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《近世代数》教案1(含绪论)


韶 关 学 院 课 程 教 学 设 计 ( 2 学时)
教学内容
(章节、专题)

第 一 章


基 本 概 念

论;§1 集 合

教学目标 与要求 教学重点 教学难点 选用教学素 材与设备

了解近世代数的发展简史;知道《近世代数》课的 性质、地位和意义;知道《近世代数》课特点与学习方 法以及教学安排;掌握集合的概念及集合元素、子集、 真子集;掌握集合的交、并、积概念. 《近世代数》课的历史、性质、特点与学习方法;集合 的表示法. 《近世代数》课性质、特点与学习方法.

《近世代数》的教材、参考书籍以及各种辅导资料. 教学设备为:黑板、粉笔等.

教 学 过 程 、 内 容 ( 含 教 与 学 的 方 法 )


一、抽象代数发展简史
1、代数的组成



代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支,当中可大致分为初等代数学和抽象代数学 两部分.初等代数学是指 19 世纪上半叶以前发展的方程理论,主要研究某一方程(组)是 否可解,如何求出方程所有的根(包括近似根),以及方程的根有何性质等问题. 抽象代数又称近世代数,它产生于十九世纪.抽象代数是研究各种抽象的公理化代数 系统的数学学科.由于代数可处理实数与复数以外的集合,例如向量、矩阵超数、变换等, 这些集合分别是依它们各有的演算定律而定, 而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有 的内容升华出来,并因此而达到更高层次,这就诞生了抽象代数.抽象代数,包含有群论、 环论、域论、模论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相结合
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产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科.抽象代数已经成了当代 大部分数学的通用语言. 2、高次方程的根式解问题 什么叫代数?代数的基本问题是什么呢?代数就是字母运算学,这是法国数学家 韦达的观点,也是关于代数的第一种观点. 到了 15-16 世纪,代数学的中心问题开始转移到代数方程理论上来了, (关于代数 的观点发生了变化,将代数定义为代数方程理论).我们知道,一次、二次的方程有根 式解,三次和三次以上的方程是否有根式解呢?经过数学家们的努力,1542 年意大利 数学家卡当给出了三次方程的求根公式.这个公式实际上是泰塔格利亚发现的,卡当恳 切要求泰塔格利亚把求解公式告诉他,并发誓对他保密.但卡当不顾自己的誓言,把这 个方法的叙述发表在他的《重要的艺术》里.所以这个公式不应该叫卡当公式,而应叫 泰塔格利亚公式. 在三次方程成功地解出之后,接着卡当的学生费拉里成功的解出了四次方程.三 次、四次方程有求根公式,那么五次和五次以上的方程是否有公式解呢? 世界上许多数学家试图找出五次和五次以上的方程的公式解,经过了三百年没有 成功.在这期间,德国数学家高斯在 1799 年他的博士论文中作出了代数基本定理的证 明.“每个次数 ? 1 的复系数多项式在复数域中有一个根.” 探求四次以上的方程的求解问题,多少数学家作了努力,但都失败了.直到 1824 年轻的数学家阿贝尔证明了“高于四次的一般方程用根式求解的不可能性”.这样,代 数的这个问题才告一个段落. 阿贝尔(1802-1829)是一个挪威的数学家,出生(1802.8.5)于一个穷牧师家里, 兄弟姐妹七个,他排行第二,小学教育基本上是由父亲完成的.中学时是一个比阿贝尔 大七岁的数学教师,名叫洪波义.此人学过一些纯粹数学,对中学数学很熟,他采取让 学生发挥独立的工作能力的教学方法,给一些适合他们的数学问题鼓励学生们去解决. 第一学年来,洪波义在学生的报告书上对阿贝尔的评语是: “一个优秀的数学天才”. 他私人教阿贝尔高等数学.在中学读书的最后一年,他开始考虑当时著名的难题:五次
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方程的一般解问题.他按高斯对二次方程的处理方法,起初,阿贝尔以为他已经解决了 用根式解一般的五次方程的问题.他的方法洪波义看不懂,也不知道有什么地方错,因 此便拿去找教授看,结果也没有人了解他的东西.一位叫达根的教授劝告阿贝尔研究一 些椭圆积分.后来阿贝尔用实际例子来验证,证明他的发现是错误的.当阿贝尔 18 岁时 父亲去世了,大哥精神不正常,家庭生活十分贫困.阿贝尔上大学是由洪波义出面,希 望几个教授帮忙,结果教授们和朋友们都把薪水分出一点,凑起来给阿贝尔作为学习 和生活的经济来源.阿贝尔自己还写信给当局提出要求,幸运地获得了免费的宿舍. 1824 年, 阿贝尔重新考虑了一元五次方程的根式解问题.他试图证明这个解答是不 可能的.首先他成功的证明了下述定理: “可用根式求解的方程的根能以这样的形式给 出,出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理函数.” 然后阿贝尔用这个定理证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性. 阿贝尔的家境贫困,大学毕业后,他靠为一些学生补习功课而生活,好心的朋友 克勤为了替阿贝尔谋求一个职业而尽力奔走,终于在 1828.10.8 写信告诉阿贝尔“职 业是肯定有了”.但克勤不知道,我们的阿贝尔在三月肺结核病病情恶化了,4 月 6 日, 这世上少有的天才就这样怀着沉重的心情,在他未婚妻旁离开了人间.克勤的消息来迟 了. 法国数学家厄米特说:阿贝尔留下的工作, “ 可以使以后的数学家足够忙碌 150 年! ” 这话并不夸张.在和阿贝尔同时代的一个法国青年伽罗华读到了阿贝尔的著作, 不到 20 岁,就在代数方程论上作出了卓越的贡献,创立了“伽罗华理论”.他使阿贝尔的思想 得到了更好的发展. 3、伽罗华和他的理论的兴起 法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在 1832 年运用“群”的思想彻底解决了用根式 求解代数方程的可能性问题.他是第一个提出“群”的思想的数学家,一般称他为近世 代数的创始人.伽罗瓦使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学, 即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期.伽罗瓦是巴黎附近一个小 镇镇长的儿子,他积极参加学生运动.伽罗华在中学时遇到了一位叫里沙的好老师(数
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学家) ,在里沙的指导下开始学习阿贝尔的著作,给出 5 次及 5 次以上方程有根式解的 充要条件.他的论文三次交到法兰西科学院评审(柯西、付里叶、波松).最后是波松 “完全不能理解! ”.伽罗瓦是 1832 年 5 月 31 日死于爱情决斗. 伽罗瓦提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重 要的课题.伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提 供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出 了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法, 圆满解决了三等分任意角或倍立方 体的问题都是不可解的.最重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算, 把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使 群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时 这种理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生 了巨大的影响. 抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端, 伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念. 后来凯莱对群作了抽象定义(Cayley,1821-1895).他在 1849 年的一项工作里提出抽象群 的概念,可惜没有引起反响.“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”.直到 1878 年,凯莱又 写了抽象群的四篇文章才引起注意.1874 年,挪威数学家索甫斯·李(Sophus Lie, 1842-1899)在研究微分方程时,发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的,一下 子接触到连续群.1882 年,英国的冯·戴克(von Dyck,1856-1934)把群论的三个主要来 源—方程式论,数论和无限变换群—纳入统一的概念之中,并提出“生成元”概念.1870 年,克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义;狄德金开始使用“体”的说法,并研究了 代数体;1893 年,韦伯定义了抽象的体.20 世纪初给出了群的抽象公理系统. 群论的研究在 20 世纪沿着各个不同方向展开.例如,找出给定阶的有限群的全体.群 分解为单群、可解群等问题一直被研究着.有限单群的分类问题在 20 世纪七、八十年代才 获得可能是最终的解决.伯恩赛德(Burnside,1852-1927 年)曾提出过许多问题和猜想. 如 1902 年问道一个群 G 是有限生成且每个元素都是有限阶,G 是不是有限群?并猜想每 一个非交换的单群是偶数阶的.前者至今尚未解决,后者于 1963 年解决.
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舒尔(Schur,1875-1941)于 1901 年提出有限群表示的问题.群特征标的研究由弗罗 贝尼乌斯首先提出.庞加莱对群论抱有特殊的热情,他说:“群论就是那摒弃其内容而化 为纯粹形式的整个数学.”这当然是过分夸大了. 1843 年,哈密顿(Hamilton, W. R. )发明了一种乘法交换律不成立的代数—— 四元数代数.第二年,Grassmann 推演出更有一般性的几类代数.1857 年,Cayley 设计 出另一种不可交换的代数——矩阵代数.1870 年,克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿 贝尔群的抽象定义. 4、诺特和抽象代数学的兴起 有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一,被誉为代数女皇,她就是爱 米·诺特(1882-1935), 1882 年 3 月 23 日生于德国埃尔朗根,其父亲麦克斯是一位大 数学家,1900 年入埃朗根大学(上千名学生中只有两位女生),1907 年在数学家哥尔丹 指导下获博士学位.诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影 响.1907-1919 年,她主要研究代数不变式及微分不变式.她在博士论文中给出三元四次型 的不变式的完全组.还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题.对有限群的不变式具 有有限基给出一个构造性证明.她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式,在格丁根 大学的就职论文中,讨论连续群(李群)下不变式问题,给出诺特定理,把对称性、不变性 和物理的守恒律联系在一起. 1922 年,诺特终于被聘为教授,但政府不承认. 1920-1927 年间她主要研究交换代数与“交换算术”.1916 年后,她开始由古典代数 学向抽象代数学过渡.1920 年,她已引入“左模”、“右模”的概念.1921 年写出的《整 环的理想理论》是交换代数发展的里程碑.建立了交换诺特环理论,证明了准素分解定 理.1926 年发表《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》,给戴德金环一个公理 刻画,指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件.诺特的这套理论也就是现代数学中 的“环”和“理想”的系统理论,一般认为抽象代数形式的时间就是 1926 年,从此代数 学研究对象从研究代数方程根的计算与分布,进入到研究数字、文字和更一般元素的代数 运算规律和各种代数结构,完成了古典代数到抽象代数的本质的转变.诺特当之无愧地被 人们誉为抽象代数的奠基人之一.
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1927-1935 年,诺特研究非交换代数与“非交换算术”.她把表示理论、理想理论 及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上.后又引进交叉积的概念并用决定有限维 伽罗瓦扩张的布饶尔群.最后导致代数的主定理的证明,代数数域上的中心可除代数是循 环代数.诺特的学生范.德.瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿,写成《近世代数学》一书, 其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、 文字和更一般元素的代数运算 规律和各种代数结构.这就发生了质变.由于抽象代数的一般性, 它的方法和结果带有基本 的性质,因而渗入到各个不同的数学分支.人们从抽象代数奠基人——诺特、阿廷等人灿 烂的成果中吸取到了营养,从那以后,代数研究有了长足进展.诺特的思想通过《近世代 数学》得到广泛的传播.她的主要论文收在《诺特全集》(1982 年)中. 1955 年范.德.瓦 尔登的《近世代数学》改版为《代数学》(一、二册)(瓦尔登后来研究数学史). 抽象代数的另一部分是域论.1910 年施泰尼茨(Steinitz,1871-1928)发表《域的 代数理论》,成为抽象代数的重要里程碑.他提出素域的概念,定义了特征数为 P 的域, 证明了每个域可由其素域经添加而得. 环论是抽象代数中较晚成熟的.尽管环和理想的构造在 19 世纪就可以找到,但抽象 理论却完全是 20 世纪的产物.韦德伯恩(Wedderburn,1882-1948)《论超复数》一文中, 研究了线形结合代数, 这种代数实际上就是环.环和理想的系统理论由诺特给出.她开始工 作时,环和理想的许多结果都已经有了,但当她将这些结果给予适当的确切表述时,就得 到了抽象理论.诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中,为代数整数的理想论和 代数整函数的理想论建立了共同的基础.诺特对环和理想作了十分深刻的研究.人们认为 这一总结性的工作在 1926 年臻于完成,因此,可以认为抽象代数形成的时间为 1926 年. 1930 年,毕尔霍夫建立格论,它源于 1847 年的布尔代数;第二次世界大战后,出现 了各种代数系统的理论和布尔巴基学派;1955 年,嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了 同调代数理论.到现在为止,数学家们已经研究过 200 多种这样的代数结构,其中最主要 德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子.这些工作的绝大部分属于 20 世纪, 它 们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映.到了 20 世纪 60 年代,美国 代数学家贾柯勃逊编著的《抽象代数学》(一、二、三册)代替了瓦尔登的《代数学》,
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到了 20 世纪 70-80 年代贾柯勃逊改版为《基础代数学》(一、二册)分别于 1974 年和 1980 年出版. 5、代数是研究代数系统的科学 抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响.抽象代数学随 着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展.经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎 托罗维奇和斯通等人在 1933-1938 年所做的工作,格论确定了在代数学的地位.而自 20 世纪 40 年代中叶起,作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响. 泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来.中国数学家在抽象代数学的研究 始于 30 年代.当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果,其中尤以曾炯之、华罗庚和 周炜良的工作更为显著. 现在,可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说,但字母的含义是在不断地拓 广的.在初等代数中,字母表示数;而在高等代数和抽象代数中,字母则表示向量(或 n 元 有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量.可以说,代数已经发展成为一门 关于形式运算的一般学说了.一个带有形式运算的集合称为代数系统,因此,代数是研究 一般代数系统的一门科学. 现代数学的基础课程正在更新.50 年代数学系的教学计划,以“高等微积分”、“高等 代数”、“高等几何”为主体.时至今日,人们认为光靠这“老三高”已不够用了,应该发展“新 三高”,即抽象代数、拓扑学和泛函分析.现代数学理论是由这三根支柱撑着的.现在,我 们来追寻它们形成和发展的历史足迹,并从这一侧面窥视 21 世纪数学的特征. 参考文献: [1] 乐秀成, 刘宁. 青年数学家、战士和人:E.伽罗瓦[J]. 自然辩证法通讯, 1980,(06) [2] 胡作玄. 爱米·诺特与抽象代数学的兴起[J]. 自然辩证法通讯, 1983,(02)

二、近世代数的特点、意义与学习方法
1、近世代数的特点 代数学经历了两个转变,它有三种观点:
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第一种观点:代数是字母运算学(这是韦达的观点) ; 第二种观点:代数是代数方程理论; 第三种观点:代数是研究各种代数系统(即研究群、环、域等的结构与性质). 第一、第二是具体的,第三是抽象的,它的对象不一定是数,如向量、矩阵、线 性变换等.由于它理论的抽象,对象的广泛,因而就带来应用的广泛性.近世代数的大 多数概念是采取公理化定义,这就使它的理论更严谨,许多学科都用到近世代数的思 想和方法. 近世代数具有以下特点: 概念的抽象性、理论的严谨性、应用的广泛性. 2、学习近世代数的意义 一是数学类专业的基础课程,后继课程学习的需要,更高一级学校学习的准备;二是 指导中学教学与实践,处理好中学数学的有关教材内容,能在高观点下看清中学数学的来 龙去脉;三是培养同学的科学思维、逻辑推理和运算的能力,以及辩证唯物论观点. 3、学习方法与要求 学习的四步曲:预习、听课(笔记) 、复习、练习; ①预习:认真看书,做好预习工作,带着问题来听课,做到有的放矢; ②听课(笔记) :认真听课,做好笔记,笔记的形式可以多样,与书上不同的; ③复习:认真做好复习工作,多思考、多提问题.问题可以自问自答;有问题要自己 先想想,再问老师.要扣概念,找模型; ④练习:复习后再练习、作业,作业要独立完成,不要抄题解、不要抄别人的. 请记住:预习、听课(笔记) 、复习、练习,再预习等,这就是学习上的良性循环. 我们一定要做到学习上的良性循环,克服恶性循环,牢牢掌握学习的主动权,努力做 到:概念准、理论熟、思路活、计算快. 教材:张禾瑞著的《近世代数基础》. 参考书:吴品三的《近世代数》 ;熊全淹的《近世代数》 ;谢帮杰的《抽象代数学》 ; 范.德.瓦尔登的《代数学》(一、二册);贾柯勃逊的《基础代数学》(一、二册);
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[美]G.伯克霍夫、S.麦克莱恩 著,王连祥、徐广善译 《近世代数概论》.

三、近世代数的教学安排
51 课时,讲四章内容,共 135 页,每次课约 7 页.教学安排如下: 第一章 基本概念 第二章 群 论 第三章 环与域 10 课时(含绪论) ,含习题 2 课时; 18 课时,含习题 4 课时; 16 课时,含习题 4 课时;

第四章 整环里的因子分解(2 节) 5 课时,含习题 1 课时;复习 2 课时. 教学内容及各章课时(见教学进度表)并参考“ 《近世代数》课程标准”.

第一章 基本概念
在普通代数里,我们计算的对象是数,计算的方法是加、减、乘、除.数学渐渐进步, 我们发现,可以对于若干不是数的事物,用类似普通计算的方法加以计算.这种例子我们 在高等代数里已经看到很多,例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算. 近世代数(抽象代数)的主要内容就是研究各种代数系统,即带有运算的集合.因此 我们的讨论就从最基本的概念——集合、映射开始.

§1.1 一、集合及其表示

集 合

集合是一个不加定义的基本概念,它描述性的定义为: 作为整体看的一堆东西 若干个(有限或无限多个)固定事物的全体 组成一个集合的事物叫做这个集合的元素. 注意:1.强调“全体” ,2.确定 集合的表示法:1.列举法;2.性质法;3.图象法 集合用大写拉丁字母 A,B,C,?来表示. 元素用小写拉丁字母 a,b,c,?来表示.
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称为集合

集合的属于与不属于的表示: a ? A , a ? A

二、若干记号
1.数集: N , Z ,Q,R,C, Z * , Q 2.逻辑: 全称号: ? (对于任意) 特称号: ? (存在) ? | (存在唯一) , 若 A 则 B: A ? B A 等价于 B: A ? B 或者: ? , 而且: ? 三、空集合、子集与集合的相等 空集合:一个没有元素的集合,记为 ? 子集:设 A,B 是两个集合,若 ? x ? B ? x ? A ,则称 B 是 A 的子集,记为 B ? A . 空集合是任何集合的子集,即 ? 集合 A,均有 ? ? A .为此需证明命题 “ ? x ?? ? x ? A ” ,但这个前提不成立.任一命题,只要前提不真,那么,无论结论如何, 整个命题被认为成立,故有 ? ? A .
*

真子集:若集合 B 是集合 A 的子集,而且至少有一个 A 的元不属于 B,则称 B 是 A 的 真子集,记为 B ? A . 集合的相等:若集合 A 和集合 B 所包含的元素完全一样,则称集合 A 等于集合 B,记 为 A ? B .充要条件: A ? B ? A ? B ? B ? A . 四、集合的运算、幂集合、卡氏积 设 A,B 是全集 U 的两个子集,则 A,B 的交、并、差为:
A ? B ? {x | x ? A ? x ? B}
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A ? B ? {x | x ? A ? x ? B} A \ B ? {x | x ? A 但 x ? B}

性质:交换律,结合律,分配律 幂集合:设 A 是给定的两个集合,A 的所有子集所组成的的集合叫做 A 的幂集合,用
{a} {b} {c} {a {b {a {a 2A 表示.例如:设 A ? {a,b,c} ,则 2A ={?, , , , ,b}, ,c}, ,c}, ,b,c}} .

卡氏积: 设 A1 , A2 ,?, An 是 n 个集合 集合 A1 ? A2 ??? An ={x | x ? (a1 , a2 ,?, an ), ai ? Ai ,i ? 1, 2,?, n} 称作集合 A1 ,A2 ,?,An 的积,这也是一个集合.当 A1 ? A2 ? ? ? An 时,记为 An .

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