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河南省郑州市2016届高三数学第三次模拟考试试题 文


郑州市 2016 年高中毕业年级第三次质量预测 文科数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选 择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应 首先阅读答题卡上的文字信息,然 后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有一个是符合题

目要求的. 1.设复数 A.1

i-2 =a+bi(a,b∈R) ,则 a+b= 1+i
B.2
x

C.-1

D.-2

2.命题“存在 x0 ∈R, 2 0 ≤0”的否定是 A.不存在 x0 ∈R, 2 0 >0 C.对任意的 x0 ∈R, 2 0 ≤0 3.已知集合 M={x|y= lg N= A. (0,1) B.[1,+∞) C.[2,+∞) D. (-∞,0]∪[1,+∞) 4.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数,依次记为 m 和 n,则 m>n 的概率为
x x

B.存在 x0 ∈R, 2 0 ≥0 D.对任意的 x0 ∈R, 2 0 >0 +3},则(CRM)∩
x

x

1- x 2 },N={y|y= x +2 x x

7 10 3 C. 5
A.

B.

3 10 2 D. 5

5.一空间几何体的 三视图如图所示,则该几何体的体积 为 A.2π +2 3 B.4π +2 3

C.2π +

2 3 3

D.4π +

2 3 3

6.已知抛物线 y= ax (a>0)的焦点恰好为双曲线 y -x =2 的一个焦 点,则 a 的值为 A.4 C.8 B.

2

2

2

1 4 1 D. 8
1

7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的

值是 A.1007 C.2016

B.2015 D.3024

8.在数列{ an }中,a1=2, an+1 = an +ln(1+ 则 an = A.2+lnn C.2+nlnn B.2+(n-1)lnn D.1+n+lnn

1 ) , n

? ? x+y-1≤0, ? 1 1 ≥0, 表示的区域 Q,不等式 ( x- ) 2+y 2 ≤ 表示的区域为 ? ,向 9.若不等式组 ? x-y+1 2 4 ? 1 ? y+ ≥0 ? 2
Ω 区域均匀随机撤 360 颗芝麻,则落在区域 ? 中芝麻数约为 A.114 B.10 C.150 D.50 10.已知球的直径 CS=4,A,B 在球面上,AB=2,∠CSA=∠CSB=45°,则棱锥 S—ABC 的体积为 A.

3 3

B.

2 3 3

C.

4 3 3

D.

5 3 3

11.若将函数 y=2sin(3x+ ? )的图象向右平移 称,则| ? |的最小值是 A.

? ? 个单位后得到的图象关于点( ,0)对 4 3
D.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

3? 4

?2 x-1, ( x≤0) 1 12.已知函数 f(x)= ? 把函数 g(x)=f(x)- x 的偶数零点按从小到大的顺序 2 ? f ( x-2)+1, ( x>0),
排列成一个数列,该数列的前 10 项的和 S10 等于 A.45 B.55 C.90 D.110 第Ⅱ卷 本卷包含必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题。每个试题考生都必须做答.第 22—24 题为 选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 如右图是甲、 乙两名篮球运动员某赛季一些场次 得分的茎叶图, 茎表示得分的十位数, 据图可知 甲运动员得分的中位数 和乙运动负得分的众数 ... .. 之和为______________。 14.已知 cos(α - sin(α +

7? )=___________. 6 1 1 n 2 15.若关于 x 的不等式 x + x - ( ) ≥0,当 x∈(-∞,λ ]时对任意 n∈N* 恒成立, 2 2
则实数λ 的取值范围是____________.
2

? 4 3 ,则 )+sinα = 5 6

16.函数 f(x)=xlnx-

a 2 x -x+1 有两个极值点,则 a 的取值范围为__________. 2

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=2 sin x ? cos 值. (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= 2 ,f(A)
2

?
2

+ cos x sin ? -sinx (0< ? <π )在 x=π 处取得最小



3 ,求角 C. 2

18. (本小题满分 12 分) 有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩后,得到 如下的列联表. 优秀 甲班 乙班 合计 105 已 知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 非优秀 总计

2 . 7

(Ⅰ)请完成上面的列联表; (Ⅱ)根据列联表的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系” ; (Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序 号.试求抽到 6 号或 10 号的概率. 参考数据:

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角 三角形,∠BAC=90°,且 AB=AA1,E、F 分别为 BC、 CC1 的中点. (Ⅰ)求证:B1E⊥平面 AEF; (Ⅱ)当 AB=2 时,求点 E 到平面 B1AF 的距离. 20. (本小题满分 12 分) 已知 F1、F2 分别为椭圆 C1:

y 2 x2 + 2= 1(a>b>0)的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 C2: x 2=4 y 的 2 a b
5 . 3
3

焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且|MF1|= (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)已知点 P(1,3)和圆 O: x2+y 2=b2 ,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A,B,在 线段 AB 取一点 Q,满足: AP =-λ PB , AQ =λ QB (λ ≠0 且λ ≠ ? 1) ,探究是否存在一 条直线使得点 Q 总在该直线上,若存在求出该直线方程. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=x-

uuu r

uur

uuu r

uuu r

1 -2mlnx(m∈R) . x

(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)有两个极值是 x1,x2,过点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )的直线 的斜率为 k,问: 是否存在 m,使得 k=2-2m?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题记分。作答时,用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF ∥AB. 证明: (Ⅰ) CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知 直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0) , (

2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程为 2 3

? ? x=2+2 cos ? , (θ 为参数) . ? ? ? y=- 3+2sin ? ,
(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=| 3x-1|+ax+3. (Ⅰ)若 a=1,解不等式 f(x)≤4; (Ⅱ)若函数 f(x)有最小值,求 a 的取值范围.

2016 年高中毕业年级第三次质量预测 数学(文科) 参考答案
4

第Ⅰ卷 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 C 6 D 7 D 第Ⅱ卷 二、填空题: 13.64 三、解答题: 17. (Ⅰ) f ( x) ? 2sin x ? 14. 8 A 9 A 10 C 11 A 12 C

4 5

15. ? ??, ?1? 16.(0, )

1 e

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x, 2
———————2 分

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? ),

因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,———————4 分 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? (Ⅱ)因为 f ( A) ? 又因为 a ? 1, b ? 也就是 sin B ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x, —————6 分

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? . ———————8 分 6 2 2
a b ? , sin A sin B

2 , 所以由正弦定高考,得

b sin A 1 2 , ? 2? ? a 2 2

3? . ——10 分 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? ? . ————12 分 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 6 4 12 4 6 4 12 4
因为 b ? a ,所以 B ?

?

或B ?

18.解 (1) 优秀 甲班 乙班 合计 (2)根据列联表中的数据,得到
2

非优秀 45 30 75

总计 55 50 105

10 20 30

k=

105×?10×30-20×45? ≈6.109>3.841, 55×50×30×75

———————5 分 ———————7 分

因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”.

(3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y),则所有 的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、?、(6,6),共 36 个.
5

事件 A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共 8 个 8 2 ∴P(A)= = . 36 9 ———————12 分

19.(Ⅰ)证明:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,不妨设 | AB |?| AA1 | =a ,
∵△ABC 为等腰直角三角形, ?BAC ? 90? ,

∴ BC ?| B1C1 |? 2a ,

∵E、F 分别为 BC、 CC1 的中点,
? 2 ? 3 2 2 , ∴| B1 E | ?| BE | ? | BB1 | ? ? ? 2 a? ? ?a ? 2a ? ?
2 2 2 2

? 2 ? 1 2 3 2 , | EF | ?| EC | ? | CF | ? ? ? 2 a? ? ? 4a ? 4a ? ?
2 2 2

2

1 9 | B1F |2 ?| B1C1 |2 ? | C1F |2 ? 2a2 ? a2 ? a2 , 4 4 3 3 9 有 | B1E |2 ? | EF |2 ? a2 ? a2 ? a2 ?| B1F |2 , 2 4 4
∴B1 E ? EF ,
又∵AE ? BC, B1B ? 平面 ABC,∴B1E ? AE , AE ? EF ? E ,

∴B1 E ? 平面 AEF.
(Ⅱ)解:由条件知,

??????????????????????(6 分)

| AE |? 2, | B1E |? 6, | EF |? 3, | AF |? 5 , | AB1 |? 2 2, | B1F |? 3 ,
??????????????????????(8 分)

1 1 6 | AE | ?| EF |? ? 2 ? 3 ? , 2 2 2 8?5?9 1 3 ? , sin ?B1 AF ? 在 △AFB1 中, cos ?B1 AF ? , 2? 2 2 ? 5 10 10

∵AE ? EF ,∴S△AEF ?

∴S△AB1F ?

1 1 3 | AB1 | ?| AF | sin ?B1 AF ? ? 2 2 ? 5 ? ?3, 2 2 10

??????(10 分)

设点 E 到平面 B1 AF 的距离为 d ,则 d ?S△AB1F ?| B1E | ?S△AEF ,
6? 3 6 2 ?1 ,

所以 d ?

即点 E 到平面 B1 AF 的距离为 1.

??????????????????(12 分)
6

20.(I)由 C 2 : x 2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0, y0 )(x0 ? 0) ,因 M 在抛物线 C 2 上,故
2 x0 ? 4 y0 ①

又 MF1 ?

5 5 ,则 y 0 ? 1 ? ②, 3 3

由①②解得 x0 ? ? 由椭圆定义可得

2 6 2 , F2 (0,?1) ,点 M 在椭圆上, , y0 ? , 椭圆 C1 的 两个焦点 F1 (0,1) 3 3

2a ? MF1 ? MF2 ?

5 2 6 2 ? (? ? 0)2 ? ( ? 1)2 ? 4 3 3 3

∴ a ? 2, 又 c ? 1 ,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,

椭圆 C1 的方程为:

y2 x2 ? ? 1. 4 3

?????5 分

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), Q( x, y) , 由 AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x2 ? 1, y 2 ? 3) , 即?
? ?

? x1 ? ?x2 ? 1 ? ? ? y1 ? ?y 2 ? 3(1 ? ? )
? ?

由 AQ ? ? QB 可得: ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) , 即?

? x1 ? ?x2 ? (1 ? ? ) x ? y1 ? ?y 2 ? (1 ? ? ) y

2 2 ⑤×⑦得: x1 ? ?2 x2 ? (1 ? ?2 ) x ,
2 2 ⑥×⑧得: y1 ? ? 2 y2 ? 3 y(1 ? ? 2 ) ,

2 2 2 两式相加得 ( x1 ? y12 ) ? ?2 ( x2 ? y2 ) ? (1 ? ?2 )(x ? 3 y) ,

又点 A,B 在圆 x 2 ? y 2 ? 3 上,且 ? ? ?1 , 所以 x1 ? y1 ? 3 ,x2 ? y2 ? 3 , 即 x ? 3y ? 3 , 所以点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上.
2 2 2 2

??12



的定义域为(0, +?). --------1分 21. (Ⅰ) f ( x)
由已知,f ? ( x) ? 1 ? 1 2m x2 ? 2mx ? 1 ? . --------2分 x x2 x2

令g(x) ? x2 ? 2mx ? 1,?=4m2 ? 4,
1? 当-1 ? m ? 1时,则? ? 0,g(x) ? 0恒成立,即f ? (x) ? 0恒成立..
7

? f ( x) 在(0,+?)上单调递增.--------------------------------------3 分

2?

当m ? ?1时,则? ? 0,

g(x)=0的两个根为m ? m2 ? 1, ? m ? ?1 ? m ? m2 ? 1 ? 0.
? f ( x)在(0,+?)上单调递增.------------------------------------5 分

3?

当m ? 1时,则? ? 0,

g(x)=0的两个根为m ? m2 ? 1. ? m ? 1 ? m ? m2 ? 1 ? 0.------------------------------------6 分
? f ( x) 在(0,m ? m2 ? 1)上单调递增,在(m ? m2 ? 1,m ? m2 ? 1)上单调递减,在(m+ m2 ? 1, +?)上单调递增,
综上,当m ? 1时,f (x) 在(0,+?)上单调递增,

当m ? 1时,f(x) 在(0,m ? m2 ? 1)上单调递增,在(m ? m2 ? 1,m ? m2 ? 1)上单调递减,

在(m+ m2 ? 1, +?)上单调递增,

(Ⅱ) 由已知,f(x) 有两个极值点x1,x2 ,则m ? 1,

则x1 +x2 =2m, x1 x2 ? 1.
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k= ? x1 ? x2 x1 ?

----------------------------------------------7



1 1 1 1 ? 2m ln x1 ? x2 ? ? 2m ln x2 x1 ? x2 ? ? ? 2m ln x1 ? 2m ln x2 x1 x2 x1 x2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 -2m ln x1 +2m ln x2 x1 x2 ln x1 ? ln x2 -------------8 分 ? 2-2m , x1 ? x2 x1 ? x2

( x1 ? x2 ) ? ?

? 若存在m适合题意,则

ln x1 ? ln x2 =1.-----------------------------------------9 分 x1 ? x2

即 ln x1 ? ln x2 =x1 ? x2成立 ? ln
? - ln x2 ? ln x2 =

1 1 ? ln x2 = ? x2成立, x2 x2

1 1 ? x2成立 ? x2 ? 2 ln x2 =0成立. x2 x2

令h(t ) ? t ?

1 ? 2 ln t(t ? 1),只须h(t )在(1, +?)上有零点.----------------------------10 分 t

由( 1)可知,h(t ) 在(0, +?)上递增,

h(t ) ? h(1) ? 0. 即h(t ) 在( 1, +?)上没有零点, ? 矛盾.故m不存在. ----------------------------------------

--------12 分 22.证明:(Ⅰ)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.
8

证明 (1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DE∥BC.又已知 CF∥AB,故四边形 BCFD 是平行四边 形,所以 CF=BD=AD.而 CF∥AD,连结 AF,所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC. —————5 分 (2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD.所以∠BGD=∠BDG. 由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC, 故△BCD∽△GBD. ———————10 分

23.(1)由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(0,

2 3 ), 3

又 P 为线段 MN 的中点,从而点 P 的平面直角坐标为(1,

3 ), 3

故直线 OP 的直角坐标方程为 y ?

3 x, 3

———————5 分

(2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(

2 3 ? , ), 3 2

所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x ? 3 y ? 2 3 ? 0, 又圆 C 的圆心坐标为(2,? 3),半径 r=2, 圆心到直线 l 的距离 d ?

2 3 ?3 3 ?2 3 3?9

?

3 ? r. 2
———————10 分

故直线 l 与圆 C 相交. 24. (1)a ? 1时,f ( x) ? 3 x ? 1 ? x ? 3.

1 1 1 时,f ( x) ? 4 ?? 3 x ? 1 ? x ? 3 ? 4,解得 ? x ? , 3 3 2 1 1 当x ? 时,f ( x) ? 4 ?? ?3 x ? 1 ? x ? 3 ? 4,解得0 ? x ? , 3 3 1 综上,原不等式的解集为[0, ]. --------------5分 2 当x ?

? 1 (3 ? a)x ? 2, x ? , ? ? 3 (2)f ( x) ? 3 x ? 1 ? ax ? 3 ? ? ?(a ? 3)x ? 4, x ? 1 , ? ? 3

9

?a ? 3 ? 0, ? 函数f ( x) 有最小值的充要条件为 ? ? ?3 ? a ? 3. ?a ? 3 ? 0

综上,所求a的取值范围为[-3,3]. --------------10分

10


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