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不等式选讲复习讲义一


不等式选讲专项训练
1[2012· 湖南卷] 不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为________. 2.[2012· 广东卷] 不等式|x+2|-|x|≤1 的解集为________. 3.[2013· 重庆卷] 若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值范围是________. 4 [2012· 陕西卷]若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是________. 5. [2012 浙江卷]已知 a∈R,设关于 x 的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4 的解集为 A. (1)若 a=1,求 A; (2)若 A=R,求 a 的取值范围.

6.[2012· 辽宁卷]已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值; ?x?? (2)若? ?f?x?-2f?2??≤k 恒成立,求 k 的取值范围.

7[2012· 课标全国卷]已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

1 1 5 8 [2012· 江苏卷]已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< ,求证:|y|< . 3 6 18

9.[2012· 唐山一模] 设 f(x)=2|x|-|x+3|. (1)求不等式 f(x)≤7 的解集 S; (2)若关于 x 的不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解,求参数 t 的取值范围.

? 1? 10.(2014·课标全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=?x+a?+|x-a|(a>0). ? ? (1)证明:f(x)≥2;(2)若 f(3)<5,求实数 a 的取值范围.

11.设函数 f(x)=|x+1|+|x-5|,x∈R. (1)求不等式 f(x)≤x+10 的解集; (2)如果关 于 x 的不等式 f(x)≥a-(x-2)2 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.[来

源:学科网 ZXXK] 12.已知函数 f(x)=| x+1|-|x|+a. (1)若 a=0,求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若方程 f(x)=x 有三个不同的解,求实数 a 的取值范围.

13 . (2014· 辽宁卷 ) 设函数 f(x) = 2|x - 1| + x - 1 , g(x) = 16x2 - 8x + 1. 记 f(x)≤1 的解集为 M , g(x)≤4 的解集为 N. 1 (1)求 M;(2)当 x∈M∩N 时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤4.

14[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f( x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; ? a 1? (2)设 a>-1,且当 x∈?-2,2?时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? ?

15[2013· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值.

16 [2013· 新课标全国卷Ⅱ]设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 a2 b2 c2 (1) ab+bc+ca≤3;(2) b + c + a ≥1.

17[2013· 浙江卷] (1)解不等式|x-1|+|x-4|≥5. (2)求函数 y=|x-1|+|x-4|+x2-4x 的最小值.

? ? 1 ? ? ? 1.?x?x>4 ? [解析] 考查解含绝对值不等式,此题的关键是转化为 |2x+1|>2|x-1|,再两边平方, ? ? ? ? ? 轻松求解. 不等式转化为|2x+1|>2|x-1|,两边平方得 ? ? ? 1 ? ? 1 (2x+1)2>4(x-1)2,化简得 4x>1,解得 x>4,故解集为?x?x>4 ?. ? ? ? ? ? ? ? 1? 2.?x?x≤-2? [解析] 当 x≤-2,不等式化为:-x-2+x≤1,即-2≤1 恒成立,所以此时解 ? ? ? 集为:{x|x≤-2}; 1 当 - 2<x≤0 时 , 不 等 式 化 为 : x + 2 + x≤1 , 解 得 x≤ - 2 , 所 以 不 等 式 的 解 集 是 : ? ? 1? ?x?-2<x≤- ? . 2? ? ? 当 x>0 时,不等式化为:x+2-x≤1,即 2≤1,此时解集为空集. ? ? ? ? 1 ? 综上,不等式的解集为:?x?x≤-2 ?. ? ? ? ? ? 3.(-∞,8] [解析] 要使不等式无解,则 a 必须小于或等于|x-5|+|x+3|的最小值,而|x-5| +|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,则 a≤8,所以实数 a 的取值范围是(-∞,8]. 4. -2≤a≤4 [解析] 本题考查了不等式解法的相关知识,解题的突破口是理解不等式的几何 意义.|x-a|+|x-1|≤3 表示的几何意义是在数轴上一点 x 到 1 的距离与到 a 的距离之和小于或等于 3 个单位长度,此时我们可以以 1 为原点找离此点小于或等于 3 个单位长度的点即为 a 的取值范围, 不难发现-2≤a≤4. 5.解:(1)当 x≤-3 时,原不等式化为-3x-2≥2x+4,综合得 x≤-3.

1 当-3<x≤2时,原不等式化为-x+4≥2x+4,综合得-3<x≤0. 1 当 x>2时,原不等式为 3x+2≥2x+4,得 x≥2. 综上,A={x|x≤0 或 x≥2} . (2)当 x≤-2 时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4 成立. a-1 当 x>-2 时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,得 x≥a+1 或 x≤ 3 , a-1 所以 a+1≤-2 或 a+1≤ 3 ,得 a≤-2, 综上,a 的取值范围为 a≤-2. 6.解:(1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2.又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1},所以 4 2 当 a≤0 时,不合题意.当 a>0 时,-a≤x≤a,得 ?x? a=2.(2)记 h(x)=f(x)-2f?2?, ? ?

? ?-4x-3, -1<x<-1 2, 则 h(x)=? 1 ? ?-1, x≥-2,
1,

x≤-1, 所以|h(x)|≤1,因此 k≥1.

?-2x+5,x≤2, 7.解:(1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3.
当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1;当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥ 3 得 2x-5≥3,解得 x≥4;所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2) f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0]. 8.证明:因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 2 1 5 由题设知|x+y|<3,|2x-y|<6,从而 3|y|<3+6=6, 5 所以|y|< . 18

?3-x,x<-3, 9.解:(1)f(x)=?-3x-3,-3≤x≤0, ?x-3,x>0.
如图,函数 y=f(x)的图象与直线 y=7 相交于横坐标为 x1=-4,x2=10 的两点,

由此得 S=[-4,10]. (2)由(1)知,f(x)的最小值为-3, 则不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解必须且只需-3+|2t-3|≤0, 解得 0≤t≤3, 所以 t 的取值范围是[0,3]. 网 ZXXK] 10 解 ? 1? ? 1 ? 1 (1)由 a>0,有 f(x)=?x+a?+|x-a|≥?x+a-?x-a??=a+a≥2.所以 f(x)≥2. ? ? ? ?

5+ 21 1? 1 ? (2)f(3)=?3+a?+|3-a|.当 a>3 时,f(3)=a+a,由 f(3)<5 得 3<a< 2 . ? ? 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+a,[来源:学科网]由 f(3)<5 得 2 <a≤3. ?1+ 5 5+ 21? 综上,a 的取值范围是? , 2 ?. ? 2 ?

11 解

?-2x+4,x<-1, (1)f(x)=?6,-1≤x≤5, ?2x-4,x>5.

当 x<-1 时,-2x+4≤x+10,x≥-2,则-2≤x<-1; 当-1≤x≤5 时,6≤x+10,x≥-4,则-1≤x≤5; 当 x>5 时,2x-4≤x+10,x≤14,则 5<x≤1 4. 综上可得,不等式 f(x)≤x+10 的解集为[-2,14]. (2)设 g(x)=a-(x-2)2,由函数 f(x)的图象与 g(x)的图象可知:f(x)在 x∈[-1,5]上取最小值为 6, g(x)在 x=2 时取最大值为 a,若 f(x)≥g(x)恒成立,则 a≤6.

12 解

?-1,x<-1, (1)a=0 时,f(x)=|x+1|-|x|=?2x+1,-1≤x<0, ?1,x≥0,

所以当 x<-1 时,f(x)=-1<0 不合题意;当-1≤x<0 时, f(x)=2x+1≥0, 1 解得-2≤x<0;当 x≥0 时,f(x)=1>0 符合题意. ? 1 ? 综上,f(x)≥0 的解集为?-2,+∞?. ? ? (2)设 u(x)=|x+1|-|x|,y=u(x)的图象和 y=x 的图象如图: 易知 y=u(x)的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个单位)与 y=x 的图象始终有 3 个交点,从而-1<a<0, 13 解 ?3x-3,x∈[1,+∞?, (1)f(x)=? 科网 ?1-x,x∈?-∞,1?

4 4 当 x≥1 时,由 f(x)=3x-3≤1 得 x≤3,故 1≤x≤3; 4 当 x<1 时,由 f(x)=1- x≤1 得 x≥0,故 0≤ x<1. 所以 f(x)≤1 的解集为 M={x|0≤x≤3}.
? ? 1 ? ? 3 ? 1 3 ? 1? 由 g(x)=16x2-8x+1≤4 得 16?x-4?2≤4,解得-4≤x≤4.因此 N=?x?-4≤x≤4 ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 故 M∩N=?x?0≤x≤4 ?.当 x∈M∩N 时,f(x)=1-x, ? ? ? ? ?

1 ? 1? 1 于是 x2f(x)+x· [f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x· f(x)=x( 1-x)=4-?x-2?2≤4. ? ? 14.解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3 <0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则

? ? y=?-x-2,1≤x≤1,其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时, y<0,所以原 2 ? ?3x-6,x>1.
不等式的解集是{x|0<x<2}. ? a 1? (2)当 x∈?-2,2?时,f(x)=1+a.不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3. ? ? 4? a 4 ? a 1? ? 所以 x≥a-2 对 x∈?-2,2?都成立,故-2≥a-2,即 a≤3,从而 a 的取值范围是?-1,3? ? ? ? ? -2x+6,x≤2, ? ? 15.解:(1)当 a=2 时,f(x)+|x-4|=?2,2<x<4, ? ?2x-6,x≥4. 当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4,解得 x≥5; 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}. (2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x),则 -2a,x≤0, ? ? h(x)=?4x-2a,0<x<a, ? ?2a,x≥a. a-1 a+1 由|h(x)|≤2,解得 2 ≤x≤ 2 . 又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}, 16.证明:(1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤3. a2 b2 c2 (2)因为 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c, a2 b2 c2 a2 b2 c2 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c),即 b + c + a ≥a+b+c,又 a+b+c=1, a2 b2 c2 所以 b + c + a ≥1. 17.解:(1)当 x<1 时,1-x+4-x≥5,得 x≤0,此时 x≤0; 当 1≤x≤4 时,x-1+4-x≥5,得 3≥5,此时 x∈ ; 当 x>4 时,x-1+x-4≥5,得 x≥5,此时 x≥5. 综上所述,原不等式的解集是(-∞,0]∪[5,+∞). (2)因为|x-1|+|x-4|≥|(x-1)-(x-4)|=3, 当且仅当 1≤x≤4 时取等号; x2-4x=(x-2)2-4≥-4,当且仅当 x=2 时取等号. 故|x-1|+|x-4|+x2-4x≥3-4=-1,当 x=2 时取等号. 所以 y=|x-1|+|x-4|+x2-4x 的最小值为-1.

1 -5x,x<2,


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