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江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编:立体几何 Word版含答案


江苏省 13 市 2017 高三上学期考试数学试题分类汇编 立体几何
一、填空题 1、 (南京市、盐城市 2017 届高三第一次模拟)将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆 柱, AB ? 3 , BC ? 2 ,圆柱上底面圆心为 O , ?EFG 为下底面圆的一个内接直角三 角形,则三棱锥 O ? EFG 体积的最大值是 ▲ .
AB ? 3 cm , 2、 (南通、 泰州市 2017 届高三第一次调研测) 如图, 在正四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 中,

AA1 ? 1 cm ,则三棱锥 D1–A1BD 的体积为



cm 3 .

3、 (苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中)将斜边长为 4 的等 腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周,则所形成的几何体体积是 ▲ . 4、 (苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017 届高三上学期期末)已知圆锥的底面直 径与高都是 2 ,则该圆锥的侧面积为 5、 (苏州市 2017 届高三上学期期末调研)一个长方体的三条棱长分别为 3,8,9 ,若在该长方 体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化,则圆孔的半径为 .

6、 (无锡市 2017 届高三上学期期末)已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为 120? ,且面积 为 3? 的扇形,则该圆锥的体积等于 . 7、 (扬州市 2017 届高三上学期期末)若正四棱锥的底面边长为 2 (单位: cm ) ,侧面积为

8 (单位: cm2 ) ,则它的体积为



(单位: cm3 ).
2

8、 (扬州市 2017 届高三上学期期末)已知一个长方体的表面积为 48(单位: cm ) ,12 条 棱长度之和为 36 (单位:cm ) , 则这个长方体的体积的取值范围是 ▲ (单位:

cm3 ) .
9、 (镇江市 2017 届高三上学期期末)若圆锥底面半径为 2 ,高为 5 ,则其侧面积为

1

二、解答题 1、 (南京市、盐城市 2017 届高三第一次模拟)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

BC ? AC , D , E 分别是 AB , AC 的中点. (1)求证: B1C1 ∥平面 A 1DE ;
(2)求证:平面 A1DE ? 平面 ACC1 A1 .

2、 (南通、泰州市 2017 届高三第一次调研测)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,AC,BD 相交于点 O,点 E 为 PC 的中点,OP=OC,PA⊥PD. 求证: (1)直线 PA∥平面 BDE; (2)平面 BDE⊥平面 PCD.

3、 (苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中)如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 , 已 知 D , E 分 别 为 BC , B1C1 的 中 点 , 点 F 在 棱 CC1 上 , 且 .求证: EF ? C 1 D (1)直线 A1E ∥平面 ADC1 ; (2)直线 EF ? 平面 ADC1 .

2

4、 (苏北四市 (淮安、 宿迁、 连云港、 徐州) 2017 届高三上学期期中) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC ? ?BAD ? 90? , AD ? AP ? 4 , AB ? BC ? 2 , M 为 PC 的中点. (1)求异面直线 AP , BM 所成角的余弦值; (2)点 N 在线段 AD 上,且 AN ? ? ,若直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 求 ? 的值.

4 , 5

5、 (苏北四市 (徐州、 淮安、 连云港、 宿迁) 2017 届高三上学期期末) 如图, 在四棱锥 E ? ABCD 中,平面 EAB ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为矩形,

EA ? EB ,点 M , N 分别是 AE, CD 的中点.
求证: (1)直线 MN ∥平面 EBC ; (2)直线 EA ? 平面 EBC .

3

6、 (苏州市 2017 届高三上学期期中调研)在如图所示的四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 底面
ABCD , ?DAB ? ?ABC ? 90? , SA ? AB ? BC ? a , AD ? 3a (a ? 0) ,E 为线段 BS 上的一

个动点. (1)证明:DE 和 SC 不可能垂直; (2)当点 E 为线段 BS 的三等分点(靠近 B)时,求二面角 S ? CD ? E 的余弦值.

S

E B

A C

D

7、 (无锡市 2017 届高三上学期期末) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, AP ? 平 面 PCD ,E,F 分别为 PC,AB 的中点.求证: (1)平面 PAD ? 平面 ABCD ; (2) EF // 平面 PAD .

8、 (无锡市 2017 届高三上学期期末)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四 ABCD 边 形 为 直 角 梯 形 ,

AD // BC , ?BAD ? ?CBA ? 90? , PA ? AB ? BC ? 1, AD ? 2, E , F , G
BC , PD, PC 的中点.
4







(1)求 EF 与 DG 所成角的余弦值; (2)若 M 为 EF 上一点,N 为 DG 上一点,是否存在 MN,使得 MN⊥平面 PBC?若存在, 求出点 M,N 的坐标;若不存在,请说明理由.

9、 (扬州市 2017 届高三上学期期中)如图,在四棱锥 P – ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD,AB=1,PA=2,E 为 PB 的中点,点 F 在棱 PC 上,且 PF= ? PC。 (1)求直线 CE 与直线 PD 所成角的余弦值; (2)当直线 BF 与平面 CDE 所成的角最大时,求此时 ? 的值。

10、 (扬州市 2017 届高三上学期期末)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, 点 E、F 分别是棱 PC 和 PD 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAB; (2)若 AP=AD,且平面 PAD ? 平面 ABCD,证明:AF ? 平面 PCD.

11 、( 镇 江 市 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 在 长 方 体 A B C D ? A1 B1C1 D1 中 ,

5

AB ? BC ? EC ?

1 AA1 . 2

(1)求证: AC1 // 平面 BDE ; (2)求证: A1 E ? 平面 BDE .

参考答案 一、填空题 1、4 2、

3 2

3、

16π 3

4、 5π

5、3

6、
4 3 3

7、

8、 [16, 20]

9、 6 π

二、解答题 1、 证明: (1) 因为 D , E 分别是 AB , AC 的中点, 所以 DE // BC , 分 又 因 为 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , B1C1 // BC

...............2 , 所 以

B1C1 // DE .
. A1 D E

...............4 分 又 B1C1 ? 平 面 A , DE ? 平 面 A , 所 以 B1C1 ∥ 平 面 1 D E 1 D E ...............6 分 ...............8 分

(2)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 底面 ABC , 又 DE ? 底面 ABC ,所以 CC1 ? DE . 又 BC ? AC , DE // BC ,所以 DE ? AC , ...............10 分 又 CC1 , AC ? 平面 ACC1 A1 , 且C 所以 DE ? 平面 ACC1 A1 . ..............12 C1? A C C ? , 分 又 DE ? 平面 A 1. 1DE ,所以平面 A 1 DE ? 平面 ACC1 A 2、 【证明】 (1)连结 OE ,因为 O 为平行四边形 ABCD 对 角线的交点,所以 O 为 AC 中点. 又因为 E 为 PC 的中点, 所以 OE ∥ PA . ……………………4 分 .............14 分

6

又因为 OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , 所 以 直 线

PA







BDE . ……………………………………………………6 分
(2) 因为 OE ∥ PA ,PA ? PD , 所以 OE ? PD . ……………………………… 8分 因为 OP ? OC , E 为 PC 的中点,所以 OE ? PC . ………………………… 10 分 又因为 PD ? 平面 PCD , PC ? 平面 PCD , PC ? PD ? P , 所以 OE ? 平面 PCD . ………………………………………………………… 12 分 又因为 OE ? 平面 BDE , 所以平面 BDE ? 平面 PCD . …………………… 14 分 3、 (1)连结 ED ,因为 D , E 分别为 BC , B1C1 的中点,

所以 B1 E∥BD 且 B1E ? BD , 所以四边形 B1 BDE 是平行四边形,…………………2 分 所以 BB1∥DE 且 BB1 ? DE ,又 BB1∥AA1 且 BB1 ? AA1 , 所以 AA1∥DE 且 AA1 ? DE , 所以四边形 AA1 ED 是平行四边形,…………………4 分 所以 A1 E∥AD ,又因为 A1 E ? 平面ADC1 , AD ? 平面ADC1 , 所以直线 A1 E∥平面 ADC1 .…………………………………………………7 分 (2)在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 平面 ABC , 又 AD ? 平面 ABC ,所以 AD ? BB1 , 又 △ ABC 是正三角形,且 D 为 BC 的中点,所以 AD ? BC ,……………9 分 又 BB1 , BC ? 平面 B1 BCC1 , BB1 ? BC ? B , 所以 AD ? 平面 B1 BCC1 , 又 EF ? 平面 B1 BCC1 ,所以 AD ? EF ,……………………………………11 分 又 EF ? C1 D , C1 D, AD ? 平面 ADC1 , C1 D ? AD ? D , 所以直线 EF ? 平面 ADC1 .…………………………………………………14 分 4、 (1)因为 PA ? 平面 ABCD ,且 AB, AD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AB , PA ? AD ,
7

又因为 ?BAD ? 90? ,所以 PA, AB, AD 两两互相垂直. 分别以 AB, AD, AP 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,

则由 AD ? 2 AB ? 2 BC ? 4 , PA ? 4 可得 A(0,0,0) , B(2,0,0) , C (2, 2,0) , D(0, 4,0) , P(0,0, 4) , 又因为 M 为 PC 的中点,所以 M (1,1,2) . 所以 BM ? (?1,1,2) , AP ? (0,0,4) ,…………2 分 ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? AP ? BM ? ???? ? 所以 cos? AP, BM ? ? ??? | AP || BM |

???? ?

??? ?

?

0 ? (?1) ? 0 ? 1 ? 4 ? 2 4? 6

?

6 , 3

6 .…………………………5 分 3 ???? ? (2)因为 AN ? ? ,所以 N (0, ? ,0) (0 ≤ ? ≤ 4) ,则 MN ? (?1, ? ? 1, ?2) , ??? ? ??? ? BC ? (0,2,0) , PB ? (2,0, ?4) , 设平面 PBC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ?2 y ? 0, ? m ? BC ? 0, 则 ? ??? 即? 令 x ? 2 ,解得 y ? 0 , z ?1, ? 2 x ? 4 z ? 0. m ? PD ? 0, ? ? ? 所以 m ? (2,0,1) 是平面 PBC 的一个法向量.……………………………7 分 4 因为直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 , 5 ???? ? ???? ? ?2 ? 2 | MN ? m | 4 ? 所以 | cos? MN , m? |? ???? ? ? , 2 | MN || m | 5 ? (? ? 1) ? 5 5
所以异面直线 AP , BM 所成角的余弦值为 解得 ? ? 1??0,4? , 所以 ? 的值为 1 .……………………………………………………………10 分 5、 (1)取 BE 中点 F ,连结 CF , MF , 1 又 M 是 AE 的中点,所以 MF ∥ ? AB , 2 又 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点, 1 所以 NC ∥ ? NC , ? AB ,所以 MF ∥ 2 所以四边形 MNCF 是平行四边形,…4 分 所以 MN∥CF ,

8

又 MN ? 平面 EBC , CF ? 平面 EBC , 所以 MN ∥平面 EBC .………………………………………………………7 分 (2)在矩形 ABCD 中, BC ? AB , 又平面 EAB ? 平面 ABCD ,平面 ABCD ? 平面 EAB ? AB , BC ? 平面 ABCD , 所以 BC ? 平面 EAB ,………………………………………………………10 分 又 EA ? 平面 EAB ,所以 BC ? EA , 又 EA ? EB , BC ? EB ? B , EB , BC ? 平面 EBC , 所以 EA ? 平面 EBC .………………………………………………………14 分 6、解: (1)∵ SA ? 底面 ABCD , ?DAB ? 90? ,∴AB、AD、AS 两两垂直. 以 A 为原点,AB、AD、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(如 图) , . . . . . . . . . . . . . . .1 分

则 S (0,0, a) , C (a, a,0) , D(0,3a,0) (a ? 0) , ∵ SA ? AB ? a 且 SA ? AB ,∴设 E ( x,0, a ? x) 其中 0 ≤ x ≤ a , ∴ DE ? ( x, ?3a, a ? x) , SC ? (a, a, ?a) , . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 ??? ? ??? ? 假设 DE 和 SC 垂直,则 DE ? SC ? 0 , 即 ax ? 3a 2 ? a 2 ? ax ? 2ax ? 4a 2 ? 0 ,解得 x ? 2a , 这与 0 ≤ x ≤ a 矛盾,假设不成立,所以 DE 和 SC 不可能垂直. . . . . . . . .4 分 (2)∵E 为线段 BS 的三等分点(靠近 B) ,∴ E ( a,0, a) . 设平面 SCD 的一个法向量是 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 CDE 的一个法向量是 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , ?? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ?n1 ? CD ? 0 ∵ CD ? (?a,2a,0) , SD ? (0,3a, ?a) ,∴ ? ?? , ? ??? ? n ? SD ? 0 ? ? 1 ? ? ? ??ax1 ? 2ay1 ? 0 ? x1 ? 2 y1 即? ,即 ? ,取 n1 ? (2,1,3) , . . . . . . . . . . . .6 分 ?3ay1 ? az1 ? 0 ? z1 ? 3 y1 ?? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 2 ?n2 ? CD ? 0 1 ∵ CD ? (?a,2a,0) , DE ? ( a, ?3a, a) ,∴ ? ?? , ? ???? 3 3 ? ?n2 ? DE ? 0

??? ?

??? ?

? ? ?

2 3

1 3

?? ?

? ? ax2 ? 2ay2 ? 0 ?? ? ? x2 ? 2 y2 ? 即 ?2 ,即 ? ,取 n2 ? (2,1,5) , . . . . . . . . . . . .8 分 1 ax2 ? 3ay2 ? az2 ? 0 ? z 2 ? 5 y2 ? 3 ?3 设二面角 S ? CD ? E 的平面角大小为 ? ,由图可知 ? 为锐角,
9

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? n1 ? n2 4 ? 1 ? 15 2 105 ? ? ?? ? ? ∴ cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ? , ? 21 | n1 | ? | n2 | 14 ? 30
即二面角 S-CD-E 的余弦值为 7、

2 105 . 21

. . . . . . . . . . . .10 分

8、

10

9、解: (1)以 A 为坐标原点, AD, AB, AP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则 1 C (1,1,0) 、 P(0,0, 2) 、 D(1,0,0) 、 E (0, ,1) , ………2 分 2 从而 CE ? (?1, ? ,1), PD ? (1, 0, ?2). 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CE ? PD ?1 ? 2 2 ? ??? ? ? ∴ cos ? CE, PD ?? ??? ?? 5 5 | CE | ? | PD | 1 1? ?1 ? 1? 4 4 2 5 即 CE 与 PD 所成角的余弦值为 . ………4 分 5 ??? ? ??? ? 2 ( 2 ) 点 F 在 棱 PC 上 , 且 PF ? ? PC , 所 以 PF ? ? PC , 于 是 F (? , ? , ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 BF ? (?, ? ? 1, 2 ? 2? ) ,又 CD ? (0, ?1,0) , CE ? (?1, ? ,1) . 2 ? 设 n ? ( x, y, z) 为平面 CDE 的法向量,则

??? ?

1

??? ?

? 2, )

? ??? ? ?? y ? 0 ? ? ?n ? CD ? 0 ,可得 ? ,取 x ? 1 ,则 n ? (1,0,1) ? ? ? ??? ? 1 ?x ? y ? z ? 0 ? ? ?n ? CE ? 0 ? 2 CDE 设直线 BF 与平面 所成的角为 ? ,则 ??? ? ? 2?? 2?? sin ? ?| cos ? BF , n ?|? ? 2 2 2 ? ? (? ? 1) ? (2 ? 2? ) ? 2 2 6? 2 ? 10? ? 5

………6 分

………8 分

11

令 t ? 2 ? ? ,则 t ? [1, 2] ,所以 sin ? ?

t 2 6t ? 14t ? 9
2

?

2 ? 2

1 9 14 ? ?6 t2 t

3 10 1 7 9 9 14 5 当 ? ,即 t ? ? [1,2] 时, 2 ? ? 6 有最小值 ,此时 sin ? 取得最大值为 ,即 BF 10 t 9 7 t t 9 9 5 5 与平面 CDE 所成的角最大,此时 ? ? 2 ? t ? 2 ? ? ,即 ? 的值为 . ……10 分 7 7 7

2 2 tan B 3 ?3 = 10、 tan 2 B ? . 1 - tan 2 B 1 ? ( 1 )2 4 3
中 , AB∥CD , 所 以

---------------------14 分

16. (1) 证明: 因为点 E、 F 分别是棱 PC 和 PD 的中点, 所以 EF∥CD, 又在矩形 ABCD EF∥AB ,

---------------------3 分 又 AB ? 面 PAB,EF ? 面 PAB,所以 EF∥平面 PAB. ---------------------6 分

⑵证明: 在矩形 ABCD 中, AD⊥CD, 又平面 PAD ? 平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, CD

?



ABCD







CD

?





PAD



---------------------10 分 又 AF ? 面 PAD,所以 CD ? AF.① 因为 PA=AD 且 F 是 PD 的中点,所以 AF ? PD,② 由①②及 PD ? 面 PCD,CD ? 面 PCD,PD∩CD=D,所以 AF ? 平面 PCD. -----------------14 分 11、证明: (1)连结 AC 交 BD 于点 O ,连结 OE . 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 长方形,点 O 为 AC 的中点,

……2 分

AA1 ∥ CC1 且 AA1 ? CC1 ,由 EC ?

1 1 AA1 ,则 EC ? CC1 , 2 2
……4 分 ……6 分

即点 E 为 CC1 的中点,于是在 △CAC1 中, AC1 ∥ OE . 又因为 OE ? 平面 BDE, AC1 ? / 平面 BDE.所以 AC1 ∥平面 BDE. (2)连结 B1E.设 AB=a,则在△BB1E 中, BE=B1E= 2a ,BB1=2a.所以 BE 2 ? B1E 2 ? BB12 ,所以 B1E?BE. 由 ABCD-A1B1C1D1 为长方体,则 A1B1?平面 BB1C1C, BE ? 平面 BB1C1C, 所以 A1B1?BE.

……8 分

……10 分

因 B1E ? A1B1= B1,B1E?平面 A1B1E,A1B1?平面 A1B1E,则 BE?平面 A1B1E.……12 分 又因为 A1E?平面 A1B1E, 所以 A1E?BE.
12

同理 A1E?DE.又因为 BE ?平面 BDE,DE ?平面 BDE, 所以 A1E?平面 BDE.

……14 分

13


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