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第二章 极限与连续 基础练习题(含解答)


第二章 极限与连续

基础练习题(作业)

§ 数列的极限 2.1
一、观察并写出下列数列的极限:

4 6 8 , , ? 极限为 1 3 5 7 1 1 1 1 2. 1, ? , , ? , ,? 极限为 0 2 3 4 5
1. 2,

? 2n ? 1 n为奇数 ? 2n ? 3. an ? ? n 极限为 1 2 ?1 ? n为偶数 ? 2n ?

§ 函数的极限 2.2
一、画出函数图形,并根据函数图形写出下列函数极限: 1. lim e
x ??? x

极限为零 2. lim tan x
x?

?

2

无极限 3. lim arctan x
x ???

极限为 ?

?
2

4. lim ln x ?
x?0

无极限,趋于 ??

x? 1 ? 2 x ? 1, ? 2 二、设 f ( x ) ? ? x ? x ? 3, 1 ? x? 2 ,问当 x ? 1 , x ? 2 时, f ( x) 的极限是否存在? ? x 2 ? 1, x?2 ?
? lim f ( x) ? lim( x 2 ? x ? 3) ? 3 ; lim f ( x) ? lim(2 x ? 1) ? 3 ? ? ? ?
x ?1 x ?1
x ?1 x ?1

? lim f ( x) ? 3.
x ?1

? lim f ( x) ? lim ( x 2 ? 1) ? 3 ; lim f ( x) ? lim ( x 2 ? x ? 3) ? 5 ? 3 ? ? ? ?
x?2 x?2

x?2

x?2

? lim f ( x ) 不存在。
x?2

三、设 f ? x ? ?

1 1? e
1 x

,求 x ? 0 时的左、右极限,并说明 x ? 0 时极限是否存在.

? lim f ? x ? ? lim ? ?
x ?0 x ?0

1 1? e 1
1 x 1 x

?0

x ?0

lim f ? x ? ? lim? ?
x ?0

?1

1? e

? lim f ( x ) 不存在。
x?0

四、试讨论下列函数在 x ? 0 时极限是否存在. 1.绝对值函数 f ? x ? ?| x | ,存在极限为零 2.取整函数 f ? x ? ? [ x ] 不存在

3.符号函数 f ? x ? ? sgn x 不存在

§ 无穷小量与无穷大量 2.3
一、判断对错并说明理由: 1. x sin

1 是无穷小量. x

错, 无穷小量需相对极限过程而言, 在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不 再是无穷小量。当 x ? 0 时, x sin

1 1 ? 0 ;当 x ? 1 时, x sin ? sin1 不是无穷小量。 x x

2.同一极限过程中两个无穷小量的商,未必是该极限过程中的无穷小量. 对,两个无穷小量的商是“0/0”型未定式,即可能是无穷小量,也可能是无穷大量或其它 有极限但极限不为零的变量。 3.无穷大量一定是无界变量,而无界变量未必是无穷大量. 对,无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量,但无界变量可能是个别点无限增大,变 量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量,在哪些极限过程中是无穷小量:

x?2 , x2 ? 1 x ? ?2 时,或 x ?? 时,为无穷小量; x ? 1 时,或 x ? ?1时,为无穷大量。 1 2. , k ?Z ln tan x
1.

? 1 x ? (k? ? )? 时, tan x ? ?? ,则 ln tan x ? ?? ,从而 ? 0+ 为无穷小量; 2 ln tan x 1 x ? k? ? 时, tan x ? 0? ,则 ln tan x ? ?? ,从而 ? 0? 为无穷小量; ln tan x ? 1 x ? k? ? 时, tan x ? 1,则 ln tan x ? 0 ,从而 ? ? 为无穷大量; 4 ln tan x

2 ? 三、当 x ? 0 时, x , x 和 3 x 都是无穷小量,它们是否为同阶无穷小量,如果不是它

们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁?

? lim ?
x ?0

x2 x x ? lim ? 0 ,所以当 x ? 0? 时, x 2 是 x 的高阶无穷小量。 ? x ?0 1 x x2 x( 3 x ) 2 ? lim ? 0 ,所以当 x ? 0? 时, x 2 是 3 x 的高阶无穷小量。 3 1 x x ?0?
6 x x ? lim ? 0 ,所以当 x ? 0? 时, ? x x ?0 1

? lim ?
x ?0

? lim ?
x ?0

3

x 是 3 x 的高阶无穷小量。

2 2 ? 通过比较可知,当 x ? 0 时, x , x 和 3 x 不是同阶无穷小量,其中 x 是 x 和 3 x 的

2 2 高阶无穷小量,因此 x 是三者中最高阶的无穷小量。 x 和 x 都是 3 x 的高阶无穷小量,

因此 3 x 是三者中最低阶的无穷小量。 四、利用无穷小量与极限的关系证明: lim f ( x) g ( x) ? lim f ( x) lim g ( x) .
x ? x0 x ? x0 x ? x0

证明:设 lim f (x ) ? A , lim g ( x) ? B ,则由无穷小量与极限的关系, f ( x) ? A ? ? ,
x ? x0 x ? x0

g ( x) ? B ? ? ,其中 ? , ? 为 x ? x0 时的无穷小量。
则 lim f ( x) g ( x) ? lim( A ? ? )( B ? ? ) ? lim( AB ? ? B ? ? A ? ?? ) ? AB
x ? x0 x ? x0 x ? x0

? lim f ( x) lim g ( x)
x ? x0 x ? x0

§ 极限的性质与运算法则 2.4
一、如果 lim f ( x ) ? A ? 0 ,则存在 x0 的空心邻域,使得(1) (4)成立. (2)
x ? x0

(1) f ( x) 有界; (2) f ( x) 非负; (3) f ( x) 落入其中; (4) | f ( x) ? A |? ? , ?? >0 . 二、求下列函数的极限

1. lim

3n ? (?2) n n ?? 3n ?1 ? ( ?2) n ?1

2. lim ?

? 1 1 1 ? ? ??? n ?? 1 ? 2 2?3 n?n ? 1?? ? ?

x 2 ? 3x ? 4 3. lim x ?1 x ?1

4. lim ?
x ? ?1

3 ? ? 1 ? 3 ? ? 1? x 1? x ?

5. lim x
x ???

?

4 x2 ?1 ? 2 x
?1

?

6. lim x ? 3 1 ? x3
x ??

?

?

原式 ? lim x
x ??

4x2 ?1 ? 2 x

原式 ? lim
x ??

1 x 2 ? x 3 1 ? x3 ? ( 3 1 ? x3 )2

?1 ?1 ? lim ? x ?? 4 1 4? 2 ?2 x
三、求 a , b ,使得 lim ?

? lim
x ??

1/ x 2 1? 3 1 1 ? 1 ? ( 3 3 ? 1) 2 3 x x

?

0 ?0 3

? x2 ? 1 ? ? ax ? b ? ? 0. x ?? ? x ?1 ?
2

1 b x ? ? ax ? a ? b ? x ? 1 ? ax ? ax ? bx ? b x x ?0 原式 ? lim ? lim x ?? x ?? 1 x ?1 1? x
2

必有 a ? 1(否则原式 ? ?); 同时有 a ? b ? 0(否则原式 ? 0);

x3 ? ax 2 ? x ? 4 ? b 为有限值,求 a , b. 四、若 lim x ??1 x ?1
由题意必有 lim x3 ? ax 2 ? x ? 4 ? (否则商的极限不可存在) a ? 4 0 ?
x ??1

原式 ? lim

x3 ? 4 x 2 ? x ? 4 ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 4) = lim ? b ? b ? 10 x ??1 x ??1 x ?1 x ?1

§ 极限存在性定理与两个重要极限 2.5
一、判断题: 1. lim

sin x ?1错 x ?1 x

sin( x ? 1) ? 1对 x ?1 x ?1 sin x 3. lim ?1错 x ?? x 1 4. lim x sin ? 1 对 x ?? x 1 5. lim x sin ? 1 错 x ?0 x 1 x 6. lim(1 ? ) ? e 对 x ?0 x
2. lim 7.当 x ? 0 时, sin x, arcsin x, tan x, arctan x, ln(1 ? x), e ? 1 都是 x 的等价无穷小.对
x

二、求下列函数极限: 1. lim

sin 2 x x ? 0 tan 3 x

2. lim

sin( x 2 ? 4) x ?2 x?2

sin 2 x ? 2 x ? x ? 0, tan 3x ? 3x
sin 2 x 2x 2 ? lim ? lim ? . x ?0 tan 3 x x ?0 3 x 3
3. lim

? x ? 0, x 2 ? 4) ? x 2 ? 4 sin(

x2 ? 4 ? 原式 ? lim ? 4. x ?2 x ? 2
4. lim ?

x x ?0 arctan x

? x ?1 ? ? x ?? x ? 1 ? ?

x

? x ? 0, arctan x ? x

x ?1 1 ? ? 2 ?2 ? 2 ?2 ? ? ?? 1 ? ? lim ? ?1 ? ? x ?? ? ? x ?1 ? ? x ?1 ? ? ? ?

2

? lim
x ?0

x x ? lim ? 1. x ?0 x arctan x
1 1? x

x ?1 1 ? ? 2 ?2 ? 2 ?2 ? ? 2 ? ? lim ?1 ? 1? ? ? ? ? ?e . x ?? ? ? x ?1 ? ? x ?1 ? ? ?

2

5. lim x
x ?1

? lim(1 ? x ? 1)
x ?1 ?1 x ?1

1 1? x

? x2 ? ? x ? ? x ? 6. lim ? 2 ? ? lim ? ? ? ? x ?? x ? 1 ? ? x ?? ? x ? 1 ? ? x ? 1 ?
x

x

x

? lim(1 ? x ? 1)
x ?1

?e .

?1

? 1? ? 1? ? lim ?1 ? ? ?1 ? ? x ?? ? x? ? x?

?x

?x

? ee ?1 ? 1.

7. lim

1 ln(1 ? x ? x 2 ? x3 ) x ?0 x

8. lim

sin(sin x) x ? 0 ln(1 ? x )

? ln(1 ? x ? x 2 ? x3 ) ? x ? x 2 ? x3 ( x ? 0)

? s i n ( s x n? ) i

x i n ?; lxn ( 1 x ? s ? x)

(

0)

sin(sin x) sin x 1 x ? x 2 ? x3 ? lim ? 1. ? lim ln(1 ? x ? x 2 ? x3 ) ? lim ? 1 ? lim x ?0 ln(1 ? x) x ?0 x ?0 x x ?0 x x
三、求极限 lim(

1 2 n ? 2 ??? 2 ) . n ?? n ? n ? 1 n ?n?2 n ?n?n 1? 2 ??? n 1 2 n 1? 2 ??? n ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 n ?n?n n ? n ?1 n ? n ? 2 n ?n?n n ? n ?1 1? 2 ?? ? n (1 ? n)n / 2 1 1? 2 ?? ? n (1 ? n)n / 2 1 ? lim 2 ? lim 2 ? , 且 lim 2 ? lim 2 ? . n ?? n ? n ? n n ?? n ? n ? n n ?? n ?? n ? n ? 1 2 n ? n ?1 2
2

由两面夹法则

1 2 n 1 ? 2 ??? 2 )? . n ?? n ? n ? 1 n ?n?2 n ?n?n 2 1 1 1 四、设 un ? 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ,证明数列 {u n } 的极限存在. 2 3 n lim(
2

? un ?1 ? un ?

1 ? 0,?{un }为单调递增数列. (n ? 1)2

又 ? un ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ??? ? 2 2 2 3 n 2 3 n

由单调有界定理,数列 {u n } 的极限存在. 五、设 a ? 0 , x1 ? 0 ,且有 xn ?1 ? 并求极限.

1 a ( xn ? ) , (n ? 1, 2,?) ,证明数列 { xn } 的极限存在, 2 xn

1 a ? xn ?1 ? ( xn ? ) ? a ,?? xn ? 有下界. 2 xn
又 ? xn ?1 ? xn ? 1 a 1 a ? xn 2 ( ? xn ) ? ( ) ? 0,?? xn ? 单调递减(从第二项起). 2 xn 2 xn

由单调有界定理,数列 { xn } 的极限存在

1 a 若 lim xn ? A ,有A ? ( A ? ),可解得A ? a . n ?? 2 A

§ 函数的连续性 2.6
一、填空题 1.设函数 f ? x ? ?

ln ?1 ? x ? ,若补充 f ?0 ? ? -1 可使 f ? x ? 在 x ? 0 处连续. x
x2 ?1 的第 1 类间断点,且为 可去 x 2 ? 3x ? 2
间断点.

2. x ? 1 是函数 y ?

3. x ? 0 是函数 y ?

x 的第 1 类间断点,且为 可去 间断点. tan x x x ? k? ?k ? ?1,?2?? 是函数 y ? 的第 2 类间断点,且为 无穷 间断点. tan x x ? 的第 1 类间断点,且为 可去 间断点. x ? k? ? ?k ? ?1,?2?? 是函数 y ? tan x 2
x?a x?a
2

4. x ? a 是函数 y ?

的第 1 类间断点,且为 跳跃 间断点.

5. x ? 0 是函数 y ? cos

1 的第 2 类间断点. x

二、研究下列各函数的连续性,找出其间断点,并判断其类型:

?1 ? cos x , x?0 ? 1. f ( x) ? ? x 2 ? x 2 ? 1, x?0 ?

? lim ?
x ?0

1 ? cos x 1 ? ; ? ( x 2 ? 1) ? 1 ,? x ? 0 为第一类跳跃间断点。 lim 2 x 2 x ?0
1 x
1 x

2. f ( x) ? e
1 x

? lim e ? 0; ? e ? ?? ,? x ? 0 为第二类无穷间断点。 lim ?
x ?0 x ?0

3. f ( x) ?

x2 ? x x( x ? 1) ? 2 | x | ( x ? 1) | x | ( x ? 1)( x ? 1)

? x ? 0 为第一类跳跃间断点。 ? x ? 1 为第一类可去间断点。 ? x ? ?1 为第二类无穷间断点
? sin x , x?0 ? x ? a, x?0 四、 f ( x ) ? ? ,确定 a , b 使 ? 1 ?b ? x sin , x?0 x ?

sin x 1 ? lim (b ? x sin ) ,? b ? 1. ? x ?0 x ?0 x x sin x 1 2. f ( x) 在 x ? 0 处连续 ? lim ? lim (b ? x sin ) ? a .? a ? 1. ? ? x ?0 x ?0 x x
1. f ( x) 在 x ? 0 处有极限 ? lim ? 五、 f ( x) ?

ex ? b ,确定 a , b 使同时满足 ( x ? a )( x ? 1)

(1) x ? 0 是 f ( x) 的无穷间断点,即 lim f ( x) ? lim
x ?0

ex ? b 1? b ? ? ?,? a ? 0. x ?0 ( x ? a )( x ? 1) a

x ? (2) x ? 1 是 f ( x) 的可去间断点,即 lim f ( x)存在,则必有 lim e ? b =0, b ? e. x ?1 x ?1

六、 f ( x) 在 [a, b] 上连续, f (a) ? a , f (b) ? b , 设 且 证明在区间 [a, b] 上至少存在一点 ? , 使得 f (? ) ? ? . 证明:设 F ( x) ? f ( x) ? x ,则 F ( x) 也在 [a, b] 上连续。 且有 F (a) ? f (a) ? a ? 0; F (b) ? f (b) ? b ? 0. 即 F (a) F (b) ? 0 。 若 F (a) F (b) ? 0 ,由零点定理,在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ? ,使得 f (? ) ? ? . 若 F (a) F (b) ? 0 ,则 F (a) ? 0或F (b) ? 0 ,此时区间端点是函数 F ( x) 的零点。 综上,在区间 [a, b] 上至少存在一点 ? ,使得 f (? ) ? ? .


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