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高三数学第二轮复习备考对策


高三数学第二轮复习备考对策 —如何解填空题
常宁市第一中学 蒋清辉
今年湖南高考数学试题中填空题增加 2 道题,共 7 题,分值 35 分,占总分 的 23.33%,每题的分值是 5 分, 份量增加。因此,我们在备考时,既要把关注这一 新动向,又要做好应试的技能准备。填空题是高考题中客观性题型之一,具有小 巧灵活,结构简单,概念性强,运算不大,不需要写出求解过程而只需直接写出 结论等特点。从前面的周练、联考、模拟考试发现,考生不适应,得分率较低, 造成总分偏低,成绩不理想。究其原因,考生还不能达到《考试说明》中对解答 填空题提出的基本要求: “正确、合理、迅速” 。那么,怎样才能做到“正确、合 理、迅速”地解答填空题,为做后面的题赢得宝贵的时间呢?在这里谈谈如何解 填空题?请大家教正.
一、直接法 这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识, 通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果

2 sin 2 x + 1 的最小值为 例 1.(2008 年,辽宁卷)设 x ∈ (0, ), 则函数 y = 2 sin 2 x
【分析及解 分析及解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得: 分析及解

π

.

y=

2 sin 2 x + 1 2 sin 2 x + 1 3 sin 2 x + cos 2 x 3 tan 2 x + 1 3 1 = = = = tan x + , sin 2 x 2 sin x cos x 2 sin x cos x 2 tan x 2 2 tan x

∵ x ∈ (0,

π
2

), ∴ tan x > 0 ,利用均值定理, y ≥ 2

3 1 tan x ? = 3 ,当且仅当 2 2 tan x

tan 2 x =

1 时取“=” ,∴ y min = 3 ,所以应填 3 . 3

【评述 评述】运用直接法,必须根据题设条件联想相应的知识进行求解,本题的关键是明确化简 评述 变形的方向,即将式子化为只含一个变量,利用齐次式化为正切进行统一变量,然后根据特 点运用均值定理进行求解。 二、定义法 定义法 有些问题直接去解很难奏效,而利用定义去解可以大大地化繁为简,速达目的。 例 2. C 3 n
38 ? n 3 + C 21n+ n 的值是_________________。

解:从组合数定义有: ?

?0 ≤ 38 ? n ≤ 3n 19 21 ? ≤n≤ 2 2 ?0 ≤ 3n ≤ 21 + n

又 n ∈ N,故n = 10

1

代入再求,得出 466。

例 3. 到椭圆

x2 y2 + = 1 右焦点的距离与到定直线 x =6 距离相等的动点的轨迹方程是 25 9

_______________。 解:据抛物线定义,结合图 1 知:

图1 轨迹是以(5,0)为顶点,焦参数 P=2 且开口方向向左的抛物线,故其方程为:

y 2 = ?4( x ? 5)
三、数形结合法 数形结合法 数形结合 借助图形的直观形,通过数形结合的方法,迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、 三角函数线、函数的图像及方程的曲线等,都是常用的图形。数形互助法是以数形结合的数 学思想为指导的一个解题方法.由于填空题不必写出论证过程,因而画出辅助图像、方程的 曲线或借助表格等进行分析并解答。 例 4. 函数 y =

x 2 + 4 x + 5 + x 2 ? 4 x + 8 的值域________________。
y B(2,2)

O A(-2,-1)

P(x,0)

x

图2 解:原函数变为 y =

( x + 2) 2 + 1 + ( x ? 2) 2 + 2 2 ,可视上式为 x 轴上的点 P( x ,0)

到两定点 A(-2,-1)和 B(2,2)的距离之和,如图 2,则 y =| PA | + | PB |≥| AB |= 5 。

2

故值域为 [5, ∞) 。 + 例.5(2008 年,湖北卷)方程 2 【分析及解 分析及解】∵ 2 分析及解
?x ?x

+ x 2 = 3 的实数解的个数为

.

1 + x 2 = 3 ,∴ ( ) x = ? x 2 + 3 , 2

1 x 2 令 y = ( ) 和 y = ? x + 3 ,其两函数的图象如图所示, 2
由图可得方程 2
?x

1 y = ( )x 2 3
1

y

+ x 2 = 3 的实数解的个数为 2.
O

【评述 评述】求方程解的个数,可以画出方程两边的函数的图象, 评述 通过观察图象的交点的个数来研究方程解的个数.

y = ?x2 + 3

x

四、特例(特殊值)法 特例(特殊值) 有的填空题答案是一个“定值”时,实质上有一种暗示作用,可以分析特殊数值,特殊 位置,特殊数列,特殊图形等来确定这个“定值” ,这种方法有时能起到难以置信的效果。 例 6.(2007 年,江西卷)已知数列{an}对于任意 p,q ∈N*,有 ap+aq=ap+q,若 a1= a36= .

1 ,则 9

【分析及解 分析及解】取特殊数列 a n = kn (k ≠ 0) ,又 a1= 分析及解

1 1 1 ,得 k = ,即 a n = n ,∴ a 36 = 4 , 9 9 9

故应填 4
【评述 评述】运用常规方法费时费力,取特殊值数列即可轻松解决。 评述 例 7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 a、b、c 成等差数列,则

cos A + cos C = 1 + cos A cos C



解:特殊化:令 a = 3, b = 4, c = 5 ,则△ABC 为直角三角形, cos A =

3 , cos C = 0 , 5

从而所求值为 4/5。 五、构造法 是指根据题意合理构造函数、方程、数列、复数及图形和有关命题,使问题转化,特别 适合解决开放性的填空题。 例 8.(2008 年,福建卷)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的 表面积是 . 【分析及解 分析及解】如图所示,以侧棱为棱长补成正方体, 分析及解 则正方体的对角线 l 恰为外接球的直径 2 R , 所以 2 R = A S C

3a = 3 ( a 为正方体棱长).即 R =
2

3 , 2
B

所以 S = 4πR = 9π

【评述 评述】对于共点三条棱两两垂直的三棱锥,可以此三条棱为边补成正方体,从而使线面关 评述 系纳入正方体中解决。

3

观察发现法 六. 观察发现法 对所给问题有的比较熟悉,但直接求解又比较费时,费力;而有的问题比较新颖,如情境 创新题中定义新概念、定义新图形、定义新数表等问题可通过观察,分析题目特征,探索规 律,发现关系进而再求解。 例 9(2008 年,江苏卷)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 。。。。。。。。 。。。。。。。。 . 按照以上排列的规律,第 n 行( n ≥ 3 )从左向右的第 3 个数为 【分析及解 分析及解】该数阵的第 1 行有 1 个数,第二行有 2 个数,。 。第 分析及解 。 。 n 行有 n 个数,故第

(n ? 1)(1 + n ? 1) n 2 n n ? 1(n ≥ 3) 行 的 最 后 一 个 数 为 = ? ,故第 n 行的第 3 个数为 2 2 2 n2 n ? + 3(n ≥ 3) 2 2
【点评 点评】数表是对数列的一种拆分,不同的分拆方式就会产生不同的数表,本题中的数阵是 点评 对正整数的一种重排,只要找出其规律便不难求得答案。近年来“数表问题”频频出现在高 考试卷上,它与组合数知识、数列知识强强联手,奏出一曲曲优美的“乐章” ,而杨辉三角 的规律很多,内容丰富,设问较多且题型灵活,解法巧妙。希望读者试着总结。

x2 例 10.(2002 年,全国卷)已知函数 f ( x) = 1+ x2
那么 f (1) + f ( 2) + f ( ) + f (3) + f ( ) + f ( 4) + f ( ) = 【分析及解 分析及解】因为 f ( x ) + f ( ) = 1 , f (1) = 分析及解

1 2

1 3

1 4

.

1 1 1 7 7 ,于是所求 = + 3 = ,应填 . x 2 2 2 2 1 【评述 评述】容易发现 f ( x ) + f ( ) = 1 ,这就是我们找出的有用的规律。而不是把每个值都代 评述 x
入函数解析式算一算,然后在加一加而得. 则球的表面积为 S = 4πR = 27π
2

【评述 评述】本题利用长方体、正方体、直四棱柱的外接球直径 2 R 恰为其对角线 l 的长(即 评述 l = 2 R )直接解答,简洁明快。 排除淘汰法 七. 排除淘汰法 当全部情况为有限种时,也可采用淘汰法。 例 11. 已知 a、b ∈ R ,则 a > b 与 解:按实数 b 的正、负分类讨论。
4

1 1 > 同时成立的充要条件是____________。 a b

当 b >0 时 ? a > 0 ,而等式不可能同时成立; 当 b =0 时,

1 1 > 无意义; a b 当 b <0 时,若 a <0,则两不等式不可能同时成立,以上三种情况均被淘汰,故只能为 a >0, b <0,容易验证,这确是所要求的充要条件。

八、归纳猜想法 由于填空题不要求推证过程,因此,我们也可用归纳、猜想得出结论。 例 12. 设 是首项为 1 的正项数列, 且 ________________。 (n=1, 3, 2, ……) ,

则它的通项公式是

解:因为

,所以

,而

,则



总之,我们在平时训练时,要善于思考,分析题意,灵活运用有关数学知识,在有多种 方案可以解决问题的时候,努力选择更合理的解题方案,要不断提高解题过程中合理性、简 捷性的意识,以达到巧解妙算的效果,力求做到费时少,准确率高.

2009 年 4 日

5


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