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第十四章 第1讲 随机事件的概率


第十四章
第1讲

概率

随机事件的概率

考纲要求 1.了解随机事件发生的不确定 性和频率的稳定性,了解概率 的意义,了解频率与概率的区 别. 2.了解两个互斥事件的概率加 法公式.

考纲研读

重点: 1.概率的理解及频率与概率的区 别与联系. 2.随机事件的概率问题. 3.互斥事件、对立事件的联系和 应用.

1.随机试验 如果试验满足下列三个特性,则称该试验为随机试验,简称 为试验: ①可以在相同的条件下重复的进行; ②每次试验的结果具有多种可能性,试验前可以明确知道所 有的可能结果; ③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

2.事件
(1)事件:在一次试验中出现的试验结果.一般用大写字母 A、

B、C 等表示.
(2)确定事件:在一次试验中一定会发生的事件称为必然事件, 不可能事件 必然事件 一定不会发生的事件称为______________.其中___________和不 可能事件统称为确定事件. (3)随机事件:可能发生也可能不发生的事件. (4)基本事件:在试验中不能再分的最简单的随机事件.

3.频数、频率与概率 (1)频数与频率:在相同条件下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 m 为事件 A 出现的 m 频数 n _____,称事件 A 出现的比例___为事件 A 出现的频率.

(2)概率:在 n 次重复进行的试验中,当 n 很大时,事件 A 发
m 生的频率 n 总在某个常数附近摆动.如果随着试验次数的增加,摆

小 事件 A 发生的频率m稳定在某个常数上, 动幅度越来越____. 把这 n 个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率.

4.事件的关系及运算 (1)包含关系:如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称

B?A 事件 B 包含事件 A( 或称事件 A 包含于事件 B) ,记作______( 或

A?B ______).
(2)相等关系:若 B?A 且_______,那么称事件 A 与事件 B 相 A?B

A=B 等,记作_______.
(3)并事件(和事件):若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事

件 B 发生,则此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件),记

A∪B A+B 作_______(或______).

事件 A 发生且事件 (4)交事件(积事件):若某事件发生当且仅当________________ ___________,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件), B 发生 记作______(或____). A∩ B AB (5)互斥事件:若 A∩B 为不可能事件,那么事件 A 与事件 B

A∩B=? 叫做互斥事件,记作__________.
(6)对立事件:若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那

A 么事件 A 与事件 B 叫做对立事件.其中事件 A 的对立事件记作__.
(7)互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事 件.

5.概率的加法公式
(1)当事件 A 与事件 B 互斥时,则 A+B 发生的概率满足概率

P(A)+P(B) 加法公式 P(A+B)=______________.

P(B) 当事件 A 与 B 对立时,则 P(A)=1-_____或 P(A)=1-P(___). A
(2)n 个互斥事件 A1,A2,?,An(即不可能同时发生)的和事件 A1+A2+…+An的概率加法公式为:P(A1+A2+?+An)=_______ P(A1)+P(A2)+?+P(An) ________________________.

1.下列说法中正确的是(

)

A.任何事件的概率总是在(0,1)之间 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定

解析:任何事件的概率总是在[0,1]之间,其中必然事件的概 率是 1,不可能事件的概率是 0,“任何事件”包含“必然事件” 和“不可能事件”,故 A 错误;只有通过试验,才会得到频率的

值,故频率不是客观存在的,一般来说,当试验的次数不同时,
频率是不同的,它与试验次数有关,故 B 错误;当试验次数增多

时,频率呈现出一定的规律性,频率值越来越接近于某个常数,
这个常数就是概率,故 C 正确;虽然在试验前不知道概率的确切 值,但概率是一个确定的值,它不是随机的,通过多次试验,不 难发现它是频率的稳定值,故 D 错误.选 C. 答案:C

2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是 50%,甲不输的概率是 80%,则甲、乙二人下成和棋的概率为( B )

A.20%
C.40%

B.30% D.50%

解析:甲、乙二人下成和棋的概率为 80%-50%=30%.

3.济宁市为办好下一届省运会,加强了对本市空气质量的监

测与治理.下表是 2010 年 12 月济宁市空气质量状况表.
污染指数 T 概率 P 30 1 10 60 1 6 100 1 3 110 7 30 130 2 15 140 1 30

其中污染指数 T≤50 时,空气质量为优;50<T≤100 时,空 气质量为良;100<T≤150 时,空气质量为轻微污染.则该市的空

气质量在本月达到良或优的概率约为(
3 A. 5 1 B. 180 2 C. 5

A )
5 D. 9

1 1 1 3 解析:P=10+6+3=5.

4.某人抛掷一枚硬币 100 次,结果正面朝上有 53 次,设正 53 面朝上为事件 A,则事件 A 出现的频数为____,事件 A 出现的频 0.53 率为______.
解析: 由题意, 试验次数 n=100, 事件 A 出现的次数 nA=53, nA 53 即为频数,故事件 A 出现的频率 fn(A)= n =100=0.53.

5.一盒子中有 10 个相同的球,分别标有号码 1,2,3,?,10, 1 从中任取一球,则此球的号码为偶数的概率是_____. 2
解析:取 2 号、4 号、6 号、8 号、10 号球是互斥事件,且概 1 1 1 1 1 1 1 率均为10,故有10+10+10+10+10=2.

考点1 事件的频率与概率 例1:某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:
投篮次数 n 进球次数 m m 进球频率 n
(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率是多少?

8 6

10 8

12 9

9 7

10 7

16 12

m 解题思路:解答本题可根据频率的计算公式 fn(A)= n ,其中 n 为相同条件下重复的试验次数,m 为事件 A 出现的次数,且随着 试验次数的增多,频率接近概率.
解析:(1)由公式可计算出该运动员每次投篮进球的频率依次 6 3 8 4 9 3 7 7 12 3 为8=4,10=5,12=4,9,10,16=4. 3 (2)由(1)知, 每场比赛进球的频率虽然不同, 但频率总是在4的 3 附近摆动,可知该运动员投篮一次,进球的概率约为4.

概率是频率的稳定值,根据随机事件发生的频率 只是得到概率的估计值.

【互动探究】 1.(2011 年陕西)如图 14-1-1,A 地到火车站共有两条路径

L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行调查,调查
结果如下: 所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 10~20 6 0 20~30 12 4 30~40 18 16 40~50 12 16 50~60 12 4

图 14-1-1

(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的 频率; (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车

站,为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说
明,他们应如何选择各自的路径. 解:(1)由已知共调查了100 人,其中40 分钟内不能赶到火车 站的有 12+12+16+4=44(人), 用频率估计相应的概率为0.44.

(2)选择L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为: 所用时间(分钟)

L1 的频率 L2 的频率

10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2

0

0.1

0.4

0.4

0.1

(3)A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站. 由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6; P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2).∴甲应选择L1. P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8; P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1). ∴乙应选择L2.

考点2 基本事件及其相互关系与运算 例2:从 A,B,C,D,E 五名学生中选出 3 个参加某项活动. (1)写出这个试验的所有基本事件构成的集合; (2)求这个试验的基本事件总数; (3)写出事件“A 没被选中”所包含的基本事件. 解析:(1)这个试验的所有基本事件构成的集合是: Ω={(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A, C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C, D,E)}. (2)从5名学生中选出3个,共有10种可能情况. (3)“A没被选中”包含下列4个基本事件: (B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E) 在写随机试验的基本事件的所有情况时,按照一 定的规律书写,这样才能不重复,不遗漏.

【互动探究】 2.设集合 A={1,2,3,4},m∈A,n∈A,(m,n)是一个基本事件. (1)写出这个试验的所有基本事件构成的集合; (2)“m+n=5”这一事件包含哪几个基本事件? (3)“m≥n”这一事件包含哪几个基本事件? 解:(1)这个试验的所有基本事件构成的集合Ω={(1,1),(1,2),

(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. (2)“m+n=5”包含 4 个基本事件(2,3),(3,2),(1,4),(4,1).

(3)“m≥n”包含 10 个基本事件(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),
(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

考点3 互斥事件与对立事件 例3:(2011 年江西)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定 考评级别,公司准备了两种不同的饮料共 5 杯,其颜色完全相同,

并且其中的 3 杯为 A 饮料,另外的 2 杯为 B 饮料,公司要求此员
工一一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料.若该员工 3 杯都 选对,测评为优秀;若 3 杯选对 2 杯测评为良好;否则测评为合 格.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率.

解析:将5 杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3 表示A 饮料, 编号4,5 表示B 饮料,则从5 杯饮料中选出3 杯的所有可能情况 为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4), (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)可见共有 10 种. 令 D 表示此人被评为优秀的事件,E 表示此人被评人良好的

事件,F 表示此人被评为良好及以上的事件. 1 则(1)P(D)=10.
3 7 (2)P(E)=5,P(F)=P(D)+P(E)=10.
将所求事件,转化为若干个互斥事件的和求解.

【互动探究】 3.袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从
1 中任取一球,已知取到红球的概率是3,取到黑球或黄球的概率是

5 5 ,取到黄球或绿球的概率也是 ,试取到黑球、黄球、绿球的 12 12

概率分别是多少?
解:设取得红球、黑球、黄球、绿球依次分别为事件A、B、

C、D,则B 与 C 互斥,C 与D 互斥,
设P(B)=x,P(C)=y,P(D)=z,依题意则

?P?A?+P?B?+P?C?+P?D?=1+x+y+z=1, ? 3 ? ? 5 ?P?B∪C?=P?B?+P?C?=x+y=12, ? 5 ? ?P?C∪D?=P?C?+P?D?=y+z=12. ? ?x=1, ? 4 ? 1 解得?y=6, ? ?z=1. ? 4

1 1 1 取到黑球、黄球、绿球的概率分别是4,6,4.

易错、易混、易漏 22.互斥事件与对立事件的概念混淆 例题:从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那 么互斥而不对立的两个事件是( )

A.“至少有 1 个白球”与“都是白球” B.“至少有 1 个白球”与“至少有 1 个红球” C.“恰有 1 个白球”与“恰有 2 个白球” D.“至少有 1 个白球”与“都是红球”

正解:互斥事件是不可能同时发生的事件,而对立事件是不 可能同时发生且必有一个发生的两个事件. 答案:C 【失误与防范】对立事件与互斥事件的区别在于两个事件中 是否必有一个发生.

1.求随机事件的概率,关键是找出所有基本事件. 2.在处理对立事件、互斥事件的问题时,要分清对立事件和
互斥事件的关系,并善于利用对立事件的概率公式解题.

1.找出随机试验的所有基本事件的时候比较容易漏掉一些, 所以写的时候一定要按照一定的规律. 2.互斥事件与对立事件的概念问题,对立事件一定是互斥事 件,互斥事件不一定是对立事件,即对立事件是特殊的互斥事件. 3.在利用对立事件解决问题时,关键是利用对立事件的概率 和为 1.所求事件的概率为 1 减去所求事件的对立事件的概率.


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