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高中数学:选修4-4


坐标系与参数方程 知识点
(2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐标是 ( ? ,? ) ( ? ? 0 ),于是极坐标与直 角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标 ( x, y ) 极坐标 ( ? ,? )

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

r />
? 2 ? x2 ? y 2
tan ? ? y ( x ? 0) x

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点,半径为 r 的圆

? ? r (0 ? ? ? 2? )
?
2

圆心为 ( r , 0) ,半径为 r 的圆

? ? 2r cos ? (?

?? ?

?
2

)

圆心为 (r ,

?
2

) ,半径为 r 的圆

? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

(1) ? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R) 过极点,倾斜角为 ? 的直线 (2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0)

过点 ( a, 0) ,与极轴垂直的直线

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

过点 ( a,

?
2

) ,与极轴平行的直线

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

注: 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 ,即 ( ? ,? ),( ? , 2? ? ? ),(? ? , ? ? ? ),(? ? , ?? ? ? ), 都表示同一点 的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能 满 足 极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程 ? ??, 点 M (

? ?

? ? ? ? ? 5? ? ? ( , ? 2? )或( , ? 2? )或(- , )等多种形式,其中,只有 ( , ) 的极坐标满足方程 ? ? ? . 4 4 4 4 4 4 4 4
二、参数方程 3.圆的参数
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, ) 可 以 表 示 为 4 4

如图所示,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置 M 0 出发,按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动,设

? x ? r cos ? M ( x, y) ,则 ? (? 为参数) 。 ? y ? r sin ?
这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 ? 的几何意义是 OM 0 转过的角度。 圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的普通方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 它的参数方程为: ? 4.椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为

? x ? a ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a 2 b2

? x ? a cos ? y 2 x2 其中参数 ? 称为离心角; 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其参 (?为参数) , ? a b ? y ? b sin ?
数方程为 ?

? x ? b cos ? 。 (?为参数), 其中参数 ? 仍为离心角,通常规定参数 ? 的范围为 ? ∈[0,2 ? ) y ? a sin ? ?

注:椭圆的参数方程中,参数 ? 的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角 ? 区分开来, 除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 0 到 2? 的范围内) ,在其他任何一点,两个角的数值都不 相等。但当 0 ? ? ?

?
2

时,相应地也有 0 ? ? ?

?
2

,在其他象限内类似。

5.双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a 2 b2

? x ? a sec ? ? 3? . (?为参数) ,其中 ? ? [0, 2? )且? ? , ? ? ? 2 2 ? y ? b tan ?
焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a 2 b2

? x ? b cot ? (?为参数,其中? ? (0, 2? )e且? ? ? . ? ? y ? a csc ?
以上参数 ? 都是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的参数方程为 ?
2

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数).

7.直线的参数方程 经过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? (? ?

?
2

) 的直线 l 的普通方程是 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ), 而过 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜

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角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ?

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) 。 y ? y ? t sin ? 0 ?

注 : 直 线 参 数 方 程 中 参 数 的 几 何 意 义 : 过 定 点 M 0 ( x0 , y0 ) , 倾 斜 角 为 ? 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ,其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 M ( x, y) 为终点的有向线段 M0 M 的 ? ? y ? y0 ? t sin ?
数量,当点 M 在 M 0 上方时, t >0;当点 M 在 M 0 下方时, t <0;当点 M 与 M 0 重合时, t =0。我们也可以把 参数 t 理解为以 M 0 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的 单位长度相同。

高二数学理科选修 4-4 参数方程测试题一
一、选择题
1 ? x=2cos ?- 1.将参数方程 ? (a 为参数)化成普通方程为( ? y=-cos ?

).

A.2x+y+1=0 C.2x+y+1=0(-3≤x≤1) 2.双曲线 xy=1 的参数方程是(
1 ? 2 ? x = t ? A. ? 1 - ? 2 ? y = t ?

B.x+2y+1=0 D.x+2y+1=0(-1≤y≤1) ).

? x=sin t ? B. ? 1 y= ? sin t ?
? et+e -t ? x= ? 2 D. ? 2 ? y= t ? e +e -t ?

? x=tan t ? C. ? 1 y= ? tan t ?
x =1-t cos 30? 和 3.对于参数方程 ? ? ? ? y = 2+t sin 30

? ? x =1+ t cos 30? 的曲线,正确的结论是( ? ? 2- t sin 30? ? y = 
B.是倾斜角为 30?的同一直线 D.是过点(1,2)的相交直线

).

A.是倾斜角为 30?的平行线 C.是倾斜角为 150?的同一直线

? ? ? x= cos +sin ? ? 2 2 4.参数方程 ? (0≤?≤2?)的曲线( 1 ? y= (1+sin ? ) ? 2 ?

).

A.抛物线的一部分,且过点(-1, B.抛物线的一部分,且过点(1,

1 ) 2

1 ) 2

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C.双曲线的一支,且过点(-1, D.双曲线的一支,且过点(1,

1 ) 2

1 ) 2
).

? x=2 -t 5.直线 ? (t 为参数)上与点 A(2,-3)的距离等于 1 的点的坐标是( ? y=-3 +t

A.(1,-2)或(3,-4) B.(2- 2 ,-3+ 2 )或(2+ 2 ,-3- 2 ) C.(2-
2 2 2 2 ,-3+ )或(2+ ,-3- ) 2 2 2 2

D.(0,-1)或(4,-5)
? x=2cos ? 6.直线 xcos ?+ysin ?=2 与圆 ? (??为参数)的位置关系是( ? y=2sin?

). D.相离 ).

A.相交不过圆心

B.相交且过圆心

C.相切

? x= t ? 7.若点 P(4,a)在曲线 ? 2 (t 为参数)上,点 F(2,0),则|PF|等于( ? ? y=2 t
A.4 B.5 C.6 D.7

? ?x = 6 cos ? ? 8. 已知点(m,n)在曲线 ? (?为参数)上,点(x,y)在曲线 ? x= 24 cos ? (?为参数)上,则 mx+ny 的 ? ? y= 24 sin ? ? y =  6 sin ?

最大值为( A.12

). B.15 C.24 D.30 ).

? x= 2cos ? ? 9.直线 y=kx+2 与曲线 ? 至多一个交点的充要条件是( ? y= 3sin ? ?

A.k∈[-

1 1 , ] 2 2 1 1 ]∪[ ,+∞) 2 2

B.k∈(-∞,- C.k∈[-

2 2 , ] 2 2 2 2 ]∪[ ,+∞) 2 2

D.k∈(-∞,-

? 1 1 ? x= 2cos? 10. 过椭圆 C:? (??为参数)的右焦点 F 作直线 l 交 C 于 M, N 两点, |MF|=m, |NF|=n, 则 + m n ? ? y= 3sin ?
的值为( A. ).

2 3

B.

4 3

C.

8 3

D.不能确定

二、填空题

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? x=v 0tcos ? ? ? 11. 弹道曲线的参数方程为 ? (t 为参数,a,v0,g 为常数),当炮弹达到最高点时,炮弹飞 ? y=v 0tsin ?- 1 gt 2 ? ? 2

行的水平距离为

. .

? ? ? x=tsin 20 +3 12.直线的参数方程为 ? (t 为参数),则直线的倾斜角为 ? ? ? y=- tcos 20

? ? x= t 13.曲线 C1:y=|x|,C2:x=0,C3 的参数方程为 ? (t 为参数),则 C1,C2,C3 围成的图形的面积 ? ? y= 1 - t




? x=4+2cos ? ? x=tcos ? 14.直线 ? 与圆 ? 相切,则该直线的倾斜角=________. ? y= 2sin ? ? y=tsin ?

? y+2 ? x= t 15.变量 x,y 满足 ? (t 为参数),则代数式 的取值范围是 x + 2 ? y = 2 1 - t ?
16.若动点(x,y)在曲线 三.解答题 17.已知直线 l1 过点 P(2,0),斜率为 (1)求直线 l1 的参数方程; (2)若直线 l2 的方程为 x+y+5=0,且满足 l1∩l2=Q,求|PQ|的值.
? x= 3sin? +4cos? 18.已知点 P(x,y)为曲线 C: ? (??为参数)上动点, ? y= 4sin? -3cos?
x2 y 2 + =  1 (0<b≤4)上变化,则 x2+2y 的最大值为 4 b2





4 . 3

若不等式 x+y+m>0 恒成立,求实数 m 的取值范围.
1 ? x=t+ ? ? t 19.经过点 M(2,1)作直线交曲线 ? (t 是参数)于 A,B 两点,若点 M 为线段 AB 的中点,求直线 AB 的方 ? y=t-1 ? t ?

程.

1 ? x= ? ? ? ? x= 2 +1+tcos ? t 20.已知直线 l: ? (t 为参数,?∈R),曲线 C: ? (t 为参数). ? 1+tsin ? ? y= 1 t 2- 1 ? y=- ? t ?

(1)若 l 与 C 有公共点,求直线 l 的斜率的取值范围; (2)若 l 与 C 有两个公共点,求直线 l 的斜率的取值范围.

一、选择题 1.D 解析:将 cos ?=-y 代入 x=2cos ?-1,得普通方程 x+2y+1=0,
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又因为-1≤cos ?≤1,所以有-1≤y≤1,故选 D. 2.C 解析:由 xy=1 知 x≠0 且 x∈R,又 A 中 B 中 x=sin t∈[-1,1];D 中 x= 3.C 解析:
et+e -t ≥ 2
1 x= t 2

= t ≥0;

et+e -t =1;故排除 A,B,D. 2

y-2 1 y-2 1 =- =- , . x-1 x-1 3 3

4.B

? ? ? x= cos +sin ? ? 2 2 解析: ? (0≤?≤2?), ? y= 1(1+sin ? ) ? 2 ?

由参数方程得 x2=1+sin ?,代入 y 得 x2=2y 为抛物线.又 x≥0,故选 B. 5.C 解析:由(-t)2+(t)2=12,t=±
2 . 2

6.C 解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos ?+ysin ?-2=0 的距离 d = 所以直线与圆相切. 7.C 抛物线为 y2=8x,准线为 x=-2,|PF|为 P(4,a)到准线 x=-2 的距离,即 6.
? x= 24cos ? ? 8.A 解析:(利用圆的参数方程) ?m= 6 cos ?,? , n = 6 sin ? ? ? y= 24sin ?

2 =2 等于半径, 1

则 mx+ny=12(cos ??cos?+sin ? sin ?)=12cos(?-?),且-1≤cos(?-?)≤1. 9.A 解析:曲线的普通方程为 ≤
x2 y2 1 + =1 .与直线方程联立,得一元二次方程.令判别式Δ ≤0,得- ≤k 4 3 2

1 . 2
10.B 解析:曲线 C 为椭圆
x2 y2 + =1,右焦点 F(1,0), 4 3

? x=1+tcos ? 设 l: ? ,代入椭圆方程得: ? y=tsin ?

(3+sin2?)t2+6tcos ??-9=0,t1t2=-

9 3 +sin ?
2

,t1+t2=-

6cos? 3 +sin2?





(t +t )2-4t1t2 4 1 1 1 1 | t -t | + = + = 1 2 = 1 2 = . m n | t1 | | t2 | | t1t2 | | t1t2 | 3

二、填空题 11.
v0 2sin? cos? 1 .解析:由 y=v0tsin ?- gt2 知, g 2
v0 sin? v sin? v 2sin? cos? ,代入得 x=v0cos ? 0 = 0 . g g g

当炮弹达到最高点时,t=

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? ? ? - 70? ) ? x=3 +tcos( ? x=tsin 20 +3 12.110? .解析: ? (t 为参数)即 ? (t 为参数), ? ? ? - 70? ) ? y=- tcos 20 ? y=tsin(

所以倾斜角?=-70? +180? =110? . 13.

y y=|x|

π .解析:C3 的曲线是圆 x2+y2=1 在第一象限的 8
O

部分(含端点), 第一象限部分的

则由图形得三曲线围成的图形的面积是圆 x2+y2=1 在

π 1 ,面积是 . 2 8
14.

x x2+y2=1

π 5π 或 .直线为 y=xtan ?,圆为(x-4)2+y2=4, 6 6

(第 13 题)

B(0,2) A(1,0) O x

P(-2,-2)

作出图形,相切时,易知倾斜角为

π 5π 或 . 6 6

( 第 15 题)

2 ? 15. ? , 2 . ? ?3 ? ?

? y2 y+2 ? x= t 解析: 参数方程 ? (t 为参数)化普通方程为 x2+ =1(0≤x≤1, 0≤y≤2), 代数式 表示过点(- 4 x + 2 ? y = 2 1 - t ?
2,-2)与椭圆 x2+
b 2+16 . 4 y2 2 =1 在第一象限及端点上任意一点连线的斜率,由图可知,kmax=kPB=2,kmin=kPA= . 4 3

16.

? x= 2cos ? 解析: , 4cos2?+2bsin??=-4sin2?+2bsin??+4, 令 t=sin ?(-1≤t≤1), 有 x2+2y=-4t2+2b+4. 当 ? y = b sin ? ?

t=

b 2+16 b 时,x2+2y 有最大值为 . 4 4

三、解答题 17.(1)解:设直线的倾斜角为?,由题意知 tan ?=

4 , 3

? x=2+ 3 t ? 5 4 3 ? 所以 sin ?= ,cos ?= ,故 l1 的参数方程为 ? (t 为参数). 5 5 ? y= 4 t ? ? 5

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? x=2+ 3 t ? 5 3 4 ? (2)解:将 ? 代入 l2 的方程得:2+ t+ t+5=0,解得 t=-5,即 Q(-1,-4),所以|PQ|=5. 5 5 ? y= 4 t ? ? 5

18. 解: x+y+m>0, 即 7sin??+cos??+m>0, m>-(7sin??+cos??), 即 m>-5 2 sin(??+??). 而-5 2 sin(?? +??)的最大值为 5 2 .所以 m>5 2 ,即 m∈(5 2 ,+∞).
1 ? x=t+ ? ? t 19.解: ? 1 ? y=t- ? t ? ① ②

由①2-②2 得 x2-y2=4

③,该曲线为双曲线.

? x= 2 +tcos ? 设所求直线的参数方程为 ? (t 为参数),代入③得: ? y=1+tsin ?

(cos2?-sin2??)t2+(4cos??-2sin???)t-1=0, t1+t2=-

4cos ?-2sin? cos ?-sin ?
2 2



y

由点 M(2,1)为 A,B 的中点知 t1+t2=0,即 4cos ?-2sin ??=0, 所以 tan??=2, 因为??是直线的倾斜角, 所以 k=2, 所求直线的方程为 y-1=2(x-2),即 2x-y-3=0.
B

C

O

A

x

? ? x= 2 +1+tcos ? 20.(1)解:直线 l: ? ? ? y=-1+tsin ?
(t 为参数,?∈R)经过点(1+ 2 ,-1),

D

P( 1 +

2,-1)

(第 20 题)

1 ? x= ? ? t 曲线 C: ? (t 为参数)表示圆 x2+y2=1 的一部分(如图所示)设直线的方程 l: 1 ? y= t 2- 1 ? t ?

y+1=k(x-1- 2 ). 当 l 与圆相切时, 圆心 O(0,0)到 l 的距离 d= 又 kPC=-

(1+ 2 )k+ 1 k2 + 1

=1,解得 k=-1 或 k=0.

1 1 2 <kPA=- ,kPB=- , 2+ 1 2+ 2 2

如图所示,当 l 与 C 有公共点时,应有-1≤k≤kPA 或者 kPB≤k<kPD=0,

1 1 即 k∈ ? ∪? - , 0? -1, - ? ?. ? ? ? ? 2 ? ? 2+ 2 ?
? 2 ? ? - (2)由图可知,若 l 与 C 有两个公共点时,应有-1<k<kPC,即 k∈ ? ?-1, ?. 2+1 ? ?

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高二数学理科选修 4-4 参数方程测试题二
一.选择题

1.设椭圆的参数方程为 ?

? x ? a cos? ?0 ? ? ? ? ?, M ?x1 , y1 ? , N ?x2 , y2 ? 是椭圆上两点,M,N 对应的参 ? y ? b sin ?
) D. ? 1 ? ? 2

数为 ? 1 ,? 2 且 x1 ? x 2 ,则( A. ? 1 ? ? 2

B. ? 1 ? ? 2 C. ? 1 ? ? 2

2.直线:3x-4y-9=0 与圆: ?

? x ? 2 cos? ,(θ 为参数)的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
C.直线过圆心

)

A.相切

B.相离

D.相交但直线不过圆心

3.经过点 M(1,5)且倾斜角为

? 的直线,以定点 M 到动 点 P 的位移 t 为参数的参数方程是 3
1 1 ? ? x ? 1? t x ? 1? t ? ? ? ? 2 2 D. ? ? 3 ?y ? 5 ? ?y ? 5 ? 3 t t ? ? 2 2 ? ?

(

1 1 ? ? x ? 1? t x ? 1? t ? ? ? ? 2 2 C. )A. ? B. ? 3 ?y ? 5 ? ?y ? 5 ? 3 t t ? ? 2 2 ? ?

1 ? ?x ? t ? 4.参数方程 ? t (t 为参数)所表示的曲线是 ( ? y ? ? 2 ?
A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线

)

D.两条直线

5.若动点(x,y)在曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 (b>0)上变化,则 x2 4 b

y 的最大值为(

)

?b 2 ? ? 4 ( 0 ? b ? 4) (A) ? 4 ; ? (b ? 4) ? 2b
2 2

?b 2 b2 ? ? 4 ( 0 ? b ? 2) ? 4 (D) 2b。 (B) ? 4 ;(C) 4 ? (b ? 2) ? 2b
2 2

6.实数 x、y 满足 3x +2y =6x,则 x +y 的最大值为( )

A、

7 2

B、4

C、

9 2

D、5

第 9 页

7.曲线的参数方程为 ?

? x ? 3t 2 ? 2 (t 是参数),则曲线是( 2 ? y ? t ?1
C、圆 D、射线

)

A、线段

B、双曲线的一支

8. 已知动园: x 2 ? y 2 ? 2ax cos? ? 2by sin ? ? 0(a, b是正常数 ,a ? b,?是参数) ,则圆心的轨迹是 ( ) B、圆 C、抛物线的一部分 D、椭圆

A、直线

9. 在参数方程 ?

? x ? a ? t cos? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参数值分别为 t1、 ? y ? b ? t sin ?
)

t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是(

10.设 r ? 0 ,那么直线 x cos? ? y sin ? ? r ?是常数 与圆 ?

?

?

? x ? r cos? ??是参数? 的位置关系是 ( ? y ? r sin ?

)

A、相交

B、相切

C、相离

D、视 的大小而定
2

11. 下列参数方程(t 为参数)中与普通方程 x -y=0 表示同一曲线的是(

)

12.已知过曲线 ? 标是( )

? x ? 3 cos? ? ??为参数, 0 ? ? ? ? ? 上一点 P,原点为 O,直线 PO 的倾斜角为 ,则 P 点坐 4 ? y ? 4 sin ?

A、(3,4)

B、 ?

?3 2 ? ? , 2 2 ? 2 ? ? ?

C、(-3,-4)

D、 ?

? 12 12 ? , ? ?5 5?

二.填空题 13.过抛物线 y =4x 的焦点作倾斜角为
2

的弦,若弦长不超过 8,则

的取值范围是____________。

第 10 页

14.直线 ?

? x ? ?2 ? 2t ? y ? 3 ? 2t

?t为参数? 上与点 P?? 2, 3? 距离等于

2 的点的坐标是

15.圆锥曲线 ?

? x ? 2 tan? ??为参数? 的准线方程是 ? y ? 3 sec?

16.直线 l 过点 M 0 ?1,5? ,倾斜角是

? ,且与直线 x ? y ? 2 3 ? 0 交于 M ,则 MM 0 的长为 3

17.曲线 ?

? x ? a sec ? ? x ? a tan ? (α 为参数)与曲线 ? (β 为参数)的离心率分别为 e1 和 e2,则 e1+e2 ? y ? b tan? ? y ? b sec ?

的最小值为_______________. 三.解答题

18. 求直线?

?x ? 2 ? t (t为参数)被双曲线 x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长。 ? y ? 3t

19.已知方程



(1)试证:不论 如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线; (2) ? 为何值时,该抛物线在直线 x=14 上截得的弦最长?并求出此弦长。

20.已知椭圆 ?

? x ? 4 cos? 上两个相邻顶点为 A、C,又 B、D 为椭圆上的两个动点,且 B、D 分别在直线 AC ? y ? 5 sin ?

的两旁,求四边形 ABCD 面积的最大值。

21.已知过点 P(1,-2),倾斜角为

? 2 的直线 l 和抛物线 x =y+m 6

(1)m 取何值时,直线 l 和抛物线交于两点?

(2)m 取何值时,直线 l 被抛物线截下的线段长为

4 3?2 . 3

第 11 页

第二讲参数方程测试题答案 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 D 8 D 9 B 10 B 11 D 12 D

13. ? ?

? ? 3? ? , ? ?4 4 ? ?

;14. ?? 3,4?, ?? 1,2? ; 15. y ? ?

9 13 ;16. 10 ? 6 3 ;17. 2 2 13

1 ? x ? 2 ? t ? 2 ? 18.解:把直线参数方程化为标准参数方程 ? (t 为参数) 3 ?y ? t ? 2 ?
1 ? ? 3 ? 代入x ? y ? 1,得: t ?2 ? t ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
2 2 2

? ? ?1 ? ?

2

整理,得: t 2 ? 4t ? 6 ? 0
设其二根为 t1 ,t 2 ,则

t1 ? t 2 ? 4,t1 ?t 2 ? ?6
从而弦长为AB ? t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1 t 2
2

? 4 2 ? 4?? 6? ? 40 ? 2 10

19 ( 1 )把原方程化为 ? y ? 3sin? ? ? 2( x ? 4 cos ? ) ,知抛物线的顶点为 ?4 cos? ,3 sin? ? 它是在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上;(2)当 16 9
20、 20 2 21.(1)m>

时,弦长最大为 12。

23 ? 4 3 ,(2)m=3 12

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