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东北育才学校、省实验中学、大连二十高 三校2013-2014学年高一下学期期末联考 数学试题 Word版含答案


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考试时间:120 分钟

试题分数:150 分

命题人:孙咏霞

校对人:王琪

卷Ⅰ
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分

,每小题有 4 个选项,其中有且仅 有一个是正确的,把正确的选项填在答题卡中) 1.与角-

? 终边相同的角是( 6 5? ? A. B. 6 3

) C.

11? 6

D.

2? 3


2.某扇形的半径为 1cm,它的弧长为 2cm,那么该扇形的圆心角为( A.2° B. 4rad C. 4° D. 2rad 3.已知平面向量 a =(3,1) , b =(x,-3) ,且 a ⊥ b ,则 x 等于(



A.3 B.1 C.-1 D.-3 4.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了 解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人, 则样本容量为( ) A.7 B.25 C.15 D.35 5.在[0,2 ? ]内,满足 sinx>cosx 的 x 的取值范围是( ) A.(

? 3? , ) 4 4

B.(

? 5? , ) 4 4

C.(

3? 5? , ) 4 4

D.( )

5? 7? , ) 4 4

6.如图 1,在正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF ? ( A. 0 B. BE C. AD D. CF

图1 图2 7.某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达地区, 时速频率分布直方图如图 2 所示, 则时速超
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过 60km/h 的汽车数量为( ) A.38 辆 B.28 辆 8.已知 MP,OM,AT 分别为角 ? ( A. MP ? OM ? AT D. OM ? AT ? MP

C.10 辆

D.5 辆

?
4

?? ?
B.

) 的正弦线、余弦线、正切线,则一定有( ) 2 OM ? MP ? AT C. AT ? OM ? MP

?

9.利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则使关于 x 的一元二次方程 x -x+a=0 无实根 的概率为( ) A.

2

1 2

B.

1 4

C.

3 4

D.

2 3

10. 已 知 平 面 向 量 a = ( 2 , -1 ) , b = ( 1 , 1 ) , c = ( -5 , 1 ) , 若 (a ? kb) ∥ c , 则实数 k 的值为( A. 2 B. )

1 11 11 C. D. ? 2 4 4 x ?x π ? 11.要得到 y=sin? + ?的图象,需将函数 y=sin 的图象至少向左平移( 2 ?2 3 ? 2? ? 3? ? A. B. C. D. 3 4 3 4
12. 阅 读 程 序 框 图 , 当 输 入 x 的 值 为 -25 时 , 输 出 x 的 值 为 ( A . -1 B. 1 C. 3 D. 9 )

)个单位.

卷Ⅱ
二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 已知 a ? 1, b ? 2, ? a, b ?? 60 , 则 2a ? b ? π? 1 14. 若 α 为锐角,且 sin? ?α-6?=3,则 sinα 的值为________. 15. 在 △ ABC 中 , 已 知 ∠ BAC=60 °, ∠ ABC=45 °, BC= 3 , 则 AC= 16. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f(x) 是 最 小 正 周 期 为 ? 的 周 期 函 数 , 且 当 x ? [ 0 ,

?
2

]时 ,

f ( x)? s i nx, 则 f (

5? ) 的值是 3

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已 知 f (? ) ? (1)化 简 f (? ) ;

s i n( ? ? ? ) co s ? ( 2? ? ) t ? an ?(? ? ? tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )

)

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(2)若 ? 是 第 三 象 限 角 , 且 cos( ? ?

3? 1 ) = , 求 f (? ) 的 值 . 2 5

18. (本小题满分 12 分)如 图 ,某 中 学 甲 、乙 两 班 共 有 25 名 学 生 报 名 参 加 了 一 项 测 试 .这 25 位 学 生 的 考 分 编 成 的 茎 叶 图 ,其 中 有 一 个 数 据 因 电 脑 操 作 员 不 小 心 删掉了(这里暂用 x 来表示) ,但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同. (1)求 这 两 个 班 学 生 成 绩 的 中 位 数 及 x 的 值 ; (2)如 果 将 这 些 成 绩 分 为 “ 优 秀 ” ( 得 分 在 175 分 以 上 , 包 括 175 分 ) 和 “ 过 关” ,若 学 校 再 从 这 两 个 班 获 得“ 优 秀 ”成 绩 的 考 生 中 选 出 3 名 代 表 学 校 参 加 比赛,求这 3 人中甲班至多有一人入选的概率.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2sin cos + 3cos . 4 4 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值;

x

x

x

? π? (2)令 g(x)=f ?x+ ?,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. 3? ?

20.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,中线长 AM=2. → → → → → (1)若OA=-2OM,求证:OA+OB+OC=0; → → → (2)若 P 为中线 AM 上的一个动点,求PA· (PB+PC)的最小值.

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21. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中 , a , b , c 分 别 为 内 角 A , B , C 的 对 边 , 且 2asinA= ( 2b+c ) sinB+ ( 2c+b ) sinC . (1)求 A 的 大 小 ; (2)求 sinB+sinC 的 最 大 值 .

22. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)图象的一条对 π 称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ ; (2) 求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象.

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高一数学下学期期末考试答案:

二、填空题: 13. 2 3 14.

3?2 2 6

15.

2

16.

3 2

三、解答题: 17. 解 :
( 1)

f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) sin ? cos ? (? tan ? ) ? ? ? cos ? ? tan(?? ? ? )sin(?? ? ? ) tan ? sin ?
...............5 分

( 2 ) ∵ α 为 第 三 象 限 角 , 且 cos(? ?

3? 1 ) ? ? sin ? ? ....................................2 分 2 5

? sin ? ? ?

1 5
2

2 6 ? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 5


.

...........................................................2 分

f (? ) ? ? cos ? ?

2 6 5

............................................................1 分

18. 解( Ⅰ )甲 班 学 生 成 绩 的 中 位 数 为

1 (154+160) = 157.....................................2 分 2

乙 班 学 生 成 绩 的 中 位 数 正 好 是 150+x=157 ,故 x=7 ;........................................2 分 (Ⅱ)用 A 表示事件“甲班至多有 1 人入选”. 设 甲 班 两 位 优 生 为 A, B, 乙 班 三 位 优 生 为 1, 2, 3. 则 从 5 人 中 选 出 3 人 的 所 有 方 法 种 数 为 : ( A, B, 1) , ( A, B, 2) , ( A, B, 3 ) , ( A, 1, 2 ) , ( A, 1 , 3 ) , ( A, 2 , 3 ) , ( B, 1 , 2 ) , ( B , 1 , 3 ) ,( B , 2 , 3 ) ,( 1 , 2 , 3 ) 共 10 种 情 况 , ..........................3 分 其 中 至 多 1 名 甲 班 同 学 的 情 况 共 ( A , 1 , 2 ),( A , 1 , 3 ),( A , 2 , 3 ) , ( B , 1 , 2 ) , ( B , 1 , 3 ) , ( B , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 3 ) 7 种 ......................3 分
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由 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 可 得 P( A) = 19. (1)

x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) .......................................................2 分 2 2 2 3 2? ∴f(x)的最小正周期 T= =4 ? ......................................................................1 分 1 2 x ? 当 sin( ? ) ? ?1 时,f(x)取得最小值-2;..............................................................1 分 2 3 x ? 当 sin( ? ) ? 1 时,f(x)取得最大值 2...................................................................1 分 2 3 f (x) ? sin
(2)g(x)是偶函数.理由如下:.................................................................................1 分 由(1)知 f (x) ? 2sin( 又 g(x) ? f(x ?

7 .............................................................2 分 10

) 3 1 ? ? x ? x ∴g(x)= 2sin[ (x ? ) ? ] ? 2sin( ? ) ? 2 cos ...........................................3..分 2 3 3 2 2 2 x x ∵g(-x)= 2 cos( ? ) ? 2 cos =g(x),....................................................................2 分 2 2
∴函数 g(x)是偶函数. ......................................................................................... ...1 分 20. 解:(1)证明:∵M 是 BC 的中点, → 1 → → ∴OM= (OB+OC).....................................................................................................3 分 2 → → → → → 代入OA=-2OM,得OA=-OB-OC,.................................................................2 分 → → → 即OA+OB+OC=0........................................................................................................1 分 → → (2)设|AP|=x,则|PM|=2-x(0≤x≤2).....................................................................1 分 ∵M 是 BC 的中点, → → → ∴PB+PC=2PM................................................................................................................2 分 → → → → → → → ∴PA·(PB+PC)=2PA·AM=-2|PA||PM| =-2x(2-x)=2(x2-2x)=2(x-1)2-2,...................................................................2 分 当 x=1 时,取最小值-2.................................................................................................1 分 21. (Ⅰ)设

?

x ? ? ) 2 3

a b c ? =2R sin A sin B sin C

则 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC................................................................................2 分 ∵2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC

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方程两边同乘以 2R ∴2a2=(2b+c)b+(2c+b)c...........................................................................................2 分 整理得 a2=b2+c2+bc............................................................................................................1 分 ∵由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA..................................................................................1 分 故 cosA=-

1 ,A=120°........................................................................................................2 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)....................................................1 分 =

3 1 cosB? sin B ? sin(60 ? B) ...................................................................................2 分 2 2

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1......................................................................1 分

? 是 函 数 y=f ( x ) 的 图 象 的 对 称 轴 , 8 ? ? ? 所 以 sin(2× + ? ) = ±1, 即 + ?= k π + , k ∈ Z . ..............................2 分 8 4 2 3? 因 为 - π < φ < 0 , 所 以 ?= ? . ............................................................2 分 4 3? 3? ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 ?= ? , 因 此 y = sin(2 x ? ). 4 4 ? 3? ? 由 题 意 得 2 k π ? ≤2 x ? ≤2 k π + , k ∈ Z , .......................................2 分 4 2 2 3? ? 5? 所 以 函 数 y = sin(2 x ? )的 单 调 区 间 为 [kπ+ , kπ+ ] , k ∈ Z........2 分 4 8 8 3? ( 3 ) 由 y = sin(2 x ? ) 知 : .................................................................2 分 4
22. 解 : ( 1 ) 因 为 x =

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π x 0 8

3π 8

5π 8

7π π 8

.y

?

2 2

-1

0

1

0

?

2 2

故 函 数 y=f ( x ) 在 区 间 [0 , π ] 上 的 图 象 是 .................................................2 分

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