 10%? ? 1.1b ,
所以 P 1 ?
3.3% ;
a1b1 ab 3a ?1.1b ? 1% , P2 ? 2 2 ? ? 3.3% ,该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为 1% 和 100ab 100ab 100ab

⑵因为 an ? a1 ? 2a ? n ? 1? ? ? 2n ? 1? a 所以 Pn ?

?n ? N ? , b
*

n

? b1 ? ?1 ? 10%?

n ?1

? 1.1n?1 b

?n ? N ?
*

,

? ? 2n ? 1?? 1.1n ?1% ,下证: Pn ? f ? n ? ? ? 2n ?1?1.1n?1% 为增函数: 100ab P 2n ? 1 2 ? ? n ?1 ? 1.1 ? ?1 ? 证法 1: n ?1 ? ? ? ? ? 1.1 ? 1 , Pn ? 0 , 则 Pn ? f ? n ? ? ? 2n ?1?1.1 % 为增函数; Pn 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?

? 2n ? 1? a ?1.1n ?1 b

证 法 2 : Pn?1 ? Pn ? ? ? ? 0.2n ? 2.1? ?1.1n ?1% ? 0 , ∴ Pn ?1 ? Pn , 则

Pn ? f ? n ? ? ? 2n ?1?1.1n?1%

为增函数,再验证:

5 P7 ? 13 ?1.16 % ? 23.01% ? 20% , P 6 ? 11?1.1 % ? 17.71% ? 20% ,故,从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”

不低于 20% . 22. (1) a ? 1时,T=1 , a ? -1时,T=2 , (2) n ? x ? n+1(n ? 0,n ? Z)时 ,

fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a2 fn?1 ? x ? 2? ? ? ? an f1 ? x ? n? ? fn ? x ? ? an ? x ? n?? n ? 1? x ? 1 n 1 n n ? ? a ? fn ? x ? ? a , (3)? f n ? x ? ? a ? x ? n ?? n ? 1 ? x ?, 4 4 当 a ? 1时 f ? x ? ? ? ??,+?? 舍去,
? 4? ? 1 1? 当 a ? ?1 时 f ? x ? ? ? ? , ? 符合, ? 4 4? ? 1? 当 0<a ? 1 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合, ? 4? ? 1? 当 -1<a ? 0 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合, ? 4? ?a ???1,0? ? ? 0,1? ? 1? 当 a ? 1 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合,

上海市华师大二附中高三综合练习
高三年级数学 [8]
编辑:王宁宁 审核:张红霞 一、 填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题, 只要求直接填写结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分。 1、 函数 y ? 2 x 的反函数是 3、方程 2
?x

2、 复数 z 满足 ?1 ? 2i ?z ? 5 ,则 z ?

。 。 。 。

? x 2 ? 2 实数解的个数为 4、不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? 3 ? x 的解集是

5 ,则 tan ? ? 。 y 12 6、某地自行车的牌照号码由六个数字组成,号码中每个数字可以是 0 到 9 这十个数字中的任一个。 那么某人的一辆自行车牌照号码中六个数字中 5 恰好出现两次的概率是 (精确到 0.0001 ) 。 7、在 ?ABC 中, 2 sin A ? 3 cos A ,则 ?A ? 。
5、已知 sin ? cos ? ? 0 ,点 P?x, y ?是角 ? 终边上的点,且

x

?

2 2 2 8、在无穷等比数列{an}中, a1 ? 1, q ? , 记Tn ? a 2 ? a4 ? a62 ? ? ? a 2 n , 则 lim Tn 等于__________。 n ??

1 2

9、 已知 z1 , z 2 为复数, (3 ? i) z1 为实数, z 2 ?

z1 ,且 z 2 ? 5 2 ,则 z 2 = 2?i



10、对长为 800 m 、宽为 600 m 的一块长方形地面进行绿化,要求四周种花卉,花卉带的宽度相等,中间种草,并 且种草的面积不小于总面积的一半,则花卉带的宽度范围为 (用区间表示) 。 0 ? x ? 3 11、如果 f ?x ? 是定义在 ?? 3,3? 上的奇函数,且当 时, f ?x ? 的图象如图所示。则不等式 f ?x ? ? cos x ? 0 的 解是 。 12 、在公差为 d (d ? 0) 的等差数列 ?an ? 中,若 S n 是 ?an ? 的前 n 项和,则数列

S 20 ? S10 , S30 ? S 20 , S 40 ? S30 也成等差数列,且公差为 100 d ,类比上述结论, 公 比 为 q(q ? 1) 的 等 比 数 列 ?bn ? 中 , 若 Tn 是 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 积 , 则
有 。

相应地在

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不 论是否都写在圆括号内),一律得零分。
2 2 13、若 P ? y y ? x , x ? R , Q ? y y ? x ? 1, x ? R ,则 P ? Q 等于(

?

?

?

?



A. P 14、与函数 y ? 10 A. y ? x ? 1

B. Q
lg( x ?1)

C. ? )

D. 无法计算

的图象相同的函数是( B. y ? x ? 1

x2 ?1 C. y ? x ?1

? x ?1 ? ? D. y ? ? ? ? ? x ?1 ?

2

15、以下有四个命题:

①一个等差数列{a n }中,若存在 a k +1>a k >O(k∈N),则对于任意自然数 n>k,都有 a n >0; ②一个等比数列{a n }中,若存在 a k <0,a k +1<O(k∈N),则对于任意 n∈N,都有 a n <0; ③一个等差数列{a n }中,若存在 a k <0,a k ?1 <0(k∈N),则对于任意 n∈N,都有 a n <O; ④一个等比数列{a n }中,若存在自然数 k,使 a k ?a k ?1 <0,则对于任意 n∈N,都有 a n .a n ?1 <0; 其中正确命题的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 15、已知 f ( x ) 在 x ? [a, b] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,给出下列五个命题: ①若对任何 x ? [a, b] 都有 p ? f ( x ) ,则 p 的取值范围是 ( ??, m] ; ②若对任何 x ? [a, b] 都有 p ? f ( x ) ,则 p 的取值范围是 ( ? ?, M ] ; ③若关于 x 的方程 p ? f ( x ) 在区间 [a , b] 上有解, 则 p 的取值范围是 [m, M ] ; ④若关于 x 的不等式 p ? f ( x ) 在区间 [a , b] 上有解, 则 p 的取值范围是 ( ??, m] ; ⑤若关于 x 的不等式 p ? f ( x ) 在区间 [a , b] 上有解, 则 p 的取值范围是 ( ? ?, M ] ; 其中正确命题的个数为( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ?3x2 ? a(6 ? a) x ? b 。 (1)解关于 a 的不等式 f (1) ? 0 . (2)当不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3)时,求实数 a , b 的值.

18、 (本题满分 12 分) 已知方程 x ? kx ? 100 ? 0, k ? C 。 (1)若 1 ? i 是它的一个根,求 k 的值; (2)若 k ? N * ,求满足方程的所有虚数的和。
2

19、 (本题满分 14 分)

1 ?1 1? ? ? 关于 x 的方程 x ? x sin 2? ? sin ? cot? ? 0 的两根为 ? , ? ,且 0 ? ? ? 2? ,若数列 1, ? , ? ? , ? ? ? ?? ? ?
2

1

2

?1 1? ?? , ? ?? ? ? ? ? 的前 100 项和为 0,求 ? 的值。 ? ?

n

20、 (本题满分 14 分) 某港口水的深度 y(米)是时间 t (0 ? t ? 24, 单位 : 时)的函数, 记作y ? f (t ) ,下面是某日水深的数据: T(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y ? A sin ?t ? b 的图象。 24 10.0

(1)试根据以上数据,求出函数 y ? f (t ) 的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需 下碰海底即可) ,某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请 问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间) 。

21、 (本题满分 16 分) 已知等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 S n ,且满足 a2 ? a3 ? 45, a1 ? a4 ? 14 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)通过 bn ?

Sn 构造一个新的数列 ?bn ? ,是否存在一个非零常数 c ,使 ?bn ? 也为等差数列; n?c bn (3)求 f (n) ? (n ? N *) 的最大值。 (n ? 2005 ) ? bn?1

22、 (本题满分 18 分)
f { f [? f ( x)?]} ,已知 f ( x) ? ? 设 n 为正整数,规定: f n ( x) ? ? ??????
n个f

?2(1 ? x) ,(0 ? x ? 1) . ? x ? 1 ,(1 ? x ? 2)

(1)解不等式: f ( x) ≤ x ; (2)设集合 A ? {0,1,2},对任意 x ? A ,证明: f 3 ( x ) ? x ; (3)探求 f 2006 ( ) ; (4)若集合 B ? { x | f12 ( x) ? x , x ? [0,2]},证明: B 中至少包含有 8 个元素.

8 9

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[8] 参考答案
1、 y ? log2 x?x ? 0? 2、 1 ? 2i 3、2 4、 ?1,3? 10、 ?0,100? 13、B 14、D 11、 ?? 3,?2? ? ? ? 15、D 5、 ? 12、

12 ? 6、 0.0984 7、 5 3

8、

4 15

9、 ?(5 ? 5i )

? ? ? ?? ? ,0 ? ? ? ,2 ? ? 2 ? ?2 ?
2

T20 T30 T40 , , 也成等比数列 , 且公比为q 100 T10 T20 T30
∴ ?a ? 6a ? b ? 3 ? 0 ,
2

16、B

17、解: (1)f(1)= -3+a(6-a)+b = ?a ? 6a ? b ? 3 , ∵ f(1)>0 △=24+4b,当 b≤-6 时,△≤0,∴ f(1)>0 的解集为 φ ;

当 b>-6 时, 3 ? b ? 6 ? a ? 3 ? b ? 6 ∴ f(1)>0 的解集为 x | 3 ? b ? 6 ? a ? 3 ? b ? 6 (2)∵ 不等式 -3x +a(6-a)x+b>0 的解集为(-1,3), ∴ f(x)>0 与不等式(x+1)(x-3)<0 同解,∵ 3x a(6-a)x-b<0 解集为(-1,3)
a (6 ? a ) ? 2? ? ? ?a ? 3 ? 3 ? 3 ∴ ? ,解之得 ? b ? ?3 ? ?b ? 9 ? 3 ? 18、解: (1) 51 ? 49i (2)190
2 2

?

?

19、解: S

100

?? 1 1 ?100 ?1 1? ? ? ? ? 1 ? ? ?1 ?? ?? ? ? 1 1 ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?0?? ? ? ? ?1 ? ? ?1 , ? ? ?? ?1 1? ?1 ? 1 ?1 ? ?? ? ? ? ? ?1 ?? ? ? ? ?

100

n ? ?1 ? s i ? n?? ∵ ? ? ? ? ? sin 2? , ?? ? ? sin ? cot? ? ? cos? , ∴ 2 s i ?

??

n?n ? 1? ? ? ? 4? ? ?2n 2 ? 40n ? 98?n ? N *? 。 2 ? ? 2 (2)令 y ? 0 ,即 n ? 20n ? 49 ? 0 ? 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 ? 3 ? n ? 17 ,∴从 2002 年开始,该汽车开始
20、解: (1) y ? 50n ? 98 ? ?12n ? 获利。 (3) y ? ?2?n ? 10? ? 102 ,即 n ? 10 时, y max ? 102,∴此时共获利 102 ? 20 ? 122 万元。
2

7? 11? 或 。 6 6

1 , 2

∵ 0 ? ? ? 2? , ∴

21、解: (1)∵等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 , ∴?

?a 2 ? a3 ? 45 ?a 2 ? a3 ? 45 ?a 2 ? 5 ?? ?? ? d ? 4 ? a n ? 4n ? 3 。 a ? 9 a ? a ? 14 a ? a ? 14 3 4 ? 1 ? 3 ? 2

1? ? 2n? n ? ? S 1 n?1 ? 4n ? 3? 1? 2? ? ? (2) S n ? ,令 c ? ? ,即得 bn ? 2n , ? 2n? n ? ? , bn ? n ? 2 n?c n?c 2 2? ? 1 数列 ?bn ? 为等差数列,∴存在一个非零常数 c ? ? ,使 ?bn ? 也为等差数列。 2 bn n 1 1 ? ? ? (3) f (n) ? , 2005 (n ? 2005 ) ? bn ?1 ?n ? 2005??n ? 1? 2 2005 ? 2006 n? ? 2006 n

∵ 45 ? 2005?

2005? 44 ? 89 ? 2 2005 ? 7921? 8020 ? 0 ,即 45 9 ? 。 45 ? 2005 ? 2005? 44, ∴ n ? 45 时, f ?n ? 有最大值 2050 ? 46 18860
2 3 2 3

?

?

22、解: (1)①当 0≤ x ≤1 时,由 2(1 ? x) ≤ x 得, x ≥ .∴ ≤ x ≤1. ②当 1< x ≤2 时,因 x ?1≤ x 恒成立.∴1< x ≤2.
2 由①,②得, f ( x) ≤ x 的解集为{ x | ≤ x ≤2}. 3

(2)∵ f (0) ? 2 , f (1) ? 0 , f ( 2) ? 1 , ∴当 x ? 0 时, f 3 (0) ? f ( f ( f (0))) ? f (? f (2)) ? f (1) ? 0 ; 当 x ? 1时, f 3 (1) ? f ( f ( f (1))) ? f ( f (0)) ? f (2) ? 1 ; 当 x ? 2 时, f 3 (2) ? f ( f ( f (2))) ? f ( f (1)) ? f (0) ? 2 . 即对任意 x ? A ,恒有 f 3 ( x ) ? x . (3) f1 ( ) ? 2(1 ? ) ?
8 9 8 9 2 8 8 2 14 8 8 14 14 5 , f 2 ( ) ? f ( f ( )) ? f ( ) ? , f 3 ( ) ? f ( f 2 ( )) ? f ( ) ? ? 1 ? , 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

8 8 5 5 8 f 4 ( ) ? f ( f 3 ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? ,?? 9 9 9 9 9

一般地, f 4k ?r ( ) ? f r ( ) ( k, r ? N) .
?

8 9

8 9

8 8 14 f 2006 ( ) ? f 2 ( ) ? . 9 9 9
2 3 2 2 2 2 2 2 ,∴ f n ( ) ? .则 f12 ( ) ? .∴ ? B . 3 3 3 3 3 3

(4)由(1)知, f ( ) ?

由(2)知,对 x ? 0 ,或 1,或 2,恒有 f 3 ( x ) ? x ,∴ f12 ( x) ? f 4?3 ( x) ? x .则 0,1,2 ? B . 由(3)知,对 x ?
2 3
8 2 14 5 8 2 14 5 , , , ,恒有 f12 ( x) ? f 4?3 ( x) ? x ,∴ , , , ? B . 9 9 9 9 9 9 9 9

综上所述, ,0,1,2, , ,

8 9

2 9

14 5 , ? B .∴ B 中至少含有 8 个元素. 9 9

上海市华师大二附中高三年级综合练习[9]
数学
一、填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1、方程 9 ? 7 ? 3 ? 18 ? 0 的解是
x x



x 2、已知集合 A ? x y ? lg( x ? 2) , B ? y y ? 2 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

。 。

3、若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ?) ,则 a5 ?

4、从 5 名候选同学中选出 3 名,分别保送北大小语种(每个语种各一名同学) :俄罗斯语、阿拉伯语与希伯莱语, 其中甲、乙二人不愿学希伯莱语,则不同的选法共有 5、复数 1 ? 种。 。

1? i 2 ( i 是虚数单位)是方程 x ? 2 x ? c ? 0 的一个根,则实数 c ? 1? i

6、在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 , c ? 3 , C ?

π ,则 A ? 3




7、如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ,则异面直线 A 1B 与 AD 1 所成角为 8、 (理)若 sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ?

2 2 , ? 在第三象限, 3

D1

C1 B1



tan( ? ?

?
4

)?



A1

(文)已知 ? ∈( 9、 (理) ? x

? 3 ? , ? ),sin ? = ,则 tan (? ? ) ? 5 4 2
n



? ?

2

1? ? ? 的展开式中,常数项为 15 ,则 n ? x?

D


C
B

A

? ?0 ? x ? 1 ? ?0 ? y ? 1 (文)若 x, y 满足条件 ? 下,则目标函数 u ? 2 x ? y 的最大值为__________。 3 ?x ? y ? 2 ?
10、已知函数 f ( x) ? 2 的反函数为 f
x ?1

( x) ,若 f ?1 (a) ? f ?1 (b) ? 4 ,则

1 1 ? 的最小值为 a b




11、若不等式 (?1) a ? 2 ?
n

(?1) n?1 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 n

12、为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向被调

查者提出两个问题: (1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查 人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题;否则就回答第(2)个问题。被调查者不必告诉调查 人员自己回答的是哪一个问题,只需要回答“是”或“不是” ,因为只有被调查本人知道回答了哪个问题,所 以都如实做了回答。如果被调查的 600 人(学号从 1 到 600)中有 180 人回答了“是” ,由此可以估计在这 600 人中闯过红灯的人数是 。

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不 论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、已知向量 a ? (?5,6),b ? (6,5) ,则 a 与 b ( A.垂直 B.不垂直也不平行 ) D.平行且反向 )

C.平行且同向

2 14、设 p, q 是两个命题: p : log 1 (| x | ?3) ? 0,q : x ? 2

5 1 x ? ? 0 ,则 p 是 q 的( 6 6

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

15、已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2005 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性收入 为 1800 元,其他收入为 1350 元) ,预计该地区自 2006 年起的 5 年内,农民的工资性收入将以 6 %的年增长率增 长,其他收入每年增加 160 元。根据以上数据,2010 年该地区农民人均收入介于 ( ) B.4400 元~ 4600 元 D.4800 元~ 5000 元

A.4200 元~ 4400 元 C.4600 元~ 4800 元

16、已知函数 y ? f ( x) 的图象如下左图,则函数 y ? f (
y

?
2

? x) ? sin x 在 [0, ? ] 上的大致图象为(



f ( x)
1

?

π 2

O
?1

π 2

x

三、解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 已知 z ? C , (1 ? i) z ? (1 ? i) z ? 2 ( i 是虚数单位) ,求 z 的最小值。

18、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos?x( 3 sin ?x ? cos?x) ? 1, (? ? 0) 的最小正周期是 ? ,求函数 f ( x ) 的值域以及单调递 减区间。

19、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。 已知函数 f ( x ) ? (1)求 m 的值; (2)请讨论它的单调性,并给予证明。

2 1 ? mx ? log 2 是奇函数。 x 1? x

20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站,AB=5km,BC=3km,在列车运行时刻表上,规定列车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站,在实际运行中,假设列车从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分 钟,并在行驶时以同一速度 vkm / h 匀速行驶,列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为 列车在该站的运行误差。 (1)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差; (用含 v 的表达式表示,并以分钟为单位) (2)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范围。

21、 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题满分 8 分。
2 已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 9,无穷等比数列 an 各项的和为

? ?

81 。 5

(1)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公比 q ; (2)对给定的 k (k ? 1, 2,3,?, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2a k ? 1 的等差数列,求 T ( 2) 的前 2007 项之和; (3) (理)设 bi 为数列 T
(i )

的第 i 项, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn :

①求 Sn 的表达式,并求出 Sn 取最大值时 n 的值。 ②求正整数 m(m ? 1) ,使得 lim (文)设 bi 为数列 T 在且不等于零。
(i )

Sn 存在且不等于零。 n ?? n m Sn 存 n ?? n m

的第 i 项, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn :求 Sn 的表达式,并求正整数 m(m ? 1) ,使得 lim

22、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分。 (理)已知函数 y ? f ( x), x ? R 满足 f ( x ? 1) ? af ( x) , a 是不为 0 的实常数。

(1)若函数 y ? f ( x), x ? R 是周期函数,写出符合条件 a 的值; (2)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,且函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上的值域是闭区间,求 a 的取值范围; (3)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3 x ? 3? x ,试研究函数 y ? f (x) 在区间 ?0,??? 上是否可能是单调函数?若可能, 求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由。 (文)已知函数 y ? f ( x), x ? R 满足 f ( x ? 1) ? af ( x) , a 是不为 0 的实常数。 (1)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,求函数 y ? f ( x), x ? ?0,1?的值域; (2)在(1)的条件下,求函数 y ? f ( x), x ? ?n, n ? 1?, n ? N 的解析式; (3)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3 x ,试研究函数 y ? f (x) 在区间 ?0,??? 上是否可能是单调函数? 若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[9] 参考答案 1、 x ? 2 ;2、 ?2,??? ;3、 ? 1 ;4、 36 ;5、 2 ;6、 8、 (理) ?

? 4 ;7、 arccos ; 5 6

1 5 1 9?4 2 3? ? ; (文) ;9、 (理) 6 ; (文) ;10、 ;11、 ?? 2, ? ;12、60; 7 2 2 7 2? ?

13、 A ;14、 A ;15、 B ;16、 A 17、 (12' )设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 (1 ? i)(a ? bi) ? (1 ? i)(a ? bi) ? 2 ,解得: a ? b ? 1 ;

1 1 ? z ? a 2 ? b 2 ? (1 ? b) 2 ? b 2 ? 2(b ? ) 2 ? ; 2 2

?当 b ? ?

1 3 1 2 ,即 z ? ? i 时, z min ? 。 2 2 2 2

18、 (12' ) f ( x) ?

3 c o s 2?x ? 1 n i s 2?x ? ? 1 ?n ( i s 2 2

? 1 2?x ? ) ? ; 6 2

? T ? ? ,?

? 1 2? ? 1 3? ? ? ,? ? ? 1 ; ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? 的值域为 ?? , ? ; 6 2 2? ? 2 2?
? 2x ?

? 2k? ?

?
2

?
6

? 2k? ?

3? ? 5? ? ? , k ? Z ,? x ? ?k? ? , k? ? ,k ? Z , 2 3 6? ? ?

? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 ? 5? ? ? 的单调递减区间是 ?k? ? , k? ? ,k ? Z 。 2 3 6? ? ?

19、 (7'+7' ) (1)? f ( x) 是奇函数,? f (? x) ? f ( x) ? 0 ;

2 1 ? mx 2 1 ? mx ? log 2 ) ? ( ? log 2 ) ? 0 ,解得: m ? 1 ,其中 m ? ?1 (舍) ; x 1? x x 1? x 2 1? x ( x ? ?? 1,0? ? ?0,1?) 确是奇函数。 经验证当 m ? 1 时, f ( x) ? ? log 2 x 1? x
即 (? (2)先研究 f ( x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?( 由

1 ? x1 2 1 ? x2 2 ? log2 ? ? log2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2 2 2 2 2 ? ) ? [log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

2 2 2 2 ? ? 0, log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1) ? 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f ( x) 在(0,1)内单调递减; 由于 f ( x) 是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数 f ( x) 在(-1,0)内单调递减。 20、 (6'+8' ) (1)列车在 B,C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是: | (2)由于列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,

300 480 ? 7| 和 | ? 11| 。 v v

300 480 ? 7|?| ? 11| ? 2 (*) v v 300 300 480 300 ?7? ? 11 ? 2 ,解得 39 ? v ? ①当 0 ? v ? 时, (*)式变形为 ; 7 v v 7 300 480 300 480 300 480 ?v? ? ? 11 ? 2 ,解得 ?v? ②当 时, (*)式变形为 7 ? ; 7 11 v v 7 11 480 ?00 480 480 195 ? 11 ? ? 2 ,解得 ?v? ③当 v ? 时, (*)式变形为 7 ? ; 11 v v 11 4
所以 | 综上所述, v 的取值范围是 ?39,

? ?

195? 。 4 ? ?

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? ?? 21、 (4'+4'+8' ) (1)依题意可知, ? 2 2。 q? ? a 1 ? 81 ? 3 ? 2 ? 5 ?1 ? q

? 2? (2)由(1)知, an ? 3 ? ? ? ? 3?

n?1

,所以数列 T

( 2)

的的首项为 t1 ? a2 ? 2 ,公差 d ? 2a2 ? 1 ? 3 ,

1 S 2007 ? 2007 ? 2 ? ? 2007 ? 2006 ? 3 ? 6043077 ,即数列的前 2007 项之和为 6043077 。 2

? 2? (3) (理) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ? ? 3? ? 2 ? n?n ? 1? ① Sn ? 45 ? ?18n ? 27?? ? ? ; 2 ? 3?
n

i ?1

? ?i ? 1? ;

由?

?bn ? bn ?1 ,解得 n ? 2 , ?bn ? bn ?1

计算可得 b1 ? 3, b2 ? 5, b3 ?

14 29 4 53 , b4 ? , b5 ? , b6 ? ? ? 0 , 3 9 3 81

因为当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ,所以 S n 当 n ? 5 时取最大值。

Sn 45 18n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? ② lim m = lim m ? , ? ? ? m n?? n ?? n n n 2n m ?3?
n

当 m ? 2 时, lim

Sn Sn 1 =- ,当 m ? 2 时, lim m =0,所以 m ? 2 。 m n ?? n n ?? n 2

(文) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ?

? 2? ? 3?

i ?1

? ?i ? 1? ;

? 2 ? n?n ? 1? ; Sn ? 45 ? ?18n ? 27?? ? ? 2 ? 3?
n

Sn 45 18n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? lim m = lim m ? , ? ? ? m n?? n ?? n n n 2n m ?3?
n

当 m ? 2 时, lim

Sn Sn 1 =- ,当 m ? 2 时, lim m =0,所以 m ? 2 。 m n ?? n n ?? n 2

22、 (4'+6'+8' ) (理) (1) a ? 1时,T=1 , a ? -1时,T=2 ; (2)当 n ? x ? n+1(n ? 0,n ?Z) 时 , fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a fn?1 ? x ? 2? ? ? ? a f1 ? x ? n? ,
2 n

? fn ? x ? ? an ? x ? n?? n ? 1? x ? ,? ?
当 a ? 1时 f ? x ? ? ? ??,+?? 舍去;

1 n 1 n a ? f n ( x) ? a ; 4 4

当 a ? 1 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合,当 a ? ?1 时 f ? x ? ? ? ? , ? 符合; 4 4 4 当 0 ? a ? 1 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合,当 ? 1 ? a ? 0 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合;

? 1? ? ?

? 1 1? ? ?

? 1? ? 4?

? 1? ? 4?

?a ???1,0? ? ? 0,1? 。
(3)当 n ? x ? n+1(n ? 0,n ?Z) 时 , fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a fn?1 ? x ? 2? ? ? ? a f1 ? x ? n? ,
2 n

? f n ( x) ? a n (3x?n ? 3n? x ) ;
易证函数 f n ( x) ? a (3
n x ?n

? 3n?x ), x ? ?n, n ? 1?, n ? 0, n ? Z 当 a ? 0 时是增函数,

此时? f n ( x) ? ?2a n ,

? ?

10 n ? a , 3 ? ?
n ?1

若函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上是是单调增函数,则必有 2a

?

10 n 5 a ,解得: a ? ; 3 3

显然当 a ? 0 时,函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上不是单调函数; 所以 a ?

5 。 3

(文) (1)? f ( x) ? ?( x ? ) 2 ?

1 2

1 ? 1? , x ? ?0,1?,? f ( x) ? ?0, ? 。 4 ? 4?

(2)当 n ? x ? n+1(n ? 0,n ? Z) 时 ,

fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a2 fn?1 ? x ? 2? ? ? ? an f1 ? x ? n? ,
? fn ? x ? ? an ? x ? n?? n ? 1? x ? 。
(3)当 n ? x ? n+1(n ? 0,n ?Z) 时 , fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a fn?1 ? x ? 2? ? ? ? a f1 ? x ? n? ,
2 n

? f n ( x) ? a n ? 3x?n ;
显然 f n ( x) ? a n ? 3x?n , x ? ?n, n ? 1?, n ? 0, n ? Z 当 a ? 0 时是增函数, 此时? f n ( x) ? a n ,3a n , 若函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上是是单调增函数,则必有 a
n ?1

?

?

? 3a n ,解得: a ? 3 ;

显然当 a ? 0 时,函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上不是单调函数; 所以 a ? 3 。

上海市华师大二附中高三年级综合练习[10]
数学
一、填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。

1、已知集合 A={(x,y)|y=sinx, x ?(0,2π )},B={(x,y)|y= a ,a ?R},则集合 A∩B 的子集个数量多有 2、若函数 f ( x) = 2 log 1 x 的值域是[-1,1],则函数 f
2
?1

个.

( x) 的值域为

.

3、(文)若 ?

? x ? 2,y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是 ? x? y ?2

.

(理)将曲线 ?

? x ? cos? 1 (? ? R) ,上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 倍后,得到的 2 ? y ? sin ?
. .

曲线的焦点坐标为

4、在等差数列 ?an ? 中,中若 a1 ? 0 , S n 为前 n 项之和,且 S 7 ? S17 ,则 S n 为最小时的 n 的值为 5、函数 f ( x) ? sin 2 x ? 4 sin 3 x cos x 的图象上相邻二条对称轴之间的距离是 6、设 e1 和 e2 是互相垂直的单位向量,且 a ? 3e1 ? 2e2 , b ? ?3e1 ? 4e2 ,则 a ? b = 7、若复数 z 满足 z ? 1 ? z ? 1 ? 2 ,则 z ? i ? 1 的最小值是 . . .

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

8 、在正三棱锥 S - ABC 中, D 为 AB 中点,且 SD 与 BC 所成角为 45 ? ,则 SD 与底面所成角的正弦值 为 .
2 2 2 2

9、一动圆与两圆(x+4) +y =25 和(x-4) +y =4 都外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程是 10、 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) 在(0,+∞)上是增函数,若 x ?[ 实数 a 的取值范围是 .

.

1 ,1]时,不等式 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 恒成立,则 2

11、在三位数中,如果十位数字比个位和百位数字都小,则称这个三位数为凹数,如 402,745 等,那么各数位无重复 数字的三位凹数共有 个.

12 、 对 于 正 整 数 n 和 m(m<n) 定 义 n m ! =(n-m)(n-2m)(n-3m)┈(n-km) 其 中 k 是 满 足 n>km 的 最 大 整 数 , 则

184 ! =________. 206 !
二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不 论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、在 ? ABC 中,

sin B sin A < 是 A>B 成立的( a b



A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

14、甲命题:平面 α ? 平面 β ,平面 β ? 平面 γ ,则平面 α //平面 γ ;乙命题:平面 α 上不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α //β .则( A.甲真乙真 B.甲真乙假 ) C.甲假乙真 D.甲假乙假 ) y y

15、函数 y ? loga (| x | ?1)(a ? 1) 的图象大致是( y y

A. 16、已知 a,b,c ? R,若 A.a,b,c 同号 C.b,c 同号,a 不能确定

B.

C.

D. )

b c b c ? ? 1 ,且 ? ? ?2 ,则下列结论成立的是( a a a a
B.b,c 同号,a 与它们异号 D.a,b,c 的符号都不能确定

三、解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分)
2 2 已知 sin θ (1+ctgθ )+cos θ (1+tgθ )=2, ? ? (0,2π ),求 tan ? 的值

18、 (本题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形,侧面 ABB 1A 1 是菱形且垂直于底面, ? A 1 AB = 60°,M 是 A1B1 的中点. (1)求证:BM ? AC; (2)求二面角 B ? B1C1 ? A1 的正切值; (3)求三棱锥 M ? A1CB 的体积.

19、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。 已知点 F(1,0),直线 l :x=2,设动点 P 到直线 l 的距离为 d,已知|PF|= (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 PF ? OF =

2 3 2 d且 ?d ? . 3 2 2

1 ,求向量 OP 与 OF 的夹角。 3

20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 某工厂去年某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,固定成本为 8 元.今年,工厂第一次投 入 100 万元(科技成本) ,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元(科技成本) ,预计产量年递增 10 万只,第 n 次投入后,每只产品的固定成本为 g ( n) ?

k n ?1

(k>0,k 为常数, n ? Z 且 n≥0) ,若产品销售价保持不变,第

n 次投入后的年利润为 f (n) 万元.
(1)求 k 的值,并求出 f ( n) 的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

21、 (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分。 已知函数 f ( x) ? 3x 2 ? bx ? 1是偶函数, g ( x) ? 5x ? c 是奇函数,正数数列 ?an ? 满足

an ? 1, f ( an ? an?1 ) ? g( an?1an ? an ) ? 1
(1) 求 ?an ? 的通项公式; (2)若 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,求 lim S n .
n??

2

22、 (本题满分 18 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分。 直角梯形 ABCD 中∠DAB=90°,AD∥BC,AB=2,AD= (1)建立适当坐标系,求椭圆 C 的方程; (2) (文)是否存在直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,且线段 MN 的中点为 C,若存在,求 l 与直线 AB 的夹角,若 不存在,说明理由. (理)若点 E 满足 EC ?

3 1 ,BC= .椭圆 C 以 A、B 为焦点且经过点 D. 2 2

1 AB ,问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点且 | ME |?| NE | , 2

若存在,求出直线 l 与 AB 夹角的范围,若不存在,说明理由.

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[10] 参考答案 1、4 2、[

2 , 2] 2
9、

3、[2,6] , (±

15 ,0) 4、12 2

5、

? 4

6、-1

7、1 8、 13、C

3 3

4x 2 4 y 2 =1(x>0) 9 55
16、A

10、[-2,0]

11、240 12、

15 2

14、D

15、B

17、 tan ? ? 1 18、 (1)略 (2)所求二面角的正切值是 2 (3) V ? 19、(1)所求的点 P 轨迹方程为

1 3 a 16

x2 1 4 ? y2 ? 1 ( ? x ? ) 2 2 3
2 11 11

(2)向量 OP 与 OF 的夹角为 arccos

20、 (1)由 g ( n) ?

k ,当 n=0 时,由题意,可得 k=8, n ?1 8 n ?1 ) ? 100n .

所以 f (n) ? (100 ? 10n) (10 ?

(2)由 f (n) ? (100 ? 10n)(10 ?

8 n ?1 9 n ?1

) ? 100n ? 1 000 ? 80

(

n ? 10 n ?1

) ? 1 000 ? 80( n ? 1 ?

) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520.

当且仅当 n ? 1 ?

9 n ?1

,即 n=8 时取等号,所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元

21、解: (1) f ( x) ? 3x 2 ? 1

g ( x) ? 5 x

(an?1 ? an )(3an?1 ? 2an ) ? 0 ,
(2) lim s n ?
n??

a n ?1 2 2 ? , a n ? ( ) n ?1 3 an 3

1 2 1? 3

?3

22、解析: (1)如图,以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系, ? A(-1,0) ,B(1,0) ∴ 椭圆 C 的方程是:

x2 y2 ? ?1 4 3
1 3 . (理)l 与 AB 的夹角的范围是 (0 , arctan ] . 2 2

(2) (文)存在,l 与 AB 的夹角是 arctan




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