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2015年惠州二模(文科数学)试题已排版


珠海北大附校 2015 届高三 11 月月考
数 学 试 题 (文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
2 1.设集合 A ? {?3, ? 2, ? 1,0,1} ,集合 B ? { x x ? 4 ? 0} ,则 A

B= (

) D. ?

A. {?2}

B. {2}

C. {?2, 2} )

2.复数 z ? i ? (1 ? i) ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ( )
2

D.第四象限

2 3.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0 ,则 ? p 为

A. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

B. ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0 D. ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

4.已知向量 AB ? (3,7) , BC ? (?2,3) ,则 ? A. ? ? , 5?

1 AC ? ( 2

)

? 1 ? ? 2 ?

B. ? , 5?

?1 ? ?2 ?

C. ? ? ,-5 ? ) C. y ? ?

? 1 ? 2

? ?

D. ? ,-5 ?

?1 ?2

? ?

5.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( A. y ? ln( x ? 1) B. y ?| x ? 1|

?1? ? ?2?

x

D. y ? sin x ? 2 x

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?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 6.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A. ? 6 B. 2 C. 3

)

D. 4

7.已知函数 f ( x) ? Asin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 图象如图所示,则函数 y ? f ( x) 的表达式是( A. f ( x) ? 2sin(2 x ? C. f ( x) ? 2sin(2 x ? )

?
2

) 的部分

?
3

)

B. f ( x) ? 2sin(2 x ? D. f ( x) ? 2sin( x ?

?
3

)

2? ) 3

?
12

)

8.方程 x2 ? x ? n ? 0 ( n ?[0,1] ) 有实根的概率为 ( A.

) D. ) D. 8

1 2

B.

1 3

C.

1 4

3 4

9.圆心在 (1, ? 2) ,半径为 2 5 的圆在 x 轴上截得的弦长等于 ( A. 4 3 B. 6 C. 6 2

10.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表. 那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关 系用取整函数 y ? [ x] ( [ x ] 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 A. y ? [ ( )

x ] 10

B. y ? [

x?3 ] 10

C. y ? [

x?4 ] 10

D. y ? [

x?5 ] 10

二、填空题: (本大题共 5 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.抛物线 x ? 4 y ? 0 的准线方程是
2

.

12.在等比数列 {an } 中, a5 ? 4 , a7 ? 8 ,则 a9 ? _________. 13.在△ ABC 中, ?A ?

? , BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? _________. 3

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(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题 的得分。 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t (t ?y ? 4 ? t

为参数).以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方 程为 ? ? 4 2 sin ? ? ?

? ?

?? ? ,则直线 l 和曲线 C 的公共点有_______ 个. 4? C

15.(几何证明选做题)如图,在半径为 3 的圆 O 中,直径 AB 与 弦 CD 垂直,垂足为 E ( E 在 A 、 O 之间). 若 CE ? 5 , 则 AE ? ________.

A

E D

O

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sin x ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(1)若 a ? b ,求 x 的值; (2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的最大值.

17.(本小题满分 12 分) 移动公司在国庆期间推出 4G 套餐,对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠,优惠方 案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户可获得优惠 500 元,选 择套餐三的客户可获得优惠 300 元. 国庆节当天参与 活动的人数统计结果如图所示,现将频率视为概率. (1) 求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率; (2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中 选出 6 人,再从该 6 人中随机选出两人,求 这两人获得相等优惠金额的概率.
套餐1 套餐 2 套餐3
套餐种类 入网人数

150 100 50

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18.(本小题满分 14 分) 如图,菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC

BD ? O .将菱形 ABCD 沿对

角线 AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 . (1)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (2)求 三 棱 锥 M ? A B D 的体积. B A O D C O D B M C

A

19.(本小题满分 14 分)

已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且满足 a1 ? (1)求证:数列 { (2)求 Sn 和 an . 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 过点 M (1,

1 * ,an ? ?2Sn ? Sn?1 ( n ? 2 且 n ? N ). 2

1 } 是等差数列; Sn

6 ) ,点 F (? 2,0) 是椭圆的左焦点,点 P 、 Q 是椭圆 C 上 2

的两个动点,且 PF 、 MF 、 QF 成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A . 21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? 处的切线的斜率为 0 . (1)求 b 的值; (2)若存在 x ??1, ?? ? ,使得 f ? x ? ?

1? a 2 x ? bx ,a ? R 且 a ? 1 . 曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 2

a ,求 a 的取值范围. a ?1

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