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15-16版7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积(创新设计)


7. 2

棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 7. 3 球的表面积和体积

[学习目标]

1.理解柱体、锥体、台体的体积公式;2.理解球的表面积和体积公式;3.能运用

体积公式求解有关的体积问题,并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系.

[知识链接] 1.长宽高分别为 a、b、c 的长方体的表面积 S=2(ab+bc+ac),体积 V=abc. 2.棱长为 a 的正方体的表面积 S=6a2,体积 V=a3. 3.底面半径为 r,高为 h,母线长为 l 的圆柱侧面积 S 侧=2πrh,表面积 S=2πrh+2πr2. 4.底面半径为 r,高为 h,母线长为 l 的圆锥侧面积 S 侧=πrl,表面积 S=πr2+πrl. [预习导引] 1.柱、锥、台体的体积公式 几何体 柱体 圆柱 棱柱 圆锥 棱锥 圆台 棱台 2.球的体积 4 球的半径为 R,那么它的体积是 V= πR3. 3 3.球的表面积 球的半径为 R,那么它的表面积是 S=4πR2. 体积公式 V 柱体=Sh S—柱体底面积 h—柱体的高 1 V 锥体= Sh 3 S—锥体底面积 h—锥体的高 1 V 台体= (S 上+S 下+ S上· S下)· h 3 S 上、S 下—台体的上、下底面面积,h—高

锥体

台体

要点一 柱体的体积 例 1 如图①是一个水平放置的正三棱柱 ABCA1B1C1,D 是棱 BC 的中点.正三棱柱的主视 图如图②. 求正三棱柱 ABCA1B1C1 的体积.

AD 解 由三视图可知: 在正三棱柱中, AD= 3, AA1=3, 从而在底面即等边△ABC 中, AB= sin60° = 3 =2, 3 2

所以正三棱柱的体积 1 1 V=Sh= ×BC×AD×AA1= ×2× 3×3=3 3. 2 2 规律方法 求柱体的体积关键是求其底面积和高,底面积利用平面图形面积的求法,常转化 为三角形及四边形,高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形,进而求解. 跟踪演练 1 (1)圆柱的底面积是 S, 侧面展开图是一个正方形, 则这个圆柱的体积是________. 答案 2S πS 解析 设圆柱的底面半径为 r,则 S=πr2,∴r= 则圆柱的母线长 l=2πr=2 πS, 即圆柱的高 h=2 πS,∴V 圆柱=S· h=2S πS. (2)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求 A 到平面 A1BD 的距离 d. 解 在三棱锥 A1-ABD 中,AA1⊥平面 ABD, AB=AD=AA1=a, A1B=BD=A1D= 2a, ∵ VA1-ABD=VA-A1BD , 1 1 1 1 3 ∴ × a2· a= × × 2a× · 2a· d. 3 2 3 2 2 ∴d= 3 a. 3 S , π

要点二 锥体的体积 例 2 如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA, 1 QA=AB= PD. 2 (1)证明 PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知 PDAQ 为直角梯形.

因为 QA⊥平面 ABCD, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 2 PD, 则 PQ⊥QD.又 DC∩QD=D.所以 PQ⊥平面 DCQ. 2

(2)解 设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 QABCD 的高, 1 所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1= a3. 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高. 而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 2 2 a, 2

1 所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2= a3.故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1. 3 1 规律方法 (1)锥体的体积公式 V= Sh 既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥, 3 也可以不是正棱锥. (2)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常 常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,这一方法叫做等积法. 跟踪演练 2 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.

答案

20π 3

解析 根据三视图知,该几何体上部是一个底面直径为 4m,高为 2m 的圆锥,下部是一个底 面直径为 2m,高为 4m 的圆柱.故该几何体的体积 1 20π V= π×22×2+π×12×4= (m3). 3 3 要点三 台体的体积 例 3 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB,AC 的中点,平 面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1, V2 的两部分, 那么 V1∶V2=________.

答案 7∶5 解析 设三棱柱的高为 h,底面的面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh. 因为 E,F 分别为 AB,AC 的中点, 1 所以 S△AEF= S, 4 1 1 V1= h?S+ S+ 3 ? 4 S? 7 S· =12Sh, 4?

5 V2=Sh-V1= Sh,故 V1∶V2=7∶5. 12 规律方法 求不规则几何体的体积可通过对几何体分割,使每部分能够易求得其体积,也可 将其“补”成规则几何体,使所求体积等于整体几何体的体积减去部分几何体的体积,这就 是我们常说的割补法,是解决此类问题的常用方法,还要注意不同的割补方式会得到不同的 几何体,做题时要仔细观察. 跟踪演练 3 四边形 ABCD 中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),绕 y 轴旋转一周,求所得旋 转体的体积. 解 ∵C(2,1),D(0,3), ∴圆锥的底面半径 r=2,高 h=2. 1 1 ∴V 圆锥= πr2h= π×22×2 3 3 8 = π. 3 ∵B(1,0),C(2,1), ∴圆台的两个底面半径 R=2,R′=1,高 h′=1. 1 ∴V 圆台= πh′(R2+R′2+RR′) 3 1 7 = π×1×(22+12+2×1)= π, 3 3 ∴V=V 圆锥+V 圆台=5π. 要点四 球的表面积和体积 例4 为( (1)设长方体的长,宽,高分别为 2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积 ) B.6πa2 D.24πa2 )

A.3πa2 C.12πa2

(2)如果三个球的半径之比是 1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( A.1 倍 B.2 倍 C.3 倍 D.4 倍 答案 (1)B (2)C

解析 (1)由于长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,则长方体的体对角线长为 ?2a?2+a2+a2

= 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线,∴2R= 6a. ∴S 球=4πR2=6πa2. (2)半径大的球的体积也大,设三个球的半径分别为 x,2x,3x,则最大球的半径为 3x,其体积为 4 4 4 π×(3x)3,其余两个球的体积这和为 πx3+ π×(2x)3, 3 3 3 4 ?4πx3+4π×?2x?3?=3. ∴ π×(3x)3÷ 3 ?3 ? 3 规律方法 计算球的表面积和体积时要注意的问题: (1)关键是计算球的半径,而计算半径的关键是寻找球心的位置.因此,在解题过程中要特别 关注题目中所揭示的球心位置,球面上的点等信息. (2)当球的半径增加为原来的 2 倍时,球的表面积增加为原来的 4 倍,球的体积增加为原来的 8 倍. (3)注意公式的“双向”应用,也就是说当知道球的表面积或体积时,也可以求出球的半径. 跟踪演练 4 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

9 A. π+12 2 C.9π+42 答案 B

9 B. π+18 2 D.36π+18

解析 由题意知该几何体上部为直径为 3 的球,下部为长、宽、高分别为 3,3,2 的长方体,∴ 3?3 4 9π 该几何体的体积为 V= π×? ?2? +3×3×2= 2 +18. 3

1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π,那么圆柱的体积等于( A.πB.2πC.4πD.8π 答案 B

)

解析 设圆柱的底面半径为 r,则圆柱的母线长为 2r,由题意得 S 圆柱侧=2πr×2r=4πr2=4π,

所以 r=1,所以 V 圆柱=πr2×2r=2πr3=2π. 2.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( A.36π,144π C.144π,36π 答案 B 4 解析 球的半径为 3,表面积 S=4π·32=36π,体积 V= π·33=36π. 3 3.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1∶2∶3,对角线的长是 2 14,则这个长方 体的体积是( ) )

B.36π,36π D.144π,144π

A.6B.12C.24D.48 答案 D 解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为 x、2x、3x,(x>0)又对角线长为 2 14, 则 x2+(2x)2+(3x)2=(2 14)2,解得 x=2. ∴三条棱长分别为 2、4、6.∴V 长方体=2×4×6=48. 4.若将气球的半径扩大到原来的 2 倍,则它的体积增大到原来的( A.2 倍 B.4 倍 C.8 倍 D.16 倍 答案 C 4 解析 设气球原来的半径为 r,体积为 V,则 V= πr3,当气球的半径扩大到原来的 2 倍后, 3 其体积变为原来的 23=8 倍. 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________. )

答案 16π-16 解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面圆半径为 2,高 为 4,故体积为 16π;正四棱柱底面边长为 2,高为 4,故体积为 16,故题中几何体的体积为 16π-16.

1 S′=S S′=0 1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 V 柱体=Sh― ― →V 台体= h(S+ SS′+S′)― ― → 3

1 V 锥体= Sh. 3 2.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算. 3. 解决球与其他几何体的切接问题, 通常先作截面, 将球与几何体的各量体现在平面图形中, 再进行相关计算.


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