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2013河北省石家庄高三数学(理)第一次模拟考试试题


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河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟考试 理科数学试题
(时间 120 分钟,满分 150 分) 注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的 姓 名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 z=1-i,则 A.第一象限
1 z ? z 对应的点所在的象限为

B.第二象限
x?2

C.第三象限

D.第四象限
2

2. 若集合 A ? { x ? Z | 2 ? 2 个数为 A. O B. 1 C. 2

? 8} , B ? { x ? R | x

? 2 x ? 0 } ,则 A ? ( C R B ) 所含的元素

D. 3
2

3. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) .若 P( ? <2)=0.8,则 p(0< ? <1)的值为 A. 0.2

B. 0.3

C.? 0.4

D. 0.6

4 已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20y 的焦点重合,且其渐近线的方程为 3x ? 4y=0,则 该双曲线的标准方程为 A.
x
2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

9 y
2

16 x
2

16 y
2

9 x
2

C.

?

?1

D.

?

?1

9

16

16

9

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5. 执行右面的程序框图,输出的 S 值为 A. 1 B. 9 C. 17 D. 20
2

6. 已知等比数列{an},且 a 4 ? a 6 ? A. π
2

?

2

4 ? x dx ,则 a6(a3+2a6+a10))的值为

0

B. 4

C. π

D.-9π

7. 现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0、1 表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9 表示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 A. 0.852 B. 0.8192 C O.8 D. 0.75

8.巳知点(x,y)在Δ ABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若 B(3,
5 2

)是 使得 z=ax-y 取得最大值的最优解,则实数 a 的取值范围为 A. a ? ?
1 2

B. a ? 0
?
2

C. a ? ?

1 2

D. ?

1 2

? a ? 0

9. 若函数 f ( x ) ? A sin( A.f(x-2)—定是奇函数

x ? ? )( A ? 0 ) 满足 f(1)=0,则

B.f(x+1)—定是偶函数 D, f(x-3)一定是奇函数

C. f(x+3)一定是偶函数

10. 已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所 示,则此三 棱锥的外接球的表面积为 A 4π C.
16 ? 3

B, 12π D.
64 ? 3 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 , , , , , , , , , ?,依它的 10 项的规律,则 a99+a100 的值为 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 11 15

11. 已知数列{an} , A
37 24

B

7 6

.

C.

D.

7 15

f (x) x ? 0 ,若

12. 已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f ? ( x ) ,当 x ? 0 时, f ? ( x ) ?

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a ?

1 2

f (

1 2

), b ? ? 2 f ( ? 2 ), c ? ln

1 2

f (ln 2 ) ,则下列关于 a,b,c 的大小关系正确的是

A. a>b>c B, a>c>b

C. c>b>a

D. b>a>c

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空題,本大通共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.过点(2,3)与圆(x-1) +y =1 相切的直线方程为_____. 14. 如 图 , 正 方 形 ABCD 中 ,EF//AB, 若 沿 EF 将 正 方 形 折 成 一 个 二 面 角 后,AE:ED:AD=1:1: 2 ,则 AF 与 CE 所成的角的余弦值为______. 15.为举办校园文化节,某班推荐 2 名男生 3 名女生参加文艺技能培训, 培训项目及人数分 别为: 乐器 1 人,舞蹈 2 人,演唱 2 人,每人只参加一个项目,并且舞蹈和演唱项目必须 有女生参加,則不同 的推荐方案的种数为_______.(用数字作答) 16.在Δ ABC 中, ? B =60 ,O 为Δ ABC 的外心,P 为劣弧 AC 上一动点,且 OP ? x OA ? y OC (x,y∈R),则 x+y 的取值范围为____ _____ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,有两座建筑物 AB 和 CD 都在河的对岸 (不知 道它们的高度, 且不能到达对岸) ,某人想测量两 座建筑物尖顶 A、C 之间的距离,但 只有卷尺和测 角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线 EF,用 卷 尺 测 得 EF 的 长 度 为 a , 并 用 测 角 仪 测 量 了 一 些 角 度 :
? AEF ? a , ? AFE ? ? , ? CEF ? ? , ? CFE ? ? , ? AEC ? ? 请
0 2 2

你用文字和公式写出计算 A、C 之间距离的步骤和结果.

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18.(本小题满分 12 分) 为了调査某大学学生在某天上网的时间, 随机对 lOO 名男生和 100 名女生进行了不记名的问卷调 查.得到了如下的统计结果: 表 l:男生上网时间与频数分布表

表 2:女生上网时间与频数分布表

(I)从这 100 名男生中任意选出 3 人,其中恰有 1 人上网时间少于 60 分钟的概率; (II)完成下面的 2X2 列联表,并回答能否有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”?

表 3:

?

附:

19. (本小题满分 i2 分) 如 图 , 在 四 棱 锥
? BAD ? 120
0

P-ABCD

中 , PA

丄 平 面

ABCD,

? ABC ? ? ADC ? 90

0



,AD=AB=1,AC 和 BD 交于 O 点.

(I)求证:平面 PBD 丄平面 PAC (II)当点 A 在平面 PBD 内的射影 G 恰好是Δ PBD 的重心时, 求二面角 B-PD-G 的余弦值.
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20. (本小题满分 12 分) 椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),过 F1 作与 x 轴不重合的

直线 l 交椭圆于 A,B 两点. (I)若Δ ABF2 为正三角形,求椭圆的离心率; (II)若椭圆的离心率满足 0 ? e ?
5 ?1 2

,0 为坐标原点,求证:OA +OB <AB

2

2

2

21 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x )=x2+aln(x+1) (I)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 y=f(x)有两个极值点 x1,x2 且 x1<x2 求证: 0 ?
f (x2 ) x1 ? ? 1 2 ? ln 2

请考生在 22?24 三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记 分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-l:几何证明选讲

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如图,过圆 O 外一点 P 作该圆的两条割线 PAB 和 PCD,分别交圆 O 于点 A,B,C,D 弦 AD 和 BC 交于 Q 点,割线 PEF 经过 Q 点交圆 O 于点 E、F,点 M 在 EF 上,且 ? BAD ? ? BMF : (I)求证:PA·PB=PM·PQ (II)求证: ? BMD ? ? BOD

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系.x0y 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为: ? sin
2

? ? cos ?

(I)求曲线 l 的直角坐标方程;
? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (II)若直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) 直线 l 与曲线 C 相交于 A、 两点求|AB| , B 2 ? y ? t ? 2 ?

的值

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 巳知函数 f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (I)当 a=1 时,解不等式 f(x)>3; (II)不等式 f ( x ) ? 1 在区间(-∞,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围

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2013 年高中毕业班第一次模拟考试
数学理科答案
一、选择题 A 卷答案 1-5 DCBCC B 卷答案 1-5 DBCBB 二、填空题

6-10 ADADD 6-10 ADADD

11-12 AD 11-12 AD

13 . 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 或 x ? 2

14 .

4 5

15 . 24

16 . ?1, 2 ?

三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分) 17.解:第一步:在 ? AEF 中,利用正弦定理, 解得 A E
? a s in ? s in (? ? ? ) AE s in ? ? EF s in (1 8 0 ? ? ? ? )
?



;?????4 分
? a s in ? s in (? ? ? )
?

第二步:在 ? CEF 中,同理可得 C E

;?????8 分
2

第三步:在 ? ACE 中,利用余弦定理, A C
a s in ?
2 2

AE

? CE

2

? 2 A E ? C E cos ?

?

s in ( ? ? ? )
2

?

a s in ?
2 2

s in ( ? ? ? )
2

? 2

a s in ? s in ? c o s ?
2

s in ( ? ? ? ) s in ( ? ? ? )

????12 分 (代入角的测量值即可,不要求整理,但如果学生没有代入,扣 2 分) 18.解: (Ⅰ)由男生上网时间频数分布表可知 100 名男生中,上网时间少于 60 分钟的有 60 人,不 少于 60 分钟的有 40 人,??????2 分 故从其中任选 3 人,恰有 1 人上网的时间少于 60 分钟的概率为
C 60 C 40 C 100
3 1 2

?????4 分 ??????6 分 上网时间少于 60 分 男生 女生 合计 60 70 130 上网时间不少于 60 分 40 30 70 合计 100 100 200

?

156 539

(Ⅱ)

?????8 分

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K
2

?

2 0 0 ? (1 8 0 0 ? 2 8 0 0 )

2

100 ? 100 ? 130 ? 70

?

200 91

? 2 .2 0

,??????10 分

∵ K 2 ? 2 .2 0 ? 2 .7 0 6 ∴没有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.??????12 分 19. 解: (Ⅰ)依题意 R t ? A B C ? R t ? A D C , ? B A C ? ? D A C , ? A B O ? ? A D O ,所以 A C 分 而 P A ? 面 A B C D , P A ? B D ,又 P A ? A C ? A ,∴ B D ? 面 P A C , 又 B D ? 面 P B D ,∴平面 P A C ? 平面 P B D ????4 分 (Ⅱ) z 过 A 作 A D 的垂线为 x 轴, A D 为 y 轴, A P 为 z 轴,建立如图所示坐 P 标系,则 所以 G ( 由 AG
3 6
? PB
B( 3 2 ,? 1 2 , 0)

? BD

,??2

, D (0 , 1 , 0 ) , C (
3 2 ,? 1 2 , ?? )

3 , 1, 0 )

,设 P ( 0 , 0 , ? ) ,

,

1 6

,

?
3

)



??? ? PB ? (



,得
3 6 , 1 6
? 2 2 2 2 )

???? ??? ? AG ? PB ? (

,

?
3

)?(

3 2

,?

1 2

, ?? ) ? 0

A B x

y D

解得 ? 2

?

1 2

,?

.??????6 分 ;
???? ? 6 AG ? (
? ( x, y, z )

C

∴P 点的坐标为 ( 0 , 0 ,

面 P B D 的一个法向量为 m

3 ,1,

2)

,?????8 分
3 , 0, 0)

设面 P C D 的一个法向量为 n
???? ?n ? PD ? 0 ? ???? ? ?n ?CD ? 0 ?

,CD
2)

????

? (?

, PD

????

? ( 0 ,1, ?

2 2

)

即?

? ? ?? ?

2y ? z ? 0 3x ? 0

,∴ n

? ( 0 , 1,

??????10 分
? 2 2

cos ? n, m ??

n ?m | n || m |

?

( 0 ,1,

2 ) ? ( 3 ,1, 3? 6

2)



所以二面角 B

? PD ? A

的余弦值为

2 2

.?????12 分
| A F 2 | ? | B F1 | ? | B F 2 |

20. 解: (Ⅰ)由椭圆的定义知 | A F1 | ? 为边 A B 上的中线, ∴ F1 F 2 ? A B ,????????2 分 在 R t △ A F1 F 2 中, c o s 3 0 ?
? 2c 4a 3 ,

,又 |

A F 2 |? | B F 2 |

,∴ |

A F1 | ? | B F1 | ,即 F1 F 2



c a

?

3 3



∴椭圆的离心率

3 3

.???????4 分(注:若学生只写椭圆的离心率
y2 )

3 3

,没有过程扣 3 分)

(Ⅱ)设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 ,

因为 0
1 a
2

? e ?

5 ?1 2

,c
b a
4 2

? 1 ,所以 a ?

1? 2

5

. ????6 分
b a
4 2

①当直线 A B 与 x 轴垂直时,

?

y b

2 2

?1

, y2

?

,OA ?OB

??? ??? ? ?

? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 1 ?

,

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?a
4

? 3a a
2
2

2

?1

? (a

2

? a

3 2
2

) ?
2

5 4

=

, 因为 a

2

?

3? 2

5

,所以 O A ? O B

??? ??? ? ?

? 0



恒为钝角, 2 2 ? O A ? O B ? A B .?????????8 分
? ?AOB

②当直线 A B 不与 x 轴垂直时,设直线 A B 的方程为: y 整理得: ( b 2
x1 ? x 2 ?
2

? k ( x ? 1)

,代入

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1,

? a k )x
2 2

2

? 2k a x ? a k
2 2 2

2

? a b
2

2

? 0



?2a k
2 2

2 2

b ? a k ??? ??? ? ? O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2

, x1 x 2

?

a k b
2

2

2

? a b
2 2 2

2

? a k

x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? k ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2

? x 1 x 2 (1 ? k ) ? k ( x 1 ? x 2 ) ? k
2 2

2

? ? ?

(a k
2

2

2

? a b )(1 ? k ) ? 2 a k
2 2 2 2

4

? k (b
2

2

? a k )
2 2

b k (a
2 2

2

? a k
2 2 2

2

? b b
4

2 2

? a b )? a b
2 2

? a k
2 2

2 2 2

k (? a

? 3a b
2

? 1) ? a b
2 2
2

? a k
4

??????10 分 由 ①可知 m ( a ) ? 0 ,
? OB ? AB
2 2

令 m (a )

? ?a

? 3a

?1,

? ?AOB

恒为钝角.,所以恒有 O A 2
/

.??????12 分

21. 解: (Ⅰ) f ( x ) ?

2x

2

? 2x ? a x ?1

? 0 在区间 [1 , ?? ) 上恒成立,

即 a ? ? 2 x ? 2 x 区间 [1, ?? ) 上恒成立, ???????1 分
2

a ? ? 4 .??????3 分

经检验, 当 a=- 4 时, f ( x ) ?
/

2x

2

? 2x ? 4 x ?1

?

2 ( x ? 2 )( x ? 1 ) x ?1

, x ? [1, ?? ) 时, f ( x ) ? 0 ,
/

所以满足题意的 a 的取值范围为 [ ? 4 , ? ? ) .??????4 分 (Ⅱ)函数的定义域 ( ? 1, ?? ) , f ( x ) ?
/

2x

2

? 2x ? a x ?1

? 0 ,依题意方程 2 x

2

? 2 x ? a ? 0 在区间

( ? 1, ?? ) 有两个不等的实根,记 g ( x ) ? 2 x

2

? ?? ? 0 ? ? 2 x ? a ,则有 ? g ( ? 1 ) ? 0 , ? 1 ?? ? ?1 ? 2

得0 ? a ?

1 2

.????????6 分

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? x 1 ? x 2 ? ? 1, 2 x 2 ? 2 x 2 ? a ? 0 , x 2 ? ?
2

1 2

?

1 ? 2a 2

,?
2

1 2

? x2 ? 0 ,

f (x2 ) x1

?

x 2 ? ( 2 x 2 ? 2 x 2 ) ln( x 2 ? 1 )
2 2

? 1 ? x2

,令 k ( x ) ?

x

2

? (2 x

? 2 x ) ln( x ? 1 )

?1? x

, x ? (?

1 2

,0 )

????????8 分
k (x) ? ? x
2

x ?1

? 2 x ln( x ? 1 ) , k ( x ) ?
/

x

2 2

( x ? 1)

? 2 ln( x ? 1 ) , k

//

(x) ?

2x

2

? 6x ? 2
3

( x ? 1)

,

因为 k ( ?
//

1 2

) ? ?

1 2

,k

//

( 0 ) ? 2 ,存在 x 0 ? ( ?
(? 1 2 , x0 )

1 2

, 0 ) ,使得 k

//

(x0 ) ? 0


( x 0 ,0 )

x

x0

k
/

//

(x)
/

1 2
/

0
1 2

+
, 0 ) 为减函数,

k (0 ) ? 0 , k (?

) ? 1 ? 2 ln 2 ? 0 ,? k ( x ) ? 0 ,所以函数 k ( x ) 在 ( ?

???????10 分
k (0 ) ? k ( x ) ? k (? 1 2 ) 即0 ?
f (x2 ) x1 ? ? 1 2 ? ln 2 ????????12 分

法二:6 分段后面还有如下证法,可以参照酌情给分. 【证法 2】 x 2 为方程 2 x 2 ∵0
? a ? 1 2

? 2x ? a ? 0
1 2

的解,所以 a ? ? 2 x 2 ? 2 x 2 ,
2


? 0

x1 ? x 2 ? 0

, x2

? ?

?

1 ? 2a 2

,∴ ?

1 2

? x2 ? 0

,

先证

f ( x2 ) x1

,即证

f ( x2 ) ? 0

( x1

? x2 ? 0

), ,所以
f ( x2 )

在区间 ( x1 , x 2 ) 内, 即
f ( x2 ) ? 0

f ?( x ) ? 0

, ( x2 , 0) 内

f ?( x ) ? 0

为极小值,

f ( x2 ) ? f (0 ) ? 0

,

,∴
? ? 1 2

f ( x2 ) x1

? 0

成立;???????8 分
f ( x2 ) ? (? 1 2 1 2 ? ln 2 ) ( ? 1 ? x 2 ) ? ( 1 2 ? ln 2 ) ( x 2 ? 1)

再证
2

f ( x2 ) x1
2

? ln 2

,即证
1 2

,

x 2 ? ( 2 x 2 ? 2 x 2 ) ln ( x 2 ? 1) ? (

? ln 2 ) x 2 ? 1 2

? ln 2

,
x ? (? 1 2 , 0)

令 g (x)

? x

2

? (2 x

2

? 2 x ) ln ( x ? 1) ? (

? ln 2 ) x


1 2

???????10 分

g ? ( x ) ? 2 x ? ( 4 x ? 2 ) ln ( x ? 1) ?

2 x ( x ? 1) x ?1

?(

? ln 2 )

,

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? ? 2 ( 2 x ? 1) ln ( x ? 1) ? ( 1 2
ln ( x ? 1) ? 0

? ln 2 )
1 2

, ,

, 2x ?1 ? 0 , , g (x) 在 (?
1 2 ) ? 1 4 1 4 ? 1 2 ? (2 ? 1 4 ln 2 ? 1 2 1 2

? ln 2 ? 0

∴ g ?( x )

? 0

, 0)

为增函数.
1 2 ? 1 2 ( 1 2 ? ln 2 )

g ( x) ? g (? 1 4 1 2 1 2

? 1) ln

?

?

ln

?

? ln 2



综上可得 0

?

f ( x2 ) x1

? ?

1 2

? ln 2

成立.?????????12 分

22.证明:(Ⅰ)∵∠BAD=∠BMF, 所以 A,Q,M,B 四点共圆,?????3 分 所以 P A ? P B ? P M ? P Q .??????5 分 (Ⅱ)∵ P A ? P B ? P C ? P D , ∴ PC ? PD ? PM ? PQ 又 ?CPQ ? ?M PD , ∴ ? PCQ ? ? PMD , 所以 ? C P Q ~ ? M P D ,?????7 分

,则 ? D C B ? ? F M D ,??????8 分

∵?BAD ? ?BCD , ∴ ? BM D ? ? BM F ? ? D M F ? 2? BAD , ? BO D ? 2? BAD , 所以 ? B M D ? ? B O D .???????10 分 23.解:(Ⅰ)依题意 ? s in ? ? ? c o s ? ??????3 分
2 2

得: y
?

2

? x
2

曲线 C 1 直角坐标方程为: y

? x

.???????5 分

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 2 (Ⅱ)把 ? 代入 y ? x 整理得: 2 ? y ? t ? 2 ?

t

2

?

2 t ? 4 ? 0 ??????7 分

? ? 0 总成立,
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t1 ? t 2 ? ? 2

, t1t 2 ? ? 4
(? 2)
2

AB ? t 1 ? t 2 ?

? 4 ? (?4) ? 3

2

??????10 分

另解: (Ⅱ)直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 ? x ,把 y ? 2 ? x 代入 y
x
2

2

? x 得:

? 5 x ? 4 ? 0 ??????7 分

? ? 0 总成立, x 1 ? x 2 ? 5 , x 1 x 2 ? 4
AB ? 1? k
2

x1 ? x 2 ?

2

(5

2

? 4 ? 4) ? 3

2

???????10 分

24. 解:(Ⅰ) ?

?x ? 2 ?x ? 2 ? 2x ? 2 ? 3

解得 x ?

7 3

?1 ? x ? 2 解得 x ? ? ? 2 ? x ? 2x ? 2 ? 3 ? ?x ? 1 1 解得 x ? ???????3 分 ? 3 ?2 ? x ? 2 ? 2 x ? 3

不等式的解集为 ( ? ? , ) ? ( , ? ? ) ??????5 分
3 3
?? 3x ? 2 ? 2a, x ? 2 ? (Ⅱ) a ? 2 时, f ( x ) ? ? ? x ? 2 a ? 2 , 2 ? x ? a ; ?3 x ? 2 ? 2 a , x ? a ?

1

7

? ?3 x ? 6, x ? 2 a ? 2 时, f ( x ) ? ? ; ?3 x ? 6, x ? 2
?? 3x ? 2 ? 2a, x ? a ? a ? 2 时, f ( x ) ? ? x ? 2 a ? 2 , a ? x ? 2 ; ?3 x ? 2 ? 2 a , x ? 2 ?
? f ( x ) 的最小值为 f ( 2 ) 或 f ( a ) ;??????8 分

则?

? f (a ) ? 1 ? f (2) ? 1

,解得 a ? 1 或 a ? 3 .??????10 分

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